代数方程式

数学において、代数方程式または多項式方程式とは、次の形式の方程式である。 $P=0$ ここで、Pは多項式であり、通常は係数が有理数である。

例えば、 $x^{5}-3x+1=0$ は整数係数を持つ代数方程式であり、

y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0

は有理数体上の多変数多項式方程式です。多くの著者にとって、代数方程式という用語は、1変数のみを含む多項式方程式、つまり単変数の場合のみを指します。一方、多項式方程式は複数の変数を含む場合（多変数の場合）もあり、その場合は通常、多項式方程式という用語が好まれます。

有理係数を持つ多項式方程式の中には、同じ種類の係数のみを含む有限回の演算で求めることができる代数式である解を持つものもあるが、すべてではない（つまり、代数的に解くことができる）。これは、1次、2次、3次、4次のすべての方程式に対して行うことができるが、5次以上の方程式に対しては、すべてではなく一部の方程式に対してのみ行うことができる。1変数代数方程式の実数解または複素数解の正確な近似値（根探索アルゴリズムを参照）および複数の多変数多項式方程式の共通解（多項式方程式系を参照）を効率的に計算するために、多くの研究が行われてきた。

用語

「代数方程式」という用語は、代数学の主要な問題が一変数多項式方程式を解くことであった時代に由来します。この問題は19世紀中に完全に解決されました。代数学の基本定理、アーベル・ルフィニの定理、ガロア理論を参照してください。

それ以来、代数学の範囲は劇的に拡大しました。特に、 $n$ 乗根を含む方程式、そしてより一般的には代数式の研究が含まれるようになりました。このため、代数方程式という用語は、以前の問題の文脈以外では曖昧になります。したがって、このような曖昧さが生じる可能性がある場合、特に多変数方程式を考える場合には、多項式方程式という用語が一般的に好まれます。

歴史

代数方程式の研究はおそらく数学と同じくらい古い。紀元前2000年頃には、バビロニアの数学者たちはある種の二次方程式を解くことができた（古バビロニアの粘土板に記されている）。

有理数（つまり、有理係数を持つ）上の一変数代数方程式には、非常に長い歴史があります。古代の数学者たちは、次のような根号式の形で解を求めていました。 $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 正の解の場合 $x^{2}-x-1=0$ 古代エジプト人は、このようにして 2 次方程式を解く方法を知っていました。インドの数学者ブラフマグプタ (597–668 西暦) は、628 年に出版された論文「ブラフマスプタシッダーンタ」の中で、二次方程式の解法を明示的に記述しましたが、記号ではなく言葉で書かれていました。9 世紀には、ムハンマドイブンムーサアル＝フワーリズミーや他のイスラムの数学者たちが、2 次方程式の一般解である二次方程式の解法を導き出し、判別式の重要性を認識しました。ルネサンス期の 1545 年に、ジェロラモカルダーノは、3 次方程式に対するシピオーネデルフェッロとニッコロフォンタナタルタリアの解法と、 4 次方程式に対するロドヴィコフェッラーリの解法を発表しました。最後に、ニールス・ヘンリック・アーベルは1824年に、 5次以上の方程式は根号を用いた一般解を持たないことを証明した。エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられたガロア理論は、少なくとも5次の方程式の中には、根号を用いた特異解さえ持たないものがあることを示し、方程式が実際に根号を用いて解けるかどうかを判断するための基準を与えた。

研究分野

代数方程式は、現代数学の多くの分野の基礎となっています。代数的整数論は、有理数体（つまり、有理係数を持つ）上の（一変数）代数方程式の研究です。ガロア理論は、エヴァリスト・ガロアによって、代数方程式が根号で解けるかどうかを判定するための基準を規定するために導入されました。体論では、代数的拡大とは、すべての要素が基底体上の代数方程式の根となるような拡大のことです。超越数論は、有理数体上の代数方程式の解ではない実数を研究する分野です。ディオファントス方程式は、整数係数を持つ（通常は多変数）多項式方程式で、その整数解に興味があります。代数幾何学は、代数的に閉じた多変数多項式方程式の解を研究する分野です。

2つの方程式は、同じ解の集合を持つ場合に等価である。特に、方程式 $P=Q$ と同等 $PQ=0$ したがって、代数方程式の研究は多項式の研究と同等である。

有理数上の多項式方程式は、係数が整数である同値な方程式に常に変換できます。たとえば、42 = 2·3·7 を掛けて最初の項にまとめると、前述の多項式方程式は $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ になる

\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}

サイン、指数関数、および 1/ Tは多項式関数ではないため、

e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0

これは、有理数体上の4つの変数x、y、z、およびTに関する多項式方程式ではありません。しかし、変数Tに関する初等関数の体上の3つの変数x、y、およびzに関する多項式方程式です。

理論

多項式

$未知数x$ に関する方程式が与えられた場合

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

、

体 $K$ の係数を持つ場合、(E) の $K$ における解は多項式の $K$ における根であると同等に言うことができる。

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

。

体における $n次多項式は、多くても$ $n$ 個の根を持つことが示される。したがって、方程式(E)は多くても $n個の$ 解を持つ。

$K' が$ $K$ の体拡張である場合、(E) は $K$ の係数を持つ方程式とみなすことができ、 $K$ における (E) の解は $K'$ における解でもある(一般に逆は成り立たない)。多項式 $Pの$ 破断場として知られる $K$ の体拡張を見つけることができ、その中で (E) は少なくとも 1 つの解を持つ。

実数方程式および複素数方程式の解の存在

代数学の基本定理は、複素数の体は代数的に閉じている、つまり、複素係数を持ち、次数が1以上のすべての多項式方程式には解が存在する、と述べている。

したがって、実数係数を持つ次数1以上のすべての多項式方程式は複素数解を持つ。一方、次のような方程式は $x^{2}+1=0$ 解決策はありません $\mathbb {R}$ （解は虚数単位 $i$ と $-i$ です。）

実数方程式の実数解は直感的である（曲線 $y$ $=$ $P$ $($ $x$ $)が$ $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標である）が、実数方程式の複素数解の存在は驚くべきことであり、視覚化するのは容易ではない。

しかし、奇数次の単項式は必ず実根を持つ。xに関する対応する $多項式$ 関数は連続であり、に近づく。 $-\infty$ $x$ が近づくにつれて $-\infty$ そして $+\infty$ $x$ が近づくにつれて $+\infty$ 中間値の定理により、ある実数 $x$ においてゼロの値をとるはずであり、その x は多項式方程式の解となる。

ガロア理論との関連性

次数が4以下の実数または複素数の多項式の解を係数の関数として表す公式が存在する。アーベルは、次数が5以上の方程式については、一般に（四則演算と平方根のみを用いて）そのような公式を見つけることは不可能であることを示した。ガロア理論は、与えられた多項式方程式の解が根号を用いて表せるかどうかを判定する基準を提供する。

数値方程式の明示的な解法

アプローチ

1次の実数または複素数の方程式の明示的な解は自明である。n $次$ の高次の方程式を解くことは、関連する多項式の因数分解、すなわち(E)を次の形式で書き直すことに帰着する。

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

、

そこでは解決策は $z_{1},\dots ,z_{n}$ 問題は、 $z_{i}$ に関して言えば $a_{i}$ 。

このアプローチは、係数と解が積分領域に属する場合に、より一般的に適用できます。

一般的なテクニック

因数分解

次数 $n$ の方程式 $P (x) = 0 が$ 有理根 $α$ を持つ場合、関連する多項式は因数分解して $P$ $($ $X$ $) = ($ $X$ $- α)$ $Q$ $($ $X$ $)$ の形にすることができます( $P$ $($ $X$ $)を$ $X$ $- α$ で割るか、 $P$ $($ $X$ $) -$ $P$ $(α)を$ $X$ $k$ $- α$ $k$ の形の項の線形結合として書き、 $X$ $- α$ を因数分解することによって)。したがって、 $P$ $($ $x$ $) = 0$ を解くことは、次数 $n$ $- 1 の$ 方程式 $Q$ $($ $x$ $) = 0$ を解くことに帰着します。たとえば、 $n$ $= 3$ の場合を参照してください。