関数の極限

数学において、関数の極限とは、関数の定義 域内にあるかどうかに関わらず、特定の入力付近での関数の挙動に関する微積分学と解析学の基本的な概念です。

19 世紀初頭に初めて考案された正式な定義を以下に示します。非公式には、関数fは、あらゆる入力xに出力 f ( x )を割り当てます。 x がpに近づくにつれてf ( x )がLに近づく場合、関数には入力pでの極限Lがあるといいます。より具体的には、 fへの入力がpに十分近い場合、出力値はLに任意に近づけることができます。一方、pに非常に近い入力が、一定距離離れた出力に変換される場合、極限は存在しないといいます。

極限の概念は、現代の微積分学で多くの用途があります。特に、連続性の多くの定義は極限の概念を採用しています。大まかに言えば、関数のすべての極限が関数の値と一致する場合、関数は連続しています。極限の概念は、導関数の定義にも現れます。1変数の微積分学では、これは関数のグラフに対する 割線の傾きの極限値です。

関数の極限という現代的な考え方は、17世紀と18世紀の微積分の発展に暗黙的に存在していたが、1817年に連続関数を定義するためのイプシロンデルタ法（下記の（ε, δ）極限の定義を参照）の基礎を導入したボルツァーノにまで遡る。しかし、彼の研究は生前には知られていなかった。^[1]

1821年の著書『解析学』で、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは可変量、微小量、極限について論じ、xの微小変化は必然的にyの微小変化を生じると述べての連続性を定義したが、グラビナーは証明に厳密なイプシロンデルタ定義を用いたと主張している。^[2] 1861年、ワイエルシュトラスは、今日一般的に書かれている形式で、極限のイプシロンデルタ定義を初めて導入した。^[3]彼はまた、およびという表記法も導入した^。[4]${\displaystyle y=f(x)}$${\textstyle \lim }$${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$

極限記号の下に矢印を置くという現代の表記法はハーディによるもので、 1908年に彼の著書『純粋数学講座』で導入されました。^[5]

グラフy = f ( x )で表される風景の上を歩いている人を想像してください。水平位置はxで表され、これは地図や GPS で示される位置とよく似ています。高度は座標yで示されます。 x = p の位置に向かって歩いているとします。この点に近づくにつれて、高度が特定の値Lに近づいていくことに気付くでしょう。 x = pに対応する高度について尋ねられた場合、 y = Lと答えるでしょう。

では、高度が L に近づいているというのはどういう意味でしょうか。これは、精度に小さな誤差が生じる可能性はあるものの、高度がLにどんどん近づいていることを意味します。たとえば、旅行者に対して特定の精度目標を設定したとします。旅行者は L から 10 メートル以内に入らなければならないとします。旅行者は、確かにLから垂直方向に 10 メートル以内に入ることができ、 pから水平方向に 50 メートル以内にいる限り、高度は常にLから 10 メートル以内であると主張します。

次に、精度の目標が変わります。垂直方向に 1 メートル以内に到達できるでしょうか。はい、pから水平方向に 5 メートル以内で移動できると仮定すると、高度は常に目標高度Lから 1 メートル以内にとどまります。前述の概念をまとめると、水平位置がp に近づくにつれて、移動者の高度はLに近づくと言えます。つまり、目標精度の目標がどんなに小さくても、pの近傍があり、その近傍ではすべての (一部ではなく) 高度がすべての水平位置 (おそらく水平位置p自体を除く) に対応し、その近傍で精度の目標が満たされます。

最初の非公式な声明は次のように説明できます。

実際、この明示的な記述は、位相空間内の値を持つ関数の極限の正式な定義に非常に近いものです。

もっと具体的に言うと

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

つまり、 x をpに十分近づけるが等しくしない ことで、f ( x ) をLに望みどおりに近づけることができるということです。

以下の定義は( ε , δ )定義として知られ、さまざまな文脈における関数の極限の定義として一般的に受け入れられています。

が実数直線上で定義された関数で、2つの実数pとLがあるとします。xがpに近づくにつれて、 fの極限はLとなり、 ^[6]と書き表されます。${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

あるいは、f ( x ) がLに近づくのにx がpに近づくと言い、次のように書きます。

$${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$

が成り立つと仮定する：任意の実数ε > 0に対して、任意の実数δ > 0が存在し、任意の実数xに対して、0 < | x − p | < δであるとき、 | f ( x ) − L | < εが成り立つ。^[6]記号的に言えば、 $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

たとえば、 すべての実数ε > 0に対してδ = ε /4とすることができるので、すべての実数xに対して、0 < | x − 2 | < δであれば、| 4 x + 1 − 9 | < εとなります。 $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$

より一般的な定義は、実数直線のサブセット上で定義された関数に適用されます。 S を⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$のサブセットとします。を実数値関数とします。p を、 pを含む開区間( a , b )が存在する点とします。 このとき、 x がpに近づくときのfの極限は、次の条件を満たす場合、 Lであると言われます。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$

あるいは象徴的に言えば: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

たとえば、 すべての実数ε > 0に対してδ = εとすることができるので、すべての実数x ≥ −3に対して、0 < | x − 1 | < δであれば、| f ( x ) − 2 | < εとなると言えます。この例では、S = [−3, ∞)には点 1 の周りの開区間 (たとえば、区間 (0, 2)) が含まれます。 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$

ここで、極限の値はpで定義されているfや、定義されている場合のf ( p ) の値には依存しないことに注意してください。たとえば、すべてのε > 0 に対してδ = ε /2とすることができるので、すべての実数x ≠ 1に対して、0 < | x − 1 | < δであれば、| f ( x ) − 3 | < εとなります。ここでf (1)は定義されていないことに注意してください。 ${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$

実際、int SがSの内部で、iso S ^{c が}Sの補集合の孤立点である場合、 が となる極限が存在することがあります。 前述の例では、 となることがわかります。具体的には、この極限の定義により、 1 では極限は存在できますが、 0 や 2 では存在できません。 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},}$${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$ ${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$

εとδ という文字は、「誤差」と「距離」として理解できます。実際、コーシーはいくつかの研究で「誤差」の略語としてε を使用しましたが^[2]、連続性の定義ではεやδではなく無限小を使用しました( Cours d'Analyse を参照)。これらの用語では、極限値を測定する際の誤差 ( ε ) は、極限点までの距離 ( δ ) を減らすことによって、必要なだけ小さくすることができます。以下で説明するように、この定義はより一般的なコンテキストの関数にも適用できます。δとεが距離を表すという考えは、これらの一般化を示唆するのに役立ちます。 ${\displaystyle \alpha }$

あるいは、xがpに上（右）または下（左）から近づく場合、その限界は次のように表される。

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

または

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

それぞれ。これらの極限が p に存在し、そこで等しい場合、これはpにおけるf ( x )の極限と呼ばれることがあります。^[7]片側極限がpに存在するが、等しくない場合、pには極限はありません（つまり、pでの極限は存在しません）。どちらかの片側極限がpに存在しない場合、 pでの極限も存在しません。

正式な定義は次のとおりです。x が上からp に近づくときのfの極限は、次の場合Lです。

あらゆるε > 0に対してδ > 0が存在し、0 < x − p < δのときはいつでも| f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

x が下からp に近づくときのfの極限は、次の場合Lです。

あらゆるε > 0に対してδ > 0が存在し、0 < p − x < δのときはいつでも| f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

限界が存在しない場合は、pにおけるfの振動はゼロ以外になります。

制限は、ドメインのサブセットからアプローチすることによっても定義できます。

一般に: ^{[8] を}ある上で定義された実数値関数とする。 p をあるの極限点とする—つまり、p はpとは異なるTの要素の列の極限とする。 このとき、 x がpに近づくときのTの値fの極限はLであり、 これは次の式が成り立つときに書かれる。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$${\displaystyle T\subset S}$$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

T は、fの定義域であるSの任意の部分集合にできることに注意してください。また、極限はTの選択に依存する可能性があります。この一般化には、区間の極限、実数値関数の左手極限（たとえば、T を形式(–∞, a )の開区間とすることによって）、および右手極限（たとえば、T を形式( a , ∞)の開区間とすることによって）が特殊なケースとして含まれます。また、片側極限の概念が（半）閉区間の含まれる端点に拡張されるため、平方根関数は、 x が上から 0 に近づく につれて極限 0 を持つことができます。すべてのε > 0 について、δ = εとすることができるため、すべてのx ≥ 0について、0 < | x − 0 | < δであれば、| f ( x ) − 0 | < εとなります。 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$

この定義により、同じ極限点を持つ 適切なサブセットTが選択された場合、ドメインSの極限点で限界を定義することができます。

特に、前述の両側定義は、Sの極限点のサブセットであるに対して機能します。 ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$

たとえば、前の両側定義は では機能しますが、 Sの極限点である 0 または 2 では機能しません。 ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$

ここで与えられた極限の定義は、pでfがどのように定義されているか（あるいは定義されているかどうか）には依存しない。Bartle ^{[9]はこれを}削除極限と呼んでいる。これはpでのfの値を除外するためである。対応する非削除極限は、 p がfの定義域内にある場合、pでのfの値に依存する。を実数値関数とする。x がpに近づくにつれて、fの非削除極限は、次の場合Lとなる。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

定義は同じですが、近傍| x − p | < δには点p が含まれますが、削除された近傍 0 < | x − p | < δとは対照的です。これにより、削除されていない極限の定義はそれほど一般的ではありません。削除されていない極限を扱う利点の1つは、関数に制約を与えることなく（削除されていない極限の存在以外）、合成の極限に関する定理を述べることができることです。^[10]

バートル^[9]は、「限界」という言葉で、一部の著者は削除されていない限界を意味しているが、削除された限界が最も一般的であると指摘している。^[11]

この関数は x ₀ = 1 では極限がありません(左側の極限は正弦関数の振動特性により存在せず、右側の極限は逆関数の漸近挙動により存在しません。図を参照) が、他のすべてのx座標では極限があります。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

この関数 (別名、ディリクレ関数) は、どのx座標でも制限がありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

この関数は、 ゼロ以外のすべてのx座標に極限を持ちます (極限は、負のxの場合は 1、正のxの場合は 2 です)。 x = 0での極限は存在しません (左側の極限は 1 ですが、右側の極限は 2 です)。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$$

関数 と 関数は両方ともx = 0 で極限を持ち、0 に等しくなります。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

この関数は 、 nが任意の整数である形式の任意のx座標 で極限を持ちます。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}$

が定義される関数であるとする。xが無限大に近づくときのfの極限はLであり、 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

意味:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

同様に、x が負の無限大に近づくときのfの極限はLであり、

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

意味:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

たとえば、 すべてのε > 0 に対してc = 3/ εとすることができるので、すべての実数xに対して、x > cであれば| f ( x ) − 4 | < εとなります。 $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$

もう1つの例としては 、すべてのε > 0 に対してc = max{1, −ln( ε )}をとることができるので、すべての実数xに対して、 x < − cであれば| f ( x ) − 0 | < εとなるということです。 $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$

値が無制限に増加する関数の場合、関数は発散し、通常の極限は存在しません。ただし、この場合は、無限の値を持つ極限を導入することができます。

が定義される関数であるとすると、 xがpに近づくにつれてfの極限は無限大となり、 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

意味:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

xがpに近づくにつれてfの極限は負の無限大になるという文は、

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

意味:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

たとえば、 任意のN > 0 に対して、すべての実数x > 0に対して、0 < x − 1 < δであればf ( x ) > Nとなるようにすることができます。 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

これらのアイデアを組み合わせて、次のようなさまざまな組み合わせの定義を作成できます。

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$または${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

たとえば、 すべてのN > 0 に対してδ = e ^{− N}をとることができるので、すべての実数x > 0に対して、0 < x − 0 < δであれば、f ( x ) < − Nとなります。 $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$

無限を含む極限は漸近線の概念と関連しています。

これらの極限の概念は、無限遠における極限に計量空間の解釈を与えようとするものである。実際、それらは位相空間における極限の定義と矛盾しない。

• −∞の近傍は、ある⁠ ⁠に対して区間 [−∞, c )を含むと定義される。${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• ∞の近傍は区間( c , ∞]を含むと定義され、ここで⁠ ⁠${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$および
• ⁠ ⁠${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$の近傍は通常の方法で距離空間で定義されます⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$

この場合、⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$は位相空間であり、の形式の任意の関数は極限の位相的定義の対象となります。この位相的定義により、上で計量的な意味で定義されていない有限点における無限極限を簡単に定義できることに留意してください。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$

多くの著者^[12]は、射影的に拡張された実数直線を、拡張された実数直線だけでなく無限大の値を含める方法として使用できるとしています。この表記法では、拡張された実数直線は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$と表され、射影的に拡張された実数直線は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$で表されます。ここで、∞ の近傍は、形式の集合です。 利点は、すべてのケースをカバーするのに、極限の定義が 3 つ (左、右、中央) だけ必要なことです。上で示したように、完全に厳密な説明のためには、無限大の組み合わせごとに 15 の個別のケースを考慮する必要があります (5 つの方向: −∞、左、中央、右、+∞、3 つの境界: −∞、有限、または +∞)。また、注目すべき落とし穴もあります。たとえば、拡張された実数直線を使用する場合、 には中心極限がありません (これは正常です)。 ${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$${\displaystyle x^{-1}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

対照的に、射影実数直線を扱う場合、無限大（0 と同様）は符号なしなので、そのコンテキストでは中心極限が存在し ます。

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

実際には、矛盾する形式システムが多数使用されています。たとえば、数値微分および積分の特定のアプリケーションでは、符号付きゼロがあると便利です。単純な理由は、 の逆、つまり が真であると見なすことに関係しています。このようなゼロは、無限小の近似値として考えることができます。 ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

有理関数 （pとqは多項式） の無限大における限界を評価するための基本的な規則が 3 つあります。${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$

• pの次数がqの次数より大きい場合、極限は主係数の符号に応じて正または負の無限大になります。
• pとqの次数が等しい場合、極限はpの最高係数をqの最高係数で割った値になります。
• pの次数がqの次数より小さい場合、極限は 0 になります。

無限遠の極限が存在する場合、それはy = Lにおける水平漸近線を表します。多項式には水平漸近線はありませんが、有理関数ではそのような漸近線が発生することがあります。

| x − p | が距離を表すことに注意することで、極限の定義を1つ以上の変数の関数に拡張することができます。で定義された関数の場合、極限を次のように定義しました。( x , y )が( p , q )に近づくときのfの極限はLで、次のように書かれます。 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

任意のε > 0に対して、 δ > 0が存在し、 Sの任意のxとTの任意のyに対して、| f ( x , y ) − L | < εが成り立つときはいつでも、^[13]${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$

または正式には: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

ここで、( x , y )と( p , q )間のユークリッド距離を示します。 (これは実際には任意のノルム| | ( x , y ) − ( p , q ) | |に置き換えることができ、任意の数の変数に拡張できます。) ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

たとえば、 任意のε > 0 に対して、任意の実数x ≠ 0および実数y ≠ 0に対して、| f ( x , y ) − 0 | < εとなるような値を取ることができると言えます。 $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

単一変数の場合と同様に、この極限の定義では、 ( p、q )におけるfの値は重要ではありません。

このような多変数極限が存在するためには、この定義では、 fの値が( p、q )に近づくすべての可能な経路に沿ってL に近づくことが必要である。^[14]上記の例では、関数は この条件を満たしている。これは、次式 を与える 極座標 を考えるとわかる。 ここで、θ = θ ( r )は、 fが( p、q )に近づく経路の形状を制御するrの関数である。cos θは [−1, 1] の間で制限されるため、サンドイッチ定理により、この極限は 0 に近づく。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$$${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$

対照的に、関数は (0, 0) に極限を持たない。経路( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0)をとると、次が得られる。 経路( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0)をとると、次が得られる。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

2つの値が一致しないため、( x , y )が(0, 0)に近づくにつれて、 f は単一の値にはなりません。

あまり一般的ではありませんが、多変数関数には多重極限と呼ばれる別の種類の極限があります。2変数関数の場合、これは二重極限です。^[15]が で定義されているとすると、 xがpに近づき、yがqに近づくときのfの二重極限はLで、次のように書かれます 。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

このような二重極限が存在するためには、この定義では、x = pとy = qの2 つの直線を除いて、( p , q )に近づくすべての可能な経路に沿ってfの値が L に近づくことが必要です。結果として、多重極限は通常の極限よりも弱い概念です。つまり、通常の極限が存在してL に等しい場合、多重極限も存在してL に等しくなります。逆は真ではありません。多重極限の存在は、通常の極限の存在を意味しません。 が 存在 しない例を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$

fの定義域が制限されている場合、2つの極限の定義は一致する。^[15]${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$

多重極限の概念は、一変数関数のそれと似た方法で、無限大の極限まで拡張することができます。fのxとyが無限大に近づくときの二重極限はLで、次のように書かれます。 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

xとyが負の無限大に近づくときのfの二重極限はLで、次の ように表される。$${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

とします。 ( x , y ) → ( p , q )の極限をとる代わりに、 x → pのように 1 変数だけの極限をとって、yの 1 変数関数、すなわちを得ることを考えてみましょう。実際、この極限処理は 2 つの異なる方法で行うことができます。最初の方法は点ごとの極限と呼ばれます。x がp に近づくときのfの点ごとの極限はgであり、 またはと 表記されます。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

あるいは、 x がpに近づくにつれて、 f は点ごとにgに近づくとも言えます。これは、または $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε , y )はεとyの両方の関数です。各δは、 yの特定の点に対して選択されます。したがって、極限はyの点単位であると言えます。たとえば、 は定数ゼロ関数の点単位の極限を持ちます 。これは、すべての固定されたy に対して、極限が明らかに 0 であるためです。この議論は、 yが固定されていない場合は成立しません。つまり、y がπ /2に非常に近い場合、分数の値が 0 から外れる場合があります。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$

これにより、極限の別の定義、すなわち一様極限が導かれます。x がp に近づくときのT上のfの一様極限はgであり、 または $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

あるいは、 x がpに 近づくにつれて、f はT上で一様にgに近づくとも言える。 これは、$${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε )はεのみの関数であり、 y の関数ではありません。言い換えると、δ はT内のすべてのyに一様に適用可能です。したがって、極限はyにおいて一様であると言えます。たとえば、 すべての実数yに対して、cos y は[−1, 1]の範囲にある ため、 は定数ゼロ関数の一様極限を持ちます 。したがって、 y がどのように動作しても、サンドイッチ定理を使用して極限が 0 であることを示す ことができます。$${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$

1つの変数、つまりx → pの極限をとってyの1変数関数、つまり を得て、次にもう1つの変数、つまりy → qの極限をとって数Lを得ることを考えてみましょう。記号的に言えば、 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

この極限は多変数関数の反復極限として知られている。 ^[17]極限をとる順序は結果に影響を与える可能性がある。

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$一般的に。

等式の十分条件はムーア・オスグッド定理によって与えられ、この定理はT上で極限が均一であることを要求する。^[18]${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$

MとN がそれぞれ距離空間 AとBの部分集合であるとし、f ​​ : M → NがMとNの間で定義され、x ∈ M、p がMの極限点、L ∈ Nであるとする。 x がp に近づくときのfの極限はLであり、 次のように書くことができる。

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$$

次の特性が成り立つ場合:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}$$

もう一度、p がfの定義域内にある必要はなく、 L がfの範囲内にある必要はなく、 f ( p )が定義されている場合でもLと等しい必要はないことに注意してください。

ユークリッド空間における極限は、ベクトル値関数の極限を直接一般化したものです。たとえば、 となる関数を考えてみましょう。すると 、通常のユークリッド計量のもとで、 次が成り立つとします。 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

この例では、関係する関数は有限次元のベクトル値関数である。この場合、ベクトル値関数の極限定理は、各成分の極限が存在する場合、ベクトル値関数の極限は各成分を極限から取ったベクトルに等しいと述べている。^[20] $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

ユークリッド空間以外の空間も考えたいかもしれません。例としては、マンハッタン空間があります。 となる空間を考えます。すると 、マンハッタン計量のもとで、 次が成り立つとします。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

これも有限次元ベクトル値関数なので、上記の極限定理も適用される。^[21]

最後に、無限次元の関数空間における極限について議論します。関数空間における関数f ( x , y )を考えます。 x がpに近づくにつれて、f ( x , y ) が関数空間にある別の関数g ( y )に近づく様子を知りたいと思います。この関数空間における「近さ」は、一様計量で測定できます。^[22]次に、x がpに近づくにつれて、T上のfの一様極限はgであるとし、 またはと 書きます。${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

次の条件が満たされる場合:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

実際、この定義は、前のセクションで紹介した多変数関数の一様極限の定義と同等であることがわかります。

XとY が位相空間で、 Y がハウスドルフ空間であるとする。p をΩ ⊆ Xの極限点、L ∈ Yとする。関数f  : Ω → Yに対して、 x がp に近づくときのfの極限はLであり、 次のように書かれる。

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

次の特性が成り立つ場合:

定義の最後の部分は、「f ( U ∩ Ω) ⊆ Vとなるようなpの開いた穴あき近傍 U が存在する」と表現することもできます。

fの定義域はp を含む必要はありません。もし含むなら、pにおけるfの値は極限の定義とは無関係です。特に、fの定義域がX − { p } (またはX全体) であれば、 x → pとしてのfの極限が存在し、それがLに等しいのは、極限点pを持つXのすべての部分集合Ωに対して、 fのΩへの制限の極限が存在し、それがLに等しい場合です。この基準は、片側極限が存在しない、または一致しないことを示すことによって、⁠ ⁠上の関数の両側極限が存在しないことを証明するために使用されることがあります。このような見方は一般位相幾何学の分野では基本的なもので、そこでは、ある点における極限と連続性が、フィルタと呼ばれる部分集合の特別な族、またはネットと呼ばれる一般化されたシーケンスによって定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

あるいは、 Y がハウスドルフ空間であるという要件を、Y が一般位相空間であるという仮定に緩和することもできますが、その場合、関数の極限は一意ではなくなる可能性があります。特に、ある点における関数の極限について話すことはできなくなり、ある点における極限または極限の集合について話すことになります。

関数がその定義域の極限点pで連続であるためには、 x がpに近づくとき、f ( p )がf ( x )の(または一般には)極限となる必要がある。

関数の極限には、別の種類として、逐次極限があります。f  : X → Y を位相空間Xからハウスドルフ空間Yへの写像とし、p ∈ X をXの極限点、L ∈ Yとします。 x がpに向かうときのfの逐次極限は、次の場合 Lとなります。

X − { p }内のpに収束するすべてのシーケンス（x _n）に対して、シーケンスf（x _n）はLに収束します。

L が、 x がp に近づくときのfの極限 (上記の意味で) である場合、それは順次極限でもありますが、その逆は一般には成立しません。さらにX が距離化可能である場合、L が、 x がp に近づくときのfの順次極限となるのは、それが、 x がp に近づくときのfの極限 (上記の意味で) である場合に限ります。

実数直線上の関数の場合、関数の極限を定義する 1 つの方法は、数列の極限を使用することです。(この定義は通常、Eduard Heineによるものとされています。) この設定では 、すべての数列x _n (すべてのnについてx _{n は}aに等しくない) がaに収束する場合、かつその場合に限り、数列f ( x _n ) はLに収束します。1916 年にSierpińskiによって、この定義と上記の定義の同値性を証明するには が必要であり、これは選択公理の弱い形式と同等であることが示されました。数列x _{n が}aに収束するという意味を定義するには、イプシロン デルタ法 が必要であることに注意してください。 $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

ワイエルシュトラスの定義の場合と同様に、より一般的なハイネの定義は、実数直線の部分集合上で定義された関数に適用されます。 f を、定義域Dm ( f )を持つ実数値関数とします。a をDm ( f ) \ { a }の要素のシーケンスの極限とします。すると、 f の極限 (この意味で)は、 x がp に近づくにつれてLとなり 、つまり、 a に収束するすべてのシーケンスx n ∈ Dm ( f ) \ { a } (したがって、すべての n について、 x n は aに_等しくない)に対して、シーケンスf ( x n )が_Lに収束する場合となります_。これは、⁠ ⁠の部分集合Dm ( f )を誘導計量を持つ計量空間と見なすことによって得られる、前のセクションのシーケンシャル極限の定義と同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

非標準微積分学では、関数の極限は次のように定義されます。 x − aが無限小であるときは いつでも、すべてに対して が無限小である場合に限ります。ここに超実数があり、f* はfの非標準実数への自然な拡張です。 Keisler は、このような超実数による極限の定義により、量指定子の複雑さが 2 つ減少することを証明しました。^[23]一方、Hrbacek は、定義がすべての超実数に対して有効であるためには、暗黙的に ε-δ 法に基づいていなければならないと述べ、教育的観点から、非標準微積分学が ε-δ 法なしで実行できるという希望は完全には実現できないと主張しています。^[24] Bŀaszczyk らは、一様連続性の明確な定義を開発する上での微小連続性の有用性を詳細に説明し、Hrbacek の批判を「疑わしい嘆き」と特徴づけています。^[25]$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$ ${\displaystyle f^{*}(x)-L}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$

1908 年の国際数学会議で、F. リースは「近接性」という概念で極限と連続性を定義する別の方法を導入しました。^[26]点xが集合の近くにあるとは、任意のr > 0に対して点a ∈ Aが存在し、 | x − a | < rとなる場合と定義されます。この設定では、 すべてのL に対してa がA の近くにあるときはいつでも、f ( A ) が近くにあることが必要です。ここでf ( A )は集合です。 この定義は、計量空間や位相空間にも拡張できます。 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}$

関数の極限の概念は、連続性の概念と非常に密接に関連しています。関数fがcで連続であるとは、関数 f がcで定義され、かつ、関数 f のcでの値がx がc に近づくときのfの極限に等しい場合を指します。

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$ここではc がfの定義域の極限点である と仮定しています。

関数fが実数値の場合、 pにおけるfの極限がLとなるのは、 pにおけるfの右手極限と左手極限の両方が存在し、かつそれらがLに等しい場合に限られる。^[27]

関数f がpで連続であるためには、 x がp に近づくにつれてf ( x )の極限が存在し、それがf ( p )に等しいことが必要である。f  : M → Nが距離空間MとN の間の関数である場合、 f がpに収束するM内のすべてのシーケンスを、 f ( p )に収束するNのシーケンスに変換することと同値である。

N がノルムベクトル空間である場合、極限演算は次の意味で線形です。つまり、x がp に近づくときのf ( x )の極限がLであり、 x がp に近づくときのg ( x )の極限がPである場合、x がp に近づくときのf ( x ) + g( x )の極限はL + Pです。 a が基底体からのスカラーである場合、 x がp に近づくときのaf ( x )の極限はaLです。

fとg が実数値（または複素数値）関数である場合、特定の条件下でのf ( x )とg ( x )の演算（例：f + g、f − g、f × g、f / g、f ^{g ）の極限を取ることは、} f ( x )とg ( x )の極限の演算と互換性があります。この事実は、しばしば代数的極限定理と呼ばれます。以下の規則を適用するために必要な主な条件は、方程式の右辺の極限が存在することです（言い換えると、これらの極限は 0 を含む有限値です）。さらに、除算の恒等式では、右辺の分母がゼロ以外である必要があり（0 による除算は定義されていません）、累乗の恒等式では、底が正であるか、指数が正（有限）である間はゼロである必要があります。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}$$

これらの規則は、 pが ∞ または −∞の場合も含め、片側極限にも有効です。上記の各規則では、右側の極限の 1 つが ∞ または −∞ の場合でも、左側の極限が次の規則によって決定されることがあります。

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}$$

（拡張実数直線も参照）。

他の場合には、左辺の極限は依然として存在するが、右辺は不定形式と呼ばれ、結果を決定することができない。これは関数fとgに依存する。これらの不定形式は以下のとおりである。

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}$$

詳細については、下記の L'Hôpital の規則と不確定形式を参照してください。

一般に、およびを知っているからといって、次のことが当てはまるわけではありません。 ただし、この「チェーンルール」は、次の追加条件のいずれかが満たされる場合に当てはまります。 ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}$

• f ( b ) = c（つまり、 f はbで連続である ）、または
• g はa の近くでは 値bを取らない （つまり、δ > 0が存在し、 0 < | x − a | < δであれば| g ( x ) − b | > 0となる）。

この現象の例として、両方の追加制限に違反する次の関数を考えてみましょう。

$${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

f (0)における値は除去可能な不連続点であるため、 すべてのaに対して となります。したがって、単純な連鎖律によれば、 f ( f ( x ))の極限は0 になります。しかし、すべてのaに対してとなり 、また となり ます。 $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$$$${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$$

nは非負の整数および定数であり、${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$$

これは、分子と分母の両方をx ⁿで割ることで証明できます。分子が高次多項式の場合、極限は存在しません。分母が高次の場合、極限は 0 です。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}$$

この規則は、導関数を使用して不定形式 0/0または±∞/∞の極限を見つけ、そのような場合にのみ適用されます。他の不定形式は、この形式に操作できます。目的の極限点cを含む開区間I上で定義された2 つの関数f ( x )とg ( x )がある場合、次のようになります。

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ またはおよび${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle f}$およびは微分可能であり、${\displaystyle g}$${\displaystyle I\setminus \{c\},}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$すべての人のために${\displaystyle x\in I\setminus \{c\},}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ 存在する、

それから： $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$$

通常、最初の条件が最も重要です。

例えば： ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

合計または積分に無限の境界を指定することは、制限を指定するための一般的な省略形です。

極限を簡単に書くと、このような和の極限の重要な例は級数 です。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}$

限界を簡潔に書くと${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

限界を簡潔に書くと${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

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• MacTutor ボルツァーノの歴史
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