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四元数協会は、「四元数および関連する数学体系の研究を促進するための国際協会」と自称する科学団体でした。最盛期には、四元数やその他の超複素数体系の研究を行う、学術界全体に散らばる約60人の数学者で構成されていました。この団体の指導者はアレクサンダー・マクファーレンで、当初は事務局長を務め、1909年に会長に就任しました。協会は1904年に文献目録を、 1900年から1913年まで会報（年次報告書）を発行しました。
この紀要は、ベクトル解析や等価理論などの抽象代数学の分野におけるレビュー誌となった。当時、これらの手法は急速に発展していたため、レビューされた数学的研究は主に行列と線形代数に関するものであった。
1895年、オランダのハーグのP.モレンブルック教授とイェール大学で学んでいた木村新吉は、広く流通している学術誌であるNature [ 1 ] 、Science [ 2 ]、およびBulletin of the American Mathematical Society [ 3 ] で、学者たちに協会の設立を呼びかけた。ジュゼッペ・ペアノも、自身のRivista di Matematicaで協会の設立を発表した。
協会設立の呼びかけは、1896年にマクファーレンによって奨励された。
1897年、英国科学振興協会はトロントで会合を開き、ベクター製品について議論した。
また同年、L. van Elfrinkhof は4 次元ユークリッド空間における回転について記述した。[ 6 ]
1899年のAMS会報で、各国事務局長制度が発表された。オーストララシア担当はアレクサンダー・マコーレー、ドイツ担当はヴィクター・シュレーゲル、イギリスとアイルランド担当はジョリー、イタリア担当はジュゼッペ・ペアノ、日本担当は木村、ロシア担当はアレクサンドル・コテルニコフ、スイス担当はF・クラフト、アメリカ合衆国担当はアーサー・スタッフォード・ハサウェイであった。フランス担当の事務局長は、土木局の技師で、 『Methode des Quaterniones』（1881年）の著者シャルル＝アンジュ・ライザンと共同で四元数の研究を行ったポール・ジャンティであった。
Victor Schlegel は、Monatshefte für Mathematikの新しい機関について報告しました[ 7 ]。
1899年に協会が設立された際、ピーター・ガスリー・テイトが会長に選出されたが、健康上の理由で辞退した。
初代会長はロバート・スタウェル・ボールで、アレクサンダー・マクファーレンが書記兼会計を務めた。1905年、チャールズ・ジャスパー・ジョリーが会長に、L・ファン・エルフリンクホフが会計に就任し、マクファーレンは書記にとどまった。1909年、マクファーレンが会長に、ジェームズ・バーニー・ショーが書記に就任し、ファン・エルフリンクホフは会計にとどまった。翌年、マクファーレンとショーはそれぞれの役職にとどまり、マクファーレンは会計も兼任するようになった。1913年、マクファーレンは会報の発行をほぼ終えた後に亡くなったが、ショーが発行を完了させ、協会を解散させた。
規則では、大統領には拒否権があると定められている。
四元数と関連数学体系の研究を促進する協会の会報は、アレクサンダー・マクファーレンの編集の下で9回発行されました。各号には、協会の役員、理事会、規則、会員、および会計担当者からの財務報告が記載されています。今日、 HathiTrustは、主に歴史的関心のあるこれらの出版物へのアクセスを提供しています。 [ 8 ] [ 9 ]
1904年に四元数の発祥地であるダブリンで出版された86ページの『四元数と関連数学体系の参考文献集』 [ 10 ]には、約1000件の参考文献が掲載されている。この出版物は専門的な基準を確立した。例えば、ジョリーの『四元数マニュアル』（1905年）には、マクファーレンの引用以外に参考文献は掲載されていない。さらに、1967年にマイケル・J・クロウが『ベクトル解析の歴史』を出版した際、序文（9ページ）で次のように書いている 。
毎年、協会会員にとって興味深い論文や書籍が数多く出版されたため、会報に補足資料を掲載して参考文献リストを更新する必要が生じた。補足資料に掲載された項目を分類するために用いられたカテゴリーは、協会の重点分野の変化を物語っている。
1913年にマクファーレンが亡くなり、ダーク・ストライクが語ったところによると、協会は「第一次世界大戦の犠牲となった」。[ 11 ]
生き残った将校のジェームズ・バーニー・ショーは、アメリカの数学出版物に50冊の書評を寄稿した。[ 12 ] Bulletin誌 の最後の論文レビューは、JBショーによる「4次元空間のウィルソンとルイスの代数」であった。彼は次のように要約している。
レビューされた記事は「相対性理論の時空多様体、力学の非ユークリッド幾何学、および電磁気学」でした。[ 13 ]しかし、1914年にルドヴィク・シルベルシュタインの 教科書『相対性理論』がミンコフスキー空間の英語での理解として出版されたとき、双四元数の代数が応用されましたが、イギリスの背景やマクファーレン、または協会の他の四元数論者への言及はありませんでした。四元数の言語は国際的なものとなり、集合論の内容と拡張された数学的記法を提供し、数理物理学を表現しました。