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数学教育において、民族数学とは、数学と文化の関係を研究する学問である。[ 1 ]しばしば「文字を持たない文化」と関連付けられるが、[ 2 ]また「特定可能な文化集団の間で実践されている数学」と定義することもできる。[ 3 ]民族数学は、独自の数値体系や数学体系から多文化的な数学教育に至るまで、幅広い概念群を指す。民族数学の目標は、文化の理解と数学の理解の両方に貢献し、主に両者のつながりを認識させることである。
「エスノマセマティクス」という用語は、ブラジルの教育者で数学者のウビラタン・ダンブロジオが1977年にアメリカ科学振興協会での発表の中で提唱した。ダンブロジオがこの用語を提唱して以来、その正確な定義については議論が続いている。[ 4 ]
以下は、1985年から2006年の間に提案された民族数学の定義の例です。
過去および現在の文化における数の表現方法の中には、よく知られているものがあります。ローマ数字は、数千までの数字を表すために少数のアルファベットを使用しますが、任意の大きな数を表すようには設計されておらず、正の整数しか表現できません。アラビア数字は、インドで生まれ、中世イスラム文明を経てヨーロッパに伝わり、現在では世界文化の標準となっている一連の数字体系であり、時代や地域によって多くの興味深い変化を遂げてきましたが、任意の大きな数を表すことができ、負の数、分数、実数にも適用されています。
あまり知られていないシステムの中には、現在でも書かれ、読むことができるものもある。例えば、ヘブライ語やギリシャ語では、アルファベットの文字を順番に使い、1～9の数字、10～90の数字、100～900の数字を表す。
全く異なるシステムとして、結び目のついた紐に数字を記録するキープというものがある。
民族数学者は、記数法がどのように発展してきたか、またそれらの類似点と相違点、そしてその理由に関心を寄せている。特に、数の表現方法の多様性は非常に興味深い。
これは、数詞がどのように形成されるかということを意味します。[ 16 ] [ 17 ]
例えば、英語には4つの異なる数体系があります。1から9までの単位語と10は特別なものです。次の2つは、アングロサクソン語の「1つ余った数」と「2つ余った数」（つまり、10まで数えた後）の短縮形です。「twenty」から「ninety」までの10の倍数は、1から9までの単位語から単一のパターンで形成されます。13から19までは、10と1の位の語から1つの方法で合成され、21から99までの10の倍数でない数は、10と1の位の語から別の方法で合成されます。より大きな数も、10とその累乗（「hundred」と「thousand 」）に基づいて形成されます。これは、指で数えるという古代の伝統に基づいていると推測できます。20と12による古代の数え方の名残として、「 score」、「dozen」、「gross」という言葉があります。 （「 million 」のような大きな数字を表す単語は、本来の英語の体系には含まれておらず、最終的にはラテン語を基にした学術的な創作物です。）「 billion 」という用語の使い方は、アメリカ英語とイギリス英語の間で歴史的に矛盾がありました。しかし、これらの矛盾は解消され、現代の英語話者は1,000,000,000を「one billion」と表現するのが一般的です。
ドイツ語とオランダ語は英語と同様に数を数えますが、20を超える数では1の位が10の位の前に置かれます。例えば、「26」は「sechsundzwanzig」で、文字通り「26と20」です。このシステムはかつて英語で一般的で、英語の童謡「Sing a Song of Sixpence」に見られる例です。「6ペンスの歌を歌おう、/ ポケットいっぱいのライ麦。/ 24羽のクロウタドリ、/ パイに焼かれて」。このシステムは「 One and Twenty 」などの子供の歌にも残っています。
フランスで使われているフランス語では、いくつかの違いが見られます。soixante -dix（文字通り「60-10」）は「70」を表します。「quatre-vingt」（文字通り「4-20」、つまり80）と「quatre-vingt-dix」（文字通り「4-20-10」、つまり90）は、10ではなく20（「vingt」）に基づいています。スイスフランス語とベルギーフランス語ではこれらの形式は使用されず、より標準的なラテン語由来の形式が好まれます。70はseptante、 80はhuitante（以前はoctante）（スイスフランス語のみ）、90はnonanteです。 [ 18 ] [ 19 ]
ウェールズ語の数え方は、20進法（20ずつ数える）とその他の特徴を組み合わせたものです。現在では基数には以下のシステムが任意ですが、序数には必須です。
中国語の数字は、「1」から「9」までの数字と、10の累乗を表す数字を組み合わせて作られます。
例えば、英語で「twelve thousand three hundred forty five」と書くと、「一万二千三百四十五」（簡体字）／「一萬二千三百四十五」（繁体字）となり、漢字では「一万二千三百四十五」と訳されます。
西アフリカの多くの言語では、一般的に数字の単語は5と20の組み合わせに基づいており、これは手全体、または指とつま先の両方を含む完全な指のセットを思い浮かべることから派生しています。実際、一部の言語では、5と20を表す単語はこれらの身体部位を指しています。20未満の数字を表す単語は5に基づいており、20より大きい数字は小さい数字と20の倍数やべき乗を組み合わせています。[ 20 ]
指で数える方法は、これまでも、そして今も、世界のさまざまな地域で使われています。そのほとんどは、指を何本か立てるほど分かりやすいものではありません。指の位置が最も重要かもしれません。[ 21 ]指で数える方法の継続的な用途の1つは、異なる言語を話す人々が市場で価格を伝えることです。
指で数えるのとは対照的に、ユキ族（北カリフォルニアの先住民）は指そのものではなく、指と指の間の4つのスペースを使って数を数えます。[ 22 ]これは8進法（基数8）として知られています。
この民族数学の分野は、今日知られ使用されている価値ある数学のほとんどが西洋世界で開発されたという一般的な考えに反論することで、ヨーロッパ中心主義に対処することを主な目的としている。
この分野は「数学の歴史は過度に単純化されてきた」と強調し、 人類の歴史を通して様々な時代や文明における数学の出現を探求することを目指している。
ダンブロージオの1980年の数学の進化に関するレビュー、1985年の数学史に民族数学を含めるよう求める訴え、そして2002年の非西洋数学の歴史記述的アプローチに関する論文は、優れた例である。さらに、フランケンシュタインとパウエルの1989年の非ヨーロッパ中心主義的な観点からの数学の再定義の試み、そしてアンダーソンの1990年の世界数学の概念は、この分野への大きな貢献である。古代日本[ 23 ]、イラク[24]、エジプト[ 25 ] 、イスラム[ 26 ]、ヘブライ[ 27 ]、インカ[ 28 ]文明の数学など、非ヨーロッパ文明の数学的発展の歴史に関する詳細な調査も発表されている。
数学の文化的性質に関する議論の核心は、最終的には数学そのものの性質の検討へと行き着く。この分野で最も古く、最も議論の的となっているテーマの一つは、数学が内在的なものか外在的なものかという問題であり、これは外在主義者であるプラトンと内在主義者であるアリストテレスの議論にまで遡る。一方では、ビショップ、スティグラー、バラネスといった内在主義者は、数学は文化の産物であると考えている。他方では、バロウ、シュヴァラール、ペンローズといった外在主義者は、数学は文化とは無関係であると考え、民族数学の主要な批判者となる傾向がある。数学の性質に関する論争に伴い、民族数学の性質、そして民族数学が数学の一部であるか否かという問題も生じる。民族数学と哲学に関する研究の中核を担ってきたバートンは、「民族数学は数学の前身、並行する知識体系、あるいは植民地化以前の知識体系なのか」、また西洋の認識論的基盤に基づいてあらゆる種類の数学を特定することがそもそも可能なのか、と問いかけている。[ 29 ]
この分野への貢献は、数学が社会の非学術分野にどのように影響を与えてきたかを明らかにしようとするものである。民族数学の最も物議を醸し、挑発的な政治的要素の1つは、その人種的含意である。民族数学者は、「ethno」という接頭辞は人種に関連するものではなく、むしろ人々の集団の文化的伝統に関連するものとして捉えるべきだと主張する。[ 30 ]しかし、南アフリカのような場所では、文化、民族性、人種の概念は絡み合っているだけでなく、強い分裂的な否定的な意味合いを帯びている。したがって、民族数学が「人種差別主義の教義」ではないと明言されていても、人種差別と結びつけられる危険性がある。
この分野のもう一つの重要な側面は、ジェンダーと数学の関係性に関するものです。これには、教育やキャリア形成における男女間の数学能力の差、社会的な要因、数学の研究開発における女性の貢献などが含まれます。
パウルス・ゲルデスがモザンビークと南アフリカの学校教育制度における数学の活用法について書いた著作や、ダンブロージオが1990年に論じた、民主的で公正な社会の構築における数学の役割に関する考察は、数学が社会のアイデンティティ形成に与える影響を示す好例である。ビショップもまた1990年に、西洋数学の強力かつ支配的な影響力について論じている。数学の政治的影響に関するより具体的な例としては、クニジクが1993年に発表した、ブラジルのサトウキビ農家が数学の知識によって政治的・経済的にいかに武装できるかを考察した研究や、オズモンドが2000年に発表した、雇用主が数学に抱く価値についての分析などが挙げられる。
この分野の焦点は、これまで形式的な学術数学の議論から一般的に排除されてきた人々の数学的思想を紹介することにある。これらの文化の数学の研究は、やや矛盾する2つの見解を示している。1つ目は、数学の客観性を支持し、数学は構築されたものではなく発見されたものであると主張する見解である。研究によると、すべての文化には基本的な計数、分類、解読の方法があり、これらは世界各地で独立して発生してきた。このことから、これらの数学的概念は創造されたものではなく発見されたものであると主張することができる。しかし、数学の有用性こそが、その文化的構築物を覆い隠す傾向があると強調する意見もある。当然ながら、数や計数といった極めて実用的な概念がすべての文化で発生してきたことは驚くべきことではない。しかし、計数、順序付け、分類、測定、計量といった、典型的には数学的な行為が根本的に異なる方法で行われていることが研究によって明らかになるにつれ、これらの概念の普遍性を維持することは難しくなってきている（第2.1節：数字と命名システムを参照）。
この分野の研究者が直面する課題の一つは、彼ら自身が持つ数学的・文化的枠組みに制約されているという点である。他文化の数学的概念に関する議論では、それらを西洋の枠組みに当てはめることで、その概念を特定し理解しようとする。しかし、これによって、西洋の数学的概念に類似するものが存在しないという理由だけで、どれだけの数の数学的概念が見過ごされているのか、また、数学的概念と非数学的概念をどのように区別するのか、という疑問が生じる。
この分野の研究の大部分は、オーストラリア先住民[ 31 ]、リベリア先住民[32] 、北米先住民[ 33 ]、太平洋諸島民[ 34 ] 、ブラジルの建設現場監督[ 35 ] 、アフリカのさまざまな部族[ 36 ] [ 37 ]など、小規模で伝統的な先住民文化の直感的な数学的思考に関するものでした。
数学的に分析可能なゲームは、世界中で、そして歴史を通じて実に多種多様にプレイされてきた。民族数学者の関心は通常、ゲームが日常社会の一部として非公式な数学的思考をどのように表現しているかという点に集中するが、時にはゲームの数学的分析にまで及ぶこともある。それは優れたプレイの綿密な分析を含むものではないが、そのような分析の社会的側面や数学的側面を含む場合がある。
ヨーロッパ文化でよく知られている数学ゲームに、三目並べ（クロマキー）があります。これは3×3の正方形のマス目で遊ぶ幾何学ゲームで、同じ記号を3つ一直線に並べるのが目的です。イギリスをはじめ、ヨーロッパ各地には、これとよく似たゲームが数多く存在します。
もう一つの幾何学的なゲームは、特定の形状（「盤」）の中で、駒が互いに移動したり飛び越えたりするものです。駒の取り合いがある場合もあります。目標は相手の駒をすべて取り除くことであったり、単に特定の配置、例えばルールに従って駒を配置することであったりします。そのようなゲームの一つがナイン・メンズ・モリスです。このゲームには無数の派生ゲームがあり、盤や配置、動きは時に大きく異なる場合があります。この種のゲームは、土の上で石を使って屋外で遊ぶのに適していますが、現在では紙や木の盤上でプラスチックの駒を使うこともあります。
西アフリカで見られる数学ゲームの一つに、始点に戻って図形を閉じるまで線を引いてある図形を描くというものがあります（数学用語では、これはグラフ上のオイラー経路に相当します）。子供たちは棒を使って土や砂の上にこの図形を描きますが、もちろんペンと紙を使って遊ぶこともできます。
チェッカー、チェス、オワレ（およびその他のマンカラゲーム）、囲碁といったゲームも、民族数学の研究対象として捉えることができる。
数学が芸術に現れる一つの方法は、対称性を通してです。布やカーペット（例）の織り模様には、何らかの対称的な配置がよく見られます。長方形のカーペットは、全体の模様に長方形の対称性を持つことが多いです。織物には、17 種類の平面対称群のいずれかが現れることがあります。アフリカの織物模様の図解付き数学的研究については、Crowe (2004) を参照してください。民族数学コミュニティによって発見されたいくつかのタイプのパターンは、技術に関連しています。ユーラシアのパターンと対称性の図解付き数学的研究については、Berczi (2002) を参照してください。インドネシアの民俗織物模様[ 38 ]とバタク族の伝統的な建築装飾[ 39 ]の分析に続いて、インドネシアの伝統的なバティックのモチーフの幾何学は、 Hokky Situngkirによって分析され、最終的に生成芸術としてフラクタルバティックデザインという新しいジャンルが作られました。実装については、Situngkir と Surya (2007) を参照してください。
民族数学と数学教育は、まず文化的な価値観が教育、学習、カリキュラムにどのように影響するか、そして次に数学教育が文化の政治的・社会的ダイナミクスにどのように影響するかを扱います。多くの教育者が取る立場の一つは、生徒が共感できる文化に基づいた数学を教えることで、数学を学ぶ生徒の文化的背景を認識することが不可欠であるということです。文化的関連性や個人的な経験を通して数学を教えることは、学習者が現実、文化、社会、そして自分自身についてより深く理解するのに役立つでしょうか？（ロバート、2006年）
数学教育者が提案するもう一つのアプローチは、生徒にさまざまな文化的背景を持つ数学に触れさせることであり、これは多文化数学と呼ばれることが多い。これは、生徒の社会意識を高めるとともに、乗算などの従来の数学演算に対する代替的なアプローチ方法を提供するのに役立つ（Andrew、2005）。
さまざまな数学教育者が、教室で文化と数学を結びつける方法を探求してきました。例えば、ネイティブアメリカンの教育に関するBarberとEstrin（1995）とBradley（1984）、アフリカの芸術やゲームの使用に関する提案を行ったGerdes（1988bと2001）、アフリカ系アメリカ人の生徒に関するMalloy（1997）、ヒスパニック系の生徒のための指導戦略を開発したFlores（1997）などが挙げられます。
数学教育は多文化主義を促進するために民族数学を過度に重視し、中核となる数学の内容に費やす時間が少なすぎるため、疑似科学が教えられる結果になることが多いと批判する人もいる。リチャード・アスキーは[ 40 ] Focus on Algebra（マリアンヌ・M・ジェニングス[ 41 ]の論説で批判されたアディソン・ウェスリーの教科書）を調査し、他の欠点の中でも特に、ドゴン族の天文学に関する否定された主張を繰り返していることを指摘した。
さらに最近では、シアトル学区が提案したカリキュラム変更により、民族数学に対する批判が高まった。数学と民族研究を融合させる枠組みを含むこの変更案は、 「正しいことはどれほど重要なのか？」や「答えが正しいかどうかは誰が判断するのか？」といった疑問を取り入れているとして批判された[ 42 ]。