機能分析

関数解析は数学解析の分野であり、その中核は、何らかの極限関連構造（たとえば、内積、ノルム、または位相）を備えたベクトル空間と、これらの空間上で定義され、これらの構造を適切に尊重する線型関数の研究によって形成されます。関数解析の歴史的なルーツは、関数の空間の研究と、関数空間間の連続演算子またはユニタリ演算子を定義する変換としてのフーリエ変換などの関数の変換の特性の定式化にあります。この観点は、微分方程式と積分方程式の研究に特に有用であることがわかりました。

名詞としての「関数」という語の使用は変分法にまで遡り、引数が関数である関数を意味します。この用語は、1910年にアダマールがその主題について書いた本で初めて使用されました。しかし、関数の一般的な概念は、それ以前に1887年にイタリアの数学者で物理学者のヴィト・ヴォルテラによって導入されていました。^{[1] [2]}非線形関数の理論は、アダマールの弟子、特にフレシェとレヴィによって継承されました。アダマールはまた、リースとシュテファン・バナッハを中心としたポーランドの数学者のグループによってさらに発展した現代の線型関数解析学派の創始者でもあります。

関数解析に関する現代の入門書では、関数解析は位相を備えたベクトル空間、特に無限次元空間の研究であるとみなされている。^{[3] [4]}対照的に、線型代数は主に有限次元空間を扱い、位相は使用しない。関数解析の重要な部分は、測度、積分、確率の理論を無限次元空間に拡張することであり、無限次元解析としても知られている。

関数解析で研究される空間の基本的かつ歴史的に最初のクラスは、実数または複素数上の完全な ノルム付きベクトル空間です。このような空間はバナッハ空間と呼ばれます。重要な例は、ノルムが内積から生じるヒルベルト空間です。これらの空間は、量子力学の数学的定式化、機械学習、偏微分方程式、フーリエ解析など、多くの分野で根本的に重要です。

より一般的には、関数解析には、フレシェ空間やノルムを持たない 他の位相ベクトル空間の研究が含まれます。

関数解析における重要な研究対象は、バナッハ空間とヒルベルト空間上で定義される連続 線型作用素です。これらは、自然にC* 代数やその他の作用素代数の定義につながります。

ヒルベルト空間は完全に分類できる。すなわち、正規直交基底のすべての濃度に対して、同型を除いて 一意のヒルベルト空間が存在する。^[5]有限次元ヒルベルト空間は線型代数で完全に理解されており、無限次元の可分ヒルベルト空間は と同型である。応用において可分性が重要であるため、ヒルベルト空間の関数解析は結果的にこの空間を主に扱う。関数解析における未解決の問題の 1 つは、ヒルベルト空間上のすべての有界線型作用素に適切な不変部分空間が存在することを証明することである。この不変部分空間問題の多くの特殊なケースは既に証明されている。 ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$

一般のバナッハ空間はヒルベルト空間よりも複雑で、ヒルベルト空間のように単純に分類することはできません。特に、多くのバナッハ空間には正規直交基底に類似した概念が欠けています。

バナッハ空間の例としては、任意の実数 に対する-空間がある。また、集合 上の測度が与えられると、（または とも表記される）は、そのベクトルとして、絶対値の-乗が有限積分を持つ測定可能な関数の 同値類を持つ。つまり、${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{p}(X)}$${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$${\displaystyle L^{p}(\mu )}$${\displaystyle [\,f\,]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$$

が計数測度である場合、積分は和に置き換えられる。つまり、 ${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}}$$

この場合、同値類を扱う必要はなく、空間は と表され、が非負の整数の集合である場合は、より単純に と表記されます。 ${\displaystyle \ell^{p}(X)}$${\displaystyle \ell^{p}}$${\displaystyle X}$

バナッハ空間では、研究の大部分は双対空間に関係します。双対空間とは、空間からその基礎となる体、いわゆる関数へのすべての連続線型写像の空間です。バナッハ空間は、その双対空間の双対である、その双対空間の部分空間と標準的に同一視できます。対応する写像は等長写像ですが、一般には全射ではありません。一般のバナッハ空間とその双対写像は、有限次元の状況とは対照的に、等長的に同型である必要さえありません。これは、双対空間の記事で説明されています。

また、微分の概念はバナッハ空間間の任意の関数に拡張できます。たとえば、フレシェ微分の記事を参照してください。

^[6]

関数解析の 4 つの柱と呼ばれることもある 4 つの主要な定理があります。

• ハーン・バナッハの定理
• オープンマッピング定理
• 閉グラフ定理
• 一様有界性原理、バナッハ・シュタインハウスの定理としても知られる。

機能分析の重要な結果は次のとおりです。

一様有界性原理またはバナッハ・シュタインハウスの定理は、関数解析における基本的な結果の 1 つです。ハーン・バナッハの定理や開写像定理とともに、この分野の基礎の 1 つと考えられています。基本的な形式では、定義域がバナッハ空間である連続線型作用素(したがって有界作用素)の族に対して、点ごとの有界性は作用素ノルムの一様有界性と同等であると主張しています。

この定理は1927年にシュテファン・バナッハとヒューゴ・シュタインハウスによって初めて発表されましたが、ハンス・ハーンによっても独立に証明されました。

スペクトル定理として知られている定理は数多くありますが、特に関数解析において多くの応用がある定理が 1 つあります。

これが作用素理論と呼ばれる関数解析の広大な研究領域の始まりです。スペクトル測度も参照してください。

ヒルベルト空間上の有界正規作用素に対する類似のスペクトル定理もあります。結論の唯一の違いは、複素数値になる可能性があることです。 ${\displaystyle f}$

ハーン・バナッハの定理は、関数解析の中心的なツールです。この定理により、あるベクトル空間の部分空間上で定義された有界線形関数を空間全体に拡張することができ、また、あらゆるノルム付きベクトル空間上で定義された「十分な」連続線形関数が存在するため、双対空間の研究が「興味深い」ものになることを示しています。

開写像定理は、バナッハ・シャウダー定理（シュテファン・バナッハとユリウス・シャウダーにちなんで名付けられた）としても知られ、バナッハ空間間の連続線型作用素が射影的であれば開写像となるという基本的な結果である。より正確には、^[8]

証明ではベールのカテゴリ定理が使用され、 と の両方の完全性が定理の本質となります。 定理のステートメントは、どちらかの空間が単にノルム空間であると仮定した場合は正しくなくなりますが、と がフレシェ空間であるとみなされた場合は正しくなります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

関数解析で考慮される空間のほとんどは無限次元である。そのような空間のベクトル空間基底の存在を示すには、ツォルンの補題が必要になる場合がある。しかし、多少異なる概念であるシャウダー基底の方が、関数解析では通常より関連性が高い。多くの定理はハーン-バナッハの定理を必要とするが、これは通常選択公理を使用して証明されるが、厳密に弱いブール素イデアル定理でも十分である。多くの重要な定理を証明するために必要なベールのカテゴリ定理も、選択公理の形式を必要とする。

機能分析には次の傾向が含まれます。

• 抽象解析。位相群、位相環、位相ベクトル空間に基づく解析へのアプローチ。
• バナッハ空間の幾何学には多くのトピックが含まれています。1 つはジャン・ブルガンに関連する組み合わせ論的アプローチであり、もう 1 つはさまざまな形式の大数の法則が成り立つバナッハ空間の特徴付けです。
• 非可換幾何学。アラン・コヌによって開発され、ジョージ・マッキーのエルゴード理論へのアプローチなど、以前の概念を部分的に基盤としています。
• 量子力学との関連。数理物理学のように狭義に定義される場合もあれば、例えばイスラエル・ゲルファンドによってほとんどのタイプの表現理論を含むように広く解釈される場合もある。

• 関数解析トピックのリスト
• スペクトル理論

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• ニューヨーク大学の Yevgeny Vilensky による関数解析に関する講義ノート。
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