算術平均

数学と統計学において、算術平均（/ ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k / arr-ith- MET -ik）、算術平均、または単に平均値や平均（文脈が明らかな場合）は、一連の数値の合計をその集合内の数値の数で割ったものです。^[1]集合とは、多くの場合、実験、観察研究、または調査から得られた結果の集合です。数学や統計学の文脈によっては、「算術平均」という用語が好まれる場合もあります。これは、算術平均を幾何平均や調和平均などの他の種類の平均と区別するのに役立つためです。

算術平均は、数学や統計学だけでなく、経済学、人類学、歴史学など、ほぼすべての学問分野で多かれ少なかれ頻繁に使用されます。たとえば、一人当たり所得は、国の人口の算術平均所得です。

算術平均は中心傾向を報告するためによく使用されますが、ロバストな統計ではありません。外れ値(他のほとんどの値よりもはるかに大きいか小さい値)の影響を大きく受けます。少数の人々の収入がほとんどの人々の収入よりも大幅に高い所得分布などの歪んだ分布の場合、算術平均は「中央」の概念と一致しない可能性があります。その場合、中央値などのロバストな統計の方が中心傾向をより適切に説明できます。

観測データ セットの算術平均は、各観測の数値の合計を観測の総数で割った値に等しくなります。記号的に言えば、値 で構成されるデータ セットの場合、算術平均は次の式で定義されます。 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$^[2]

(合計演算子の説明については、合計を参照してください。)

たとえば、従業員の月給が の場合、算術平均は次のようになります。 ${\displaystyle 10}$${\displaystyle \{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}}$

${\displaystyle {\frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530}$

データ セットが統計的な母集団(つまり、可能性のあるすべての観測値で構成され、そのサブセットだけではない) である場合、その母集団の平均は母平均と呼ばれ、ギリシャ文字 で表されます。データ セットが統計的な標本(母集団のサブセット) である場合、それは標本平均と呼ばれます(データ セットの場合はと表されます)。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {X}}}$

算術平均は、スカラー値だけでなく、多次元のベクトルに対しても同様に定義できます。これは、重心と呼ばれることがよくあります。より一般的には、算術平均は凸結合（つまり、係数の合計が になる）であるため、ベクトル空間だけでなく 凸空間上で定義できます。${\displaystyle 1}$

算術平均には、特に中心傾向の尺度として興味深いいくつかの特性があります。これには次のものが含まれます。

• 数値の平均が であれば、 となります。は与えられた数値から平均までの距離なので、この特性を解釈する 1 つの方法は、平均の左側の数値が右側の数値と釣り合っていると言うことです。平均は、残差(推定値からの偏差) の合計がゼロになる唯一の数値です。これは、任意の実数 に対して という意味で、平均が並進不変であるとも解釈できます。${\displaystyle x_{1},\dotsc,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}$${\displaystyle x_{i}-{\bar {x}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {x+a}}={\bar {x}}+a}$
• 既知の数値の集合に対して単一の数値を「典型的な」値として使用する必要がある場合、数値の算術平均が最も適しています。これは、典型的な値、つまり の合計からの偏差の二乗和が最小になるためです。標本平均は、二乗平均平方根誤差が最も低いため、単一の予測子としても最適です。^[3]数値の母集団の算術平均が必要な場合、その不偏推定値は、母集団から抽出された標本の算術平均です。${\displaystyle x_{1},\dotsc,x_{n}}$${\displaystyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$

• 算術平均は、測定単位のスケールとは無関係です。つまり、たとえば、リットルの平均を計算してからガロンに変換することは、最初にガロンに変換してから平均を計算することと同じです。これは、一次同次性 とも呼ばれます。${\displaystyle {\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).}$

• サンプルの算術平均は、常にそのサンプル内の最大値と最小値の間になります。
• 任意の数の同じサイズの数値グループの算術平均は、各グループの算術平均の算術平均です。

算術平均は中央値と対比されることがあります。中央値は、値の半分以下がそれより大きく、半分以下がそれより小さいように定義されます。データ内の要素をある順序で配置したときに算術的に増加する場合、中央値と算術平均は等しくなります。たとえば、データ サンプル について考えます。平均はで、中央値も同様です。ただし、 のように算術的に増加するように配置できないサンプルについて考える場合、中央値と算術平均は大幅に異なる可能性があります。この場合、算術平均はで、中央値は です。平均値はサンプル内のほとんどの値と大幅に異なる可能性があり、ほとんどの値よりも大きくなったり小さくなったりする可能性があります。 ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle 2.5}$${\displaystyle \{1,2,4,8,16\}}$${\displaystyle 6.2}$${\displaystyle 4}$

この現象は多くの分野に応用されています。例えば、1980年代以降、米国の所得の中央値は所得の算術平均よりも緩やかに増加しています。^[4]

加重平均、または加重平均は、計算において一部のデータポイントが他のデータポイントよりも重視される平均です。^[5]たとえば、との算術平均は、または同等のです。対照的に、最初の数値が、たとえば 2 番目の数値の 2 倍の重みを受け取る加重平均 (これらの数値がサンプリングされた一般集団で最初の数値が 2 倍の頻度で出現すると想定されるためと考えられます) は、 と計算されます。ここで、重みは必ず合計 1 になり、と で、前者は後者の 2 倍です。算術平均 (「加重平均」または「均等加重平均」と呼ばれることもあります) は、すべての重みが同じ数 (上記の例および数値が平均化される状況) に等しい加重平均の特殊なケースとして解釈できます。 ${\displaystyle 3}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle {\frac {3+5}{2}}=4}$${\displaystyle 3\cdot {\frac {1}{2}}+5\cdot {\frac {1}{2}}=4}$${\displaystyle 3\cdot {\frac {2}{3}}+5\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {11}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$

数値特性、およびそのデータの任意のサンプルが、たとえば整数だけでなく、連続した範囲の任意の値を取ることができる場合、サンプル数が無限の数から特定の 1 つの値を取る単純な確率が 0 である場合でも、数値が可能な値のある範囲に入る確率は、この範囲にわたる連続確率分布を積分することによって記述できます。この文脈では、各範囲の変数の正確な値に無限の可能性がある加重平均の類似物は、確率分布の平均と呼ばれます。最も広く使用されている確率分布は正規分布と呼ばれ、平均だけでなく、前述の中央値とモード (3 つの M ^[6] ) を含む中心傾向のすべての尺度が等しいという特性があります。この等式は、ここで対数正規分布について示しているように、他の確率分布には当てはまりません。

位相や角度などの周期的なデータを使用する場合は特に注意が必要です。1° と 359° の算術平均を取ると、結果は 180 °になります。これは次の 2 つの理由から正しくありません。

• まず、角度の測定は、加算定数 360° (ラジアンで測定する場合は)までしか定義されません。したがって、それぞれが異なる平均値を生成するため、これらは 1° と -1°、または 361° と 719° のように簡単に呼ぶことができます。${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \tau}$
• 第二に、この状況では、0° (または 360°) は幾何学的に平均値としてより優れています。その周囲には分散が少なくなります(ポイントはそこから 1° 離れており、推定平均である 180° からは 179° 離れています)。

一般的な適用では、このような見落としにより、平均値が数値範囲の中央に向かって不自然に移動することになります。この問題の解決策は、最適化定式化 (つまり、平均値を中心点、つまり最も分散の少ない点として定義する) を使用し、その差をモジュラー距離 (つまり、円上の距離、つまり 1° と 359° の間のモジュラー距離は 358° ではなく 2° になる) として再定義することです。

算術平均は、多くの場合、次のようにバー（vinculumまたはmacron）で表されます。^[3]${\displaystyle {\bar {x}}}$

一部のソフトウェア（テキストプロセッサ、ウェブブラウザ）では、「x̄」記号が正しく表示されない場合があります。たとえば、HTML記号「x̄」は、基本文字「x」と、その上の行のコード（̄または¯）の2つのコードを組み合わせたものです。^[7]

一部のドキュメント形式 ( PDFなど) では、この記号をMicrosoft Wordなどのテキスト プロセッサにコピーすると、 「¢」(セント) 記号に置き換えられることがあります。

• フレシェは
• 一般化平均
• 算術平均と幾何平均の不等式
• 標本平均と共分散
• 標準偏差
• 平均の標準誤差
• 要約統計

• ハフ、ダレル（1993年）。統計で嘘をつく方法。WWノートン。ISBN 978-0-393-31072-6。

• 2つの数値の算術平均と幾何平均の計算と比較
• fxSolver で一連の数値の算術平均を計算する