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数字の桁（しばしば単にdigitと略される）は、一般的な基数 10 における 0、1、...、9 などの位置表記で数を表すために使用される単一の記号です。「digit 」という名前は、ラテン語のdigiti （指を意味する）に由来します。[ 1 ]数字は、単独で（「1」のように）または組み合わせて（「15」のように）数字を形成するために使用できます。
整数を基数とするあらゆる数体系において、必要な異なる桁の数は基数の絶対値 に等しくなります。例えば、10進数（基数10）では10個の桁（0～9）が必要であり、2進数（基数 2）では2個の桁（0と1）のみが必要です。10より大きい基数では10個以上の桁が必要となり、例えば16進数（基数 16）では16個の桁（通常は0～9とA～F）が必要です。
基本的なデジタルシステムでは、数字は任意の長さの数字の並びです。並びの各桁には位取りがあり、各桁には値があります。数字の値は、並びの各桁にその位取りを掛け、その結果を合計することによって計算されます。
数体系における各桁は整数を表します。例えば、10進数では数字「1」が整数の1を表し、16進数では文字「A」が数の10を表します。位取り記数法では、 0から基数までの整数それぞれに固有の桁が割り当てられます（基数は含みません）。
このように位取り十進法では、0から9までの数は、それぞれ右端の「一の位」に「0」から「9」の数字を用いて表すことができます。12は、一の位に「2」、その左側の「十の位」に「1」を用いて表されます。一方、312は、「百の位」に「3」、「十の位」に「1」、「一の位」に「2」という3つの数字を用いて表されます。
10進数表記では、小数点区切り記号（英語では一般的にピリオド、その他のヨーロッパ言語ではコンマ） [ 2 ]を用いて「一の位」または「一の位」[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]を表し、その位の値は 1 です。この左側の各桁の位の値は、前の桁の位の値に基数を掛けたものに等しくなります。同様に、区切り記号の右側の各桁の位の値は、前の桁の位の値を基数で割ったものに等しくなります。たとえば、10.34 （基数 10で表記）では、
この数の合計値は、10の位が1、1の位が0、10分の3、100分の4です。0は数に何の値も与えませんが、これは1が1の位ではなく10の位にあることを示しています。
数字の任意の桁の位の値は、簡単な計算で求めることができます。これは、数字体系の背後にある論理を補完するものです。計算では、与えられた桁に、基数を指数n − 1で累乗したものを掛けます。ここで、n は区切り記号からの桁の位置を表します。n の値は正(+) ですが、これは桁が区切り記号の左側にある場合のみです。右側にある場合は、桁に基数を負 (−) nで累乗したものを掛けます。たとえば、10 進数10.34 (基数10で表記) では、
最初の真の記数法はヒンドゥー・アラビア数字体系であると考えられています。この体系は7 世紀までにインドで確立されましたが[ 11 ] 、数字のゼロの使用がまだ広く受け入れられていなかったため、現代の形ではありませんでした。ゼロの代わりに、数字の意味を示すためにドットが付けられたり、スペースがプレースホルダーとして使用されたりすることがありました。ゼロが広く認められた最初の使用は876年でした[ 12 ]。元の数字は、数字を表すために使用される記号に至るまで、現代の数字と非常によく似ていました[ 11 ] 。
13世紀までに、西アラビア数字はヨーロッパの数学界で受け入れられるようになった（フィボナッチは『算盤の書』でアラビア数字を使用した）。15世紀には一般的に使われるようになった 。[ 13 ] 20世紀末までには、 世界のほぼすべての非コンピュータ化された計算はアラビア数字で行われるようになり、ほとんどの文化で固有の数字体系に取って代わった。
マヤ数字の正確な起源は不明ですが、ヒンドゥー・アラビア数字よりも古い可能性があります。この数字体系は20進法（基数 20）であり、20個の数字から構成されていました。マヤ人はゼロを表すのに貝殻の記号を用いました。数字は縦書きされ、一の位は下に置かれました。マヤには現代の十進数記号に相当するものがなかったため、分数を表すことはできませんでした。
タイの数字体系は、数字を表す記号を除けば、ヒンドゥー・アラビア数字体系と同一である。これらの数字の使用頻度はかつてほど高くはないが、アラビア数字と併用して現在でも使用されている。
棒数字は、かつて中国や日本の数学者が用いた計数棒の表記法であり、ゼロだけでなく負の数も表すことができる十進位取り記数法である。計数棒自体は、ヒンドゥー・アラビア数字体系よりも古い。蘇州数字は、棒数字の一種である。
コンピュータサイエンスで広く使われているバイナリ（基数2）、8進数（基数8）、16進数（基数16）のシステムはすべて、ヒンドゥー・アラビア数字体系の慣例に従っています。[ 14 ]バイナリシステムでは数字「0」と「1」のみを使用し、8進数では「0」から「7」までの数字を使用します。16進数では、10進数のすべての数字に加えて、それぞれ10から15を表す文字「A」から「F」を使用します。[ 15 ]バイナリシステムを使用する場合、「ビット」という用語は通常「数字」の代替として使用され、「バイナリ数字」という用語の合成語です。
三元数とバランス三元数が使われることがある。どちらも基数 3のシステムである。[ 16 ]
バランス型3進法は、桁の値が1、0、-1であるという点で珍しい。バランス型3進法にはいくつかの有用な特性があることがわかっており、このシステムはロシアの実験用Setunコンピュータで使用されている。[ 17 ]
過去300年の間に、多くの著者が、修正された十進数表現に相当する位取り記数法の利便性を指摘してきた。負の値を表す数字の使用にはいくつかの利点があるとされている。1840年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは符号付き数字による数の表現を提唱し、1928年にはフロリアン・カジョリが負の数の参照集を発表した。符号付き数字による表現の概念は、コンピュータ設計においても採用されている。
数字は数を表す上で不可欠な役割を果たしているにもかかわらず、現代数学においては比較的重要ではない。[ 18 ]それにもかかわらず、数字の列として数を表すことを利用する重要な数学的概念がいくつか存在する。
デジタルルートとは、与えられた数の各桁を足し合わせ、その結果の各桁を足し合わせ、これを繰り返して一桁の数を得ることで得られる一桁の数のことである。[ 19 ]
9の出目確認は、手計算で行った算術をチェックする手順です。それを説明するには、デジタルルートを表す上記のように。9を出すには、、 それから9を捨てる過程で、後者の等式の両辺が計算され、それらが等しくない場合は、元の加算が間違っていたに違いない。[ 20 ]
レプニットとは、数字の1のみで表された整数です。例えば、1111（千百十一）はレプニットです。レプディジットはレプニットの一般化であり、同じ数字の繰り返しで表された整数です。例えば、333はレプディジットです。レプニットの素数性は数学者にとって興味深いものです。[ 21 ]
回文数とは、桁を逆にしても同じように読める数のことです。[ 22 ]リクレル数とは、桁を逆にして自身に足し合わせるという反復処理を行っても決して回文数にならない正の整数のことです。[ 23 ] 10進数にリクレル数が存在するかどうかは、レクリエーション数学 における未解決問題です。最小の候補は196です。[ 24 ]
数を数えるための補助手段、特に体の部位（指を使って数えること）の使用は、先史時代から今日に至るまで確かに使われてきました。多くのバリエーションがあります。10本の指を数えることに加えて、指の関節、指と指の間の隙間、つま先、そして指を数える文化もあります。ニューギニアのオクサプミン文化では、27の上半身の部位を使って数を表すシステムを使用しています。[ 25 ]
数値情報を保存するために、木、骨、石に刻まれた集計表が先史時代から使用されてきた。 [ 26 ]古代アメリカ先住民を含む石器時代の文化では、ギャンブル、個人的なサービス、交易品に集計表が使用されていた。
紀元前8000年から3500年の間に、シュメール人は粘土に数値情報を保存する方法を発明しました 。[ 27 ]これは、さまざまな形の小さな粘土トークンをビーズのように紐に通して行いました。紀元前3500 年頃から、粘土トークンは徐々に、粘土板（元々はトークンを入れる容器）に丸いスタイラスでさまざまな角度で刻印された数字記号に置き換えられ、その後、粘土板は焼かれました。紀元前3100年頃、書かれた数字は数えられる物から切り離され、抽象的な数字になりました。
紀元前2700年から2000年の間に、シュメールでは、丸いスタイラスが徐々に葦のスタイラスに取って代わられ、粘土に楔形の楔形文字を刻印するようになった。これらの楔形数字記号は、取って代わった丸い数字記号に似ており、丸い数字記号の加算記号値表記を保持していた。これらのシステムは徐々に共通の六十進法に収束していった。これは、垂直の楔形と山形記号の2つの刻印のみからなる位取りシステムであり、分数も表すことができた。[ 28 ]この六十進法は、古バビロニア時代初期（紀元前1950 年頃）に完全に発展し、バビロニアの標準となった。[ 29 ]
六十進法は、楔形の縦の楔形と山形記号の列で、10進法と6進法を交互に保持した混合基数システムでした。紀元前1950年までに、これは位置記数法システムになりました。六十進法は商業で広く使用されるようになりましたが、天文学やその他の計算にも使用されました。このシステムはバビロニアから輸出され、メソポタミア全域、そしてギリシャ人、ローマ人、エジプト人を含む、バビロニアの標準的な測定単位と計数単位を使用するすべての地中海諸国で使用されました。バビロニア式の六十進法は、現代社会でも時間（1時間あたりの分）と角度（度）を測定するために使用されています。[ 30 ]
中国では、軍隊と食料は素数のモジュラー集計を用いて数えられていた。兵士の数や米の量は、これらの集計の固有の組み合わせとして現れる。モジュラー算術の大きな利点は、乗算が容易であることである。[ 31 ]このため、食料の集計にモジュラー算術を用いることは特に魅力的である。従来の集計では、乗算や除算が非常に難しい。現代では、モジュラー算術はデジタル信号処理にも用いられることがある。[ 32 ]
最も古いギリシャの数字体系はアッティカ数字であったが[ 33 ]、紀元前4世紀には準十進法のアルファベット体系（ギリシャ数字を参照）を使用し始めた[ 34 ] 。ユダヤ人も同様の体系（ヘブライ数字）を使用し始め、最も古い例は紀元前100年頃の硬貨である[ 35 ] 。
ローマ帝国は蝋、パピルス、石に書かれた数字を使用し、さまざまな数字に文字を割り当てるギリシャの慣習を大まかに踏襲した。ローマ数字体系は、 16世紀に位取り記数法が普及するまでヨーロッパで広く使われ続けた 。[ 36 ]
中央アメリカのマヤ文明は、オルメカ文明から受け継いだと思われる18進法と20進法を混合したシステムを使用しており、位置記数法やゼロなどの高度な機能を備えていた。[ 37 ]彼らはこのシステムを用いて、太陽年の長さや金星の軌道の非常に正確な計算など、高度な天文学的計算を行っていた。[ 38 ]
インカ帝国は、色付きの繊維を結び合わせて記録するキープを用いて大規模な指令経済を運営していた。 [ 39 ]結び目と色の符号化に関する知識は16世紀にスペインの征服者によって抑圧され、アンデス 地域では今でもキープに似た単純な記録装置が使われているものの、その知識は残っていない。
一部の権威は、位取り算術は中国で計数棒が広く使われるようになったことから始まったと考えている。 [ 40 ]最古の位取りに関する記録は、 400年頃の中国の棒計算の結果であると思われる。ゼロは7世紀にブラフマグプタによってインドで初めて使用された。[ 41 ]
現代のアラビア数字の位取り記数法はインドの数学者によって開発され、773年頃にインドの使節がバグダッドに持ち込んだ天文表とともにイスラム教徒の数学者に伝えられた。 [ 42 ]
インドから、イスラムのスルタンとアフリカとの活発な貿易によって、この概念はカイロにもたらされた。アラビアの数学者たちはこのシステムを拡張して十進分数を含め、ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは9世紀にこのシステムに関する重要な著作を著した。[ 43 ]現代のアラビア数字は、12世紀にスペインでこの著作が翻訳され、 1201年にピサのレオナルドが著した『算盤の書』によってヨーロッパに導入された。 [ 44 ]ヨーロッパでは、ゼロを含む完全なインド式システムが12世紀にアラブ人から伝わった。[ 45 ]
二進法（基数2）は17世紀にゴットフリート・ライプニッツ によって広められました。[ 46 ]ライプニッツはキャリアの初期にこの概念を開発し、中国から入手した易経の写本を研究した際にそれを再検討しました。[ 47 ]二進数はコンピュータの応用により20世紀に広く使われるようになりました。 [ 46 ]
単位または一の位
の位または一の位
の位または一の位
一の位または一の位、桁
数字
または単位、数字
2桁の数字はすべて、tが十の位の数字である場合、10t+uと表すことができる。
確かに、現代の数学雑誌を開いて記事を読んでみると、おそらく数は全く出てこないでしょう。
の身体システムは27の身体部位から構成される...
...木、骨、その他の素材で作られた棒に刻まれた切り込み（しばしば「切り込みのある記録」と呼ばれる）さえも3万年前に遡る。
{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)紀元前3千年紀の初めまでに、シュメール人とエラム人は、通常は長方形の小さな粘土板に数値情報を記録する習慣を採用した。
モジュラー表現の利点は、加算、減算、乗算が非常に簡単であることです。
アレクサンダー・ヤンネウス王（紀元前103年～76年）の治世の硬貨である。
マヤの天文学は、太陽年の長さと金星の朔望周期の両方を精緻に計算していた。
紀元前400年以前には、古代の計数棒に基づいた同様の位置記数法が確かに存在していた。