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数学は、数、幾何学的形状、集合、関数、確率といった抽象的な概念を扱う学問分野です。論理的な推論と証明を用いて、これらの概念の性質を研究し、確立します。その性質は、定理、公式、方程式といった形で表現されることがよくあります。数学は、科学、工学、技術、経済、そして日常生活における様々な問題をモデル化し、解決するために用いられます。
数学には多くの分野があり、数論（整数とその性質の研究）、代数学（演算とその演算によって形成される構造の研究）、幾何学（図形とその図形を含む空間の研究）、解析学（近似と収束の定量的研究）、集合論（現在ではすべての数学の基礎として用いられている）などがある。
数学は、自然からの抽象化である抽象対象、または特定の性質（公理と呼ばれる）を持つと規定された純粋に抽象的な実体の記述と操作を扱います。数学は、純粋理性を用いて証明を通して対象の性質を証明します。証明とは、既に確立された結果に演繹規則を連続的に適用することによって成り立ちます。定理と呼ばれるこれらの結果には、既に証明された定理、公理、そして自然からの抽象化の場合には、検討中の理論の真の出発点とみなされるいくつかの基本的な性質が含まれます。[ 3 ]
数学は、自然科学、工学、医学、金融、コンピュータ科学、社会科学において不可欠です。数学は経験的現象をモデル化するために広く用いられていますが、その結果は実験ではなく演繹的証明によって確立されます。数学的真理、論理、現実の関係は哲学的議論の対象となっています。ゲーム理論などの数学の分野は、その応用と密接に関連して発展しており、応用数学に分類されることがよくあります。他の分野は、応用とは独立して発展しますが、後に実用的な応用が見つかることがよくあります。[ 4 ] [ 5 ]
数学の記録は古代エジプトとメソポタミアで初めて現れたが、証明の概念とそれに伴う数学的厳密さは、ユークリッドの『原論』に代表される古代ギリシャの数学で始まった。[ 6 ]数学は16世紀と17世紀まで主に幾何学と算術に分かれていたが、その後代数[ a ]と微積分が新たな分野として発展した。それ以来、数学の革新と科学的発見の相互作用により、両方の発展が相関的に増加した。[ 7 ] 19世紀末、数学の基礎的危機により、公理的方法の体系的な使用が実現し、[ 8 ]数学の分野とその応用分野の数が劇的に増加した。現代の数学主題分類では、60以上の第一レベルの数学分野がリストされている。[ 9 ] [ 10 ]
ルネサンス 以前、数学は主に2つの分野に分かれていました。数の研究と操作に関する算術と、図形の研究に関する幾何学です。[ 11 ]数秘術や占星術などの疑似科学は、当時は数学と明確に区別されていませんでした。[ 12 ]
ルネサンス期以降、さらに2つの分野が主流となった。新しい数学的記法は、大まかに言えば代数式の研究と操作から始まる現代代数学につながった。微積分学は、微分積分学と微積分学の2つの下位分野から成り、幾何学に端を発するが、変数で表される様々な量の間の典型的な非線形関係をモデル化する連続関数の研究へと発展した。この4つの主要分野（算術、幾何学、代数学、微積分学）への区分[ 13 ]は、 19世紀末まで続いた。以前は数学者によって研究されていた天体力学や固体力学などの他の分野は、現在では物理学に属すると考えられている[ 14 ] 。組み合わせ論は記録された歴史の大部分において研究されてきたが、17世紀まで独立した数学の分野にはならなかった[ 15 ] 。
19 世紀末、数学の基礎的危機と公理的方法の体系的な使用により、数学の新しい分野が爆発的に増加しました。[ 16 ] [ 8 ] 2020 年の数学主題分類には、 63 もの第一レベルの分野が含まれています。 [ 10 ]これらの分野の中には、数論(高等算術の現代名) や幾何学のように、古い区分に対応するものもあります。他のいくつかの第一レベルの分野には、名前に「幾何学」が含まれているか、または一般的に幾何学の一部と考えられています。代数と微積分は第一レベルの分野としては表示されませんが、いくつかの第一レベルの分野に分割されています。その他の第一レベルの分野は、20 世紀に出現したもの、または以前は数学とは考えられていなかったもので、数学的論理学や基礎論などです。[ 9 ]
数論は、数の操作、すなわち自然数の操作から発展した。そして後に整数へと拡張された有理数数論はかつて算術と呼ばれていましたが、今日ではこの用語は主に数値計算に使われています。[ 17 ]数の研究は古代バビロニアや中国にまで遡ると考えられていますが、古代ギリシャで独立した学問分野として発展しました。初期の著名な数論者は、ユークリッドとアレクサンドリアのディオファントスです。[ 18 ]抽象的な形での数論の現代的な研究は、主にピエール・ド・フェルマーとレオンハルト・オイラーによるものです。この分野は、アドリアン＝マリー・ルジャンドルとカール・フリードリヒ・ガウスの貢献によって完全に開花しました。[ 19 ]
簡単に述べられる多くの数の問題には、数学の様々な分野にわたる高度な手法を必要とする解法が存在する。その代表的な例がフェルマーの最終定理である。この予想は1637年にピエール・ド・フェルマーによって提唱されたが、証明されたのは1994年にアンドリュー・ワイルズによってであり、彼は代数幾何学のスキーム理論、圏論、ホモロジー代数などのツールを使用した。[ 20 ]もう一つの例は、2より大きいすべての偶数は2つの素数の和であると主張するゴールドバッハ予想である。1742年にクリスチャン・ゴールドバッハによって提唱されたこの予想は、多大な努力にもかかわらず未だ証明されていない。[ 21 ]
数論には、解析的数論、代数的数論、数の幾何学（方法指向）、ディオファントス解析、超越理論（問題指向）など、いくつかの下位分野が含まれる。[ 9 ]
幾何学は数学の最も古い分野の一つです。線、角、円などの形状に関する経験的な手法から始まり、主に測量や建築のニーズに合わせて開発されましたが、その後、他の多くの下位分野へと発展しました。[ 22 ]
根本的な革新は、古代ギリシャ人が証明の概念を導入したことであり、これはすべての主張が証明されなければならないことを要求する。たとえば、 2つの長さが等しいことを測定によって検証するだけでは不十分であり、それらの等しさは、以前に受け入れられた結果（定理）といくつかの基本的な命題からの推論によって証明されなければならない。基本的な命題は、自明である（公準）か、研究対象の定義の一部である（公理）ため、証明の対象とはならない。この原理は、すべての数学の基礎であり、最初に幾何学のために詳細に説明され、紀元前300年頃にユークリッドが著書『原論』で体系化した。[ 23 ] [ 24 ]
結果として得られるユークリッド幾何学は、ユークリッド平面（平面幾何学）および3次元ユークリッド空間における線、平面、円から構成される形状とその配置の研究である。[ b ] [ 22 ]
ユークリッド幾何学は、17世紀にルネ・デカルトが現在デカルト座標と呼ばれるものを導入するまで、方法や範囲を変えることなく発展しました。これはパラダイムの大きな変化でした。実数を線分の長さとして定義する代わりに（数直線を参照）、点を数値である座標で表現することが可能になりました。こうして代数（そして後に微積分）を用いて幾何学的な問題を解決できるようになりました。幾何学は、純粋に幾何学的方法を用いる総合幾何学と、座標を体系的に用いる解析幾何学という2つの新しい下位分野に分かれました。[ 25 ]
解析幾何学では、円や直線とは無関係な曲線を研究することができます。このような曲線は関数のグラフとして定義でき、その研究は微分幾何学につながりました。また、陰関数方程式、多くの場合多項式方程式（代数幾何学を生み出した）として定義することもできます。解析幾何学では、3 次元を超えるユークリッド空間を考察することも可能です。[ 22 ]
19世紀、数学者たちは平行線公準に従わない非ユークリッド幾何学を発見した。この発見は、平行線公準の真偽を問うことで、ラッセルのパラドックスに加わり、数学の基礎的危機を明らかにしたものと見なされてきた。この危機の側面は、公理的方法を体系化し、選択された公理の真偽は数学的な問題ではないとすることで解決された。[ 26 ] [ 8 ]逆に、公理的方法によって、公理を変更することによって、または空間の特定の変換の下で変化しない性質を考慮することによって得られるさまざまな幾何学を研究することができる。[ 27 ]
今日の幾何学の分野には以下が含まれます: [ 9 ]
代数学は方程式や公式を操作する技術です。ディオファントス（3世紀）とアル・フワーリズミー（9世紀）は代数学の主要な先駆者でした。[ 29 ] [ 30 ]ディオファントスは、未知の自然数を含むいくつかの方程式を、解が得られるまで新しい関係を推論することによって解きました。[ 31 ]アル・フワーリズミーは、方程式の一方の辺からもう一方の辺に項を移動するなど、方程式を変換するための体系的な方法を導入しました。[ 32 ]代数学という用語は、彼が主要な論文のタイトルでこれらの方法の1つに名前を付けるために使用したアラビア語の「壊れた部分の再結合」を意味するal-jabrに由来しています。[ 33 ] [ 34 ]
代数学が独立した分野として確立されたのは、未知数や指定されていない数を表すために変数の使用を導入したフランソワ・ヴィエト（1540～1603）の時代になってからです。[ 35 ]変数によって、数学者は数式を用いて表される数に対して行うべき演算を記述することができます。[ 36 ]
19 世紀まで、代数学は主に線形方程式(現在の線形代数) と、1 つの未知数を含む多項式方程式 (代数方程式(曖昧な場合もあるが、現在でも使用されている用語)の研究で構成されていました。19 世紀には、数学者は、数値以外のもの (行列、モジュラー整数、幾何学的変換など) を表すために変数を使用し始め、それらに対して算術演算の一般化がしばしば有効になります。[ 37 ]代数構造の概念は、これに対処するもので、要素が指定されていない集合、集合の要素に作用する演算、およびこれらの演算が従わなければならない規則から構成されます。このようにして、代数学の範囲は代数構造の研究を含むまでに拡大しました。この代数学の対象は、エミー・ネーターの影響と業績によって確立され、ファン・デル・ヴェルデンの著書『現代代数学』 によって普及した現代代数学または抽象代数学と呼ばれた。[ 38 ]
代数構造の中には、数学の多くの分野で有用でしばしば基本的な性質を持つものがあります。それらの研究は代数学の独立した部分となり、以下が含まれます。[ 9 ]
代数構造の種類の数学的対象としての研究は、普遍代数と圏論の目的である。[ 39 ]後者は、あらゆる数学的構造（代数構造に限らず）に適用される。その起源は、位相空間などの非代数的対象の代数的研究を可能にするために、ホモロジー代数とともに導入された。この特定の応用分野は、代数トポロジーと呼ばれる。[ 40 ]
微積分学は、かつては無限小計算と呼ばれていましたが、17世紀の数学者ニュートンとライプニッツによって独立に、かつ同時に導入されました。[ 41 ]これは基本的に、互いに連続的に依存する変数間の関係を研究する学問です。微積分学は、18世紀にオイラーによって関数の概念やその他の多くの成果が導入されたことで拡張されました。[ 42 ]現在、「微積分学」は主にこの理論の初等的な部分を指し、「解析学」は一般的に高度な部分に使用されます。[ 43 ]
解析学はさらに、変数が実数を表す実解析と、変数が複素数を表す複素解析に細分化されます。解析学には、数学の他の分野と共通する多くの下位分野が含まれています。[ 9 ]
離散数学は、大まかに言えば、個々の数えられる数学的対象を研究する学問である。例えば、すべての整数の集合が挙げられる。[ 44 ]ここで研究対象は離散的であるため、微積分や数学解析の手法は直接適用できない。[ c ]アルゴリズム、特にその実装と計算複雑性は、離散数学において重要な役割を果たす。[ 45 ]
四色定理と最適球体充填は、20世紀後半に解決された離散数学の2つの主要な問題である。[ 46 ]現在も未解決のP対NP問題も、その解決が多数の計算困難な問題に影響を与える可能性があるため、離散数学にとって重要である。[ 47 ]
離散数学には以下が含まれます。[ 9 ]
数理論理学と集合論の2つの分野は、19世紀末から数学に属しています。[ 48 ] [ 49 ]この時期以前は、集合は数学的対象とは考えられておらず、論理学は数学的証明に用いられていましたが、哲学に属し、数学者によって特別に研究されることはありませんでした。[ 50 ]
カントールが無限集合を研究する以前は、数学者たちは実際に無限の集合を考えることに消極的で、無限は際限のない列挙の結果だと考えていた。カントールの研究は、実際に無限の集合を考えただけでなく[ 51 ] 、カントールの対角線論法によれば、無限の大きさが異なることを示したため、多くの数学者の反感を買った。これがカントールの集合論をめぐる論争につながった[ 52 ]。同じ時期に、数学のさまざまな分野で、基本的な数学的対象の以前の直感的な定義は数学的厳密性を保証するには不十分であると結論づけられた[ 53 ]。
これは数学の基礎的な危機となった。[ 54 ]主流の数学では、形式化された集合論の中で公理的方法を体系化することで最終的に解決された。大まかに言えば、各数学的対象は、類似するすべての対象の集合と、これらの対象が持つべき性質によって定義される。[ 16 ]例えば、ペアノ算術では、自然数は「ゼロは数である」、「各数には一意の後継数がある」、「ゼロ以外の各数には一意の前継数がある」、およびいくつかの推論規則によって定義される。[ 55 ]この現実からの数学的抽象化は、 1910年頃にデイヴィッド・ヒルベルトによって創始された形式主義の現代哲学に具現化されている。 [ 56 ]
このように定義された対象の「性質」は、多くの数学者がその性質について意見を持ち、研究や証明の指針としてその意見（時には「直観」と呼ばれる）を用いるとしても、数学者が哲学者に委ねる哲学的問題である。このアプローチでは、「論理」（つまり、許容される演繹規則の集合）、定理、証明などを数学的対象とみなし、それらに関する定理を証明することができる。例えば、ゲーデルの不完全性定理は、大まかに言えば、自然数を含むすべての無矛盾な形式体系において、真である（つまり、より強い体系で証明可能である）が、その体系内では証明できない定理が存在すると主張している。[ 57 ]この数学の基礎へのアプローチは、20世紀前半にブラウワー率いる数学者たちによって異議を唱えられ、彼らは直観主義論理（排中律を明示的に欠いている）を提唱した。[ 58 ] [ 59 ]
これらの問題や議論は、モデル理論（ある論理理論を別の理論の中にモデル化する）、証明理論、型理論、計算可能性理論、計算複雑性理論などの下位分野を含む、数学的論理学の広範な拡大につながった。[ 9 ]これらの数学的論理学の側面はコンピュータの台頭以前に導入されたものだが、コンパイラ設計、形式検証、プログラム解析、証明支援システム、その他のコンピュータ科学の側面での使用が、今度はこれらの論理理論の拡大に貢献した。[ 60 ]
計算数学とは、通常、人間の計算能力では大きすぎる数学的問題を研究する学問である。 [ 61 ] [ 62 ]
計算数学の一部には数値解析が含まれており、これは実数の近似値（浮動小数点演算）を用いた計算に特化しています。数値解析は、関数解析と近似理論を用いた解析の問題に対する方法を提供します。数値解析は、丸め誤差に特に重点を置いた近似と離散化の研究を広く含んでいます。[ 63 ]数値解析、そしてより広義には科学計算は、数学科学の非解析的なトピック、特にアルゴリズム行列とグラフ理論も研究しています。
計算数学のもう一つの分野はコンピュータ代数であり、これは主にコンピュータ上での数式操作から成る。
証明支援システムや証明チェッカーを含む自動定理証明は、形式検証に用いられる計算数学のもう一つの分野であり、有限群に関するフェイト・トンプソン定理のような数学の難解な定理の形式的な証明を可能にする。
「mathematics」という単語は、古代ギリシャ語の「máthēma ( μάθημα )」（学問、知識、数学）と、派生表現の「mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ) 」 （数学科学）に由来します。この単語は、フランス語とラテン語を経て、後期中英語期に英語に入りました。 [ 64 ]
伝統的に、ピタゴラス学派の2つの主要な学派の1つは、マテマティコイ（μαθηματικοί）として知られていました。当時、これは現代の意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。ピタゴラス学派は、おそらくこの言葉の使用を算術と幾何学の研究のみに限定した最初の人々でした。アリストテレス（紀元前384～322年）の時代には、 この意味は完全に確立されていました。[ 65 ]
ラテン語と英語では、1700年頃までは、「 mathematics」という用語は「mathematics」よりも「 astrology」（または「astronomy 」）を意味することが多かった。意味は1500年から1800年頃にかけて徐々に現在の意味に変化した。この変化により、いくつかの誤訳が生じている。例えば、聖アウグスティヌスがキリスト教徒は「 mathematici」 （占星術師）に注意すべきだと警告しているが、これは数学者を非難していると誤訳されることがある。[ 66 ]
英語の複数形は、ギリシャ語の複数形 ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) に基づくラテン語の中性複数形 mathematica (キケロ) に由来し、おおよそ「数学的なすべてのもの」を意味するが、英語は形容詞mathematic(al)だけを借用し、ギリシャ語から受け継いだphysicsやmetaphysicsのパターンに従って、名詞mathematics を新たに形成した可能性もある。[ 67 ]英語では、名詞mathematics は単数動詞をとる。これは、maths [ 68 ]または北米ではmath [ 69 ]と短縮されることが多い。
先史時代の人々は、物理的な物体を数える 方法を認識することに加えて、時間（日、季節、年）のような抽象的な量を数える方法も知っていた可能性がある。 [ 70 ] [ 71 ]
考古学的証拠は、古代エジプトの計数システムがサハラ以南のアフリカに起源を持つことを示唆している。[ 72 ]また、サハラ以南のアフリカ文化に広く見られるフラクタル幾何学のデザインは、エジプトの建築や宇宙論的記号にも見られる。[ 73 ]学者アレクサンダー・マーシャックによれば、イシャンゴ骨は、エジプトの算術も2倍の乗算を使用していたことから、エジプトの後の数学の発展に影響を与えた可能性があるが、これは議論の余地がある。[ 74 ]上エジプトのナブタ・プラヤにある巨石建造物には、天文学、シリウスのヘリアカル・ライジングに合わせた暦の配置、ナイル川の年間洪水のための年間暦の較正が特徴であった。[ 75 ]古代ヌビア人は、初期の太陽時計の基礎となる幾何学的規則の体系を確立した。ヌビア人はまた、エジプトの同業者に匹敵する三角法の方法論を使用した。 [ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]
より複雑な数学の証拠は、紀元前3000 年頃まで現れません。この頃、バビロニア人とエジプト人は、課税やその他の財政計算、建築や建設、天文学のために算術、代数、幾何学を使い始めました。[ 80 ]メソポタミアとエジプトの最古の数学文書は、紀元前2000 年から 1800 年にかけてのものです。[ 81 ]多くの初期の文書にはピタゴラスの三つ組について言及されているため、推論すると、ピタゴラスの定理は、基本的な算術と幾何学に次いで最も古く、広く普及した数学的概念であると思われます。初等算術(加算、減算、乗算、除算) が考古学的記録に初めて登場するのは、バビロニアの数学です。バビロニア人はまた、位取り記数法を持ち、現在でも角度や時間の測定に使用されている六十進法を使用していました。 [ 82 ]
紀元前 5 世紀までに、ギリシャ数学は独立した学問分野として出現し始め、ピタゴラス派などの一部の古代ギリシャ人はそれを独立した学問分野と考えていたようです。[ 83 ]紀元前 300 年頃、ユークリッドは公準と第一原理によって数学的知識を体系化し、それが今日数学で使用されている定義、公理、定理、証明からなる公理的方法へと発展しました。[ 84 ]彼の著書『原論』は幾何学と数論を扱っており、史上最も成功し影響力のある教科書として広く考えられています。[ 85 ]古代のもう 1 人の著名な数学者はシラクサのアルキメデス(紀元前287年頃- 紀元前212 年頃)です。[ 86 ]彼は回転体の表面積と体積を計算する方法を開発した。これには、現代の微積分を彷彿とさせる方法で、無限級数の和を用いて放物線の弧の下の面積を計算するために、除去法を用いる方法も含まれる。 [ 87 ]ギリシャ数学のその他の注目すべき業績としては、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[ 88 ]三角法（ニカイアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[ 89 ]前近代代数学の始まり（ディオファントス、紀元後3世紀）などがある。[ 90 ]
今日世界中で使用されているヒンドゥー・アラビア数字体系とその演算規則は、西暦1千年紀にインドで発展し、イスラム数学を通じて西洋世界に伝わりました。[ 91 ]インド数学のその他の注目すべき発展には、正弦と余弦の現代的な定義と近似、および無限級数の初期の形式が含まれます。[ 92 ] [ 93 ]
イスラムの黄金時代、特に9世紀と10世紀には 、ギリシャ数学を基盤とした数学において多くの重要な革新が見られました。イスラム数学の最も注目すべき業績は、代数学の発展です。イスラム時代のその他の業績には、球面三角法の進歩やアラビア数字体系への小数点の追加などがあります。 [ 94 ]この時代の著名な数学者の多くはペルシア人で、アル＝フワーリズミー、オマル・ハイヤーム、シャラフ・アル＝ディーン・アル＝トゥーシーなどが挙げられます。[ 95 ]ギリシャ語とアラビア語の数学文献は、中世にラテン語に翻訳され、ヨーロッパで利用できるようになりました。[ 96 ]
近世初期、西ヨーロッパでは数学が急速に発展し始め、フランソワ・ヴィエト（1540～1603）による変数と記号表記の導入、ジョン・ネイピアによる1614年の対数の導入（これにより、特に天文学や航海における数値計算が大幅に簡略化された）、ルネ・デカルト（1596～1650）による幾何学を代数に還元するための座標の導入、アイザック・ニュートン（1643～1727）とゴットフリート・ライプニッツ（ 1646 ～1716）による微積分学の発展など、数学に革命をもたらす革新が数多く起こった。18世紀で最も著名な数学者であるレオンハルト・オイラー（1707～1783）は、これらの革新を標準化された用語を用いて単一の体系に統合し、数多くの定理の発見と証明によってそれらを完成させた。
19世紀で最も優れた数学者といえば、ドイツの数学者カール・ガウスでしょう。彼は代数学、解析学、微分幾何学、行列理論、数論、統計学などの分野に数多くの貢献をしました。[ 97 ] 20世紀初頭、クルト・ゲーデルは不完全性定理を発表し、数学を変革しました。この定理は、算術を記述するのに十分な力を持つ無矛盾な公理系には、証明できない真の命題が含まれることを部分的に示しています。[ 57 ]
それ以来、数学は大きく拡張され、数学と科学の間には実りある相互作用があり、両者に利益をもたらしてきました。数学の発見は今日に至るまで続いています。ミハイル・B・セヴリュクは、 2006年1月号の米国数学会報で、「1940年（MRの運用開始年）以降、 Mathematical Reviews （MR）データベースに収録されている論文と書籍の数は現在190万件を超え 、毎年7万5千件以上の 項目がデータベースに追加されています。この膨大なデータベースに収録されている作品の圧倒的大多数は、新しい数学の定理とその証明を含んでいます。」と述べています。[ 98 ]
数学的表記法は、複雑な概念や特性を簡潔かつ明確に正確に表現するために、科学や工学で広く使用されています。この表記法は、演算、未指定の数、関係、その他の数学的対象を表すために使用される記号で構成され、それらを式や公式に組み立てます。[ 99 ]より正確には、数やその他の数学的対象は、変数と呼ばれる記号で表され、変数は一般的にラテン文字またはギリシャ文字であり、多くの場合、添え字が含まれます。演算と関係は、一般的に、+ (加算)、× (乗算)などの特定の記号またはグリフで表されます。[ 100 ](積分)、= (等しい)、< (より小さい)。[ 101 ]これらの記号はすべて、一般的に特定の規則に従ってグループ化され、式や公式を形成します。[ 102 ]通常、式や公式は単独で現れるのではなく、現在の言語の文に含まれ、式は名詞句の役割を果たし、公式は節の役割を果たします。
数学は、さまざまな抽象的で理想化された対象の性質とそれらの相互作用を研究する幅広い分野を網羅する豊富な用語体系を発展させてきました。これは、コミュニケーションの標準的な基盤を提供する厳密な定義に基づいています。公理または仮説は、証明を必要とせずに真であるとみなされる数学的命題です。数学的命題がまだ証明されていない（または反証されていない）場合は、予想と呼ばれます。演繹的推論を用いた一連の厳密な議論を通じて、真であることが証明された命題は定理になります。主に別の定理を証明するために使用される特殊な定理は、補題と呼ばれます。より一般的な発見の一部を形成する証明された事例は、系と呼ばれます。[ 103 ]
数学で使用される多くの専門用語は、多項式や同相写像などの新語です。[ 104 ]他の専門用語は、日常言語の単語で、その一般的な意味とは少し異なる正確な意味で使用される場合があります。たとえば、数学では「または」は「一方、他方、または両方」を意味しますが、日常言語では曖昧であるか、「一方または他方だが両方ではない」を意味します（数学では後者は「排他的または」と呼ばれます）。最後に、多くの数学用語は、まったく異なる意味で使用される一般的な単語です。[ 105 ]これにより、正しい真の数学的主張である文が、必要な背景知識を持たない人には意味不明に見える場合があります。たとえば、「すべての自由加群は平坦である」および「体は常に環である」です。
数学はほとんどの科学において現象をモデル化するために用いられ、それによって実験法則から予測を行うことができる。[ 106 ]数学的真理がいかなる実験からも独立しているということは、そのような予測の正確さはモデルの適切さのみに依存することを意味する。[ 107 ]不正確な予測は、無効な数学的概念によって引き起こされるのではなく、使用されている数学モデルを変更する必要性を示唆している。[ 108 ]例えば、水星の近日点歳差運動は、ニュートンの万有引力の法則に代わるより優れた数学モデルとしてアインシュタインの一般相対性理論が登場した後にのみ説明できた。[ 109 ]
数学が科学であるかどうかについては、いまだ哲学的な議論が続いている。しかし実際には、数学者は通常科学者とグループ分けされ、数学は物理科学と多くの共通点を持っている。物理科学と同様に、数学は反証可能である。つまり、数学では、結果や理論が間違っている場合、反例を示すことでそれを証明できる。科学と同様に、理論や結果（定理）はしばしば実験から得られる。[ 110 ]数学における実験は、選択された例に対する計算、あるいは数学的対象の図やその他の表現（多くの場合、物理的な裏付けのない心の表象）の研究から構成される。例えば、ガウスは自分の定理をどのようにして得たのかと尋ねられたとき、「体系的な実験によって」と答えたことがある。[ 111 ]しかし、数学は経験的証拠に頼らない点で、現代の科学の概念とは異なると強調する著者もいる。[ 112 ] [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]
19 世紀までは、今日理解されているような純粋数学と応用数学の明確な区別はありませんでした。[ 116 ]数学をそれ自体のために発展させるか、応用のために発展させるかの区別はむしろ流動的でした。自然数と算術は数える必要性から導入され、幾何学は測量、建築、天文学によって動機づけられましたが、どちらの分野もすぐに独立したものとなりました。後に、アイザック ニュートンは微積分を部分的に使用して、惑星の運動と万有引力の法則を説明しました。さらに、古代から、ほとんどの数学者は科学者でもあり、多くの科学者も数学者でした。[ 117 ]それにもかかわらず、西洋の純粋数学の伝統は古代ギリシャにその起源をたどります。[ 118 ]例えば、紀元前 300 年のユークリッドに遡る整数因数分解の問題は、現在コンピュータ ネットワークのセキュリティのために広く使用されているRSA 暗号システムで使用されるまで、実用的な応用はありませんでした。[ 119 ]
19世紀には、カール・ワイエルシュトラスやリヒャルト・デデキントなどの数学者たちは、純粋数学という内部問題に研究の焦点を移していった。[ 116 ] [ 120 ]これにより、数学は純粋数学と応用数学に分かれ、後者は数学の純粋主義者の間では価値が低いと見なされることが多い。しかし、両者の境界線はしばしば曖昧である。[ 121 ]
第二次世界大戦後、米国をはじめとする各地で応用数学の発展が急増した。[ 122 ] [ 123 ]応用のために開発された理論の多くは純粋数学の観点からも興味深いことが判明し、純粋数学の多くの成果が数学以外の分野にも応用できることが示された。そして、これらの応用を研究することで、「純粋理論」に関する新たな洞察が得られる可能性がある。[ 124 ] [ 125 ]
最初のケースの例としては、量子力学で行われた計算を検証するためにローラン・シュワルツによって導入された分布理論があり、これはすぐに（純粋）数学解析の重要なツールとなった。[ 126 ] 2番目のケースの例としては、実数の1階理論の決定可能性があり、これはアルフレッド・タルスキによって真であることが証明された純粋数学の問題であるが、計算複雑度が高すぎるため、アルゴリズムを実装することは不可能である。 [ 127 ]実装可能で、多項式方程式と不等式のシステムを解くことができるアルゴリズムを得るために、ジョージ・コリンズは円筒代数分解を導入し、これは実代数幾何学の基本的なツールとなった。[ 128 ]
現代では、純粋数学と応用数学の区別は、数学を広い分野に分けるというよりも、数学者の個人的な研究目標の問題である。[ 129 ] [ 130 ]数学主題分類には「一般応用数学」のセクションがあるが、「純粋数学」については言及されていない。[ 9 ]しかし、これらの用語は、ケンブリッジ大学の数学部など、一部の大学の学科名で今でも使用されている。
数学の不合理な有効性は、物理学者ユージン・ウィグナーによって名付けられ、初めて明確にされた現象である。[ 5 ]これは、多くの数学理論（最も純粋なものでさえ）が、当初の対象以外の分野にも応用されているという事実である。これらの応用は、当初の数学の領域とは全く異なる場合があり、数学理論が導入された時点では全く知られていなかった物理現象に関係している場合もある。[ 131 ]数学理論の予期せぬ応用例は、数学の多くの分野で見られる。
注目すべき例としては、RSA暗号システムによる安全なインターネット通信で一般的に使用される2,000年以上前に発見された自然数の素因数分解が挙げられます。[ 132 ] 2つ目の歴史的な例は楕円の理論です。楕円は古代ギリシャの数学者によって円錐曲線（つまり、円錐と平面の交線）として研究されていました。それからほぼ2,000年後、ヨハネス・ケプラーが惑星の軌道が楕円であることを発見しました。 [ 133 ]
19 世紀には、幾何学 (純粋数学) の内部発展により、非ユークリッド幾何学、3 次元を超える空間、および多様体の定義と研究が行われました。当時、これらの概念は物理的現実とは全く無関係に思えましたが、20 世紀初頭に、アルベルト・アインシュタインは、これらの概念を根本的に利用する相対性理論を発展させました。特に、特殊相対性理論の時空は4 次元の非ユークリッド空間であり、一般相対性理論の時空は4 次元の (曲がった) 多様体です。[ 134 ] [ 135 ]
数学と物理学の相互作用における顕著な側面の一つは、数学が物理学の研究を推進する点である。これは陽電子とバリオンの発見によって示されている。どちらの場合も、理論の方程式には説明のつかない解があり、未知の粒子の存在が推測され、これらの粒子の探索につながりました。どちらの場合も、これらの粒子は数年後に特定の実験によって発見されました。[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]
数学と物理学は、近代史を通じて互いに影響を与え合ってきた。現代物理学は数学を多用しており[ 139 ]、主要な数学的発展の動機とも考えられている[ 140 ] 。
コンピューティングは、いくつかの点で数学と密接に関連しています。[ 141 ]理論計算機科学は、本質的に数学的であると考えられています。[ 142 ]通信技術は、特に伝送セキュリティ、暗号理論、符号理論において、非常に古い数学の分野（例えば算術）を応用しています。離散数学は、複雑性理論、情報理論、グラフ理論など、コンピュータ科学の多くの分野で有用です。[ 143 ] 1998年には、球体充填に関するケプラー予想もコンピュータによって部分的に証明されたように見えました。[ 144 ]
統計学は、数学的手法、特に確率論に基づく手順を用いてデータサンプルを収集および処理するために用いられる数学的応用分野である。統計学者は、ランダムサンプリングまたはランダム化実験によってデータを生成する。[ 146 ]
統計理論は、例えばパラメータ推定、仮説検定、最良の選択などの手順の使用といった統計的行為のリスク（期待損失）を最小化するなどの意思決定問題を研究します。これらの伝統的な数理統計学の分野では、統計的意思決定問題は、特定の制約の下で期待損失やコストなどの目的関数を最小化することによって定式化されます。たとえば、調査の設計には、多くの場合、与えられた信頼水準で母平均を推定するコストを最小化することが含まれます。[ 147 ]最適化を使用するため、統計の数理理論は、オペレーションズリサーチ、制御理論、数理経済学などの他の意思決定科学と重なります。[ 148 ]
生物学では、生態学や神経生物学などの分野で確率が広く用いられています。[ 149 ]確率に関する議論のほとんどは、進化適応度の概念を中心に展開されています。[ 149 ]生態学では、個体群動態のシミュレーション、[ 149 ] [ 150 ]捕食者-被食者モデルなどの生態系の研究、汚染拡散の測定、[ 151 ]または気候変動の評価にモデリングが多用されています。[ 152 ]個体群の動態は、ロトカ-ボルテラ方程式などの連立微分方程式によってモデル化できます。[ 153 ]
統計的仮説検定は、新しい治療法が効果的かどうかを判断するために、臨床試験のデータに対して実行されます。 [ 154 ] 20世紀の初めから、化学はコンピューターを使用して分子を3次元でモデル化してきました。[ 155 ]
構造地質学と気候学は、自然災害のリスクを予測するために確率モデルを使用します。[ 156 ]同様に、気象学、海洋学、惑星学も、モデルを多用するため数学を使用します。[ 157 ] [ 158 ] [ 159 ]
社会科学で使用される数学の分野には、確率/統計と微分方程式が含まれます。これらは、言語学、経済学、社会学[ 160 ]、心理学[ 161 ]で使用されています。
数理経済学の基本的な前提は、多くの場合、合理的な個人行為者、すなわちホモ・エコノミクス（文字通り「経済人」）である。[ 162 ]このモデルでは、個人は自己利益の最大化を目指し、[ 162 ]完全な情報を用いて常に最適な選択を行う。[ 163 ]この原子論的な経済学観は、個々の計算を数学的計算に置き換えることで、比較的容易に思考を数学化することを可能にする。このような数学的モデリングによって、経済メカニズムを調査することができる。ホモ・エコノミクスの概念を否定または批判する人もいる。経済学者は、現実の人々は限られた情報しか持っておらず、不適切な選択をし、個人的な利益だけでなく、公平性や利他主義にも関心があると指摘している。[ 164 ]
数学的モデリングがなければ、統計的観察や検証不可能な推測を超えることは難しい。数学的モデリングによって、経済学者は仮説を検証し、複雑な相互作用を分析するための構造化された枠組みを作成できる。モデルは明確さと精度を提供し、理論的な概念を、現実世界のデータと照らし合わせて検証可能な定量的な予測に変換することを可能にする。[ 165 ]
20世紀初頭には、歴史的動向を数式で表現する動きが見られました。1922年、ニコライ・コンドラチェフは約50年周期のコンドラチェフ・サイクルを解明し、経済成長や危機の局面を説明しました。[ 166 ] 19世紀末には、数学者たちは地政学に分析を拡張しました。[ 167 ]ピーター・トゥルチンは1990年代にクリオダイナミクスを開発しました。 [ 168 ]
社会科学の数学化にはリスクが伴う。物議を醸した著書『流行のナンセンス』（1997年）の中で、ソーカルとブリクモンは、社会科学における科学用語、特に数学や物理学の用語の根拠のない、あるいは濫用的な使用を非難した。[ 169 ]複雑なシステム（失業率の推移、企業資本、人口の人口動態の変化など）の研究には数学的知識が用いられる。しかし、特に失業率の計数基準やモデルの選択は議論の的となる可能性がある。[ 170 ] [ 171 ]
数学と物質的現実との関連性は、少なくともピタゴラスの時代から哲学的な議論を引き起こしてきた。古代の哲学者プラトンは、物質的現実を反映する抽象概念自体が、空間と時間の外に存在する現実性を持つと主張した。その結果、数学的対象が抽象化の中で何らかの形でそれ自体で存在するという哲学的見解は、しばしばプラトン主義と呼ばれる。現代の数学者は、哲学的な見解とは無関係に、研究対象を実在の対象として考え、語るため、一般的にプラトン主義者とみなすことができる。[ 172 ]
アルマン・ボレルは、数学の現実に関するこの見解を次のように要約し、自身の見解を裏付けるGHハーディ、シャルル・エルミート、アンリ・ポアンカレ、アルベルト・アインシュタインの引用を提示した。[ 136 ]
何かが客観的になるのは（「主観的」ではなく）、それが私たちと同じ形で他者の心の中にも存在し、私たちがそれについて考え、共に議論できると確信した時である。[ 173 ]数学の言語は非常に正確であるため、そのような合意が存在する概念を定義するのに理想的である。私の意見では、それだけで数学の客観的な存在、現実感を私たちに与えるのに十分である。
しかしながら、プラトン主義と抽象化に関する同時期の見解は、数学の不合理な有効性を説明するものではない（プラトン主義は数学が独立して存在すると仮定しているが、それが現実と一致する理由を説明していない）。[ 174 ]
数学の定義やその認識論的地位、つまり知識の中での位置づけについては、一般的な合意はありません。多くの専門数学者は、数学の定義には関心を持たず、定義不可能だと考えています。数学が芸術なのか科学なのかについても合意はありません。「数学とは数学者が行うことだ」と言う人もいます。[ 175 ] [ 176 ]一般的なアプローチは、数学を研究対象によって定義することです。[ 177 ] [ 178 ] [ 179 ] [ 180 ]
アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は18世紀まで通用した。しかし、アリストテレスは量だけに焦点を当てても、数学を物理学のような科学と区別することはできないとも指摘した。彼の見解では、抽象化と、現実の事例から「思考上分離可能な」性質として量を研究することが、数学を区別する点である。[ 181 ] 19世紀、数学者たちが無限集合など、物理的現実と明確な関係のないトピックに取り組み始めると、さまざまな新しい定義が与えられた。[ 182 ] 20世紀初頭から数学の新しい分野が多数出現したため、研究対象によって数学を定義することはますます困難になっている。[ 183 ] 例えば、定義の代わりに、サンダース・マックレーンは『数学、形式、機能』で、いくつかの数学分野の基本を要約し、それらの相互関連性を強調し、次のように述べている。 [ 184 ]
数学の発展は、形式的な規則、概念、体系が密接に結びついたネットワークを形成する。このネットワークの各要素は、人間の活動に役立つ手順や科学において生じる問題と密接に結びついている。活動から形式的な数学体系への移行は、様々な一般的な洞察やアイデアによって導かれる。
数学を定義するもう1つの方法は、その方法を用いることです。例えば、定理（その妥当性が証明、つまり純粋に論理的な演繹に依存する主張）を証明できるようになった時点で、その研究分野はしばしば数学として分類されます。[ d ] [ 185 ]
数学的推論には厳密さが求められる。これは、定義が絶対的に曖昧であってはならず、証明は推論規則の連続的な適用に還元可能でなければならないことを意味する。[ e ]経験的証拠や直観を一切使用してはならない。 [ f ] [ 186 ]厳密な推論は数学に特有のものではないが、数学における厳密さの基準は他の分野よりもはるかに高い。数学の簡潔さにもかかわらず、厳密な証明は、255 ページに及ぶフェイト・トンプソン定理のように、数百ページを要して表現されることがある。[ g ]コンピュータ支援証明の出現により、証明の長さはさらに拡大した。[ h ] [ 187 ]この傾向の結果、絶対的に正しいとは言えないものの、確率を伴う準経験主義的証明の哲学が生まれた。 [ 8 ]
数学における厳密性の概念は、論理的で演繹的な推論を奨励していた古代ギリシャにまで遡ります。しかし、この厳密なアプローチは、無理数や無限の概念といった新しいアプローチの探求を阻害する傾向がありました。厳密な証明を示す方法は、16世紀に記号表記の使用によって強化されました。18世紀には、社会の変化により数学者が教育によって生計を立てるようになり、数学の根底にある概念についてより慎重に考えるようになりました。これにより、幾何学的方法から代数的、そして算術的証明へと移行しながら、より厳密なアプローチが生まれました。[ 8 ]
19世紀末には、数学の基本概念の定義が、パラドックス（非ユークリッド幾何学とワイエルシュトラス関数）や矛盾（ラッセルのパラドックス）を回避するには十分正確ではないことが明らかになった。これは、数学理論の必然的推論規則に公理を取り入れることによって解決された。これは、古代ギリシャ人が先駆的に行った公理的方法の再導入である。[ 8 ]その結果、「厳密性」はもはや数学において関連のある概念ではなくなり、証明は正しいか間違っているかのどちらかであり、「厳密な証明」は単なる冗長表現となる。厳密性の特別な概念が作用するのは、証明の社会化された側面であり、そこでは他の数学者によって実証的に反駁される可能性がある。証明が何年も、あるいは何十年も受け入れられた後、それは信頼できるものとみなされる。[ 188 ]
それにもかかわらず、「厳密性」という概念は、数学的証明とは何かを初心者に教える上で依然として有用である可能性がある。[ 189 ]
数学は文化や時代を超越する驚くべき能力を持っています。人間の活動として、数学の実践には教育、キャリア、認知、普及などを含む社会的な側面があります。教育において、数学はカリキュラムの中核を成し、STEM分野の重要な要素を形成しています。プロの数学者の主なキャリアには、数学教師または教授、統計学者、アクチュアリー、金融アナリスト、エコノミスト、会計士、商品トレーダー、またはコンピュータコンサルタントなどがあります。[ 190 ]
考古学的証拠によれば、数学の教育は紀元前2千年紀には古代バビロニアで行われていた。[ 191 ]同様の証拠は、紀元前300年頃から古代近東、そしてギリシャ・ローマ世界で書記の数学訓練が行われていたことを示すものも発掘されている。[ 192 ]現存する最古の数学教科書は、紀元前1650年頃のエジプトのリンド・パピルスである。[ 193 ]書籍が不足していたため、古代インドではヴェーダ時代（紀元前1500年頃～紀元前500年頃）から数学の教えは口伝によって伝えられていた。[ 194 ]唐王朝（西暦618年～907年）の中国では、国家官僚になるための官吏登用試験に数学のカリキュラムが採用された。 [ 195 ]
暗黒時代以降、ヨーロッパの数学教育は、クアドリヴィウムの一部として宗教学校によって提供されました。正式な教育学の指導は、16 世紀と 17 世紀にイエズス会の学校で始まりました。ほとんどの数学カリキュラムは、19 世紀にフランスとドイツで発展し始めるまで、基本的で実用的なレベルにとどまっていました。数学の指導を扱った最古の雑誌は、1899 年に発行が開始されたL'Enseignement Mathématiqueです。 [ 196 ]西洋の科学技術の進歩は、多くの国民国家で中央集権的な教育システムの確立につながり、数学は当初は軍事用途のためにその中核的な要素となりました。 [ 197 ]コースの内容は国によって異なりますが、今日ではほぼすべての国で、かなりの時間をかけて生徒に数学を教えています。[ 198 ]
学校生活において、数学的能力と前向きな期待は、その分野へのキャリア関心と強い関連性があります。教師、親、仲間からのフィードバックによる動機付けなどの外的要因は、数学への関心のレベルに影響を与える可能性があります。[ 199 ]数学を勉強している生徒の中には、その科目での成績について不安や恐怖を抱くようになる人もいます。これは数学不安症として知られており、学業成績に影響を与える障害の中で最も顕著なものと考えられています。数学不安症は、親や教師の態度、社会的ステレオタイプ、個人の特性など、さまざまな要因によって発生する可能性があります。不安に対処するには、指導方法の変更、親や教師との交流、個人に合わせた治療などが役立ちます。[ 200 ]
数学定理の妥当性は、その証明の厳密さのみに依存し、理論的にはコンピュータ プログラムによって自動的に実行できる。これは、数学の研究に創造性の余地がないという意味ではない。それどころか、多くの重要な数学的成果（定理）は、他の数学者が解決できなかった問題の解決策であり、それらを解決する方法を発明することは、解決プロセスの根本的な方法である可能性がある。[ 201 ] [ 202 ]極端な例として、エイペリーの定理がある。ロジャー エイペリーは証明のアイデアを提供しただけで、正式な証明は数か月後に他の 3 人の数学者によって与えられた。[ 203 ]
創造性と厳密さは、数学者の活動における心理的側面のすべてではありません。一部の数学者は、自分の活動をゲーム、より具体的にはパズルを解くことと捉えることができます。[ 204 ]この数学的活動の側面は、レクリエーション数学で強調されています。
数学者は数学に美的価値を見出すことができる。美しさと同様に定義するのは難しいが、一般的には優雅さと関連付けられ、そこには単純さ、対称性、完全性、一般性といった性質が含まれる。GH ハーディは『数学者の弁明』の中で、美的考察そのものが純粋数学の研究を正当化するのに十分であるという信念を表明した。彼はまた、数学の美学に貢献する意義、意外性、必然性といった他の基準も挙げた。[ 205 ]ポール・エルデシュは、最も美しい証明を集めたとされる神聖な書物「書物」について語ることで、この感情をより皮肉的に表現した。エルデシュに触発された1998年の著書『書物からの証明』は、特に簡潔で啓示的な数学的議論を集めたものである。収録されている特に優雅な結果の例としては、素数が無限に存在するというユークリッドの証明や、調和解析のための高速フーリエ変換などがある。[ 206 ]
数学を科学とみなすことは、七つの伝統的な自由七科における数学の芸術性や歴史を軽視することだと考える人もいる。[ 207 ]この見解の相違は、数学的成果が（芸術のように）創造されるのか、（科学のように）発見されるのかという哲学的議論にも表れている。[ 136 ]レクリエーション数学の人気は、多くの人が数学の問題を解くことに喜びを見出していることのもう一つの証拠である。
西洋人の耳に心地よく響く音は、基本振動数が単純な比率になっている音です。例えば、オクターブは周波数を2倍にし、完全5度は周波数を1/2倍にします。[ 208 ] [ 209 ]
人間や他の動物の中には、対称的なパターンをより美しいと感じるものもいる。[ 210 ]数学的には、物体の対称性は、対称群と呼ばれるグループを形成する。[ 211 ]例えば、鏡面対称性の基礎となるグループは、2 つの要素からなる巡回群である。ロールシャッハテストはこの対称性によって不変な図形であり、[ 212 ]蝶や動物の体も一般的には（少なくとも表面上は）同様である。 [ 213 ]海面の波は並進対称性を持つ。波の頂上間の距離だけ視点を移動しても、海の見え方は変わらない。[ 214 ]フラクタルは自己相似性を持つ。[ 215 ] [ 216 ]
数学普及とは、専門用語を使わずに数学を紹介する行為である。[ 217 ]一般の人々は数学に不安を感じやすく、数学の対象は非常に抽象的であるため、数学を紹介するのは難しいかもしれない。[ 218 ]しかし、数学普及に関する文章は、応用例や文化的つながりを用いることで、この問題を克服することができる。[ 219 ]それにもかかわらず、数学は印刷媒体やテレビ媒体で普及のテーマとなることはほとんどない。
数学における最も権威ある賞はフィールズ賞である。[ 220 ] [ 221 ] 1936年にカナダ人のジョン・チャールズ・フィールズによって創設され、4年ごとに（第二次世界大戦前後を除いて）最大4人に授与される。[ 222 ] [ 223 ]数学におけるノーベル賞に相当するものと考えられている。[ 223 ]
その他の権威ある数学賞には以下が含まれます: [ 224 ]
ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトは、1900年に「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決問題の有名なリストを作成しました。 [ 232 ]このリストは数学者の間で非常に有名になり、[ 233 ]少なくとも13の問題（解釈の仕方によっては）が解決されています。[ 232 ]
2000年に「ミレニアム懸賞問題」と題された7つの重要な問題のリストが新たに発表された。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の1つと重複している。これらの問題のいずれかを解くと100万ドルの賞金がもらえる。[ 234 ]現在までに、これらの問題のうち、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによってポアンカレ予想のみが解決されている。[ 235 ]
新しい MSC には、2 桁の分類が 63 件、3 桁の分類が 529 件、5 桁の分類が 6,006 件含まれています。
...数学は、数と形の2つの主要な流れによって現在に伝わってきました。前者は算術と代数を、後者は幾何学を運びました。
数学の二つの呪いである数秘術と占星術も数学と共に生まれ、数学そのものよりも大衆に受け入れられてきたのは残念なことである。
ディオファントスは、その著作の中で、辺の数の推論、数を図形数として表現するさまざまな方法、および等差数列の定式化など、図形数の算術的性質の推論に焦点を当てた。
数学
とは一般的に何を意味するのかを問う必要がある。著名な学者たちはこの問題について徹底的に議論してきたが、数学が自然科学なのか、人文科学の一分野なのか、芸術形式なのかについては、いまだに合意に至っていない。
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）{{cite book}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)参照: A Mathematician's Apology。