スキーム（数学）

数学、特に代数幾何学において、スキームとは、重複度を考慮する（方程式x = 0 とx ^{2 = 0 は同じ}代数多様体を定義するが異なるスキームである）ことや、任意の可換環上で定義された「多様体」を許可する（たとえば、フェルマー曲線は整数上で定義される）ことなど、いくつかの方法で代数多様体の概念を拡張する構造である。

スキーム理論は、1960年にアレクサンダー・グロタンディークが論文「代数幾何学原論（EGA）」で発表した。その目的の1つは、ヴェイユ予想（最後のものはピエール・ドリーニュが証明した）などの代数幾何学の深い問題を解くために必要な形式論を開発することだった。 ^[1]可換代数に強く基づくスキーム理論では、位相幾何学やホモロジー代数の手法を体系的に使用することができる。スキーム理論はまた、代数幾何学と数論の多くを統合し、最終的にはワイルズによるフェルマーの最終定理の証明につながった。

スキームは、代数多様体はそれ（またはその部分集合）上で定義される正則代数関数の座標環を通して最もよく解析され、各部分多様体は部分多様体上で消える関数のイデアルに対応するという基本的な考え方を詳しく説明する。直感的には、スキームは、幾何学的点に対応する閉点と、既約部分多様体のジェネリック点である非閉点からなる位相空間である。この空間は開集合のアトラスで覆われ、各開集合には正則関数の座標環が備わっており、交差する開集合上の関数間の座標変換が指定されている。このような構造は、環付き空間または環の層と呼ばれる。主に興味深いのは、座標環がネーター環であるネータースキームである。

正式には、スキームはアフィンスキームで覆われた環空間です。アフィンスキームは可換環のスペクトルです。その点は環の素イデアルであり、その閉じた点は極大イデアルです。アフィンスキームの座標環は環そのものであり、開部分集合の座標環は分数の環です。

相対的な観点では、代数幾何学の多くは、個々のスキームではなく、スキームの射X → Y （基底Y上のスキームXと呼ばれる）に対して展開されるべきである。たとえば、 代数曲面を研究する場合、任意のスキームY上の代数曲面の族を考慮すると役立つ場合があります。多くの場合、特定のタイプのすべての多様体の族は、それ自体が多様体またはスキームとして見られ、モジュライ空間として知られています。

スキーム理論の詳細な定義については、スキーム理論の用語集を参照してください。

代数幾何学の起源は、主に実数上の多項式方程式の研究にあります。19世紀までに、実数上の代数幾何学は、代数的に閉じているという利点を持つ複素数体上で作業することによって簡略化されることが明らかになりました (特にジャン=ヴィクトル・ポンスレとベルンハルト・リーマンの研究で) 。^[2] 20世紀初頭には、代数幾何学と数論の間に類似性が見られ、次のような疑問が浮かび上がりました。代数幾何学は、正の標数を持つ体などの他の体、さらに一般的には整数などの数環上で展開できるか、このような体では、複素多様体を研究するために使用される位相幾何学や複素解析のツールは適用できないようです。

ヒルベルトの零点定理は、任意の代数閉体k上の代数幾何学へのアプローチを示唆している。多項式環k [ x ₁ ,..., x _n ]の最大イデアルはkのn組の元の集合k ⁿと一対一に対応し、素イデアルはアフィン多様体として知られるk ⁿの既約代数集合に対応する。これらのアイデアに動機づけられて、エミー・ネーターとヴォルフガング・クルルは1920 年代と 1930 年代に可換代数を開発した。^[3]彼らの研究は、代数幾何学を純粋に代数の方向に一般化し、点 (多項式環の最大イデアル) の研究を任意の可換環の素イデアルの研究に一般化した。例えば、クルルは可換環の次元を素イデアルで定義し、少なくとも環がネーター環である場合には、この定義が幾何学的次元の直感的な性質の多くを満たすことを証明した。

ネーターとクルルの可換代数は、アフィン代数多様体への代数的アプローチと見なすことができます。しかし、代数幾何学の多くの議論は、本質的にコンパクトであるため、射影多様体に対してよりうまく機能します。1920年代から1940年代にかけて、BL van der Waerden、André Weil、およびOscar Zariskiは、射影（または準射影）多様体というより豊かな設定において、可換代数を代数幾何学の新しい基礎として適用しました。 ^[4]特に、ザリスキ位相は、任意の代数閉体上の多様体上の有用な位相であり、ある程度、複素数 計量位相に基づく複素多様体上の古典的な位相に取って代わります。

数論への応用として、ファンデルワールデンとヴェイユは、代数的に閉じている必要のない任意の体上の代数幾何学を定式化した。ヴェイユは、位相幾何学における抽象多様体のモデル上で、アフィン多様体を開集合に沿って接着することにより、 （射影空間に埋め込まれていない）抽象多様体を定義した最初の人物である。彼は、任意の体上の曲線のヤコビ多様体の構築にこの一般性を必要とした。（後に、ヤコビアンが射影多様体であることがヴェイユ、チョウ、マツサカによって示された。）

イタリア学派の代数幾何学者は、代数多様体の一般点というやや曖昧な概念をしばしば使用していた。一般点に当てはまることは、多様体の「ほとんどの」点にも当てはまる。ヴェイユの『代数幾何学の基礎』 （1946 年）では、一般点は普遍領域と呼ばれる非常に大きな代数的に閉じた体内の点を取ることによって構築されている。^[4]これは不自然に機能した。同じ多様体に対して多くの異なる一般点が存在したのだ。（後のスキーム理論では、各代数多様体は単一の一般点を持つ。）

1950年代には、クロード・シュヴァレー、永田正義、ジャン＝ピエール・セールが、数論と代数幾何学を結びつけるヴェイユ予想に一部動機づけられ、例えば許される基底環の一般化などにより、代数幾何学の対象をさらに拡張した。スキームという言葉は、1956年のシュヴァレーセミナーで初めて使用され、そこでシュヴァレーはザリスキのアイデアを追求した。^[5]ピエール・カルティエによると、アンドレ・マルティノーがセールに、任意の可換環のスペクトルを代数幾何学の基礎として使う可能性を提案したという。^[6]

この理論はグロタンディークの代数幾何原論(EGA) とその後の代数幾何セミナー(SGA)で決定的な形を取り、一連の実験的提案と部分的発展を完結させた。^[7]グロタンディークは、可換環Rのスペクトル X を、自然位相 (ザリスキ位相として知られる) を持つRの素イデアルの空間として定義したが、環の層でそれを拡張した。つまり、すべての開部分集合Uに可換環O _X ( U ) を割り当てた。これは、 U上の正則関数の座標環と考えることができる。これらのオブジェクト Spec( R ) はアフィン スキームであり、アフィン スキームを「接着」することで一般的なスキームが得られる。

代数幾何学の多くは、体k 上の射影多様体または準射影多様体、特に複素数上の多様体に焦点を当てています。グロタンディークは、多様体に対する幾何学的直観の多くを拡張する任意のスキームに関する大規模な理論を展開しました。たとえば、モジュライ空間を最初にスキームとして構築し、その後でそれが射影多様体などのより具体的なオブジェクトであるかどうかを調べるのが一般的です。グロタンディークの理論を整数やその他の数体上のスキームに適用することで、数論に強力な新しい視点が生まれました。

アフィンスキームは、可換環RのスペクトルSpec( R )と同型の局所環空間です。スキームは、開集合U _iによる被覆を許容する局所環空間Xであり、各U _i (局所環空間として) はアフィンスキームです。^[8]特に、Xには層O _Xが付属しており、これはすべての開部分集合Uに、 U上の正則関数の環と呼ばれる可換環O _X ( U )を割り当てます。スキームは、アフィンスキームである「座標チャート」で覆われていると考えることができます。定義は、スキームがザリスキ位相を使用してアフィンスキームを接着することによって得られることを正確に意味します。

初期には、これはプレスキームと呼ばれ、スキームは分離されたプレスキームとして定義されていました。プレスキームという用語は使用されなくなりましたが、グロタンディークの「Éléments de géométrie algébrique」やマンフォードの「Red Book」などの古い本にはまだ見られます。^[9] O _X ( U )の層特性は、必ずしも関数ではないその要素が、関数と同じ方法でその制約からパッチを当てることができることを意味します。

アフィンスキームの基本的な例は、自然数nに対する体k上のアフィンn空間です。定義により、A ^nk
_​は多項式環k [ x ₁ ,..., x _n ]のスペクトルです。スキーム理論の精神では、アフィンn空間は実際には任意の可換環R上に定義でき、これは Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]) を意味します。

スキームはカテゴリを形成し、射は局所環空間の射として定義されます。(スキームの射も参照してください。) スキームYに対して、 Y上のスキームX (またはY -スキーム) はスキームの射X → Yを意味します。可換環R上のスキームX は射X → Spec( R ) を意味します。

体k上の代数多様体は、特定の性質を持つk上のスキームとして定義できます。どのスキームを多様体と呼ぶべきかについては、さまざまな慣習があります。1つの標準的な選択は、k上の多様体はk上の有限型の整数分離スキームを意味するというものです。^[10]

スキームの射f : X → Yは、正則関数の環上の引き戻し準同型f *: O ( Y )→ O ( X )を決定する。アフィンスキームの場合、この構成はスキームの射Spec( A )→Spec( B )と環準同型B → Aの間に1対1の対応を与える。^[11]この意味で、スキーム理論は可換環の理論を完全に包含している。

Z は可換環のカテゴリにおける始対象なので、スキームのカテゴリには終対象として Spec( Z )があります。

可換環R上のスキームXについて、XのR点とは、射X → Spec( R ) の切断を意味します。 XのR点の集合をX ( R )と書きます。例では、この定義は、 Rに値を持つXの定義方程式の解の集合という古い概念を再構築します。 Rが体kのとき、X ( k ) はXのk有理点の集合とも呼ばれます。

より一般的には、可換環Rと任意の可換R 代数S上のスキームXに対して、XのS点はR上の射 Spec( S ) → Xを意味する。 X の S 点の集合を X ( S ) と書く。(これは、体k上のいくつかの方程式が与えられたときに、 k の任意の体拡大 E における方程式の解の集合を考えることができるという古い観察を一般化したものである。) R上のスキームXに対して、割り当てS ↦ X ( S ) は可換R代数から集合への関手である。 R上のスキームXがこの点の関手によって決定されることは重要な観察である。^[12]

スキームのファイバー積は常に存在します。つまり、スキームYへの射を持つ任意のスキームXおよびZに対して、スキームのカテゴリにカテゴリファイバー積が存在します。 XおよびZ が体k上のスキームである場合、 Spec( k )上のファイバー積は、k -スキームのカテゴリにおける積X × Zと呼ぶことができます。たとえば、k上のアフィン空間との積は、 k上のアフィン空間です。 ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$

スキームのカテゴリにはファイバー積と終端オブジェクトSpec( Z )があるため、すべての有限極限が存在します。

ここで、および以下で考慮されるすべての環は可換です。

を代数的に閉体とします。アフィン空間は、の座標を持つすべての点の代数多様体です。その座標環は多項式環です。対応するスキームは、ザリスキ位相を持つ位相空間であり、その閉点は最大イデアル、つまり で消える多項式の集合です。スキームには、各非最大素イデアルに対して閉じていない点も含まれており、その消えることは既約な部分多様体を定義します。スキーム点の位相閉包は、部分多様体のすべての閉点、つまり 、またはそれと同等の を含む部分スキームです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$${\displaystyle a\in {\bar {V}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}}$

このスキームは、超曲面の補集合によって与えられる開集合の基底を持ち、${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{f}=X\smallsetminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}}$

既約多項式に対して。この集合は、正規関数の座標環を備えている。${\displaystyle f\in R}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{for}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}}$。

これにより、与えられた開集合上で正則な有理関数の通常の環を与える一意の層が誘導されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle U}$

各環元 は上の多項式関数であり、 における値が商環、つまり留数環にあるスキームの点上の関数も定義します。 を自然写像 によるの像として定義します。最大イデアルは、自然同型 を持つ留数体を与えるので、 は元の値 に対応します。 ${\displaystyle r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle r({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k}$${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$${\displaystyle r({\mathfrak {m}}_{a})}$${\displaystyle r(a)}$

多項式の消失軌跡は、主イデアルに対応する超曲面部分多様体です。対応するスキームはで、アフィン空間 の閉じた部分スキームです。たとえば、 を複素数または実数とすると、方程式は、スキーム に対応するアフィン平面 の節点 3 次曲線を定義します。 ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle {\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle (f)\subset R}$${\textstyle V(f)=\オペレータ名 {スペック} (R/(f))}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x^{2}=y^{2}(y+1)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\displaystyle V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))}$

整数環は、スキーム の座標環と見なすことができます。ザリスキ位相には、素数の主イデアルである閉点 と、スキーム 全体が閉包となる一般点である零点イデアルがあります。閉集合は有限集合であり、開集合はその補集合、つまり余有限集合です。点の無限集合はどれも稠密です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle Z=\operatorname {スペック} (\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}=(p)}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}=(0)}$

既約元に対応する基底開集合は であり、座標環は である。開集合 の場合、これによって が導かれる。 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}}$${\displaystyle U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]}$

数は、スキーム 上の関数に対応します。この関数は、における値が、 を法とする整数の有限体である留数体 内にあります。関数は によって定義され、また、一般留数環 内でも定義されます。関数は、点 における値によってのみ決定されるため、 は、を持つ任意の関数の中でも非常に特殊なタイプである、閉点上の一種の「通常関数」と考えることができます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p}$${\displaystyle n({\mathfrak {p}}_{0})=n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}}$

点は関数 の消失点、つまり留数体での値がゼロになる点であることに注意してください。 上の「有理関数」の体とは、一般留数環 の分数体です。分数は、分母の素因数に対応する 点に「極」を持ちます。${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$${\displaystyle n=p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$

これは、整数が共通の素因数を持たない場合、となる整数が存在するというベズーの補題の幾何学的解釈も与えます。幾何学的には、これはスキーム の弱いヒルベルト零点定理のバージョンです。つまり、関数がにおいて共通の消失点を持たない場合、それらは座標環 において単位イデアルを生成します。実際、項は、開集合 による の被覆に従属する一種の単位の分割を形成するものと考えることができます。 ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$${\displaystyle a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}n_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})}$

アフィン空間は、座標環 、整数係数の多項式 を持つ多様体です。対応するスキームは で、その点はすべて素イデアル です。閉点は という形式の最大イデアルです。ここでは素数、 は整数因子を持たず を法として既約な非定数多項式です。したがって、 は、座標 で測定される「特性方向」と、座標 を持つ「空間方向」を持つ 2 次元として描くことができます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$

与えられた素数は、素イデアル の部分スキームである「垂直線」を定義します。これは、すべての に対して、スキームの「特性点」を含みます。 -座標を固定すると、素イデアル の部分スキームである「水平線」が得られます。また、を割り切るものとは交差しない、有理座標 に対応する線もあります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle V(p)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(p)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle V(x-a)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x-a)}$${\displaystyle V(bx-a)}$${\displaystyle x=a/b}$${\displaystyle V(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$

のような高次の「水平」サブスキームは、の根である -値、つまりに対応します。これは、異なる-座標の下では動作が異なります。 では、 であるため、2 つの点 が得られます。 では、であるため、1 つの分岐した二重点が得られます。また、 では、は の拡大体におけるに対応する素イデアルです。これらの値は区別できないため (ガロア群の下では対称的)、2 つの融合点として描く必要があります。 全体として、は、2 つのガロア対称な水平線の融合の一種であり、次数 2 の曲線です。 ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5}$${\displaystyle (5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle x=1\ {\text{mod}}\ 2}$${\displaystyle (2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)}$${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$${\displaystyle V(3,x^{2}+1)}$${\displaystyle V(x^{2}+1)}$

における留数体はであり、の根に隣接するの体拡大です。これは、を元とする有限体です。多項式は、の値を持つスキーム上の関数、つまりに対応します。また、それぞれは、閉点における値によって決定されます。は、定数多項式 の消失点です。また、には、代数閉包 におけるの根のガロア軌道に対応する各特性の点が含まれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$${\displaystyle k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle x=\alpha }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p^{d}}$${\displaystyle d=\operatorname {deg} (f)}$${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle r({\mathfrak {m}})}$${\displaystyle V(p)}$${\displaystyle r(x)=p}$${\displaystyle V(f(x))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

この方式は適切ではないため、曲線のペアは予想される重複度で交差しない可能性があります。これは、幾何学的なツールでディオファントス方程式を解析する際の大きな障害です。アラケロフ理論は、アフィン演算方式をコンパクト化し、値に対応する無限遠点を追加することで、この障害を克服します。 ${\displaystyle Y}$

多項式を考えるとき、アフィンスキームはへの標準射を持ち、算術曲面と呼ばれる。ファイバーは有限体 上の代数曲線である。 が楕円曲線である場合、その判別式軌跡 上のファイバー (ここで は すべて特異スキームである)。^[13]たとえば、 が素数である場合、その判別式は である。この曲線は素数 上で特異である。 ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$$${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,}$$${\displaystyle p}$$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}}$$${\displaystyle -27p^{2}}$${\displaystyle 3,p}$

• 任意の可換環Rと自然数nに対して、R上のアフィンn空間のn + 1 個のコピーを開部分集合に沿って接着することにより、射影空間を スキームとして構成できます。これは、アフィンスキームを超える動機となる基本的な例です。アフィン空間に対する射影空間の主な利点は、 がR上で適切であることです。これは、コンパクト性の代数幾何学バージョンです。確かに、複素射影空間は古典的な位相ではコンパクト空間ですが、 はそうではありません。${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 多項式環R [ x ₀ , ..., x _n ]の正の次数の同次多項式 fは、射影空間における閉じた部分スキームf = 0を決定します。これは射影超曲面と呼ばれます。 Proj 構成では、この部分スキームは次のように記述できます。たとえば、の閉じた部分スキームx ³ + y ³ = z ³は、有理数上の楕円曲線です。${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$$${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}}$
• 2つの原点を持つ直線（体k上）は、 k上のアフィン直線の2つのコピーから始めて、2つの開集合 A ¹ − 0 を恒等写像で貼り合わせることによって定義されるスキームです。これは非分離スキームの簡単な例です。特に、これはアフィンではありません。^[14]
• アフィンスキームを超える単純な理由は、アフィンスキームの開集合は必ずしもアフィンである必要はないということである。例えば、 を複素数 上で考えると、n ≥ 2 に対してX はアフィンではない。 (しかし、原点を引いたアフィン直線はアフィンスキーム と同型である。Xがアフィンでないことを示すには、 n ≥ 2 のとき、 X上のすべての正則関数が上の正則関数に拡張されることを計算します。これは複素解析におけるハートッグスの補題に類似していますが、証明はより簡単です。つまり、包含によりからへの同型が誘導されます。Xがアフィンであれば、fは^同型であるが、f は全射でないため同型ではないという${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle O(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle O(X)}$
• kを体とする。すると、このスキームは、基礎となる位相空間が正の整数のStone–Čech コンパクト化(離散位相を持つ) であるアフィン スキームとなる。実際、この環の素イデアルは、正の整数上の超フィルターと 1 対 1 に対応しており、このイデアルは、正の整数nに関連付けられた主超フィルターに対応する。^[16]この位相空間は0 次元であり、特に、各点は既約成分である。アフィン スキームは準コンパクトであるため、これは、無限個の既約成分を持つ非ノイザン準コンパクト スキームの例である。(対照的に、ノイザン スキームには有限個の既約成分しかない。)${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

射の例を図式の例として検討することも有益です。なぜなら、それらは代数幾何学や数論幾何学における多くの研究対象をカプセル化するための技術的な有効性を示しているからです。

ここでは、スキームが代数多様体の古い概念を超える方法とその重要性のいくつかを示します。

• 体の拡大。体k上のn変数の多項式方程式が与えられれば、積集合k ⁿ内の方程式の解の集合X ( k ) を調べることができます。体k が代数的に閉じている場合 (たとえば複素数)、X ( k ) などの集合に基づいて代数幾何学を構築できます。つまり、 X ( k ) 上にザリスキ位相を定義したり、このタイプの異なる集合間の多項式写像を考えたりすることができます。しかし、k が代数的に閉じていない場合、集合X ( k ) は十分に豊富ではありません。確かに、kの任意の体拡大E内の与えられた方程式の解X ( E ) を調べることはできますが、これらの集合は合理的な意味ではX ( k ) によって決定されません。たとえば、x ² + y ² = −1で定義される実数上の平面曲線Xでは、 X ( R ) は空ですが、X ( C ) は空ではありません。 （実際、X ( C ) はC − 0と同一視できる。）対照的に、体k上のスキームX は、 kのすべての拡大体Eに対してE有理点の集合X ( E ) を決定するのに十分な情報を持つ。（特に、A の閉じた部分スキーム^2R
  _​x ² + y ² = −1で定義される空間は空でない位相空間である。
• 一般的な点。アフィン直線Aの点¹
  _世紀スキームとしての複素点（各複素数に対して1つ）と一般点（その閉包がスキーム全体である）が1つある。一般点は自然射 Spec( C ( x )) → Aの像である。¹
  _世紀ここで、C ( x ) は 1 変数の有理関数の体です。スキームに実際の「一般点」を持つことがなぜ有用であるかを理解するために、次の例を考えてみましょう。
• Xを複素数上の平面曲線y ² = x ( x −1)( x −5)とする。これはAの閉じた部分図である。²
  _世紀これはアフィン直線Aの分岐二重被覆として見ることができる。¹
  _世紀をx座標に射影することによって得られる。 A ¹のジェネリック点上の射X → A ¹のファイバーは、まさにXのジェネリック点であり、射 を生成する。これは、今度は体の -2次拡大に等しい。したがって、多様体の実際のジェネリック点を持つことは、代数多様体の 2 次射と対応する関数体の 2 次拡大との間に幾何学的関係を生成する。これは、基本群(位相幾何学における被覆空間を分類する) とガロア群(特定の体拡大を分類する) との関係に一般化される。実際、グロタンディークのエタール基本群の理論は、基本群とガロア群を同じ土俵で扱う。$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).}$$$${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$$

• べき零元。Xをアフィン直線Aの閉部分スキームとする。¹
  _世紀x ² = 0で定義され、太い点と呼ばれることもあります。X 上の正則関数の環はC [ x ]/( x ² )です。特に、X 上の正則関数xは冪零ですがゼロではありません。このスキームの意味を示すには、アフィン直線上の 2 つの正則関数がXに対して同じ制限を持つのは、原点で同じ値と 1次導関数を持つ場合のみです。このような非簡約スキームを許可すると、微積分と無限小の概念が代数幾何学に導入されます。
• 冪零元は、交差理論で自然に生じます。たとえば、座標環 を持つ体 上の平面で、多様体 であるx軸と である放物線を考えます。それらのスキーム理論的交差は、イデアル によって定義されます。交差は横断ではないため、これは単にイデアル によって定義される点ではなく、 x軸の接線方向 (2 つの曲線の共通接線)を含み、座標環を持つ太い点です。交差重複度2 は、この - モジュールの長さ、つまり - ベクトル空間としての次元として定義されます。${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle V(y)}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle V(x^{2}-y)}$${\displaystyle (y)+(x^{2}-y)=(x^{2},\,y)}$${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$${\displaystyle (x,y)\subset k[x,y]}$$${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.}$$${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle k}$
• より複雑な例として、滑らかな複素多様体Yにおける 2 次 0 次元の閉じた部分スキームをすべて記述することができます。このような部分スキームは、Yの 2 つの異なる複素点、または前の段落のようにX = Spec C [ x ]/( x ² )と同型の部分スキームのいずれかで構成されます。後者のタイプの部分スキームは、Yの複素点yと接空間T _y Yの直線によって決定されます。^[17]これは、非簡約部分スキームが微分と接ベクトルに関連する幾何学的な意味を持つことを再び示しています。

スキーム理論の中心となるのは、（代数的）ベクトル束の概念を一般化したコヒーレント層の概念である。スキームXについて、まずO _X加群のアーベル圏を考える。これは、 X上のアーベル群の層で、正則関数O _Xの層上の加群を形成する。特に、可換環R上の加群M は、関連するO _X加群を決定する。 〜まX = Spec( R )上の準コヒーレント層とは、Xの各アフィン開部分集合上のモジュールに関連付けられた層であるO _Xモジュールを意味します。最後に、コヒーレント層(たとえば、ノイザンスキームX上) とは、 Xの各アフィン開部分集合上の有限生成モジュールに関連付けられた層であるO _Xモジュールです。

連接層にはベクトル束の重要なクラスが含まれる。ベクトル束は有限生成自由加群から局所的に生じる層である。一例として、体上の滑らかな多様体の接束が挙げられる。しかし、連接層はより豊かである。例えば、Xの閉部分スキームY上のベクトル束は、 Yの外側でゼロであるX上の連接層と見ることができる（直接像構成による）。このように、スキームX上の連接層には、 Xのすべての閉部分スキームに関する情報が含まれる。さらに、層コホモロジーは、連接（および準連接）層に対して優れた特性を持つ。結果として得られる連接層コホモロジーの理論は、代数幾何学における主要な技術的ツールであるかもしれない。^{[18] [19]}

点の関数として考えると、スキームは、可換環のカテゴリ上のザリスキ位相の集合の層である関数であり、ザリスキ位相において局所的にアフィンスキームである。これはいくつかの方法で一般化できる。1つは、エタール位相を使用することである。マイケル・アルティンは、代数空間を、エタール位相の層であり、エタール位相において局所的にアフィンスキームである関数として定義した。同様に、代数空間は、スキームをエタール同値関係で割ったものである。強力な結果であるアルティンの表現可能性定理は、関数が代数空間によって表現されるための簡単な条件を与える。^[20]

さらに一般化したものには、スタックという考え方があります。大まかに言えば、代数スタックは、各点に代数群を付加することで代数空間を一般化します。代数群はその点の自己同型群として見なされます。たとえば、代数群Gの代数多様体Xへの任意の作用は、 Gの作用の安定化部分群を記憶する商スタック[ X / G ]を決定します。より一般的には、代数幾何学のモジュライ空間は、スタックとして見るのが最適な場合が多く、それによって分類されるオブジェクトの自己同型群を追跡できます。

スタックはもともとグロタンディークが降下理論のツールとして導入した。その定式化では、スタックは（非公式に言えば）カテゴリの層である。^[21]この一般的な概念から、アルティンは代数スタック（または「アルティンスタック」）のより狭いクラスを定義した。これは幾何学的オブジェクトと見なすことができる。これには、安定化群が有限であるドリーニュ-マンフォードスタック（位相幾何学におけるオービフォールドに類似）と、安定化群が自明である代数空間が含まれる。キール-モリ定理によれば、有限安定化群を持つ代数スタックには、代数空間で ある粗いモジュライ空間がある。

もう 1 つのタイプの一般化は、構造層を充実させて、代数幾何学をホモトピー理論に近づけることです。導来代数幾何学または「スペクトル代数幾何学」と呼ばれるこの設定では、構造層は可換環の層のホモトピー類似体 (たとえば、E 無限大環スペクトルの層) に置き換えられます。これらの層は、同値関係までのみ結合的かつ可換的な代数演算を許容します。この同値関係で商を取ると、通常のスキームの構造層が生成されます。ただし、商を取らないと、ホモロジー代数の導来関手がテンソル積やモジュール上のHom 関手などの演算に関するより高度な情報を生成するのと同じように、より高度な情報を記憶できる理論になります。

• 平面射、滑らかな射、固有射、有限射、エタール射
• 安定した曲線
• 双有理幾何学
• エタールコホモロジー、チャウ群、ホッジ理論
• 群スキーム、アーベル多様体、線型代数群、簡約群
• 代数曲線の係数
• 接着方式