可換環

リングはセットです${\displaystyle R}$2 つの二項演算、つまりリングの任意の 2 つの要素を組み合わせて 3 番目の要素にする演算を備えています。これらは加算と乗算と呼ばれ、一般的に「${\displaystyle +}$" そして "${\displaystyle \cdot }$「; 例${\displaystyle a+b}$そして${\displaystyle a\cdot b}$環を形成するには、これら 2 つの演算がいくつかの性質を満たす必要があります。環は加法に関してアーベル群であり、乗法に関してモノイドでなければなりません。ここで、乗法は加法に対して分配法則に従います。つまり、${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$加算と乗算の単位元は次のように表される。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$、 それぞれ。

乗法が可換である場合、つまり $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$ それから指輪${\displaystyle R}$これは可換環と呼ばれます。この記事の残りの部分では、特に断りのない限り、すべての環は可換環であるとします。

重要な例であり、ある意味では極めて重要な例として、整数環が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$加算と乗算の 2 つの演算があります。整数の乗算は可換演算であるため、これは可換環です。通常は次のように表記されます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ドイツ語の「Zahlen」（数字）の略語として。

体とは、可換環であり、${\displaystyle 0\neq 1}$（0=1は自明環のみ）およびすべての非ゼロ要素${\displaystyle a}$逆元が存在する。つまり、乗法逆元が存在する。${\displaystyle b}$そのため${\displaystyle a\cdot b=1}$したがって、定義により、任意の体は可換環である。有理数、実数、複素数は体を形成する。

もし${\displaystyle R}$が与えられた可換環である場合、変数に関するすべての多項式の集合は${\displaystyle X}$係数は${\displaystyle R}$多項式環を形成し、 と表記される。${\displaystyle R\left[X\right]}$同様のことがいくつかの変数にも当てはまる。

もし${\displaystyle V}$は位相空間であり、例えばある空間の部分集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$実数値または複素数値の連続関数${\displaystyle V}$可換環を形成する。微分可能関数または正則関数についても同様であり、2つの概念が定義されている場合、例えば、${\displaystyle V}$複素多様体。

環の局所化とは、いくつかの要素を可逆化、すなわち乗法逆元を環に追加するプロセスです。具体的には、${\displaystyle S}$は乗法的に閉じた部分集合である${\displaystyle R}$（つまり、いつでも）${\displaystyle s,t\in S}$ならば${\displaystyle st}$)そして、${\displaystyle R}$で${\displaystyle S}$または分母が${\displaystyle S}$通常は、${\displaystyle S^{-1}R}$記号で構成されています

$\displaystyle {\frac {r}{s}}}$と${\displaystyle r\in R,s\in S}$

有理数でおなじみの消去法を模倣した一定の規則に従う。実際、この言語では${\displaystyle \mathbb {Q} }$は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$すべての非ゼロ整数において。この構成は任意の整数領域で機能します。${\displaystyle R}$の代わりに${\displaystyle \mathbb {Z} }$ローカライズ${\displaystyle \left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R}$は、商体と呼ばれる体である。${\displaystyle R}$。

指輪のために${\displaystyle R}$、${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$は、ベクトル空間が体にとっての存在と同じようなものです。つまり、モジュール内の要素は加算でき、モジュール内の要素と乗算できます。${\displaystyle R}$ベクトル空間と同様の公理に従う。

加群の研究は、ベクトル空間の研究よりもはるかに複雑である。なぜなら、基底を持たない加群、すなわち線形独立な要素からなる生成集合を持たない加群が存在するからである。基底を持つ加群は自由加群と呼ばれ、自由加群の部分加群は必ずしも自由加群である必要はない。

有限型加群とは、有限個の生成集合を持つ加群のことである。有限型加群は、線形代数における有限次元ベクトル空間の役割と同様に、可換環論において基本的な役割を果たす。特に、ネーター環（後述の「ネーター環」も参照）は、有限型加群のすべての部分加群もまた有限型となるような環として定義できる。 

指輪の理想${\displaystyle R}$はサブモジュールです${\displaystyle R}$つまり、${\displaystyle R}$より詳しく言うと、理想的な${\displaystyle I}$は空でない部分集合である${\displaystyle R}$すべての${\displaystyle r}$で${\displaystyle R}$、${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$で${\displaystyle I}$、 両方${\displaystyle ri}$そして${\displaystyle i+j}$は${\displaystyle I}$様々な応用において、環のイデアルを理解することは特に重要であるが、多くの場合、まずは一般的に加群を研究することから始める。

任意の環には2つのイデアル、すなわち零イデアルが存在する。${\displaystyle \left\{0\right\}}$そして${\displaystyle R}$リング全体。この2つの理想は、まさに${\displaystyle R}$はフィールドです。任意の部分集合が与えられた場合。${\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}$の${\displaystyle R}$（どこ${\displaystyle J}$はインデックスセットであり、${\displaystyle F}$は、${\displaystyle F}$言い換えれば、それは有限個の線形結合によって与えられる。$${\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}$$

リングは、すべての上昇イデアルの連鎖がネーター的である場合、ネーター的（この概念を開発したエミー・ネーターにちなんで）と呼ばれます。$${\displaystyle 0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots }$$ あるインデックスを超えると、定常状態、つまり一定値になる。${\displaystyle n}$言い換えれば、任意のイデアルは有限個の要素によって生成されるか、あるいは、さらに同等な言い方をすれば、有限生成モジュールの部分モジュールは有限生成である。

ネーター性は非常に重要な有限性条件であり、幾何学で頻繁に発生する多くの操作の下でこの条件は維持されます。たとえば、${\displaystyle R}$がネーター環であるならば、多項式環もネーター環である。${\displaystyle R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]}$（ヒルベルトの基底定理により）任意の局所化${\displaystyle S^{-1}R}$また、あらゆる因子リングも${\displaystyle R/I}$。

ネーター環以外の環${\displaystyle R}$は、そのネーター部分環の和集合である。この事実はネーター近似として知られており、特定の定理を非ネーター環に拡張することを可能にする。

環は、すべてのイデアルの降下列 が$${\displaystyle R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots }$$ 最終的には静止状態になる。2 つの条件は対称的に見えるが、ネーター環はアルティン環よりもはるかに一般的である。例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、すべてのイデアルが 1 つの要素によって生成できるため、ネーター的であるが、鎖がアルティン的ではない。 $${\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots }$$ 示されているように、実際、ホプキンス・レビツキーの定理によれば、すべてのアルティン環はネーター環である。より正確には、アルティン環はクルル次元がゼロであるネーター環として特徴づけることができる。

前述のとおり、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は一意分解領域である。これは、19世紀に代数学者たちが認識したように、より一般的な環では当てはまらない。例えば、 $${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$$ 6を積として表すには、全く異なる2つの方法があります。 $${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$$ 素イデアルは、素元とは対照的に、この問題を回避する方法を提供する。素イデアルは、真（つまり、厳密に含まれる）である。${\displaystyle R}$） 理想的${\displaystyle p}$そのため、製品が${\displaystyle ab}$任意の２つの環状要素${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は${\displaystyle p,}$2つの要素のうち少なくとも1つは既に${\displaystyle p.}$（定義により、逆の結論は任意のイデアルについて成り立つ。）したがって、素イデアルが主イデアルであれば、それは素元によって等価に生成される。しかし、環では、${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$素イデアルは主イデアルである必要はない。このため、環論における素元の使用は制限される。しかし、代数的整数論の基礎となるのは、任意のデデキント環（を含む）において、${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$（より一般的には、数体における整数環）任意のイデアル（例えば、6によって生成されるイデアル）は、素イデアルの積として一意に分解される。

極大イデアルは素イデアル、またはより簡潔に言えば素である。さらに、イデアルは${\displaystyle I}$素数であるのは、因数環が素数である場合に限る。${\displaystyle R/I}$は整域である。イデアルが素であること、あるいは同等に環が零因子を持たないことを証明するのは非常に難しい場合がある。同じことを別の言い方で表現すると、補環は${\displaystyle R\setminus p}$乗法的に閉じている。局所化${\displaystyle \left(R\setminus p\right)^{-1}R}$独自の表記法を持つほど重要である。${\displaystyle R_{p}}$この環にはただ一つの極大イデアルがあり、それは${\displaystyle pR_{p}}$このようなリングはローカルと呼ばれます。

リングのスペクトル${\displaystyle R}$, ^{[ a ]}は次のように表される${\displaystyle {\text{Spec}}\ R}$は、 のすべての素イデアルの集合です。${\displaystyle R}$。それは、代数的性質を反映するザリスキー位相という位相を備えている。${\displaystyle R}$開部分集合の基底は次のように与えられる。 $${\displaystyle D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},}$$どこ${\displaystyle f}$は任意の環要素です。${\displaystyle f}$f mod pの値をとる関数(つまり、剰余体R / pにおけるfの像) として、この部分集合はfがゼロでない場所の軌跡です。スペクトルはまた、局所化環と因子環が相補的であるという直感を明確にします。問題の環のスペクトルにザリスキ位相を与えると、自然な写像R → R _fとR → R / fRは、それぞれ相補的な開埋め込みと閉埋め込みに対応します。右図のR = Zのように基本的な環であっても、ザリスキ位相は実数集合上の位相とはかなり異なります。

スペクトルには極大イデアルの集合が含まれており、これは時折 mSpec ( R ) と表記される。代数的に閉じた体kに対して、mSpec (k[ T ₁ , ..., T _n ] / ( f ₁ , ..., f _m )) は集合と一対一である。

このように、極大イデアルは多項式の解集合の幾何学的性質を反映しており、これが可換環の研究の動機の一つとなっています。しかし、環の幾何学的性質の一部として非極大イデアルを考慮することは、いくつかの理由から有用です。例えば、最小素イデアル（つまり、より小さいイデアルを厳密に含まないイデアル）は、 Spec Rの既約成分に対応します。ネーター環Rの場合、Spec Rは有限個の既約成分しか持ちません。これは、任意のイデアルを有限個の素イデアルの積として分解できるという基本分解の幾何学的再定式化です。この事実は、デデキント環における素イデアルへの分解の究極的な一般化です。

スペクトルの概念は、可換代数と代数幾何学の共通の基礎である。代数幾何学は、Spec Rに層を与えることによって進む。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$（局所的に定義された関数、つまり可変開集合上の関数を収集する実体）。空間と層のデータはアフィンスキームと呼ばれます。アフィンスキームが与えられると、基となる環R は、そのグローバルセクションとして復元できます。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$さらに、環とアフィンスキーム間のこの一対一対応は、環準同型とも互換性がある。すなわち、任意のf : R → Sは、反対方向の連続写像を生み出す。

結果として得られるこれら二つのカテゴリーの等価性は、環の代数的性質を幾何学的な方法で適切に反映している。

多様体がR ⁿの開部分集合によって局所的に与えられるのと同様に、アフィン スキームは、代数幾何学の研究対象であるスキームの局所モデルである。したがって、可換環に関するいくつかの概念は、幾何学的直観から生じている。

環Rのクルル次元(または次元) dim Rは、大まかに言えば、 Rの独立要素の数を数えることによって、環の「大きさ」を測ります。体k上の代数の次元は、次の4 つの性質によって公理化できます。

• 次元はローカルな性質です: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p。
• 次元は冪零元とは無関係です。I ⊆ R が冪零であれば、dim R = dim R / Iとなります。
• 次元は有限拡大の下で一定のままです。SがR加群として有限に生成されるR代数である場合、dim S = dim Rとなります。
• 次元は dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = nによって較正される。この公理は、 n変数の多項式環をn次元空間の代数的類似物とみなすことから着想を得ている。

次元は、任意の環Rに対して、素イデアルの鎖の長さnの上限として定義される。

例えば、唯一の素イデアルが零イデアルであるため、体は零次元です。整数は、鎖が (0) ⊊ ( p ) の形であるため、一次元です。ここでpは素数です。非ネーター環、および非局所環の場合、次元は無限になる可能性がありますが、ネーター局所環は有限次元です。上記の 4 つの公理のうち、最初の 2 つは定義の基本的な帰結ですが、残りの 2 つは、可換代数における重要な事実、上昇定理、およびクルルの主イデアル定理に依存しています。

R代数Sは、 sの任意の要素がs _iの多項式として表現できるような要素s ₁ , ..., s _{n が}有限個存在する場合に、有限生成である（代数として）。言い換えれば、Sは以下と同型である。

より強い条件は、SがR加群として有限生成されていることであり、これは任意のs が有限集合s ₁、 ...、s _nのR線形結合として表現できることを意味します。

k-ベクトル空間m / m ^2は、余接空間の代数的表現である。非公式には、 mの要素は点pでゼロになる関数と考えることができ、m ²は少なくとも 2 次でゼロになる関数を含む。任意のネーター局所環Rに対して、不等式が成り立つ。

これは、余接空間（または同等に接空間）が空間 Spec Rの次元以上を持つという考えを反映しており、成り立つ。この評価で等号が成り立つ場合、Rは正則局所環と呼ばれる。ネーター局所環は、環（接錐上の関数の環） が成り立つ場合に限り正則である。$${\displaystyle \bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}}$$はk 上の多項式環と同型である。大まかに言えば、正則局所環は多項式環といくらか似ている。^{[ 1 ]}正則局所環は UFD である。^{[ 2 ]}

離散付値環は、任意の要素rに整数を割り当てる関数を備えています。この数値はrの付値と呼ばれ、非公式にはrの零位数または極位数と考えることができます。離散付値環は、まさに一次元正則局所環です。例えば、リーマン面上の正則関数の芽の環は離散付値環です。

クルルの主イデアル定理（環の次元理論における基礎的な結果）によれば、

は少なくともr − n である。環R が、この最小境界を達成するような形で表現できる場合、完全交差環と呼ばれる。この概念は主に局所環について研究されている。任意の正則局所環は完全交差環であるが、その逆は成り立たない。

環Rは、 Rに関連付けられた縮約環、すなわちすべての冪零元を除いた環が完全交差である場合に、集合論的完全交差である。2017 年現在、3 次元空間の曲線が集合論的完全交差であるかどうかは一般には不明である。^{[ 3 ]}

局所環Rの深さは、ある (または、示せば任意の) 極大正則列、すなわち、すべてのa _iが非零因子であるような列a ₁ , ..., a _n ∈ mの要素の数である。

任意の局所ネーター環に対して、不等式

が成り立つ。等号が成立する局所環は、コーエン・マコーレー環と呼ばれる。局所完全交差環、そして当然ながら正則局所環はコーエン・マコーレー環であるが、その逆は成り立たない。コーエン・マコーレー環は、正則環の望ましい性質（例えば、普遍的に懸垂環であるという性質、つまり素数の（余）次元が適切に振る舞うという性質）を兼ね備えているだけでなく、正則局所環よりも商を取る際に頑健である。^{[ 4 ]}

可換環RにおいてIがイデアルである場合、 Iのべき乗は0の位相近傍を形成し、 R を位相環とみなすことができます。この位相はI進位相と呼ばれます。Rはこの位相に関して完備化できます。形式的には、I進完備化は環R / I ⁿの逆極限です。たとえば、k が体である場合、k上の 1 変数の形式的冪級数環k [[ X ]]は、 I がXによって生成される主イデアルであるk [ X ]のI進完備化です。この環は、ディスクの代数的類似物として機能します。同様に、 p進整数環は、主イデアル ( p ) に関するZの完備化です。自身の完備化と同型な任意の環は、完備であると呼ばれます。

完全局所環はヘンゼルの補題を満たし、大まかに言えば、剰余体k上の解 (様々な問題) をRに拡張することを可能にする。

射影加群は、自由加群の直和因子として定義できます。R が局所的である場合、任意の有限生成射影加群は実際には自由であり、これは射影加群とベクトル束の間の類似性に内容を与えます。^{[ 5 ]} Quillen –Suslin の定理は、 k [ T ₁ , ..., T _n ] ( kは体)上の任意の有限生成射影加群は自由であると主張していますが、一般にこれら 2 つの概念は異なります。局所ネーター環は、その大域次元が有限、例えばnである場合に限り正則であり、これは任意の有限生成R加群が、長さが高々nの射影加群による分解を持つことを意味します。

この主張および関連する主張の証明は、 Ext ファンクターなどのホモロジー的手法の使用に依存している 。このファンクターはファンクターの派生ファンクターである。

後者の関手は、 Mが射影的である場合は完全ですが、そうでない場合は完全ではありません。R 加群の全射写像 E → F に対して、写像M → Fは写像M → E に拡張する必要はありません。高次のExt 関手は Hom 関手の非完全性を測定します。ホモロジー代数におけるこの標準構成の重要性は、剰余体kを持つ局所ネーター環R が正則であるのは、次の場合に限るという事実からわかります。

十分大きなnに対しては消滅する。さらに、ベッティ数として知られるこれらの Ext 群の次元は、 R が局所完全交差環である場合に限り、nに関して多項式的に増加する。^{[ 6 ]}このような考察における重要な議論は、コズル複体であり、これは、局所環Rの剰余体kを正則列で明示的に自由に分解する。

テンソル積は、可換環の文脈で関連するもう1つの非完全関手です。一般的なR加群Mに対して、関手は

は完全である。完全である場合、Mは平坦と呼ばれる。R が局所である場合、任意の有限表示平坦加群は有限階数を持たないため、射影的である。平坦性はホモロジー代数の観点から定義されているにもかかわらず、幾何学的に深い意味を持つ。例えば、R代数Sが平坦である場合、ファイバーの次元は

（素イデアルp ∈ Rの場合）は「期待される」次元、すなわちdim S − dim R + dim( R / p )を持つ。

次数付き環R = ⨁ _{i ∊ Z} R _iは、すべての同次要素aおよびbに対して、次数が可換であると呼ばれる。

R _{i が}積の法則の抽象的な形式が成り立つような微分 ∂ で結ばれている場合、

Rは可換微分次数付き代数(cdga)と呼ばれます。例として、外積で与えられる乗法を持つ多様体上の微分形式の複体は cdga です。cdga のコホモロジーは次数付き可換環であり、コホモロジー環と呼ばれることもあります。このようにして、幅広い次数付き環の例が得られます。例えば、ラザール環は複素多様体のコボルディズム類の環です。

Z /2 ( Zとは対照的に)による次数付けに関する次数付き可換環は、超代数と呼ばれます。

関連する概念として、ほぼ可換環というものがあり、これは、Rが、関連する次数付き環が

可換である。例としては、ワイル代数や、より一般的な微分作用素環が挙げられる。

単体可換環は、可換環の圏における単体対象である。これらは（連結）導来代数幾何学の構成要素である。これ_と密接に関連する、より一般的な概念として、E∞環がある。