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復元とバランスによる計算の簡潔な本(アラビア語: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah ; [ a ]またはラテン語: Liber Algebræ et Almucabola ) は、一般にAl-JabrまたはAlgebra (アラビア語: الجبر ) と略称され、 820 年頃にバグダッドでAl-Khwarizmiによって書かれた代数学に関するアラビア語の数学論文です。それは数学史における画期的な著作であり、そのタイトルは「代数」という言葉自体の究極的な語源であり、後に中世ラテン語でalgebraicaとして。
アル・ジャブルは、2次までの多項式方程式の正の根を求めるための包括的な説明を提供しました。 [ 1 ] [ b ]これは初等代数を教えた最初のテキストであり、代数そのものを教えた最初のテキストでもありました。[ c ]また、「還元」と「バランス」の基本概念（アル・ジャブルという用語は元々これを指していました）を導入しました。これは、減算された項を方程式の反対側に移項すること、つまり方程式の反対側の同類項を消去することです。[ d ]数学史家のヴィクター・J・カッツは、アル・ジャブルを現存する最初の真の代数テキストとみなしています。 [ e ] 1145年にロバート・オブ・チェスターによってラテン語に翻訳され、16世紀までヨーロッパの大学の主要な数学教科書として使用されました。[ 4 ] [ f ] [ 6 ] [ 7 ]
アブー・ハニーファ・ディナワリ、アブー・カミル、アブー・ムハンマド・アル＝アドリー、アブー・ユースフ・アル＝ミッシーシー、アブドゥル・ハミード・イブン・トゥルク、シンド・イブン・アリー、サフル・イブン・ビシュル、シャラファッディーン・アル＝トゥーシーなど、この名で著作を発表した著者も複数いる。
この本は、二次方程式やその他の問題を解くための既知の規則をまとめ、拡張したものであり、代数学の基礎となり、代数学を独立した学問分野として確立したと考えられている。代数学という言葉は、この本で説明されている方程式の基本演算の1つに由来しており、ロバート・オブ・チェスターによるラテン語訳に基づいている。[ 8 ]
本書は二次方程式を6つの基本タイプに分類し、基本タイプの解法として代数的および幾何学的な方法を提供している。歴史家のカール・ボイヤーは、本書に現代的な抽象記号が用いられていない点について次のように指摘している。
アル・フワーリズミーの代数学は徹底的に修辞的で、ギリシャの『算術』やブラフマグプタの著作に見られるようなシンコペーション（代数学の歴史を参照）は一切用いられていない。数字さえも記号ではなく言葉で表記されていたのだ！
—カール・B・ボイヤー、『数学史』[ 1 ]
したがって、方程式は「平方数」（現代でいう「x² 」）、「平方根」（現代でいう「x」）、および「数」（「定数」：例えば「42」のような通常の数字）を用いて言葉で表現されます。現代の表記法を用いた6つのタイプは以下のとおりです。
イスラムの数学者は、ヒンドゥー教徒とは異なり、負の数を全く扱わなかった。そのため、係数がすべて正の場合、正の解を持たないため、 bx + c = 0 のような方程式は分類に含まれない。同様に、現代の目には同等に見える方程式タイプ 4、5、6 も、係数がすべて正でなければならないという理由で区別された。[ 9 ]
アル・ジャブル（「強制」「復元」）操作とは、方程式の一方の辺にある不足量をもう一方の辺に移動させる操作です。アル・フワーリズミーの例では（現代の表記法では）「x 2 = 40 x − 4 x 2」はアル・ジャブルによって「5 x 2 = 40 x 」に変換されます。この規則を繰り返し適用することで、計算から負の量が消去されます。
アル・ムカーバラ（المقابله、「バランスをとる」または「対応する」）とは、両辺から同じ正の数を引くことを意味します。「x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 」は「5 = 40 x + 3 x 2 」になります。この規則を繰り返し適用すると、各タイプの数（「平方」、「平方根」、「数」）が方程式に最大で 1 回だけ現れるようになり、正の係数と解に限定した場合、この問題には 6 つの基本的な解けるタイプしかないことがわかります。
本書の以降の部分では、二次方程式を解く必要はありません。
本書の第2章では、面積と体積を求める方法を列挙している。これには、 π（パイ）の近似値も含まれており、次の3つの方法で示されている。、 、そして。この後者の近似値である3.1416は、以前にインドのアーリヤバティーヤ（西暦499年）に登場した。 [ 10 ]
アル＝フワーリズミーは、ユダヤ暦と、太陰月と太陽年の収束によって説明される19年周期について解説している。 [ 10 ]
本書の約半分はイスラム教の相続規則を扱っており、それは複雑で、一階代数方程式のスキルを必要とする。[ 11 ]
アル＝ジャブルは数学的表現にバランスと簡約を導入し、代数学を独立した数学分野として確立しました。代数学は世界中で教えられており、通常は小学校と高校のカリキュラムの一部として教えられています。[ 12 ]
R・ラシェッドとアンジェラ・アームストロングは次のように書いています。
アル・フワーリズミーのテキストは、バビロニアの粘土板だけでなく、ディオファントスの『算術』とも異なっていることがわかる。それはもはや解決すべき一連の問題に関するものではなく、基本的な用語から始まる解説であり、その組み合わせは方程式のあらゆる可能な原型を与えなければならず、それによって、方程式が明確に研究の真の対象となる。一方、方程式そのもののための方程式という考え方は最初から現れており、問題を解く過程で単に現れるのではなく、無限のクラスの問題を定義するために具体的に呼び出されるという意味で、一般的な方法で現れると言える。[ 13 ]
JJ オコナーとEF ロバートソンは、MacTutor 数学史アーカイブに次のように記している。
おそらくアラビア数学における最も重要な進歩の一つは、この時期にアル・フワーリズミーの研究、すなわち代数学の始まりから始まった。この新しい考え方がどれほど重要であったかを理解することが重要である。それは、本質的に幾何学であったギリシャの数学概念からの革命的な転換であった。代数学は、有理数、無理数、幾何学的量などをすべて「代数的対象」として扱うことを可能にする統一理論であった。それは数学に、それまで存在していた概念よりもはるかに広い全く新しい発展の道を与え、この分野の将来の発展のための手段を提供した。代数学の概念の導入のもう一つの重要な側面は、それまでなかった方法で数学をそれ自身に適用することを可能にしたことである。[ 14 ]
