対数の歴史

対数の歴史は、17世紀のヨーロッパで形式化され、デジタルコンピュータの出現まで計算を簡略化するために広く使用された、正の実数の乗算と実数直線上の加算との間の対応（現代の言葉で言えば、群同型性）の物語です。ネイピア対数は1614年に初めて発表されました。EWホブソンはそれを「世界が見た最も偉大な科学的発見の1つ」と呼びました。^{[1] : p.5} ヘンリー・ブリッグスは、より使いやすい常用（底が10）対数を導入しました。対数表は4世紀にわたってさまざまな形式で発表されました。対数の考え方は、計算尺の作成にも使用され、1970年代まで科学と工学のいたるところで使用されました。自然対数を生成する画期的な進歩は、直角双曲線に対する面積の表現の探求の結果であり、新しい関数を標準的な数学に同化することが必要でした。

対数法は、1614年にジョン・ネイピアによって「対数の素晴らしい法則の説明」という本で初めて公に提唱されました。 ^[1]この本には、57ページの説明と、90ページの三角関数とその自然対数の表が含まれています。これらの表は、天文学と天体航法の中心であり、通常、正弦、余弦、およびその他の関数の積を含む球面三角法の計算を大幅に簡素化しました。ネイピアは、比の問題を解くなどの他の用途についても説明しました。^[2]

ジョン・ネイピアは、彼がどのように表を作成したかを説明した別の巻を執筆したが、彼の最初の本がどのように受け止められるかを見るために出版を延期した。ジョンは1617年に亡くなった。彼の息子ロバートは、ヘンリー・ブリッグスの加筆を加えた父の本「 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (対数の素晴らしい基準の構築)」を1619年にラテン語で出版し^[3]、その後1620年に英語で出版した^{[4] 。}

ネイピアは、対数を、一方が一定の速度で、もう一方が固定端点からの距離に比例する速度で直線に沿って移動する 2 つの粒子の関係として考えました。現代の言葉で言えば、対数関数は指数関数の逆関数、または 1/ xの積分として簡単に説明できますが、ネイピアは、微積分が発明され、指数関数が理解され、デカルトによって座標幾何学が開発される数十年前に研究を行っていました。^{[1] : pp.6–8}ネイピアは、数値計算で小数点を使用する先駆者であり、これは次の世紀まで一般的ではありませんでした。^{[1] : pp.21–23}

ネイピアの新しい計算方法は急速に受け入れられた。ヨハネス・ケプラーはそれを賞賛し、航海の権威エドワード・ライトは翌年ネイピアの『記述』を英語に翻訳した。 ^[2]ブリッグスはこの概念をより便利な10進法に拡張した。^{[1] : pp.16–18}

10の常用対数は1、100の常用対数は2、1000の常用対数は3なので、常用対数の概念は10進法の位取り記数法に非常に近い。常用対数は10を底とすると言われているが、10,000は古くから東アジアでは現在でも一般的である。アルキメデスは著書『砂の計算者』の中で、宇宙の砂粒を数えるための記数法の底として無数を用いた。2000年に次のように記されている。 ^[5]

古代、アルキメデスは、数の等比数列を利用し、それを等差数列に関連付けることで、掛け算を足し算に簡約する方法を提示しました。

1616 年、ヘンリー ブリッグスはエディンバラのジョン ネイピアを訪問し、ネイピアの対数に対する提案された変更について話し合いました。翌年、彼は同様の目的で再び訪問しました。これらの会議で、ブリッグスが提案した変更が承認され、1617 年にエディンバラへの 2 度目の訪問から戻った後、彼は対数の 最初の千単位を出版しました。

1624年、ブリッグスはフォリオ版の『対数算術』を出版した。この本には、3万の自然数の対数が小数点以下14桁（1～20,000および90,001～100,000）まで記載されている。この表は後にアドリアーン・ヴラクによって10桁まで拡張され、1952年にはアレクサンダー・ジョン・トンプソンによって20桁まで拡張された。

ブリッグスは関数表を計算するために差分法を使用した最初の一人である。 ^{[6] [7]} 彼はまた、小数点以下14桁までの100分の1度ごとの対数正弦と正接の表、15桁までの自然正弦の表、 10桁までの正接と正割の表を完成させた。これらはすべて1631年にゴーダで印刷され、1633年に『Trigonometria Britannica 』というタイトルで出版された。この作品はおそらく、対数の簡単な説明と小数点以下14桁まで計算された最初の1000個の整数の長い表を示した1617年の『Logarithmorum Chilias Prima (最初の1000個の対数)』の後継作であった。

1649年、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンの元弟子であるアルフォンス・アントニオ・デ・サラサ^[8]は、対数と双曲線の求積法を関連付け、 x = 1からx = tまでの双曲線の下の面積A（t ）が^[9]を満たすことを指摘した。

${\displaystyle A(tu)=A(t)+A(u).}$

当初、サン＝ヴァンサンの双曲対数に対する反応は、クリスティアーン・ホイヘンス（1651）^[10]やジェームズ・グレゴリー（1667） ^[11]のような求積法の研究の継続でした。その後、ニコラウス・メルカトル（1668）^{[12] 、} ユークリッド・シュパイデル（1688）^[13]、ジョン・クレイグ（1710） ^[14 ]の著作のタイトルである「logaritmotechnia」として対数を作成する産業が生まれました。

条件付き収束半径を持つ等比級数を使用することで、メルカトル級数と呼ばれる交代級数は、区間 (0,2) 上の対数関数を表します。級数は (0,1) で負であるため、「双曲線の下の面積」はそこで負とみなされる必要があり、したがって符号付き面積によって双曲対数が決定されます。

歴史家トム・ホワイトサイドは分析機能への移行について次のように述べている。^[15]

17 世紀末までに、対数関数は、適切に表化された計算装置というだけでなく、双曲線面積をモデルにしたものとして数学に受け入れられていたと言えます。18 世紀にこの幾何学的基礎が捨てられ、完全に解析的な基礎が採用されたとき、拡張や再定式化は必要ありませんでした。つまり、「双曲線面積」の概念は、痛みもなく「自然対数」に変換されたのです。

レオンハルト・オイラーは、対数を対数の底と呼ばれる特定の数の指数として扱いました。彼は、2.71828 とその逆数が、双曲線xy = 1上の点を提供し、1 平方単位の面積が双曲線の下、(1,1) の右、双曲線の漸近線の上に位置することを指摘しました。そして、この数を底とする対数を自然対数と呼びました。

ハワード・イヴスが指摘したように、「数学の歴史における異例の1つは、指数が使用される前に対数が発見されたという事実である。」^[16] カール・B・ボイヤーは、「オイラーは、現在非常によく知られている方法で対数を指数として扱った最初の人物の1人であった。」^{[17]と書いています。}

バビロニア人は紀元前2000年から1600年の間に、加算、減算、および1/4乗表のみを使用して2つの数を掛け算する1/4乗乗算アルゴリズムを発明した可能性があります。 ^{[18] [19]}したがって、このような表は対数表と同様の目的を果たし、対数表でも加算と表参照を使用して乗算を計算できます。ただし、1/4乗法は、逆数表（または逆数を生成する十分に単純なアルゴリズムの知識）がなければ除算に使用できませんでした。1817年以降、コンピューターの使用に取って代わられるまで、大きな1/4乗表が大きな数の正確な乗算を簡素化するために使用されました。^[要出典]

インドの数学者ヴィラセナは、アルダッチェダの概念を研究した。これは、2nの形の数を半分にできる回数である。2の正確な累乗の場合、これは2進対数に等しいが、他の数の対数とは異なり、対数ではなく2進数順序を与える。 ^{[20] [21]}

ミヒャエル・シュティフェルは1544年にニュルンベルクで『積分学』を出版したが、そこには整数と2の累乗の表^{[22]が掲載されており、これは2}進対数表の初期のバージョンであると考えられている^{[23] [24]}。

16世紀から17世紀初頭にかけて、乗算と除算を近似するためにプロスタファエレシスと呼ばれるアルゴリズムが使用されました。これは三角関数の恒等式を使用していました。

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}$

または、同様の方法で乗算を加算に変換し、テーブルを参照します。ただし、対数の方が簡単で、作業量も少なくて済みます。オイラーの公式を使用すると、この 2 つの手法が関連していることがわかります。

スイスの数学者ヨスト・ビュルギは、真数表^[25]とみなせる数列表をジョン・ネイピアとは独立に作成した。ネイピアの出版物 (1614) は、ビュルギがヨハネス・ケプラーの要請で出版した頃には知られていた。ビュルギが 1588 年頃に計算を簡略化する何らかの方法を持っていたことはわかっているが、おそらくこの方法はプロスタファエレシスの使用であり、1600 年頃に遡る彼の数列表​​の使用ではなかった。実際、1584 年から 1586 年までカッセルにいたヴィティヒは、プロスタファエレシスの知識を持ち込んだ。これは、乗算と除算を三角値の加算と減算に置き換える方法である。この手順により、数年後に対数と同じ結果が得られる。

対数法は1614年にジョン・ネイピアによって「Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio」という本で初めて公に提唱されました。^{[26] [27] [28]}

ヨハネス・ケプラーは対数表を多用して天文暦を編纂し、それをネイピアに捧げたが、^[29]次のように述べている。

... 計算上の強調は、ネイピアのシステムが出現する何年も前に、ユストゥス・ビルギウス [Joost Bürgi] をまさにこれらの対数の道へと導きました。しかし... 彼は公益のために子供を育てる代わりに、出産時に子供を捨てました。

— ヨハネス・ケプラー^[30]、ルドルフ表（1627年）

ネイピアは、点Pが線分P0を横切ってQまで移動する様子を想像した。P0から一定の初速度で出発し、Qまでの距離に比例した速度で移動するため、Pは決してQに到達しない。ネイピアはこの図を、点LがL0から出発し、点Pの初速度に等しい一定速度で無限の線分に沿って移動する様子と並置した。ネイピアは、L0からLまでの距離を、PからQまでの距離の対数として定義した。^[31]

減算を繰り返すことでネイピアは1から100までのLについて(1 − 10 ⁻⁷ ) ^Lを計算した。L =100の場合の結果はおよそ0.99999 = 1 − 10 ⁻⁵である。ネイピアは次にこれらの数と10 ⁷ (1 − 10 ⁻⁵ ) ^Lの積をLが1から50までについて計算し、 0.9998 ≈ (1 − 10 ⁻⁵ ) ²⁰および0.9 ≈ 0.995 ²⁰についても同様に計算した。^[32] 20年を要したこれらの計算により、彼は500万から1000万までの任意の数Nについて、次の方程式を解く 数Lを与えることができた。

${\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.}$

ネイピアは最初Lを「人工数」と呼んだが、後に比率を表す数を意味する「対数」という言葉を導入した。λόγος （logos ）は比率を意味し、ἀριθμός（arithmos ）は数を意味する。現代の表記法では、自然対数との関係は次の通りである。 ^[33]

${\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{1/e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}$

ここで、非常に近い近似値は、

${\displaystyle (1-10^{-7})^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.}$

この発明はすぐに広く称賛された。ボナヴェントゥラ・カヴァリエリ（イタリア）、エドマンド・ウィンゲート（フランス）、薛鳳作（中国）、ヨハネス・ケプラーの『Chilias logarithmorum』（ドイツ）などの研究がこの概念をさらに広めるのに役立った。^[34]

1730年頃、レオンハルト・オイラーは指数関数と自然対数を次のように定義した。 ^{[35] [36] [37]}

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\\[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}$

1748 年に出版された教科書『無限の解析入門』で、オイラーは、逆関数を介した対数への現在では標準的なアプローチを発表しました。第 6 章「指数と対数について」では、定数a を底として超越関数 について論じています。その逆関数は対数です。 ${\displaystyle y=a^{z}.}$

z = log _a y です。

常用対数(底 10)を含む数学表は、コンピュータや計算機の出現以前の計算で広く使用されていました。これは、対数が乗算と除算の問題をはるかに簡単な加算と減算の問題に変換するだけでなく、底 10 に固有で便利な追加の特性があるためです。任意の正の数は、区間[1,10)の数と10の整数乗の積として表すことができます。これは、与えられた数の小数点記号を左にシフトすると正になり、右にシフトすると10の負の指数になると考えられます。これらの正規化された数 (特定の桁数で近似) の対数のみを、仮数と呼び、同様の精度 (同様の桁数) でリストに表す必要があります。これらの仮数はすべて正であり、区間[0,1)に囲まれています。与えられた正の数の常用対数は、その仮数に第2因数の常用対数を加算することで得られる。この対数は与えられた数の特性と呼ばれる。10の累乗の常用対数は指数と全く同じなので、特性は整数となり、常用対数は小数を扱う際に非常に便利となる。1未満の数の場合、特性により、必要に応じて結果の対数は負になる。^[38]特性と仮数の使用法の詳細については、 常用対数を参照。

ミヒャエル・シュティフェルは1544年にニュルンベルクで『積分学』を出版したが、そこには整数と2の累乗の表^[39]が掲載されており、これは対数表の初期のバージョンと考えられている^{[23] [24] 。}

対数表が初めて出版されたのは、ジョン・ネイピアが1614年 に著した『Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio』である。^[1]この本には57ページの説明文と90ページの三角関数とその自然対数表が掲載されている。^[27]

イギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスは1615 年にネイピアを訪れ、ネイピアの対数を再スケール化して、現在では常用対数または 10 進対数として知られている対数を作成することを提案しました。ネイピアは改訂された表の計算をブリッグスに委託し、彼らは後に 1617 年にLogarithmorum Chilias Prima (「最初の 1000 の対数」) を出版しました。この書には、対数の簡単な説明と、小数点以下 14 桁まで計算された最初の 1000 個の整数の表が記載されています。

1624年、ブリッグスの対数表は、30,000の自然数の対数を小数点以下14桁（1～20,000および90,001～100,000）まで記載した作品として、フォリオ版で出版された。この表は後にアドリアーン・ヴラクによって10桁まで拡張され、 1952年にはアレクサンダー・ジョン・トンプソンによって20桁まで拡張された。

ブリッグスは関数表を計算するために有限差分法を使用した最初の人の一人であった。 ^{[6] [7]}

ヴラックの表には後に603の誤りがあることが判明したが、「表が独自の計算の結果であり、210万を超える印刷された数字に誤りがある可能性があることを考慮すると、これは大きな数とは言えない」^[40]。 多くの訂正を含むヴラックの著作の版は、 1794年にライプツィヒでユリイ・ヴェガによってThesaurus Logarithmorum Completusというタイトルで発行された。

フランソワ・カレの7桁の表（パリ、1795年）は、100,000で止まる代わりに、100,000から108,000までの数の8桁の対数を示し、表の前半部分で最も大きかった補間の誤差を減らし、この追加は7桁の表に一般的に含まれていました。ヴラックの表の唯一の重要な公開された拡張は、1871年にエドワード・サングによって作成され、彼の表には200,000未満のすべての数の7桁の対数が含まれていました。

ブリッグスとヴラクは、三角関数の対数の表も独自に出版した。ブリッグスは、14 桁までの 100分の 1 度ごとの対数正弦と対数正接の表、 15 桁までの自然正弦の表、10 桁までの正接と正割の表を完成させた。これらはすべて 1631 年にゴーダで印刷され、1633 年にTrigonometria Britannicaというタイトルで出版された。三角関数の対数表は、よくあるように角度の関数に別の数を掛けなければならない手計算を簡素化する。

前述の表のほかに、 1790 年代のフランス共和政府の支援のもと、ガスパール・ド・プロニーの指導のもと、独自の計算によって「Tables du Cadastre」と呼ばれる大規模なコレクションが構築されました。100,000 までのすべての数の対数を 19 桁まで、100,000 から 200,000 までの数の対数を 24 桁まで含むこの作品は、パリ天文台に「17 枚の巨大なフォリオ」で手書きの形でのみ存在します。これは 1792 年に開始され、「計算はすべて、より高い精度を確保するために 2 部作成され、その後 2 つの原稿が慎重に照合され、わずか 2 年で完了しました。」^[41] 3 次補間を使用して、任意の数の対数を同様の精度で求めることができます。

さまざまなニーズに合わせて、小さなハンドブックから複数巻の版まで、さまざまな対数表がまとめられてきました。^[42]

計算尺は、ジョン・ネイピアが対数の概念を発表した直後の1620年から1630年頃に発明されました。オックスフォードのエドマンド・ガンターは、単一の対数目盛りを備えた計算機を開発しました。追加の測定ツールを使用すれば、掛け算や割り算にも使用できます。この目盛りの最初の説明は、1624年にパリで英国の数学者エドマンド・ウィンゲート（c.1593-1656）によって出版され、 「算術と幾何学における比例規則の使用法」と題された本でした。この本には、片側に対数目盛り、もう一方に表形式の目盛りが付いた二重の目盛りが含まれています。1630年にケンブリッジのウィリアム・オートレッドは円形の計算尺を発明し、1632年に2つの手持ち式ガンター定規を組み合わせて、現代の計算尺の原型となった装置を製作しました。オートレッドは、ケンブリッジ時代の同時代人であるアイザック・ニュートンと同様に、自分の考えを学生たちに個人的に教えた。またニュートンと同様に、かつての教え子であるリチャード・デラメインと、ウィンゲートの先願主義をめぐって激しい論争を繰り広げた。オートレッドの考えは、1632年と1653年に教え子のウィリアム・フォースターが出版した書籍で初めて公表された。

1677 年、ヘンリー・コッゲシャルは、コッゲシャル計算尺と呼ばれる木材測定用の 2 フィートの折りたたみ定規を作成し、計算尺の用途を数学的探究の範囲を超えて拡大しました。

1722 年にワーナーは 20 度スケールと 30 度スケールを導入し、1755 年にエヴァラードは反転スケールを導入しました。これらすべてのスケールを含む計算尺は、通常「多相」ルールと呼ばれます。

1815 年、ピーター マーク ロジェは対数計算尺を発明しました。これには対数の対数を表示する目盛りが付いていました。これにより、ユーザーはルートや指数を含む計算を直接実行できるようになりました。これは分数の累乗に特に便利でした。

1821 年、ナサニエル・ボウディッチは『 American Practical Navigator』の中で、航海の問題を解決するために固定部分に三角関数の目盛り、スライダー部分に対数正弦と対数正接の線が描かれた「計算尺」について説明しました。

1845年、グラスゴーのポール・キャメロンは、太陽や主要な星の赤経・赤緯など、航海に関する質問に答えることができる航海用計算尺を発表しました。 ^[50]

より現代的な計算尺は、1859年にフランスの砲兵中尉アメデ・マンハイムによって作られました。「彼は、国内で評判の高い会社に定規を作ってもらい、フランス砲兵隊に採用されたという幸運に恵まれました。」この頃、エンジニアリングが職業として認められ、ヨーロッパでは計算尺が広く使われるようになりましたが、アメリカではそうではありませんでした。アメリカでは、エドウィン・サッチャーの円筒形定規が1881年以降に定着しました。二重定規は、1891年にウィリアム・コックスによって発明され、ニューヨークのケッフェル・アンド・エッサー社によって製造されました。 ^{[51] [52]}

1914 年にネイピアの表の 300 周年を記念して執筆したEW ホブソンは、対数を「膨大な数値計算を行う必要があるすべての人にとって、労力を節約する優れた手段」と表現し、その重要性を「インド人の発明」である 10 進数システムと比較しました。^{[1] : p. 5} ネイピアの改良された計算方法は、すぐにイギリスとヨーロッパで採用されました。ケプラーは 1620 年の天体日誌をネイピアに捧げ、彼の発明と天文学へのその恩恵を祝福しました。^{[1] : p. 16} 天体航法の権威であるエドワード ライトは、ネイピアのラテン語のDescriptio を出版直後の 1615 年に英語に翻訳しました。^[2]ブリッグスは、この概念をより便利な 10 を底とする常用対数に拡張しました。^{[1] : pp.16–18}

「おそらく、このささやかな本[Descriptio]ほど科学全体、特に数学に大きな影響を与えた作品は他にないでしょう。この本は、数の累乗と累乗を求めるという、果てしなく骨の折れる、いや悪夢のような長い除算と乗算の過程を、永久に廃止する道を開いたのです。」^[53]

対数関数は数学的分析の基本であり続けていますが、20世紀には機械式計算機、その後は電子式ポケット計算機やコンピュータが高精度を必要とする計算を引き継ぐようになり、印刷された対数表の重要性は徐々に低下しました。^[54] 1970年代に携帯型科学計算機が導入されたことで、計算尺の時代は終わりを告げました。^[55] 対数目盛りのグラフは、広範囲のデータを表示するために広く使用されています。対数単位のデシベルも広く使用されています。

• ヘンリー・ブリッグス(1624)対数算術
• グレゴワール ド サン ヴァンサン(1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
• Christiaan Huygens (1651) Theoremata dequadratura hyperboles、ellipsis et circuli、Oeuvres Complètes 、Tome XI、 Internet Archiveからのリンク。
• James Gregory (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura、パドヴァ: パタヴィ、インターネット アーカイブ経由
• ウィリアム・ブラウンカー(1667) 『双曲線の二乗』Wayback Machineに 2016-04-03 アーカイブ済み、Philosophical Transactions of the Royal Society of London 、短縮版 1809、第 1 巻、pp 233–6、 Biodiversity Heritage Libraryからのリンク。
• ニコラウス・メルカトル（1668）『ロガリトミテクニア』ロンドン

• フランシス・マセレス (1791) 『Scriptores Logarithmici』、つまり対数の性質と構築に関するいくつかの興味深い小冊子のコレクション、Google ブックからのリンク。
• カール・ボップ (1907) 「聖ヴィンセントオのグレゴリウスのケーゲルシュニット」、Abhandlungen zum Geschichte der mathematische Wissenschaft、XX Heft。
• フロリアン・カジョリ(1913)「指数関数と対数の概念の歴史」、アメリカ数学月刊誌20: 5 ～ 14 ページ、35 ～ 47 ページ、75 ～ 84 ページ、107 ～ 117 ページ、148 ～ 151 ページ、173 ～ 182 ページ、205 ～ 210 ページ、Jstorからのリンク
• ジョージ・A・ギブソン (1922)「ジェームズ・グレゴリーの数学的研究」、エディンバラ数学協会紀要41: 2 ～ 25 および (第 2 シリーズ) 1: 1 ～ 18。
• Christoph J. Scriba (1983)「グレゴリーの収束する二重列: 円の「解析的」求積法に関するホイヘンスとグレゴリーの論争の新たな見方」、Historia Mathematica 10: 274 ～ 85 ページ。
• RC ピアス (1977)「対数の簡単な歴史」、2年制大学数学ジャーナル8(1):22–6。
• KM Clark (2012)「優先権、並行発見、卓越性：ネイピア、バーギと対数関係の初期の歴史」、Revue d'histoire de Mathematique 18(2): 223–70。

Wikiquote に対数の歴史に関する引用があります。

• ラファエル・ビジャレアル・カルデロン (2008) 丸太を切る: 丸太の歴史と用途について、モンタナ数学愛好家5(2,3): 237 ～ 44、モンタナ大学からのリンク
• マーティン・フラッシュマンハンボルト州立大学の対数の歴史