数論

初等整数論は、算術の基本的な方法を用いて数論のトピックを扱います。^{[ 4 ]}その主な研究対象は、整除性、因数分解、素数性、およびモジュラー算術における合同です。^{[ 71 ] [ 12 ]}初等整数論のその他のトピックには、ディオファントス方程式、連分数、整数分割、ディオファントス近似などがあります。^{[ 72 ]}

算術は数値演算の研究であり、加算、減算、乗算、除算、べき乗、平方根の抽出、対数といった算術演算を用いて数値がどのように組み合わせられ、変換されるかを研究します。例えば、乗算は、因数と呼ばれる2つの数値を組み合わせて、積と呼ばれる1つの数値を形成する演算です。${\displaystyle 2\times 3=6}$[ ^{73 ]​}

割り算は、割り算に関連する2つの非ゼロ整数間の性質です。${\displaystyle a}$は、ゼロでない整数で割り切れると言われている。${\displaystyle b}$もし${\displaystyle a}$の倍数です${\displaystyle b}$;つまり、整数が存在する場合${\displaystyle q}$そのため${\displaystyle a=bq}$同等の表現は次のとおりである。${\displaystyle b}$分ける${\displaystyle a}$そして、縦棒で表され、この場合は${\displaystyle b|a}$逆に、そうでない場合は、${\displaystyle a}$均等に分割されない${\displaystyle b}$結果として余りが生じる。ユークリッドの除法の補題は、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$一般的には次のように書ける${\displaystyle a=bq+r}$残りの${\displaystyle r}$最小の正の余り量を表します。初等整数論は、与えられた整数が固定の除数で割り切れるかどうかを素早く識別するために、割り切れる規則を研究します。たとえば、任意の整数は、その小数桁の合計が3で割り切れる場合、3 で割り切れることが知られています。^{[ 74 ] [ 9 ] [ 75 ]}

複数のゼロでない整数の共通約数とは、それらすべてを割り切る整数のことです。最大公約数(gcd) は、そのような約数の中で最大のものです。2 つの整数は、それらの最大公約数と、同時にそれらの唯一の約数が である場合、互いに素である、または相対的に素であると言われます。${\displaystyle 1}$ユークリッドの互除法は、 2つの整数の最大公約数を計算する。${\displaystyle a,b}$除法の補題を繰り返し適用し、各ステップ後に除数と剰余をずらすことによって、このアルゴリズムを解くことができる。このアルゴリズムは、線形ディオファントス方程式の特殊なケースを解くために拡張できる。${\displaystyle ax+by=1}$ディオファントス方程式には未知数と整数係数が複数あります。別の種類のディオファントス方程式はピタゴラスの定理で説明されています。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$解がすべて整数である場合、その解はピタゴラス数と呼ばれます。^{[ 9 ] [ 10 ]}もう一つの表現方法は連分数で、整数と分母が別のそのような和である分数の和を表します。^{[ 76 ]}

初等整数論は、偶数と奇数、素数、完全数などの整数の整除性について研究します。重要な整数論的関数には、除数計数関数、除数総和関数とその変形、オイラーのトーシェント関数などがあります。素数とは、1より大きい整数です。${\displaystyle 1}$その唯一の正の約数は${\displaystyle 1}$そして素数そのもの。${\displaystyle 1}$素数でない数は合成数と呼ばれる。ユークリッドの定理は、無限に多くの素数が存在し、それらが集合を構成することを示している。${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\cdots \}}$エラトステネスの篩は、合成数をすべて排除することで、与えられた自然数までのすべての素数を識別する効率的なアルゴリズムとして考案された。^{[ 77 ]}

因数分解とは、数を積として表す方法です。特に数論においては、整数因数分解とは、整数を整数の積に分解することです。すべての因数が素数になるまでこの手順を繰り返し適用する過程を素因数分解といいます。素数の基本的な性質は、ユークリッドの補題に示されています。この補題から、素数が整数の積を割り切る場合、その素数は積の因数の少なくとも1つを割り切るということが導かれます。一意因数分解定理は、素因数分解に関連する算術の基本定理です。この定理は、1000 より大きいすべての整数は、1000 であると述べています。${\displaystyle 1}$は素数の積に因数分解でき、この因数分解は因数の位数を除いて一意である。例えば、${\displaystyle 120}$は、${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 3\times 5}$または単に${\displaystyle 2^{3}\times 3\times 5}$[ ^{78 ] [ 9 ]​}

モジュラー算術は有限個の整数の集合を扱い、合同と剰余類の概念を導入します。2つの整数の合同${\displaystyle a,b}$モジュロ${\displaystyle n}$（モジュラスと呼ばれる正の整数）は同値関係であり、${\displaystyle n|(a-b)}$正しい。​${\displaystyle a}$そして${\displaystyle n}$、そして${\displaystyle b}$そして${\displaystyle n}$、同じ余りが得られます。これは次のように書きます。${\textstyle a\equiv b{\pmod {n}}}$12時間時計に似た方法で、${\displaystyle 4}$そして${\displaystyle 9}$に等しい${\displaystyle 13}$しかし、${\displaystyle 1}$剰余類は${\displaystyle n}$は、指定された整数と合同なすべての整数を含む集合です。${\displaystyle r}$モジュロ${\displaystyle n}$。 例えば、${\displaystyle 6\mathbb {Z} +1}$すべての倍数を含む${\displaystyle 6}$増加${\displaystyle 1}$モジュラー算術は、非常に大きなべき乗の合同式を迅速に解くための様々な公式を提供する。影響力のある定理の一つにフェルマーの小定理があり、これは素数が の場合、${\displaystyle p}$ある整数と互いに素である${\displaystyle a}$、 それから${\textstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$これは真である。オイラーの定理はこれを拡張して、すべての整数が${\displaystyle n}$合同条件を満たす$${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}},}$$オイラーのトーシェント関数${\displaystyle \varphi }$までのすべての正の整数を数えます${\displaystyle n}$互いに素である${\displaystyle n}$モジュラー算術は、代数学における方程式の解法と同様に、未知数を含む合同式を解くために使用される公式も提供する。例えば、中国剰余定理などである。^{[ 79 ]}

解析的整数論は、初等整数論とは対照的に、複素数と解析学および微積分学の手法に基づいている。解析的整数論は次のように定義できる。

• そのツールの観点から言えば、実解析や複素解析のツールを用いた整数の研究などである。 ^{[ 64 ]}または
• その関心事に関して言えば、数論における特定の数（例えば素数）の大きさや密度の推定に関する研究であり、恒等式とは対照的である。^{[ 80 ]}

素数の分布、数論関数の挙動、無理数について研究する。^{[ 81 ]}

数論は、多くの結果が一般の人にも説明できる分野として知られています。同時に、これらの結果の証明の多くは、数学の中でも特に幅広いツールが使用されているため、必ずしも容易に理解できるものではありません。^{[ 82 ]}解析的数論の問題の例としては、素数定理、ゴールドバッハ予想、双子素数予想、ハーディ・リトルウッド予想、ワーリング問題、リーマン予想などがあります。解析的数論の最も重要なツールには、円法、篩法、L関数（あるいは、むしろその性質の研究）などがあります。モジュラー形式（より一般的には保型形式）の理論も、解析的数論のツールボックスの中でますます中心的な位置を占めるようになっています。^{[ 83 ]}

解析学は、数列や関数が引数（または添え字）が特定の値に近づくにつれて収束する値として定義される極限を研究する数学の一分野です。例えば、数列の極限は${\displaystyle 0.9,0.99,0.999,...}$は${\displaystyle 1}$関数の文脈では、極限は${\textstyle {\frac {1}{x}}}$として${\displaystyle x}$無限大に近づく${\displaystyle 0}$^{[ 84 ]}複素数は、虚数単位を用いて実数を拡張したものである。${\displaystyle i}$の解として定義される${\displaystyle i^{2}=-1}$すべての複素数は次のように表すことができます。${\displaystyle x+iy}$、 どこ${\displaystyle x}$実部と呼ばれ、${\displaystyle y}$虚数部と呼ばれる。^{[ 85 ]}

素数の分布は、関数によって記述される。${\displaystyle \pi }$与えられた実数までのすべての素数を数える関数は予測不可能であり、数論における主要な研究対象である。オイラーの素数生成多項式を含む、素数の部分列に対する基本的な公式が開発されている。しかし、素数が大きくなりすぎると、これらの公式は機能しなくなる。解析的数論における素数定理は、素数が数値が大きくなるにつれて出現頻度が低くなるという概念を形式化したものである。ある分布は、非公式に、関数が${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$近似値${\displaystyle \pi (x)}$別の分布では、オフセット対数積分が収束し、${\displaystyle \pi (x)}$より速く。^{[ 3 ]}

ゼータ関数は素数の分布と関連していることが実証されている。それは次の級数として定義される。$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$収束する場合${\displaystyle s}$より大きい${\displaystyle 1}$オイラーは、すべての素数に関する無限積を含む関係を、恒等式として示しました。$${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$$リーマンは定義を複素変数に拡張し、すべての非自明なケース（${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$) 関数がゼロを返すのは、${\displaystyle s}$に等しい${\textstyle {\frac {1}{2}}}$彼は非自明なゼロと素数計数関数との間に繋がりを確立した。現在では未解決のリーマン予想として認識されているこの予想の解決は、素数の分布を理解する上で直接的な結果をもたらすだろう。^{[ 86 ]}

代数的数について解析的な問いを立て、解析的な手段を用いてその問いに答えることができる。このようにして、代数的数論と解析的数論が交わる。例えば、素イデアル（代数的数における素数の一般化）を定義し、あるサイズまでの素イデアルがいくつあるかを問うことができる。この問いには、この分野の根幹をなす重要な解析対象であるリーマンゼータ関数の一般化であるデデキントゼータ関数を調べることで答えることができる。 ^{[ 87 ]}これは、解析的数論における一般的な手順の一例である。すなわち、適切に構成された複素数値関数の解析的挙動から、数列（ここでは素イデアルまたは素数）の分布に関する情報を導き出すことである。^{[ 88 ]}

初等整数論は初等証明を用いており、この用語は複素数の使用を除外するが、基本的な解析は含む場合がある。^{[ 72 ]}例えば、素数定理は1896年に複素解析を用いて初めて証明されたが、初等証明は1949年にエルデシュとセルバーグによって発見された。^{[ 89 ]}この用語はやや曖昧である。例えば、ウィーナー・イケハラの定理のような複素タウバー定理に基づく証明は、複素解析ではなくフーリエ解析を使用しているにもかかわらず、非常に啓発的であるが初等的ではないとみなされることが多い。ここでも他の場合と同様に、初等証明はより高度な証明よりも長く、ほとんどの読者にとって難しいかもしれない。

解析的整数論の一部と一般的に考えられているいくつかの主題（例えば、篩理論）は、最初の定義よりも2番目の定義の方が適切である。^{[注5 ]}例えば、小さな篩は解析をほとんど用いないが、それでも解析的整数論に属する。^{[注6 ]}

代数的数とは、何らかの多項式方程式の解となる複素数のことである。${\displaystyle f(x)=0}$有理係数を持つ。例えば、すべての解${\displaystyle x}$の${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$は代数的数です。代数的数の体は、代数的数体、または略して数体とも呼ばれます。代数的数論は代数的数体を研究します。^{[ 90 ]}

最も単純な種類の数体、すなわち二次体については、すでにガウスによって研究されていたと言えるだろう。なぜなら、 『算術研究』における二次形式の議論は、二次体におけるイデアルと ノルムの観点から言い換えることができるからである。（二次体は、次の形式のすべての数から構成される。）${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$、 どこ ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は有理数であり、${\displaystyle d}$ （は平方根が有理数でない固定有理数である。）その点では、11世紀のチャクラヴァラ法は、現代の用語で言えば、実二次数体の単位を求めるアルゴリズムに相当する。しかし、バースカラもガウスも、数体というものをそのようなものとしては知らなかった。

この分野の基礎は19世紀後半に確立され、理想数、イデアル理論、評価理論が導入されました。これらは代数体における一意分解の欠如に対処する3つの補完的な方法です。（例えば、有理数と によって生成される体では、${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$数${\displaystyle 6}$両方とも次のように因数分解できます${\displaystyle 6=2\cdot 3}$そして ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$; すべて${\displaystyle 2}$、${\displaystyle 3}$、${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$そして ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$ （既約であり、したがって、素朴な意味では、整数の中の素数に類似している。）理想数の開発（クンマーによる）の最初の動機は、より高次の相互法則の研究から来たようである^{[ 91 ]。}つまり、二次相互法則の一般化である。

数体は、より小さな数体の拡張として研究されることが多い。体L が体Kの拡張であるとは、L がK を含む場合をいう。（例えば、複素数Cは実数Rの拡張であり、実数Rは有理数Qの拡張である。）与えられた数体の可能な拡張を分類することは、困難で部分的に未解決の問題である。アーベル拡張、すなわち、K上のLのガロア群Gal( L / K ) がアーベル群となるようなKの^拡張Lは、比較的よく理解されている。それらの分類は^、 19 世紀後半に開始され（一部はクロネッカーとアイゼンシュタインによって^）、 1900年～1950 年にかけて大部分が行われた類体論のプログラムの対象であった。

代数的整数論における活発な研究分野の一例として、岩沢理論が挙げられる。数学における主要な大規模研究計画の一つであるラングランズ・プログラムは、類体論を数体の非可換拡張に一般化しようとする試みとして説明されることもある。

ディオファントス幾何学の中心的な問題は、ディオファントス方程式が整数解または有理数解を持つ場合、そして持つ場合はいくつ持つかを決定することである。そのアプローチは、方程式の解を幾何学的対象として考えることである。

例えば、2変数の方程式は平面上の曲線を定義します。より一般的には、2つ以上の変数の方程式または方程式系は、n次元空間における曲線、曲面、またはその他の同様の対象を定義します。ディオファントス幾何学では、曲線または曲面上に有理点（すべての座標が有理数である点）または 整数点（すべての座標が整数である点）が存在するかどうかを問うます。そのような点が存在する場合、次のステップは、それらの点の数と分布を問うことです。この方向における基本的な質問は、与えられた曲線または曲面上に有理点が有限個存在するか、無限個存在するかということです。

例えば、ピタゴラスの定理を考えてみましょう。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$その合理的な解決策を知りたいと思う。${\displaystyle (x,y)}$xとyが両方とも有理数であるような。これは、すべての整数解を求めることと同じである。${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$; 後者の方程式の解は、解を与える。${\displaystyle x=a/c}$、${\displaystyle y=b/c}$前者と同様です。これは、次の曲線上の有理座標を持つすべての点を求めることと同じです。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$（原点を中心とする半径1の円）

方程式に関する問題を曲線上の点という観点から言い換えるのは適切である。代数曲線上の有理数または整数点の数（つまり、方程式の有理数または整数解）が有限であるか否か。${\displaystyle f(x,y)=0}$、 どこ${\displaystyle f}$は 2 つの変数の多項式である）は、曲線の種数に大きく依存する。 ^{[注 8 ]}このアプローチの大きな成果は、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明であり、他の幾何学的概念も同様に重要である。

また、ディオファントス近似という密接に関連した分野もあります。${\displaystyle x}$有理数でどれだけうまく近似できるかを判断します。有理数を書くのに必要なスペースの量に対して良い近似値を求めます。${\displaystyle a/q}$（と${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$）良い近似値${\displaystyle x}$もし${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$、 どこ${\displaystyle c}$は大きい。この問題は、特に次のような場合に興味深い。${\displaystyle x}$は代数的数です。${\displaystyle x}$がうまく近似できない場合、いくつかの方程式は整数解または有理数解を持ちません。さらに、いくつかの概念（特に高さの概念）は、ディオファントス幾何学とディオファントス近似の研究の両方において重要です。この問題は、超越数論においても特に興味深いものです。ある数が任意の代数的数よりもよく近似できる場合、それは超越数です。この議論によって、πとeが超越数であることが示されています。

ディオファントス幾何学は、代数的整数論における特定の問いに答えるための図解的手法の集合である数の幾何学と混同してはならない。算術幾何学は、ディオファントス幾何学が扱う領域と同じ領域を指す現代的な用語であり、特にディオファントス近似の手法よりも、現代代数幾何学（例えば、ファルティングスの定理）との関連性を強調したい場合に用いられる。

確率的数論は、次のような疑問から始まります。1から100万までの 整数nをランダムに選びます。それが素数である確率はどれくらいでしょうか？（これは、1から100万までの素数がいくつあるかを問う別の言い方です）。nは平均していくつの素因数を持つでしょうか？平均よりもはるかに多くの、あるいははるかに少ない素因数を持つ確率はどれくらいでしょうか？

数論における組み合わせ論は、次のような疑問から始まります。かなり「厚い」無限集合は${\displaystyle A}$等差数列の多くの要素を含む：${\displaystyle a}$、

${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$大きな整数を要素の和として表すことは可能でしょうか？${\displaystyle A}$？

主な疑問は2つあります。「これは計算できるのか？」そして「これを高速に計算できるのか？」です。誰でも、ある数が素数かどうかを判定したり、素数でない場合は素因数に分解したりすることはできますが、それを高速に行うことは別の問題です。素数判定のための高速アルゴリズムは現在知られていますが、多くの研究（理論的および実践的）にもかかわらず、素因数分解のための真に高速なアルゴリズムはまだありません。

• この記事は、Citizendium の記事「数論」の資料を組み込んでいます。この記事はCreative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseの下でライセンスされていますが、 GFDLの下ではライセンスされていません。