アフィン幾何学

数学において、アフィン幾何学は、距離と角度の計量概念を無視（数学者はしばしば「忘れる」と言う^{[1] [2]}）したときにユークリッド幾何学から残ったものである。

平行線の概念は、いかなる計量からも独立した主要な特性の 1 つであるため、アフィン幾何学は平行線の研究であると考えられることが多い。したがって、プレイフェアの公理(直線LとL上にない点Pが与えられたとき、 Lに平行でP を通る直線が 1 本だけ存在する) は、アフィン幾何学の基本である。アフィン幾何学における図形の比較は、点の配置と直線の平行性を維持するマッピングであるアフィン変換を使用して行われる。

アフィン幾何学は本質的に同等な2つの方法で展開できる。^[3]

総合幾何学において、アフィン空間は、いくつかの公理（プレイフェアの公理など） を満たす直線の集合が関連付けられた点の集合です。

アフィン幾何学は、線型代数に基づいて展開することもできます。この文脈では、アフィン空間とは、一連の変換(つまり、全単射写像)、平行移動、および(与えられた体、通常は実数上の)ベクトル空間を形成する、与えられた順序付き点のペアに対して、最初の点から 2 番目の点へ送る唯一の平行移動が存在する、つまり、 2つの平行移動の合成は、平行移動のベクトル空間におけるそれらの和です。

より具体的に言えば、これは、任意の順序付きポイントのペアにベクトルを関連付ける操作と、ポイントをベクトルで変換して別のポイントを生成する別の操作を持つことに相当します。これらの操作は、いくつかの公理を満たす必要があります (特に、2 つの連続した変換は合計ベクトルによる変換の効果を持つ)。任意のポイントを「原点」として選択すると、ポイントはベクトルと1 対 1 で対応しますが、原点の優先選択はありません。したがって、アフィン空間は、原点 (ゼロ ベクトル) を「忘れる」ことによって、関連するベクトル空間から取得されたものと見なすことができます。

計量を忘れるという考え方は、多様体理論にも応用できます。これは、アフィン接続に関する記事で詳しく説明されています。

1748年、レオンハルト・オイラーは 著書『有限解析入門』 （第2巻、第18章）でアフィン^{[4] [5]}（ラテン語の affinis 「関連した」に由来）という用語を導入しました。1827年、アウグスト・メビウスは著書『重心計算』（第3章）でアフィン幾何学について書いています。

フェリックス・クラインのエアランゲン計画以降、アフィン幾何学はユークリッド幾何学の一般化として認識されるようになった。^[6]

1918年、ヘルマン・ワイルは著書『空間、時間、物質』でアフィン幾何学に言及した。ワイルは数理物理学の発展の初期段階でアフィン幾何学を用いてベクトルの加減算を導入した^[7]。後にE.T.ウィテカーは次のように書いている: ^[8]

ワイルの幾何学は、詳細に解明された最初のアフィン幾何学として歴史的に興味深いものです。ワイルの幾何学は、4 次元時空における光信号の世界線を使用した特殊なタイプの平行移動に基づいています。これらの世界線の 1 つの短い要素は、ヌル ベクトルと呼ばれることがあります。この場合の平行移動は、ある点のヌル ベクトルを、隣接する点のヌル ベクトルの位置に運ぶようなものです。

アフィン幾何学に対するいくつかの公理的なアプローチが提唱されています。

アフィン幾何学は平行線を扱うため、アレクサンドリアのパップスが指摘した平行線の性質の一つが前提とされている: ^{[9] [10]}

• A、B、C が1 つの直線上にあり、A'、B'、C' が別の直線上にあるとします。直線AB'とA'Bが平行で、直線BC'とB'Cが平行であれば、直線CA'とC'Aは平行です。(これはパップスの六角形定理のアフィン版です)。

提案された完全な公理系には、点、線、点を含む線が基本概念として存在します。

• たった 1 行に 2 つの点が含まれています。
• 任意の直線Lと、 L上にない任意の点Pについて、 P を含みL上のどの点も含まない直線が 1 本だけ存在します。この直線はLに平行であると言われています。
• 各線には少なくとも 2 つの点が含まれます。
• 1 本の線に属さない点が少なくとも 3 つあります。

HSM Coxeterによれば:

これら 5 つの公理の面白さは、ユークリッド幾何学だけでなく、ミンコフスキーの時間と空間の幾何学(1 + 1 次元の単純なケース、特殊相対性理論では 1 + 3 次元が必要) にも当てはまる膨大な命題群に展開できるという事実によって高められています。ユークリッド幾何学またはミンコフスキー幾何学への拡張は、直交性などのさまざまな公理を追加することで実現されます。^[11]

アフィン幾何学のさまざまなタイプは、回転に対してどのような解釈が取られるかに対応しています。ユークリッド幾何学は通常の回転の考え方に対応し、ミンコフスキー幾何学は双曲回転に対応します。垂直な線に関しては、平面が通常の回転にさらされても、それらの線は垂直のままです。ミンコフスキー幾何学では、双曲直交する線は、平面が双曲回転にさらされてもその関係を維持します。

平面アフィン幾何学の公理的扱いは、順序幾何学の公理に2つの公理を追加することで構築できる: ^[12]

1. (アフィン平行公理) 点AとA を通らない直線rが与えられたとき、 A を通りrと交わらない直線は最大で 1 本存在する。
2. (デザルグ) 7 つの異なる点A、A'、B、B'、C、C'、Oがあり、AA'、BB'、CC'はO を通る異なる直線であり、AB はA'B'に平行であり、BC はB'C'に平行である場合、AC はA'C'に平行です。

アフィン平行性の概念は、直線上の同値関係を形成します。ここで提示された順序幾何学の公理には、実数の構造を暗示する特性が含まれているため、それらの特性はここにも引き継がれ、これは実数体上のアフィン幾何学の公理化となります。

最初の非デザルグ平面は、デイヴィッド・ヒルベルトの著書『幾何学の基礎』で言及されました。^[13]モールトン平面は標準的な例です。このような幾何学やデザルグの定理が有効な幾何学の文脈を提供するために、マーシャル・ホールによって三元環の概念が開発されました。

このアプローチでは、アフィン平面は三元環から取られた順序付きペアから構築されます。平面は、2つの平行な辺を持つ平行な透視図の2つの三角形が3番目の辺も平行でなければならない場合、「マイナーアフィンデザルグ特性」を持つと言われています。この特性が三元環によって定義されたアフィン平面で成り​​立つ場合、平面からの点のペアによって定義される「ベクトル」間に同値関係があります。 ^[14]さらに、ベクトルは加法の下でアーベル群を形成します。三元環は線形であり、右分配法則を満たします。

${\displaystyle (a+b)c=ac+bc.}$

幾何学的には、アフィン変換（アフィニティ）は共線性を保存します。つまり、平行線を平行線に変換し、平行線に沿った距離の比率を保存します。

アフィン群の下で不変な幾何学的結果をアフィン定理として識別します(フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムでは、これはアフィン幾何学の対称変換の基礎となる群です)。ベクトル空間Vで一般線型群GL( V )を考えます。これはアフィン群全体ではありません。なぜなら、 V内のベクトルvによる変換も許可する必要があるためです(このような変換は、 V 内の任意の w を w + v にマップします)。アフィン群は、一般線型群と変換によって生成され、実際にはそれらの半直積です (ここで、 V を加算演算の下での群として考え、 V上のGL( V )の定義表現を使用して半直積を定義します)。 ${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V).}$

たとえば、三角形の平面幾何学における、各頂点と反対側の中点（重心または重心）を結ぶ線の一致に関する定理は、アフィン不変量としての中点と重心の概念に依存します。他の例としては、チェバの定理とメネラウスの定理があります。

アフィン不変量も計算に役立ちます。たとえば、三角形の面積を 2 つの等しい半分に分割する線は、三角形の内側にエンベロープを形成します。エンベロープの面積と三角形の面積の比率はアフィン不変量であるため、単位二等辺直角三角形などの単純なケースから計算するだけで、すべての三角形に対して0.019860... または 2% 未満が得られます。 ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

三角形の面積を求めるための底辺の半分×高さや、ピラミッドの体積を求めるための底辺の 3 分の 1×高さ などのよく知られた公式も、同様にアフィン不変量です。後者は一般的なケースでは前者ほど明白ではありませんが、面(面積 1) と立方体の中心点 (高さ 1/2)で形成される単位立方体の 6 分の 1 については簡単にわかります。したがって、頂点が底辺の中心の真上にない傾斜したピラミッドや、底辺が正方形ではなく平行四辺形であるピラミッドも含め、すべてのピラミッドに当てはまります。この公式はさらに、無限個の平行四辺形 (収束に注意) を許容することで、底辺を平行四辺形に分割できるピラミッド(円錐を含む) に一般化できます。同じアプローチにより、4 次元ピラミッドの​​4Dハイパーボリュームは、平行六面体の底辺の3Dボリュームの4 分の 1×高さであることが示され、高次元でも同様になります。

運動学では、古典的および現代的な2種類のアフィン変換が使用されています。速度 vは長さと方向を使用して記述され、長さは無制限であると想定されています。ガリレオまたはニュートン運動と呼ばれるこの種類の運動学は、絶対空間と時間の座標を使用します。それぞれに軸がある平面のせん断マッピングは、静止参照フレームで速度vで移動する観測者の座標変化を表します。^[15]

木星の衛星の出現の遅れによって初めて注目された有限の光速度には、現代の運動学が必要である。この方法では、速度の代わりにラピディティが使用され、以前に使用されたシアーマッピングの代わりにスクイーズマッピングが使用される。このアフィン幾何学は、1912年に総合的に開発された。 ^{[16] [17]}特殊相対性理論を表現するために。1984年に、グラシエラ・バーマンと野水勝美は「ローレンツベクトル空間L ²に関連するアフィン平面」を「ローレンツ幾何学における三角法」と題する論文で説明した。^[18]

アフィン幾何学は、体K上で座標化された、与えられた次元nのアフィン空間の幾何学として見ることができます。また、合成有限幾何学で展開されるような、座標化されたアフィン空間の組合せ論的一般化 (2 次元) もあります。射影幾何学では、アフィン空間は射影空間における無限遠の超平面の補空間を意味します。 アフィン空間は、係数の合計が 1 になる線形結合 (たとえば、2 x − y、x − y + z、( x + y + z )/3、i x + (1 − i ) yなど) のみに演算が制限されるベクトル空間として見ることもできます。

総合的に言えば、アフィン平面は、点と直線（または高次元では超平面）の関係で定義される 2 次元のアフィン幾何学です。座標を使用する代わりに、アフィン（および射影）幾何学を点と直線（または超平面）の構成として定義すると、座標体のない例が得られます。重要な特性は、このような例はすべて次元が 2 であることです。次元 2 の有限の例（有限アフィン平面）は、無限アフィン空間の構成の研究、群論、および組合せ論で貴重でした。

構成的アプローチほど一般的ではないにもかかわらず、議論された他のアプローチは、対称性に関連する幾何学の部分を明らかにすることに非常に成功しています。

伝統的な幾何学では、アフィン幾何学はユークリッド幾何学と射影幾何学の中間の研究であると考えられている。一方では、アフィン幾何学は合同性を除外したユークリッド幾何学である。他方では、アフィン幾何学は、射影幾何学から、無限遠点を表す特定の直線または平面を指定することによって得られる。^{[19]アフィン幾何学には}計量構造はないが、平行線公理は成り立つ。アフィン幾何学は、垂直線が定義されるときにユークリッド構造の基礎を提供し、双曲直交性の概念によってミンコフスキー幾何学の基礎を提供する。^[20]この観点から、アフィン変換は有限点を無限遠点と入れ替えない射影変換であり、アフィン変換幾何学は、アフィン変換群の作用による幾何学的性質の研究である。

• 非ユークリッド幾何学

• エミール・アルティン(1957) 幾何代数、第 2 章「アフィン幾何学と射影幾何学」、インターネット アーカイブ経由
• VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) 「アフィン幾何学と射影幾何学のアイデアと方法」 (ロシア語)、教育省、モスクワ。
• MK Bennett (1995) 「アフィン幾何学と射影幾何学」、John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8。 
• HSM Coxeter (1955)「アフィン平面」、Scripta Mathematica 21:5–14、1954 年 4 月 26 日月曜日にScripta Mathematica友の会フォーラムで行われた講演。
• フェリックス・クライン(1939) 『高度な見地から見た初等数学:幾何学』、ERヘドリックとCAノーブル訳、pp 70-86、マクミラン社。
• ブルース・E・メサーヴ（1955）『幾何学の基礎概念』、第5章「アフィン幾何学」、pp 150-84、Addison-Wesley。
• Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) 「平面アフィン幾何学の基礎」、Mathematical Expositions #20、トロント大学出版局。
• Wanda Szmielew (1984) 「アフィン幾何学からユークリッド幾何学へ：公理的アプローチ」、D. Reidel、ISBN 90-277-1243-3。 
• Oswald Veblen (1918) 「射影幾何学」第 2 巻、第 3 章「平面におけるアフィン群」、pp 70 ～ 118、Ginn & Company。

ウィキメディア・コモンズには、アフィン幾何学に関連するメディアがあります。

• ロンドン大学のピーター・キャメロンの「射影幾何学とアフィン幾何学」。
• Jean H. Gallier (2001)。『コンピュータサイエンスとエンジニアリングのための幾何学的手法とアプリケーション』、第 2 章「アフィン幾何学の基礎」(PDF)、Springer Texts in Applied Mathematics #38、ペンシルバニア大学からオンラインで章を公開。