合成幾何学

総合幾何学（公理幾何学または純粋幾何学とも呼ばれる）は、座標を使用しない幾何学です。総合幾何学は、当初は公準と呼ばれ、現在では公理と呼ばれるいくつかの基本的な特性から得られるすべての結果を公理的な方法で証明します。

「総合幾何学」という用語は、17 世紀以降、ルネ・デカルトが解析幾何学と呼ばれる座標法を導入して初めて作られました。したがって、「総合幾何学」という用語は、デカルト以前に唯一知られていた古い方法を指すために導入されました。

総合幾何学は公式に頼らずに図形そのものを研究するものであるのに対し、解析幾何学は適切な座標系を採用した後に記述できる公式を一貫して利用する。^[1]

総合幾何学に対する最初の体系的なアプローチはユークリッドの『原論』である。しかし、19世紀末にはユークリッドの公理だけでは幾何学を特徴づけるのに十分ではないことが明らかになった。幾何学の最初の完全な公理体系は、19世紀末になってようやくダヴィド・ヒルベルトによって与えられた。同時に、総合的方法と解析的方法の両方を使って幾何学を構築できることが明らかになった。2つのアプローチが同等であるという事実は、エミール・アルティンの著書『幾何学代数』で証明されている。

この同等性のため、初等レベル、または有限幾何学や非デザルグ幾何学など、いかなる種類の数にも関連しない幾何学を除いて、合成幾何学と解析幾何学の区別はもはや使用されていません。^[要出典]

論理合成

論理的統合のプロセスは、任意だが明確な出発点から始まります。この出発点は、基本的な概念またはプリミティブと、これらのプリミティブに関する公理の導入です。

プリミティブは最も基本的な概念です。通常、プリミティブにはオブジェクトと関係の両方が含まれます。幾何学では、オブジェクトは点、線、平面などのものであり、基本的な関係は、あるオブジェクトが別のオブジェクトと出会ったり結合したりすることです。用語自体は定義されていません。ヒルベルトはかつて、点、線、平面の代わりに、テーブル、椅子、ビールジョッキについて話してもよいと述べました。^{[2]重要なのは、プリミティブな用語は単なる空の}プレースホルダーであり、固有のプロパティがないということです
公理はこれらのプリミティブに関するステートメントです。たとえば、任意の2 つのポイントは 1 本の線とのみ結合します(つまり、任意の 2 つのポイントには、その両方を通過する 1 本の線があります)。公理は真であると想定されており、証明されていません。公理はプリミティブが持つプロパティを指定するため、幾何学的概念の構成要素です。

与えられた公理の集合から、注意深く構築された論理的議論として統合が進められます。重要な結果が厳密に証明されると、それは定理になります。

公理集合の性質

幾何学には固定された公理集合はなく、複数の一貫した集合を選択できる。各集合は異なる幾何学をもたらす可能性があるが、異なる集合が同じ幾何学をもたらす例もある。このように可能性が多すぎるため、「幾何学」を単数形で語ることはもはや適切ではない。

歴史的に、ユークリッドの平行線公理は他の公理とは独立していることが判明しています。単にそれを放棄すると絶対幾何学が得られ、それを否定すると双曲幾何学が得られます。その他の一貫した公理セットは、射影幾何学、楕円幾何学、球面幾何学、アフィン幾何学などの他の幾何学を生み出すことができます。

連続性と「媒介性」の公理もオプションです。たとえば、それらを破棄または変更することで、個別のジオメトリを作成できます。

クラインのエルランゲン・プログラムに従えば、与えられた幾何学の性質は、発展のスタイルではなく、対称性と命題の内容との関係として見ることができる。

歴史

ユークリッドの元々の扱い方は2000年以上もの間異論を唱えられることなく残っていたが、19世紀にガウス、ボヤイ、ロバチェフスキー、リーマンが同時に非ユークリッド幾何学を発見したことで、数学者たちはユークリッドの根底にある仮定に疑問を抱くようになった。 ^[3]

初期のフランスの分析家の一人は、総合幾何学を次のように要約しました。

ユークリッドの原論は総合的方法によって扱われている。著者は、公理を提起し、必要条件を形成した後、常に単純なものから複雑なものへと進み、先行するものによって次々に裏付けられていることを証明する命題を確立した。これが総合の本質的な特徴である。^[4]

総合幾何学の全盛期は19世紀であったと考えられる。この時代、ヤコブ・シュタイナーなどの幾何学者は座標と微積分に基づく解析的手法を無視し、射影幾何学の純粋に総合的な発展を推し進めた。例えば、入射公理から始まる射影平面の扱いは、実際には3次元のベクトル空間から始まるものよりも広い理論（より多くのモデル）である。射影幾何学は、実際、あらゆる幾何学の中で最も単純で最もエレガントな総合的表現を持っている。^[5]

フェリックス・クラインはエアランゲンプログラムで、総合的手法と分析的手法の間の緊張を軽視した。

近代幾何学における総合的方法と分析的方法の対立について:

現代の総合幾何学と現代の解析幾何学の区別は、もはや本質的なものではない。なぜなら、両者の主題と推論方法は徐々に類似した形をとってきたからである。したがって、本文では両者の共通名称として射影幾何学という用語を選択する。総合的方法は空間認識とより関係があり、それによってその最初の単純な展開にまれな魅力を与えるが、空間認識の領域は解析的方法に閉じられているわけではなく、解析幾何学の公式は幾何学的関係の正確で明快な記述とみなすことができる。一方、よく定式化された解析が独創的な研究にもたらす利点は過小評価されるべきではない。それは、いわば、解析が思考に先んじて進むことによる利点である。しかし、数学的主題は直感的に明らかになるまでは尽きているとは考えるべきではなく、解析の助けによってなされる進歩は、非常に重要ではあるが、最初のステップにすぎないことを常に強調すべきである。^[6]

ユークリッド幾何学の詳細な公理的研究は、ランバート四辺形とサッケリ四辺形の構築につながった。これらの構造は、ユークリッドの平行公理が否定される非ユークリッド幾何学の分野を導入した。ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーは独立に双曲幾何学を構築した。双曲幾何学では、平行線の平行角はそれらの距離に依存する。この研究は、運動がメビウス変換によって与えられるポアンカレ円板モデルを通じて広く利用可能になった。同様に、ガウスの弟子であるリーマンは、楕円幾何学がその特殊なケースであるリーマン幾何学を構築した。

もう一つの例は、ルートヴィヒ・イマヌエル・マグヌスが提唱した反転幾何学に関するもので、これは精神的には総合的であると考えられます。これと密接に関連する往復演算は、平面の解析を表現します。

カール・フォン・シュタウトは、加算と乗算の可換性や結合性などの代数公理が、実際には幾何学的配置における直線の接続の結果であることを示した。デイヴィッド・ヒルベルトは、デザルグ配置が特別な役割を果たすことを示した^{[7] 。}ルース・ムファンと彼女の学生によってさらなる研究が行われた。これらの概念は、接続幾何学の動機の1つとなっている。

平行線を主としてとらえると、合成によりアフィン幾何学が生まれます。ユークリッド幾何学はアフィン幾何学と計量幾何学の両方ですが、一般にアフィン空間には計量が欠けている場合があります。このようにして得られる追加の柔軟性により、アフィン幾何学は時空の研究に適しています。これについてはアフィン幾何学の歴史で論じられています。

1955 年、ハーバート・ビューズマンとポール・J・ケリーは、総合幾何学に対する懐かしい思いを語りました。

幾何学者は、不本意ではあるが、総合幾何学の美しさが新世代にとって魅力を失ってしまったことを認めざるを得ない。その理由は明白である。それほど遠くない昔、総合幾何学は推論が公理から厳密に進む唯一の分野であったが、数学に興味を持つ多くの人々にとって非常に基本的なこの魅力は、現在では他の多くの分野でも見られるようになった。^[5]

例えば、現在大学の研究には線型代数、位相幾何学、グラフ理論が含まれており、これらの科目は第一原理から展開され、命題は初等的な証明によって演繹される。総合幾何学を解析幾何学に置き換えることを期待すると、幾何学の内容が失われることになる。^[8]

今日の幾何学の学生はユークリッドの公理以外にも利用可能な公理を持っています。ヒルベルトの公理とタルスキーの公理を参照してください。

エルンスト・ケッターは1901年に「モンジュからシュタウトまでの総合幾何学の発展（1847年）」に関する報告書（ドイツ語）を出版した。^[9]