ボリュームを見つける 回転体の体積を求める一般的な方法として、円盤法 とシェル積分法の 2つがあります。これらの方法を適用するには、まず対象となるグラフを描き、回転軸を中心に回転させる領域を特定し、厚さδx の円盤状のスライス、または幅δx の円筒状のシェルの体積を求め、次にδxが0に近づくときのこれらの体積の極限値を求めます。この値は、適切な積分を計算することで求めることができます。より厳密な根拠を示すには、 円筒 座標系で2つの異なる積分次数を持つ三重積分 を計算してみる方法があります。
ディスク法 y軸を中心としたディスク積分 円盤法は、描画された断面が回転軸に垂直で ある場合、つまり回転軸に平行に積分する場合に使用されます。
曲線f ( y )g ( y )y = a y = b で囲まれた領域をy 軸を中心に回転させてできる立体の体積は、次式で与えられる。 V = π ∫ 1 b | f （ y ） 2 − g （ y ） 2 | d y 。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.} g ( y ) = 0y 軸の間の領域を回転する場合）、これは次のように簡略化されます。 V = π ∫ 1 b f （ y ） 2 d y 。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}
この方法は、上側のf ( y )と下側の g ( y ) の間のy にある薄い水平長方形を考え、それをy 軸を中心に回転させることで視覚化できます。これにより、外半径f ( y ) と内半径g ( y ) を持つリング (または g ( y ) = 0の場合は円盤 ) π( R 2 − r 2 ) で、R は外半径 (この場合はf ( y ) )、r は内半径 (この場合はg ( y ) ) です。したがって、各微小円盤の体積はπ f ( y ) 2 dy です。aと b の間の円盤の体積のリーマン和 の極限は積分 (1) になります。
フビニの定理 と多変数変換式の適用可能性を仮定すると、円盤法は（立体をDと表記して）次のように直接導出できる。 V = ∭ D d V = ∫ 1 b ∫ g （ z ） f （ z ） ∫ 0 2 π r d θ d r d z = 2 π ∫ 1 b ∫ g （ z ） f （ z ） r d r d z = 2 π ∫ 1 b 1 2 r 2 ‖ g （ z ） f （ z ） d z = π ∫ 1 b （ f （ z ） 2 − g （ z ） 2 ） d z {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}
シェル積分法 シェル統合 シェル法（「円筒法」とも呼ばれる）は、描画された断面が回転軸に平行な 場合、つまり回転軸に垂直な方向に積分する場合に使用されます。
曲線f ( x )g ( x )x = a x = b で囲まれた領域をy 軸を中心に回転させてできる立体の体積は、次式で与えられる。 V = 2 π ∫ 1 b x | f （ x ） − g （ x ） | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.} g ( x ) = 0x 軸の間の領域を回転する場合）、これは次のように簡略化されます。 V = 2 π ∫ 1 b x | f （ x ） | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}
この方法は、高さf ( x ) − g ( x ) の薄い垂直な長方形をx に置き、それをy 軸を中心に回転させることで視覚化できます。これにより円筒殻が形成されます。円筒の側面積は2π rh r は半径 (この場合はx )、h は高さ (この場合はf ( x ) − g ( x ) ) です。区間に沿ったすべての表面積を合計すると、全体の体積が得られます。
この方法は、同じ三重積分を用いて導出できますが、今回は積分順序が異なります。 V = ∭ D d V = ∫ 1 b ∫ g （ r ） f （ r ） ∫ 0 2 π r d θ d z d r = 2 π ∫ 1 b ∫ g （ r ） f （ r ） r d z d r = 2 π ∫ 1 b r （ f （ r ） − g （ r ） ） d r 。 {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}
動いている形状は、それぞれによって形成される回転体を示しています
数学と芸術： パオロ・ウッチェロ による回転体としての花瓶の研究。15世紀曲線が区間[ a , b ]内で パラメトリック 形式( x ( t ), y ( t ))で定義されている場合、曲線を x 軸またはy 軸の周りに回転させて生成される立体の体積は[ 1 ] V x = ∫ 1 b π y 2 d x d t d t 、 V y = ∫ 1 b π x 2 d y d t d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}
同じ条件下では、曲線をx 軸またはy 軸を中心に回転させて生成される立体の表面積は[ 2 ] A x = ∫ 1 b 2 π y （ d x d t ） 2 + （ d y d t ） 2 d t 、 A y = ∫ 1 b 2 π x （ d x d t ） 2 + （ d y d t ） 2 d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}
これは多変数積分からも導き出せる。平面曲線 が次のように与えられる場合⟨ x （ t ） 、 y （ t ） ⟩ {\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle } r （ t 、 θ ） = ⟨ y （ t ） コス （ θ ） 、 y （ t ） 罪 （ θ ） 、 x （ t ） ⟩ {\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle } 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } 面積分によって与えられる。 A x = ∬ S d S = ∬ [ 1 、 b ] × [ 0 、 2 π ] ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ 1 b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t 。 {\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}
偏微分を計算すると、 ∂ r ∂ t = ⟨ d y d t コス （ θ ） 、 d y d t 罪 （ θ ） 、 d x d t ⟩ 、 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,} ∂ r ∂ θ = ⟨ − y 罪 （ θ ） 、 y コス （ θ ） 、 0 ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle } 交差 積 を計算すると、∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ = ⟨ y コス （ θ ） d x d t 、 y 罪 （ θ ） d x d t 、 y d y d t ⟩ = y ⟨ コス （ θ ） d x d t 、 罪 （ θ ） d x d t 、 d y d t ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle } 罪 2 （ θ ） + コス 2 （ θ ） = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1} A x = ∫ 1 b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ 1 b ∫ 0 2 π ‖ ⟨ y コス （ θ ） d x d t 、 y 罪 （ θ ） d x d t 、 y d y d t ⟩ ‖ d θ d t = ∫ 1 b ∫ 0 2 π y コス 2 （ θ ） （ d x d t ） 2 + 罪 2 （ θ ） （ d x d t ） 2 + （ d y d t ） 2 d θ d t = ∫ 1 b ∫ 0 2 π y （ d x d t ） 2 + （ d y d t ） 2 d θ d t = ∫ 1 b 2 π y （ d x d t ） 2 + （ d y d t ） 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}
極座標曲線の場合r = f （ θ ） {\displaystyle r=f(\theta )} α ≤ θ ≤ β {\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta } f （ θ ） ≥ 0 {\displaystyle f(\theta )\geq 0} V x = ∫ α β （ π r 2 罪 2 θ コス θ d r d θ − π r 3 罪 3 θ ） d θ 、 V y = ∫ α β （ π r 2 罪 θ コス 2 θ d r d θ + π r 3 コス 3 θ ） d θ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}
曲線をx 軸またはy 軸を中心に回転させて生成される立体の表面積は次のように表される。 A x = ∫ α β 2 π r 罪 θ r 2 + （ d r d θ ） 2 d θ 、 A y = ∫ α β 2 π r コス θ r 2 + （ d r d θ ） 2 d θ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}
注記 ↑ Sharma, A. K. (2005).積分計算の応用 . Discovery Publishing House. p. 168. ISBN 81-7141-967-4 。 ↑ Singh, Ravish R. (1993). Engineering Mathematics (6th ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 。
![{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e20c212de99b253a52f3442b8f74ea73d61ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40a565d2a1204819b5f663d357ad70e1af0e1cc)
