数学モデル

数学モデルは 、数学的概念と言語を使用して具体的なシステムを 抽象的に記述したものです。数学モデルを開発するプロセスは、数学モデリングと呼ばれます。数学モデルは、応用数学、自然科学（物理学、生物学、地球科学、化学など）および工学分野（コンピューターサイエンス、電気工学など）だけでなく、社会科学^[1]（経済学、心理学、社会学、政治学など）などの非物理システムでも使用されます。また、それ自体が科目として教えることもできます。^[2]

ビジネスや軍事作戦における問題を解決するために数学モデルを使用することは、オペレーションズ・リサーチの分野の大部分を占めています。数学モデルは音楽、^[3]、 言語学、^[4]、 哲学（例えば、分析哲学で集中的に）でも使用されています。モデルは、システムを説明し、さまざまなコンポーネントの効果を研究し、動作を予測するのに役立ちます。

数学モデルには、動的システム、統計モデル、微分方程式、ゲーム理論モデルなど、さまざまな形式があります。これらのモデルと他の種類のモデルは重複する可能性があり、特定のモデルにはさまざまな抽象構造が含まれます。一般に、数学モデルには論理モデルが含まれる場合があります。多くの場合、科学分野の品質は、理論側で開発された数学モデルが反復可能な実験の結果とどれだけ一致するかによって決まります。理論的な数学モデルと実験測定が一致しないことは、より優れた理論が開発されることで重要な進歩につながることがよくあります。物理科学では、従来の数学モデルに次の要素のほとんどが含まれています。

1. 支配方程式
2. 補足サブモデル
   1. 方程式の定義
   2. 構成方程式
3. 仮定と制約
   1. 初期条件と境界条件
   2. 古典的な制約と運動方程式

数学モデルにはさまざまな種類があります。

• 線形と非線形。数学モデル内のすべての演算子が線形性を示す場合、結果として得られる数学モデルは線形であると定義されます。それ以外の場合、モデルは非線形であると見なされます。線形性と非線形性の定義はコンテキストに依存し、線形モデルには非線形表現が含まれる場合があります。たとえば、統計的線形モデルでは、関係はパラメータでは線形であると想定されますが、予測変数では非線形である可能性があります。同様に、微分方程式は、線形微分演算子を使用して記述できる場合に線形であると言われますが、非線形表現が含まれる場合もあります。数理計画モデルでは、目的関数と制約が完全に線形方程式で表される場合、モデルは線形モデルと見なされます。1 つ以上の目的関数または制約が非線形方程式で表される場合、モデルは非線形モデルと呼ばれます。
  線形構造は、問題をより単純な部分に分解して、独立して扱ったり、異なるスケールで分析したりすることができ、得られた結果は再構成および再スケールされた場合でも最初の問題に対して有効なままであることを意味します。非線形性は、かなり単純なシステムであっても、カオスや不可逆性
  などの現象と関連付けられることがよくあります。例外はありますが、非線形システムとモデルは線形のものよりも研究が難しい傾向があります。非線形問題に対する一般的なアプローチは線形化ですが、非線形性と強く結びついている不可逆性などの側面を研究しようとすると、問題が発生する可能性があります。
• 静的 vs. 動的。動的モデルは、システムの状態の時間依存の変化を考慮しますが、静的(または定常状態) モデルは平衡状態のシステムを計算するため、時間不変です。動的モデルは通常、微分方程式または差分方程式で表されます。
• 明示的 vs. 暗黙的。モデル全体の入力パラメータがすべて既知で、出力パラメータを有限の一連の計算で計算できる場合、そのモデルは明示的であると言われます。しかし、出力パラメータが既知で、対応する入力をニュートン法やブロイデン法などの反復手順で解く必要がある場合もあります。このような場合、モデルは暗黙的であると言われます。たとえば、ジェット エンジンのタービンやノズルのスロート面積などの物理的特性は、特定の飛行条件と出力設定での設計熱力学サイクル(空気と燃料の流量、圧力、温度) が与えられれば明示的に計算できますが、他の飛行条件と出力設定でのエンジンの動作サイクルは、一定の物理的特性から明示的に計算することはできません。
• 離散対連続。離散モデルは、分子モデルの粒子や統計モデルの状態などのオブジェクトを離散的に扱います。一方、連続モデルは、パイプの流れにおける流体の速度場、固体の温度と応力、点電荷によりモデル全体に​​連続的に適用される電場などのオブジェクトを連続的に表現します。
• 決定論的 vs. 確率論的 (確率論的)。決定論的モデルは、変数の状態のすべてのセットがモデル内のパラメータとこれらの変数の以前の状態のセットによって一意に決定されるモデルです。したがって、決定論的モデルは、特定の初期条件のセットに対して常に同じように動作します。逆に、確率論的モデル (通常は「統計モデル」と呼ばれます) ではランダム性が存在し、変数の状態は一意の値ではなく確率分布によって記述されます。
• 演繹的、帰納的、または浮動的。演繹モデルは理論に基づいた論理構造である。帰納モデルは経験的発見とそこからの一般化から生まれる。浮動モデルは理論にも観察にも基づかず、単に予想される構造の呼び出しにすぎない。経済学以外の社会科学における数学の応用は、根拠のないモデルであると批判されてきた。 ^{[5]科学における}カタストロフィー理論の応用は浮動モデルとして特徴付けられてきた。 ^[6]
• 戦略的 vs. 非戦略的。ゲーム理論で使用されるモデルは、競合する種やオークションの入札者など、相容れないインセンティブを持つエージェントをモデル化する点で異なります。戦略的モデルでは、プレーヤーは目的関数を最大化する行動を合理的に選択する自律的な意思決定者であると想定しています。戦略的モデルを使用する際の主な課題は、ナッシュ均衡などのソリューションの概念を定義して計算することです。戦略的モデルの興味深い特性は、ゲームのルールに関する推論とプレーヤーの行動に関する推論を分離していることです。^[7]

ビジネスやエンジニアリングでは、数学モデルを使用して特定の出力を最大化することができます。検討中のシステムには、特定の入力が必要です。入力と出力を関連付けるシステムは、決定変数、状態変数、外生変数、ランダム変数などの他の変数にも依存します。決定変数は、独立変数と呼ばれることもあります。外生変数は、パラメーターまたは定数と呼ばれることもあります。状態変数は、決定変数、入力変数、ランダム変数、外生変数に依存するため、変数は互いに独立していません。さらに、出力変数はシステムの状態 (状態変数によって表される) に依存します。

システムとそのユーザーの目的と制約は、出力変数または状態変数の関数として表すことができます。目的関数は、モデルのユーザーの観点によって異なります。コンテキストによっては、目的関数はユーザーにとって興味のある尺度であるため、パフォーマンスのインデックスとも呼ばれます。モデルが持つことができる目的関数と制約の数に制限はありませんが、数が増えるにつれて、モデルの使用または最適化は（計算的に）より複雑になります。たとえば、経済学者は、入出力モデルを使用するときに線形代数を適用することがよくあります。多くの変数を持つ複雑な数学モデルは、1 つのシンボルが複数の変数を表す ベクトルを使用して統合できます。

数学的モデリングの問題は、システムに関する事前情報がどの程度利用可能かによって、ブラック ボックス モデルまたはホワイト ボックスモデルに分類されることがよくあります。ブラック ボックス モデルは、事前情報が利用できないシステムです。ホワイト ボックス モデル (ガラス ボックスまたはクリア ボックスとも呼ばれます) は、必要な情報がすべて利用可能なシステムです。実質的にすべてのシステムはブラック ボックス モデルとホワイト ボックス モデルの中間に位置するため、この概念は、どちらのアプローチを取るかを決定するための直感的なガイドとしてのみ役立ちます。

通常、モデルの精度を高めるには、できるだけ多くの事前情報を使用することが望ましいです。したがって、ホワイト ボックス モデルは通常、より簡単であると考えられています。これは、情報を正しく使用すれば、モデルが正しく動作するからです。事前情報は、多くの場合、さまざまな変数に関連する関数の種類を知るという形で提供されます。たとえば、ある薬が人間のシステムでどのように作用するかをモデル化する場合、通常、血液中の薬の量は指数関数的に減少する関数であることはわかっていますが、まだいくつかの未知のパラメーターが残っています。薬の量はどのくらいの速さで減少するのか、血液中の薬の初期量はどれくらいなのか。したがって、この例は完全なホワイト ボックス モデルではありません。これらのパラメーターは、モデルを使用する前に何らかの方法で推定する必要があります。

ブラックボックス モデルでは、変数間の関係の関数形式とそれらの関数の数値パラメータの両方を推定しようとします。事前情報を使用すると、たとえば、システムを適切に説明できる可能性のある一連の関数を得ることができます。事前情報がない場合、さまざまなモデルをすべてカバーするために、できるだけ一般的な関数を使用するようにします。ブラックボックス モデルでよく使用されるアプローチは、通常は入力データについて仮定を行わないニューラル ネットワークです。代わりに、非線形システム識別^[8]の一部として開発された NARMAX (外生入力による非線形自己回帰移動平均モデル) アルゴリズムを使用して、モデル項を選択し、モデル構造を決定し、相関および非線形ノイズが存在する場合に未知のパラメータを推定できます。ニューラル ネットワークと比較した NARMAX モデルの利点は、NARMAX では書き留めて基礎となるプロセスに関連付けることができるモデルが生成されるのに対し、ニューラル ネットワークでは不透明な近似値が生成されます。

主観的な情報を数学モデルに組み込むことが有用な場合もあります。これは、直感、経験、専門家の意見、または数学的形式の利便性に基づいて行うことができます。ベイズ統計は、そのような主観を厳密な分析に組み込むための理論的枠組みを提供します。つまり、事前確率分布（主観的である可能性があります）を指定し、経験的データに基づいてこの分布を更新します。

このようなアプローチが必要になる例としては、実験者がコインを少し曲げて一度投げ、表が出るかどうかを記録し、次に次の投げで表が出る確率を予測するという状況が挙げられます。コインを曲げた後、コインが表になる本当の確率は不明です。そのため、実験者は (おそらくコインの形を見て) どの事前分布を使用するかを決定する必要があります。このような主観的な情報を組み込むことは、確率の正確な推定値を得るために重要になる場合があります。

一般的に、モデルの複雑さは、モデルの単純さと正確さのトレードオフを伴います。オッカムの剃刀はモデリングに特に関連する原則であり、その基本的な考え方は、ほぼ同じ予測力を持つモデルの中で、最も単純なものが最も望ましいというものです。複雑さが増すとモデルの現実性は向上しますが、モデルの理解と分析が難しくなり、数値不安定性などの計算上の問題も引き起こす可能性があります。トーマス・クーンは、科学が進歩するにつれて、パラダイムシフトによって根本的な単純化がもたらされる前に、説明はより複雑になる傾向があると主張しています。^[9]

たとえば、航空機の飛行をモデル化する場合、航空機の各機械部品をモデルに埋め込むことができ、システムのほぼホワイトボックス モデルを取得できます。ただし、このように膨大な量の詳細を追加するには計算コストがかかるため、このようなモデルの使用は事実上妨げられます。さらに、過度に複雑なシステムでは、各個別の部品がモデルに一定の変動を引き起こすため、不確実性が増大します。したがって、通常は、モデルを適切なサイズに縮小するために、ある程度の近似値を使用することが適切です。エンジニアは、より堅牢でシンプルなモデルを取得するために、ある程度の近似値を受け入れることがよくあります。たとえば、ニュートンの 古典力学は、現実世界の近似モデルです。それでも、ニュートンのモデルは、粒子の速度が光速をはるかに下回り、マクロ粒子のみを研究する限り、日常生活のほとんどの状況で十分です。精度が高くても、必ずしもモデルが優れているとは限らないことに注意してください。統計モデルは過剰適合する傾向があり、これはモデルがデータに適合しすぎて、以前に観察されなかった新しいイベントに一般化する能力を失っていることを意味します。

純粋なホワイトボックスではないモデルには、モデルを記述しようとしているシステムに当てはめるために使用できるパラメータがいくつか含まれています。モデリングが人工ニューラルネットワークやその他の機械学習によって行われる場合、パラメータの最適化はトレーニングと呼ばれ、モデルのハイパーパラメータの最適化はチューニングと呼ばれ、多くの場合、クロスバリデーションが使用されます。^{[10]明示的に与えられた数学関数によるより従来のモデリングでは、パラメータは多くの場合、}曲線フィッティングによって決定されます。^[要出典]

モデリング プロセスの重要な部分は、特定の数学モデルがシステムを正確に記述しているかどうかを評価することです。この質問には複数の異なるタイプの評価が関係するため、答えるのが難しい場合があります。

通常、モデル評価の最も簡単な部分は、モデルがモデル開発で使用されていない実験測定やその他の経験的データを予測しているかどうかを確認することです。パラメータを持つモデルでは、データをトレーニング データと検証データという 2 つの独立したサブセットに分割するのが一般的な方法です。トレーニング データは、モデル パラメータを推定するために使用されます。正確なモデルは、これらのデータがモデルのパラメータを設定するために使用されていなくても、検証データとほぼ一致します。この方法は、統計学では クロス検証と呼ばれます。

観測データと予測データの距離を測定するための測定基準を定義することは、モデルの適合性を評価するための便利なツールです。統計、意思決定理論、および一部の経済モデルでは、損失関数が同様の役割を果たします。パラメータの妥当性をテストするのはかなり簡単ですが、モデルの一般的な数学的形式の妥当性をテストするのは難しい場合があります。一般に、微分方程式を含むモデルよりも、統計モデルの適合性をテストするための数学的ツールの方が多く開発されています。ノンパラメトリック統計のツールは、データが既知の分布にどの程度適合するかを評価したり、モデルの数学的形式について最小限の仮定のみを行う一般的なモデルを考え出すために使用されることがあります。

モデルの範囲を評価すること、つまり、モデルがどのような状況に適用できるかを判断することは、それほど簡単ではありません。モデルが一連のデータに基づいて構築されている場合、既知のデータがどのシステムまたは状況に対して「典型的な」一連のデータであるかを判断する必要があります。モデルがデータ ポイント間のシステムの特性を適切に説明しているかどうかという問題は、内挿と呼ばれます。また、観測データ外のイベントまたはデータ ポイントに対する同じ問題は、外挿と呼ばれます。

ニュートンの古典力学を評価する際に、モデルの範囲の典型的な制限の例として、ニュートンは高度な機器を使用せずに測定を行ったため、光速に近い速度で移動する粒子の特性を測定できなかったことに注目できます。同様に、彼は分子やその他の小さな粒子の動きを測定せず、マクロ粒子のみを測定しました。したがって、彼のモデルが通常の生活物理学にはまったく十分であるにもかかわらず、彼のモデルがこれらの領域にうまく外挿されないのは驚くことではありません。

多くの種類のモデリングには、因果関係についての主張が暗黙的に含まれています。これは通常 (常にではありませんが)、微分方程式を含むモデルに当てはまります。モデリングの目的は世界に対する理解を深めることであるため、モデルの妥当性は経験的観察への適合だけでなく、モデルで最初に記述されたものを超えた状況やデータに外挿する能力にも依存します。これは、定性的予測と定量的予測の違いと考えることができます。また、研究対象の現象の直接調査からすでにわかっていることを超える洞察を提供しない限り、モデルは価値がないと主張することもできます。

そのような批判の一例としては、最適採餌理論の数学的モデルは、進化論やその他の生態学の基本原理の常識的な結論を超える洞察を提供しないという議論がある。 ^[11]また、数理モデリングは数学的概念と言語を使用するが、それ自体は数学の一分野ではなく、必ずしも数学的論理に準拠しているわけではなく、通常は対応する概念と議論の基準を持つ何らかの科学またはその他の技術分野の一分野であることにも留意すべきである。^[2]

数学モデルは自然科学、特に物理学において非常に重要です。物理理論は、ほぼ常に数学モデルを使用して表現されます。歴史を通じて、より正確な数学モデルが開発されてきました。ニュートンの法則は多くの日常的な現象を正確に説明しますが、ある限界においては相対性理論と量子力学理論を使用する必要があります。

物理学では、物事を単純化するために理想化されたモデルを使用するのが一般的です。質量のないロープ、点粒子、理想気体、箱の中の粒子は、物理学で使用される多くの単純化されたモデルの一部です。物理法則は、ニュートンの法則、マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式などの簡単な方程式で表されます。これらの法則は、実際の状況の数学的モデルを作成するための基礎となります。多くの実際の状況は非常に複雑であるため、コンピューター上で近似的にモデル化されます。計算可能なモデルは、基本法則または基本法則から作成された近似モデルから作成されます。たとえば、分子は、シュレーディンガー方程式の近似解である分子軌道モデルによってモデル化できます。工学では、物理モデルは有限要素解析などの数学的手法によって作成されることがよくあります。

異なる数学モデルは、必ずしも宇宙の幾何学を正確に記述するわけではない異なる幾何学を使用します。ユークリッド幾何学は古典物理学でよく使用されますが、特殊相対性理論と一般相対性理論は、ユークリッドではない 幾何学を使用する理論の例です。

エンジニアが制御または最適化するシステムを分析する場合、多くの場合、数学モデルを使用します。分析では、エンジニアはシステムがどのように機能するかの仮説としてシステムの記述モデルを構築したり、予測できないイベントがシステムにどのような影響を与えるかを推定したりすることができます。同様に、システムの制御では、エンジニアはシミュレーションでさまざまな制御アプローチを試すことができます。

数学モデルは通常、変数のセットと、変数間の関係を確立する方程式のセットによってシステムを説明します。変数には、実数や整数、ブール値、文字列など、さまざまな種類があります。変数は、システムのいくつかのプロパティを表します。たとえば、測定されたシステム出力は、多くの場合、信号、タイミング データ、カウンター、イベント発生の形式で表されます。実際のモデルは、さまざまな変数間の関係を説明する関数のセットです。

• コンピュータ サイエンスの一般的な例の 1 つは、さまざまなマシンの数学的モデルです。たとえば、抽象的な数学的概念として定義される決定論的有限オートマトン(DFA) は、DFA の決定論的性質により、さまざまな特定の問題を解決するためにハードウェアとソフトウェアで実装できます。たとえば、次の DFA M はバイナリ アルファベットを使用しており、入力には偶数個の 0 が含まれている必要があります。

${\displaystyle M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)}$どこ

• ${\displaystyle Q=\{S_{1},S_{2}\},}$
• ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\},}$
• ${\displaystyle q_{0}=S_{1},}$
• ${\displaystyle F=\{S_{1}\},}$そして
• ${\displaystyle \delta}$は次の状態遷移表によって定義されます。

状態は、これまでの入力に 0 が偶数個あったことを表しますが、 は奇数個であることを示します。入力に 1 があっても、オートマトンの状態は変わりません。入力が終了すると、状態は入力に 0 が偶数個含まれていたかどうかを示します。入力に 0 が偶数個含まれていた場合、状態は受け入れ状態で終了し、入力文字列は受け入れられます。${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{1},}$

によって認識される言語は、正規表現1*( 0 (1*) 0 (1*) )*によって与えられる正規言語です。ここで、「*」はクリーネ星です。たとえば、1* は、負でない任意の数 (ゼロの場合もある) の記号「1」を表します。${\displaystyle M}$

• 無意識に行われている日常の活動の多くは数学モデルを利用している。地球のある地域を小さな平面に投影した地図は、旅行の計画など多くの目的に使用できるモデルである。 ^[12]
• もう一つの単純な活動は、移動距離は時間と速度の積であるという方程式を使用して、車両の初期位置、方向、移動速度から車両の位置を予測することです。これは、より正式に使用される場合、推測航法として知られています。このような数学的モデリングには、必ずしも正式な数学は必要ありません。動物は推測航法を使用することが示されています。^{[13] [14]}
• 人口増加。人口増加の簡単な（ただし近似的な）モデルは、マルサスの成長モデルです。もう少し現実的で広く使用されている人口増加モデルは、ロジスティック関数とその拡張です。
• ポテンシャル場における粒子のモデル。このモデルでは、粒子を質量点として考え、空間内の軌道を描きます。この軌道は、空間内の座標を時間の関数として与える関数によってモデル化されます。ポテンシャル場は関数によって与えられ、軌道、つまり関数は微分方程式の解です。これは次のようにも書けます。${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},}$$${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$$$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)]。}$$

このモデルでは粒子が質点であると仮定していますが、このモデルを使用する多くの場合、たとえば惑星の運動のモデルでは、この仮定は誤りであることがわかっています。

• 消費者の合理的行動のモデル。このモデルでは、消費者はそれぞれ市場価格のラベルが付いた商品の選択に直面していると仮定します。消費者は、消費される商品の量に応じて、順序効用関数（2つの効用間の差の符号のみが意味を持ち、各効用レベルは意味を持たないという意味での順序効用関数）を持つと仮定します。このモデルではさらに、消費者が予算を持ち、それを使ってベクトルを最大化するように購入していると仮定します。 このモデルにおける合理的行動の問題は、数学的な最適化問題、つまり次の条件を満たす問題になります。このモデルは、経済均衡の存在とパレート効率を示す一般均衡理論など、さまざまな経済の文脈で使用されています。${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$${\displaystyle \max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,}$$$${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ すべての }}i=1,2,\dots ,n に対して}$$
• 近隣感知モデルは、当初は混沌とした菌類ネットワークからキノコの形成を説明するモデルです。
• コンピュータサイエンスでは、数学モデルを使用してコンピュータネットワークをシミュレートすることがあります。
• 力学では、数学モデルを使用してロケットモデルの動きを分析することがあります。

• アリス、ラザフォード[1978]（1994）。数学モデリングテクニック、ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-68131-9 
• ベンダー、EA [ 1978 ] ( 2000 )。数学モデリング入門、ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-41180 -X 
• ゲイリー・チャートランド(1977)グラフの数学的モデル、プリンドル、ウェバー、シュミットISBN 0871502364 
• Dubois, G. (2018)「モデリングとシミュレーション」、Taylor & Francis、CRC Press。
• Gershenfeld, N. (1998) 『数学モデリングの性質』、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 0-521-57095-6。 
• Lin, CC & Segel, LA ( 1988 )。自然科学における決定論的問題への数学の応用、フィラデルフィア: SIAM。ISBN 0-89871-229-7 

• パパディミトリウ、フィボス。(2010) 空間生態学的複雑システムの数学モデル化：評価。地理、環境、持続可能性 1(3)、67-80。doi :10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• Peierls, R. (1980). 「物理学におけるモデル作成」. Contemporary Physics . 21 : 3–17. Bibcode :1980ConPh..21....3P. doi :10.1080/00107518008210938.
• Emilia Vynnycky と Richard G White による感染症モデル化入門。

一般的な参考資料

• Patrone, F. 微分方程式によるモデリング入門、批評的コメント付き。
• Plus 教師および学生パッケージ: 数学モデリング。ケンブリッジ大学のミレニアム数学プロジェクトが発行するオンライン数学雑誌、Plus Magazineの数学的モデリングに関するすべての記事をまとめたものです。

哲学的

• Frigg, R. および S. Hartmann, Models in Science, スタンフォード哲学百科事典 (2006 年春版)
• グリフィス、EC (2010) モデルとは何か?