対称グループ

群論において、幾何学的オブジェクトの対称群は、オブジェクトが不変であるすべての変換の群であり、合成の群演算が与えられています。このような変換は、オブジェクトをそれ自身に取り込み、オブジェクトの関連する構造をすべて保存する周囲空間の可逆なマッピングです。オブジェクトXの対称群の一般的な表記は、G = Sym( X ) です。

距離空間内のオブジェクトの場合、その対称性は周囲空間の等長群のサブグループを形成します。この記事では主にユークリッド幾何学における対称群について考察しますが、この概念はより一般的なタイプの幾何学的構造についても研究することができます。

対称性を持つ「オブジェクト」は、幾何学的図形、画像、および壁紙のパターンなどのパターンであると考えられます。物理的なオブジェクトの対称性については、その物理的構成をパターンの一部としてとらえることもできます。(パターンは、スカラー場、一連の色または物質の値を持つ位置の関数、ベクトル場、またはオブジェクトに対するより一般的な関数として正式に指定できます。) 空間の等長写像群は、その中のオブジェクトに対するグループ作用を誘導し、対称群 Sym( X ) は、 X をそれ自体に写像する(およびそれ以上のパターンをそれ自体に写像する)等長写像で構成されます。Xはこのような写像に対して不変であり、写像はXの対称性であるといえます。

上記は、向きを反転する等長写像（反射、すべり反射、および不適切な回転）がこの特定のXをそれ自身に写像する限り、それに含まれることを強調するために、 Xの完全対称群と呼ばれることがあります。向きを保存する対称性（平行移動、回転、およびそれらの合成）のサブグループは、その固有対称群と呼ばれます。オブジェクトがキラルであるのは、向きを反転する対称性を持たない場合であり、そのため、その固有対称群は完全対称群に等しくなります。

対称群の要素が共通の不動点を持つ場合（群が有限であるか図形が有界である場合に真である）、原点を不動点として選択することにより、直交群O( n ) の部分群として表すことができます。適切な対称群は特殊直交群 SO( n ) の部分群であり、図形の回転群と呼ばれます。

離散対称群では、与えられた点に対称な点は極限点に向かって蓄積されません。つまり、群のすべての軌道（すべての群要素による与えられた点の像）は離散集合を形成します。すべての有限対称群は離散的です。

離散対称群には、(1)回転、反射、反転、回転反転のみを含む有限点群、つまり O( n ) の有限部分群、(2) 平行移動のみを含む無限格子群、(3)前述の両方のタイプの要素と、場合によってはスクリュー変位やすべり反射などの追加の変換も含む無限空間群の 3 つのタイプがあります。また、任意の小さな角度の回転や任意の小さな距離の平行移動を含む連続対称群 (リー群) もあります。球面の対称群であるO(3)がその一例です。ユークリッド物体の対称群は、ユークリッド群E( n ) ( R ⁿの等長変換群) の部分群として完全に分類できます。

2つの幾何図形は、その対称群がユークリッド群の共役部分群である場合、同じ対称型を持ちます。つまり、部分群H ₁、H ₂が、E( n ) 内の何らかのgに対してH ₁ = g ⁻¹ H ₂ gで関連付けられている場合です。例:

• 2 つの 3D 図形は鏡面対称ですが、鏡面対称の面は異なります。
• 2 つの 3D 図形は 3 回の回転対称性を持ちますが、軸が異なります。
• 2 つの 2D パターンはそれぞれ 1 つの方向に並進対称性を持ちます。2 つの並進ベクトルの長さは同じですが、方向が異なります。

以下の節では、離散的および連続的な等長変換群すべてを含め、軌道が位相的に閉じている等長変換群のみを検討します。ただし、これには、たとえば有理数による 1D の平行移動群は含まれません。このような閉じていない図形は、任意の細かさのため、妥当な精度で描画できません。

1 次元の等長変換グループは次のとおりです。

• 自明巡回群C ₁
• 鏡映によって生成される2つの要素の群。これらはC _{2と同型である。}
• 平行移動によって生成される無限離散群。これらは整数の加法群Zと同型である。
• 平行移動と鏡映変換によって生成される無限離散群。これらはZの一般化二面体群Dih( Z ) と同型であり、 D _∞ ( Zと C ₂の半直積)とも表記される。
• すべての平行移動によって生成される群（実数Rの加法群と同型）。この群は、たとえパターンが与えられていたとしても、ユークリッド図形の対称群にはなり得ません。そのようなパターンは同次であるため、反射することもできます。ただし、定数 1 次元ベクトル場にはこの対称群があります。
• 点におけるすべての平行移動と反射によって生成される群。これらは一般化二面体群 Dih( R ) と同型である。

共役性を除いて、 2次元空間の離散点群は次のクラスになります。

• 巡回群C ₁、C ₂、C ₃、C ₄、...ここでC _nは、固定点の周りの角度360°/ nの倍数によるすべての回転から構成される。
• 二面体群D ₁、 D ₂、D ₃、D ₄、...、ここで D _n (次数 2 n ) は C _nの回転と、固定点を通過するn軸の反射から構成されます。

C ₁は、文字「F」など、図形が非対称な場合に発生する恒等演算のみを含む自明な群です。 C ₂は文字「Z」の対称群、 C _{3 は}三脚巴の対称群、 C _4はスワスティカの対称群、 C ₅、 C ₆などは、4本ではなく5本、6本などの腕を持つ類似のスワスティカのような図形の対称群です。

D ₁は、恒等演算と単一の反射を含む 2 要素グループです。これは、図形が左右対称の軸を 1 つだけ持つ場合(たとえば、文字「A」) に発生します。

クラインの 4 元群と同型であるD ₂は、非正長方形の対称群です。この図形には、恒等操作、1 つの 2 倍回転軸、および 2 つの非等価な鏡面という 4 つの対称操作があります。

D ₃、 D _4などは正多角形の対称群です。

これらの対称タイプのそれぞれにおいて、回転中心に 2 つの自由度があり、二面体グループの場合は、鏡の位置にもさらに 1 つの自由度があります。

固定点を持つ 2 次元の残りの等長変換グループは次のとおりです。

• 固定点の周りのすべての回転からなる特殊直交群 SO(2)。これは円群S ¹、絶対値1の複素数の乗法群とも呼ばれます。これは円の適切な対称群であり、 C _nの連続同値です。円群を完全な対称群として持つ幾何学的図形は存在しませんが、ベクトル場には適用できます (以下の 3 次元の場合を参照)。
• 固定点の周りのすべての回転とその固定点を通る任意の軸の反射からなる直交群 O(2)。これは円の対称群です。これはS ¹の一般化された二面体群であるため、 Dih(S ¹ ) とも呼ばれます。

境界のない図形には、平行移動を含む等長変換グループが存在する場合があります。これらは次のとおりです。

• 7つのフリーズグループ
• 17の壁紙グループ
• 1次元の各対称群について、その群内の1方向のすべての対称性の組み合わせと、垂直方向のすべての平行移動の群
• 最初の方向の線上の反射も同様です。

共役性を除き、3 次元点群の集合は 7 つの無限級数と 7 つの他の個別群から構成されます。結晶学では、結晶格子を保存する点群のみが考慮されます (したがって、それらの回転は 1、2、3、4、または 6 の順序のみを持ちます)。一般点群の無限族のこの結晶学的制限により、32 の結晶学的点群(7 級数からの個別群 27 個と、他の 7 つの個別群のうち 5 個) が生成されます。

不動点を持つ連続対称群には以下のものが含まれます。

• 軸に垂直な対称面を持たない円筒対称。これは、たとえばボトルや円錐に適用されます。
• 軸に垂直な対称面を持つ円筒対称
• 球面対称

スカラー場パターンを持つオブジェクトの場合、円筒対称性は垂直反射対称性も意味します。ただし、これはベクトル場パターンには当てはまりません。たとえば、ある軸に関する 円筒座標では、と がこの対称性を持つときはいつでも（ には依存しない）、ベクトル場は軸に関して円筒対称性を持ちます。また、 の場合にのみ反射対称性を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$${\displaystyle A_{\rho },A_{\phi },}$${\displaystyle A_{z}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A_{\phi }=0}$

球面対称の場合、そのような区別はありません。パターン化されたオブジェクトには、反射対称の面が存在します。

不動点のない連続対称群には、無限螺旋などのねじ軸を持つ群が含まれる。ユークリッド群の部分群も参照。

より広い文脈では、対称群はあらゆる種類の変換群、または自己同型群である可能性があります。数学的構造の各タイプには、構造を保存する可逆マッピングがあります。逆に、対称群を指定すると、構造を定義したり、少なくとも幾何学的合同性または不変性の意味を明確にしたりできます。これは、エルランゲン プログラムを検討する 1 つの方法です。

たとえば、双曲非ユークリッド幾何学における対象はフックス対称群を持ちます。これは双曲平面の等長群の離散部分群であり、ユークリッド距離ではなく双曲距離を保存します。(いくつかはエッシャーの絵に描かれています。) 同様に、有限幾何学の自己同型群は、ユークリッド部分空間、距離、または内積ではなく、点集合の族(離散部分空間)を保存します。ユークリッド図形の場合と同様に、任意の幾何学的空間内の対象は、周囲の空間の対称性の部分群である対称群を持ちます。

対称群の別の例として、組み合わせグラフがあります。グラフの対称性は、辺から辺に至る頂点の順列です。有限に提示された群は、そのケイリー グラフの対称群です。自由群は、無限木グラフの対称群です。

ケーリーの定理は、任意の抽象群は何らかの集合Xの順列の部分群であり、したがって何らかの追加構造を持つXの対称群と見なすことができる、と述べています。さらに、群の多くの抽象的な特徴 (群演算の観点からのみ定義) は、対称性の観点から解釈できます。

たとえば、ユークリッド空間における図形Xの有限対称群をG = Sym( X ) とし、部分群をH ⊂ Gとします。すると、 H はX ^{+の対称群、つまり}Xの「装飾された」バージョンとして解釈できます。このような装飾は次のように構築できます。矢印や色などのパターンをXに追加してすべての対称性を破り、Sym( X ^{# ) = {1} である図形}X ^#を取得します。これは自明な部分群です。つまり、すべての非自明なg ∈ GについてgX ^# ≠ X ^#です。これで次の式が得られます。

${\displaystyle X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{満たす}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).}$

正規部分群もこの枠組みで特徴付けられる。平行移動gX ⁺の対称群は共役部分群gHg ⁻¹である。したがって、次の場合は常にHは正規である。

${\displaystyle \mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{すべて}}\ g\in G;}$

つまり、X ^{+の装飾は、} Xの任意の辺または特徴に関して、任意の方向に描かれ、それでも同じ対称群gHg ⁻¹ = Hを生成します。

例として、二面体群G = D ₃ = Sym( X ) を考えます。ここで、X は正三角形です。これに 1 つの辺に矢印を付けて、非対称図形X ^#を得ることができます。τ ∈ G を矢印の付いた辺の反射とすると、合成図形X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^#はその辺に双方向矢印を持ち、その対称群はH = {1, τ} です。gX ^{+ は}異なる辺に双方向矢印を持つ可能性があり、異なる反射対称群を与えるため 、この部分群は正規ではありません。

しかし、回転によって生成される巡回部分群をH = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D _{3とすると、装飾図形}X ^{+ は、}一貫した方向を持つ 3 サイクルの矢印で構成されます。どちらの方向でそのようなサイクルを描いても同じ対称群Hが得られるため、 Hは正規です。

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