形

図形は、物体の形状またはその外部境界、輪郭、または外部表面のグラフィカルな表現です。色、テクスチャ、材質などの他の物体特性とは異なります。幾何学では、図形には物体の位置、大きさ、向き、キラリティーに関する情報は含まれません。^[1] 図は、形と大きさの両方を含む表現です（たとえば、地球の図など）。

平面形状または平面図形は、立体の3D 形状とは対照的に、平面上に存在するように制約されます。2次元形状または2 次元図形( 2D 形状または2D 図形とも呼ばれる) は、より一般的な曲面( 2次元空間) 上に存在する場合があります。

いくつかの単純な形状は、広いカテゴリに分類できます。たとえば、多角形は、辺の数に応じて、三角形、四角形、五角形などに分類されます。これらはそれぞれ、より小さなカテゴリに分けられます。三角形は、正三角形、二等辺三角形、鈍角三角形、鋭角三角形、不等辺三角形などになり、四角形は、長方形、菱形、台形、正方形など になります。

その他の一般的な形状としては、点、線、平面、楕円、円、放物線などの円錐曲線などがあります。

最も一般的な 3 次元形状には、平らな面を持つ多面体、卵形または球形の楕円体、円柱、円錐などがあります。

オブジェクトがこれらのカテゴリのいずれかに正確または近似的に該当する場合、それを使用してオブジェクトの形状を記述できます。したがって、マンホールの蓋の形状はディスクであると言えます。これは、実際の幾何学的ディスクとほぼ同じ幾何学的オブジェクトであるためです。

幾何学的形状は、幾何学的物体の記述から位置、スケール、方向、反射を除いた残りの幾何学的情報から構成されます。^[1]つまり、形状を移動したり、拡大したり、回転させたり、鏡に映したりした結果は、元の形状と同じ形状であり、異なる形状ではありません。

多くの 2 次元の幾何学的形状は、点または頂点の集合と、それらの点を閉じた連鎖で結ぶ線、および結果として生じる内部点によって定義できます。このような形状は多角形と呼ばれ、三角形、正方形、五角形が含まれます。円や楕円などの曲線で囲まれた形状もあります。多くの 3 次元の幾何学的形状は、頂点の集合、頂点を結ぶ線、およびそれらの線で囲まれた 2 次元の面、および結果として生じる内部点によって定義できます。このような形状は多面体と呼ばれ 、立方体や四面体などのピラミッドが含まれます。他の 3 次元形状は、楕円体や球体などの曲面で囲まれる場合があります。

図形の任意の 2 つの点を結ぶ線分上のすべての点も図形の一部である場合、 その図形は凸型であると言われます。

2 つのオブジェクトの形状を比較する方法は複数あります。

• 合同: 2 つのオブジェクトは、一連の回転、平行移動、および/または反射によって一方が他方に変換できる場合、合同です。
• 類似性: 2 つのオブジェクトは、回転、平行移動、反射のシーケンスとともに均一なスケーリングによって、一方が他方に変換できる場合、類似しているとみなされます。
• 同位体: 2 つの物体のうちの 1 つが、物体を裂いたり穴を開けたりしない一連の変形によって他の物体に変換できる場合、その物体は同位体です。

時には、2 つの類似または合同なオブジェクトが、一方を他方に変換するために反射が必要な場合、異なる形状を持つと見なされることがあります。たとえば、文字「b」と「d」は互いの反射であるため、合同で類似していますが、状況によっては、同じ形状を持つとは見なされません。オブジェクトの輪郭または外部境界のみがその形状を決定すると見なされる場合もあります。たとえば、中空の球体は、固体の球体と同じ形状を持つと見なされる場合があります。プロクルステス分析は、2 つのオブジェクトが同じ形状であるかどうかを判断したり、2 つの形状の違いを測定したりするために、多くの科学で使用されています。高度な数学では、準等長法は、 2 つの形状がほぼ同じであることを示す基準として使用できます。

単純な図形は、多くの場合、線、曲線、平面、平面図形（正方形や円など）、立体図形（立方体や球など）などの基本的な幾何学的オブジェクトに分類できます。ただし、物理世界に現れる図形のほとんどは複雑です。植物の構造や海岸線など、従来の数学的記述では説明できないほど複雑な図形もあります。その場合は、微分幾何学やフラクタルとして分析できます。

一般的な形状には、円、正方形、三角形、長方形、楕円、星形（多角形）、菱形、半円などがあります。五角形で始まる正多角形は、ギリシャ語由来の接頭辞に「-gon」接尾辞が付いた命名規則に従います。五角形、六角形、七角形、八角形、九角形、十角形...多角形を参照してください。

幾何学において、ユークリッド空間の 2 つの部分集合が同じ形状を持つとは、平行移動、回転(まとめて剛体変換とも呼ばれる)、および均一なスケーリングの組み合わせによって、一方が他方に変換できる場合を言う。言い換えれば、点の集合の形状は、平行移動、回転、およびサイズ変更に対して不変なすべての幾何学的情報である。同じ形状を持つことは同値関係であり、したがって、形状の概念の正確な数学的定義は、同じ形状を持つユークリッド空間の部分集合の 同値類として与えることができる。

数学者で統計学者のデイビッド・ジョージ・ケンドールは次のように書いている: ^[2]

この論文では、「形状」は俗な意味で使用されており、通常予想される意味を意味します。[...] ここでは、「形状」を「位置、スケール^[3]、回転効果がオブジェクトから除去された後に残るすべての幾何学的情報」と非公式に定義します。

物理的オブジェクトの形状は、これらのオブジェクトが占める空間のサブセットが上記の定義を満たす場合、等しいとされます。特に、形状はオブジェクトの空間におけるサイズや配置に依存しません。たとえば、「d」と「p」は同じ形状です。これは、「d」を右に所定の距離だけ平行移動し、上下逆さまに回転し、所定の係数で拡大すると、完全に重ね合わせることができるためです (詳細については、プロクルステスの重ね合わせを参照してください)。ただし、鏡像は異なる形状と呼ぶことができます。たとえば、「b」と「p」は、少なくとも、それらが書かれているページのような 2 次元空間内で移動するように制約されている場合は、異なる形状になります。サイズが同じであっても、ページに沿って平行移動および回転することで、完全に重ね合わせることはできません。同様に、3 次元空間内では、右手と左手は、互いの鏡像であっても、異なる形状になります。オブジェクトが不均一に拡大されると、形状が変わる場合があります。たとえば、球体は、垂直方向と水平方向で異なるスケールにすると楕円体になります。つまり、対称軸（存在する場合）を保存することは、形状を保存する上で重要です。また、形状はオブジェクトの外側の境界によってのみ決定されます。

剛体変換とミラーリング（拡大縮小は不可）によって相互に変換できるオブジェクトは、合同です。したがって、オブジェクトは（対称でなくても）鏡像とは合同ですが、拡大縮小バージョンとは合同ではありません。2 つの合同なオブジェクトは常に同じ形状または鏡像形状のいずれかであり、サイズも同じです。

同じ形状または鏡像形状を持つオブジェクトは、サイズが同じかどうかに関係なく、幾何学的に類似していると呼ばれます。したがって、剛体変換、ミラーリング、均一なスケーリングによって相互に変換できるオブジェクトは類似しています。オブジェクトの 1 つが均一にスケーリングされている場合、類似性は保持されますが、合同性は保持されません。したがって、合同オブジェクトは常に幾何学的に類似していますが、類似オブジェクトはサイズが異なる場合があるため、合同ではない場合があります。

より柔軟な形状の定義では、さまざまな姿勢の人物、風で曲がる木、さまざまな指の位置を持つ手など、現実的な形状は変形可能であることが多いという事実を考慮に入れます。

非剛体運動をモデル化する 1 つの方法は、同相写像です。大まかに言えば、同相写像とは、物体を連続的に伸ばしたり曲げたりして新しい形状にすることです。したがって、正方形と円は互いに同相ですが、球とドーナツは同相ではありません。よく言われる数学的なジョークは、位相幾何学者はコーヒー カップとドーナツを区別できないというものです^[4]。これは、十分に柔軟なドーナツは、くぼみを作って徐々に大きくすることでコーヒー カップの形に作り直すことができ、カップの取っ手のドーナツの穴はそのままにできるためです。

記述された図形には、その図形を構成する目に見える外部線があります。座標を座標グラフに記入する場合、図形が見える場所を示す線を引くことができますが、座標をグラフに記入するたびに図形を作成できるとは限りません。この図形には輪郭と境界があり、目に見える形で、普通の紙の上の普通の点ではありません。

上述の剛体形状と非剛体形状の数学的定義は、統計的形状解析の分野で生まれました。特に、プロクラステス解析は、類似した物体の形状を比較したり（異なる動物の骨など）、変形可能な物体の変形を測定したりするために使用される手法です。他の手法は、非剛体（曲げられる）物体で動作するように設計されており、たとえば、姿勢に依存しない形状の取得に使用されます（スペクトル形状解析を参照）。

相似な三角形はすべて同じ形をしています。これらの形は、JA Lester ^[5]とRafael Artzyが提唱した方法で、頂点に複素数 u、v、w を使用して分類できます。たとえば、正三角形は、頂点を表す複素数 0、1、(1 + i√3)/2で表すことができます。Lester と Artzy は、この比を 三角形( u、v、w )の 形と呼びます。すると、正三角形の形は次のようになります。 複素平面の任意のアフィン変換 に対して、   三角形は変換されますが、形は変わりません。したがって、形はアフィン幾何学の不変量です。形p = S( u、v、w )は関数 S の引数の順序に依存しますが、順列によって関連する値が得られます。たとえば、次のよう になります。また、 これらの順列を組み合わせると次のようになります。さらに 、これらの関係は三角形の形に関する「変換規則」です。 $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}}$$$${\displaystyle {\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.}$$${\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}$$${\displaystyle 1-p=1-{\frac {u-w}{u-v}}={\frac {w-v}{u-v}}={\frac {v-w}{v-u}}=S(v,u,w).}$$$${\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}$$${\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}$$${\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {u-w}{v-w}}=S(w,v,u).}$$

四辺形の形状は、2 つの複素数p、qに関連付けられています。四辺形の頂点がu、v、w、xである場合、p = S( u、v、w )かつq = S( v、w、x )です。Artzy は、四辺形に関する次の命題を証明しています。

1. ならば、四辺形は平行四辺形です。${\displaystyle p=(1-q)^{-1},}$
2. 平行四辺形が| arg p | = | arg q |である場合、それは菱形です。
3. p = 1 + iかつq = (1 + i)/2のとき、四辺形は正方形になります。
4. かつsgn r = sgn(Im p )の場合、四辺形は台形です。${\displaystyle p=r(1-q^{-1})}$

多角形は n −2個の複素数で定義される形状を持ち、その形状要素の虚数成分がすべて同じ符号を持つとき、その多角形は凸集合を囲みます。 ^[6]${\displaystyle (z_{1},z_{2},...z_{n})}$${\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.}$

人間の視覚は、広範囲の形状表現に依存しています。^{[7] [8]}一部の心理学者は、人間は精神的に画像をジオンと呼ばれる単純な幾何学的形状（円錐や球など）に分解すると理論づけています。^{[9]一方、形状は、その}セグメント化可能性、コンパクトさ、とがり具合など、形状が変化する傾向にあることを説明する特徴または次元に分解されると示唆する人もいます。^[10] ただし、形状の類似性を比較する場合、自然な形状の変化を説明するには、少なくとも22の独立した次元が必要です。^[7]

形が人間の注意を誘導するという明確な証拠もある。^[11]

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