法律（数学）

数学において、法則とは、与えられた文脈の中で常に真となる公式である。 ^[1]法則は、2つ以上の式または項（変数を含む場合がある）間の関係を、通常は等式または不等式を用いて記述する。^[2]また、例えば数理論理学においては、公式同士の関係も記述する。例えば、公式はすべての実数aに対して真であるため、法則である。等式に関する法則は恒等式と呼ばれる。^[3]例えば、 およびは恒等式である。^{[4]数学的法則は、}観察に基づき、さまざまな自然現象を記述または予測しようとする科学的な法則とは区別される。^{[5]より重要な法則は、しばしば}定理と呼ばれる。 ${\displaystyle a^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle \cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta =1}$

三角不等式：a、b、cが三角形の辺の長さである場合、三角不等式は次のようになります。

${\displaystyle c\leq a+b,}$

面積がゼロの三角形の退化した場合にのみ等式が成り立ちます。ユークリッド幾何学やその他の幾何学では、三角形の不等式はベクトルとベクトルの長さ (ノルム) に関する定理です。

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}$

ここで、3 番目の辺の長さは、ベクトルの和u + vの長さに置き換えられています。uとvが実数の場合、これらは のベクトルとして見ることができ、三角不等式は絶対値間の関係を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

ピタゴラスの定理：斜辺（直角の反対側の辺）を辺とする正方形の面積は、他の2辺にある正方形の面積の合計に等しいという定理。この定理は、辺a、b、斜辺cの長さを関係付ける方程式として表すことができ、ピタゴラス方程式と呼ばれることもある：^[6]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

幾何学的には、三角関数の恒等式は、 1つ以上の角度の特定の関数を含む恒等式です。^[7]これらは、三角形の角度と辺の長さの両方を含む恒等式である三角形の恒等式とは異なります。この記事では前者についてのみ説明します。

これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合に便利です。もう 1 つの重要な応用は、非三角関数の積分です。これは、最初に三角関数で置換規則を使用し、次に結果として得られる積分を三角恒等式で簡略化するという一般的な手法です。

三角関数の等式の最も顕著な例の1つは、のすべての実数値に対して成り立つ方程式です。一方、方程式 ${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1,}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

は、すべての値に対してではなく、特定の値に対してのみ当てはまります。たとえば、この式は の場合には当てはまりますが、 の場合には偽になります。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta =0,​​}$${\displaystyle \theta =2}$

三角関数の恒等式の別のグループは、いわゆる加減法の公式（例えば、二倍角の恒等式、の加法公式）に関係しており、これを使用して、大きな角度の式をより小さな構成要素を持つ式に分解することができます。 ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$${\displaystyle \tan(x+y)}$

コーシー・シュワルツの不等式：ベクトルノルムの積で表した、内積空間における2つのベクトルの内積の上限。数学において最も重要かつ広く使われている不等式の一つと考えられている。^[8]

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間のすべてのベクトルとに対して${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {v}}\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {u}}\ rangle \cdot \langle {\mathbf {v}},{\mathbf {v}}\rangle }$

ここで は内積 です。内積の例には、実数および複素数の内積があります。内積の例を参照してください。すべての内積は、標準ノルムまたは誘導ノルムと呼ばれるユークリッドノルムを生じます。ここで、ベクトルのノルムは次のように表され、定義されます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$

ここでは常に非負の実数である（内積が複素数値であっても）。上記の不等式の両辺の平方根をとることで、コーシー・シュワルツの不等式はノルムを使ってより馴染みのある形で表すことができる：^{[9] [10]}${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {v}}\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {u}}\ rangle \cdot \langle {\mathbf {v}},{\mathbf {v}}\rangle }$

さらに、2辺が等しいのは、およびが線形従属している場合に限ります。^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

鳩の巣原理: n 個のアイテムをm 個の容器に入れる場合 ( n > m )、少なくとも 1 つの容器には複数のアイテムが入っている必要があります。^[14]たとえば、3 つの手袋 (いずれも両利き用/リバーシブルではありません) のうち、少なくとも 2 つは右利き用、または少なくとも 2 つは左利き用である必要があります。これは、オブジェクトは 3 つありますが、それらを入れる利き手のカテゴリが 2 つしかないためです。

ド・モルガンの法則:命題論理とブール代数において、ド・モルガンの法則^{[15] [16] [17]は}ド・モルガンの定理^[18]としても知られ、推論の有効な規則である 一対の変換規則である。これらは19世紀のイギリスの数学者オーガスタス・ド・モルガンにちなんで名付けられた。この規則により、否定を介して純粋に互いの用語で連言と選言を表現できる。この規則は英語で次のように表現できる。

• (A または B) ではない = (A ではない) かつ (B ではない)
• not (A and B) = (not A) or (not B) であり、"A or B" は、Aまたは B のどちらか一方だけを意味する" exclusive or "ではなく、A または B の少なくとも 1 つを意味する" inclusive or " です。正式な言語では、規則は次のように記述されます。PとQは命題です。$${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\iff (\neg P)\land (\neg Q),\quad {\text{ および }}\\\neg (P\land Q)&\iff (\neg P)\lor (\neg Q),\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \neg}$否定論理演算子（NOT）です。
• ${\displaystyle \land}$は結合論理演算子（AND）です。
• ${\displaystyle \lor}$は論理和演算子（OR）です。
• ${\displaystyle \iff }$は「論理的証明で ～ に置き換えることができる」という意味のメタ論理記号で、多くの場合「 ～ の場合のみ」と読みます。P と Q の真偽値の任意の組み合わせについて、矢印の左側と右側は評価後に同じ真理値を保持します。

思考の3つの法則は次のとおりです。

• 同一性の法則：「何であれ、存在する。」^[19]すべてのaについて：a = a。
• 矛盾律（別名「矛盾律」^[20]）：「存在と非存在が同時に存在することはできない。」^[19]
• 排中律：「すべてのことは、存在するか存在しないかのどちらかである。」^[19]排中律または排三律 によれば、すべての命題について、その肯定形または否定形のいずれかが真である：A ∨ ¬A。

ベンフォードの法則とは、現実の多くの数値データセットでは、先頭の桁が小さくなる傾向があるという観察である。^[21]この法則に従うデータセットでは、1が先頭の有効桁として現れる確率は約30%であるのに対し、9が先頭の有効桁として現れる確率は5%未満である。均一に分布する数字は、それぞれ約11.1%の確率で現れる。^[22]

小さな数の強い法則は、面白いことに、任意の小さな数が、合理的と思われるよりもはるかに多くの文脈で出現し、小さな数が頻繁に出現するにもかかわらず、非常に少ないという単純な理由で、数学において多くの明らかに驚くべき偶然の一致をもたらすことを述べています。

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• バートランド・ラッセル『哲学の問題』（1912年）、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1997年、ISBN 0-19-511552-X。 
• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016

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