超越数論

代数的でない対象を指すのに「超越的」という用語が使われるようになったのは、ゴットフリート・ライプニッツが正弦関数は代数関数ではないことを証明した¹⁷世紀に遡る。^{[ 1 ]} 特定の種類の数が超越的であるかどうかという問題は、オイラーが有理数aと^bに対して、 b が有理数c に対して b = a cの^形ではない限り^、 _{log a} bという数は代数的ではないと主張した1748年に遡る。 [2] ^{[3 ]}  

オイラーの主張は20世紀まで証明されなかったが、彼の主張からほぼ100年後、ジョセフ・リウヴィルは、それまで確実には知られていなかった代数的ではない数の存在を証明することに成功した。^{[ 4 ]} 1840年代のこの問題に関する彼の最初の論文では、単純な連分数を使用して超越数を構成する議論の概要を示した。その後、1850年代に、彼は数が代数的であるための必要条件、したがって数が超越的であるための十分条件を与えた。 ^{[ 5 ]} この超越性の基準は必要条件としても十分強力ではなく、実際、数eが超越的であることを検出することはできなかった。しかし、彼の研究は、現在彼の名誉にちなんでリウヴィル数として知られる、より大きなクラスの超越数を提供した。

リウヴィルの基準は、本質的に代数的数は有理数で非常によく近似できないと述べている。したがって、ある数が有理数で非常によく近似できるならば、それは超越数でなければならない。リウヴィルの研究における「非常によく近似できる」の正確な意味は、ある指数に関係している。彼は、αが次数d ≥ 2の代数的数であり、εが0より大きい任意の数である場合、次の式が成り立つことを示した。  

$\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

これは有限個の有理数p / qによってのみ満たされる。これを超越性の基準として使用することは自明ではなく、すべてのd ≥ 2に対して解p / q が無限に存在するかどうかを確認する必要がある。  

20世紀のアクセル・トゥー^{[ 6 ]} 、カール・シーゲル^{[ 7 ]}、クラウス・ロス^{[ 8 ]}の研究では、リウヴィルの論文の指数をd  +  εからd /2  +  1  +  εに、そして最終的には1955年に2  +  εにまで縮小しました。この結果はトゥー・シーゲル・ロス定理として知られており、指数2  +  εを単に2に置き換えると結果が成り立たなくなるため、一見すると最良の結果と言えます。しかし、セルジュ・ラングはロスの結果の改良を予想しました。特に、右辺の分母のq ^{2+εを次のように縮小できると予想しました。}$\displaystyle q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }}$。

ロスの研究はリウヴィルの研究を事実上終わらせ、彼の定理によって数学者たちはチャンパーノウン定数など、さらに多くの数の超越性を証明できるようになった。しかし、この定理はまだすべての超越数を検出するには十分強力ではなく、eやπを含む多くの有名な定数は、上記の意味では超越数ではないか、あるいは非常によく近似できることが知られていない。^{[ 9 ]}

幸いなことに、19世紀にはeの代数的性質、ひいてはオイラーの恒等式によるπの代数的性質を扱うための他の方法が開拓されました。この研究は、いわゆる補助関数の使用を中心としていました。これらは、通常、検討対象の点に多くの零点を持つ関数です。ここで「多くの零点」とは、多くの異なる零点、あるいは多重度の高い零点が1つだけの場合、あるいは多重度の高い零点が多数ある場合などを意味します。 シャルル・エルミートは、関数を近似する補助関数を使用しました。${\displaystyle e^{kx}}$各自然数に対して${\displaystyle k}$超越性を証明するために${\displaystyle e}$1873年に。^{[ 10 ]}彼の研究は、 1880年代にフェルディナント・フォン・リンデマン によって発展させられ^{[ 11 ] 、非ゼロ代数的数α}に対してeα^が超越数であることを証明した。特に、eπiが代数的であるためπが超越数であることが証明され、^円積が可能かどうかという古代の問題に否定的に答えた。 カール・ワイエルシュトラスは彼らの研究をさらに発展させ、最終的に1885年にリンデマン・ワイエルシュトラスの定理を証明した。 ^{[ 12 ]}

1900 年、ダフィット・ヒルベルトは有名な一連の問題を提起した。これらのうちの 7 番目の問題で、ヒルベルトの評価では最も難しい問題の 1 つですが、 aとbが代数的であり、aはゼロでも 1 でもなく、bが無理数であるようなa ^bの形の数の超越性について問うものでした。1930 年代に、アレクサンダー・ゲルフォンド^{[ 13 ]}とテオドール・シュナイダー^{[ 14 ]}は、シーゲルの補題によって存在が保​​証された非明示的な補助関数を使用して、そのような数はすべて実際に超越数であることを証明しました。この結果、ゲルフォンド・シュナイダーの定理は、 e ^πやゲルフォンド・シュナイダー定数などの数の超越性を証明しました。

この分野における次の大きな成果は1960年代に起こり、アラン・ベイカーがゲルフォンドが提起した対数における線形形式の問題で進展を遂げた。ゲルフォンド自身も、その量の非自明な下限を見つけることに成功していた。

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

ここで、4 つの未知数はすべて代数的であり、α はゼロでも 1 でもなく、β は無理数である。しかし、3 つ以上の対数の和に対する同様の下限を見つけることは、ゲルフォンドにはできなかった。ベイカーの定理の証明にはそのような下限が含まれており、その過程でクラス 1 のガウスのクラス数問題を解決した。この研究は、ディオファントス方程式の解法への応用により、ベイカーにフィールズ賞をもたらした。純粋に超越数論的な観点から、ベイカーは、α ₁、 ... 、 α _nが代数的数であり、いずれもゼロまたは 1 ではなく、β ₁、 ... 、 β _nが代数的数であり、1、β ₁、 ... 、 β _{n が}有理数上で線形独立である場合、その数は

$\alpha_1^\beta_1\alpha_2^\beta_2\cdots\alpha_n^\beta_n$

超越論的である。^{[ 15 ]}

1870年代、ゲオルク・カントールは集合論の発展に着手し、1874年に代数的数を自然数の集合と1対1に対応させることができ、したがって超越数の集合は非可算でなければならないことを証明する論文を発表した。^{[ 16 ]} その後、1891年にカントールはより馴染みのある対角線論法を用いて同じ結果を証明した。^{[ 17 ]} カントールの結果は純粋に存在論的であり、したがって単一の超越数を構成するために使用できないとよく引用されるが、^{[ 18 ] [ 19 ]}上記の2つの論文の証明は超越数を構成する方法を示している。^{[ 20 ]}

カントールは集合論を用いて超越数の充足性を証明したが、近年では超越数論における未解決問題の解決にモデル理論が用いられるようになっている。その問題とは、体の超越度を決定することである。

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

有理数上で線形独立な 複素数x ₁ , ..., x _nについて。スティーブン・シャヌエルは 答えが少なくともn であると予想したが、証明は知られていない。しかし、2004 年にボリス・ジルバーは、加算、乗算、指数演算を備えた複素数と非常によく似た振る舞いをする構造を作成するためにモデル理論的手法を使用した論文を発表した。さらに、この抽象構造では、シャヌエルの予想は実際に成り立つ。 ^{[ 21 ]} 残念ながら、この構造が実際に前述の演算を備えた複素数と同じであるとはまだわかっていない。複素数と非常によく似た振る舞いをするが、シャヌエルの予想が成り立たない別の抽象構造が存在する可能性がある。ジルバーは、問題の構造がCであることを証明するいくつかの基準を提供したが、いわゆる強指数閉包公理を証明することはできなかった。この公理の最も単純なケースはその後証明されたが、^{[ 22 ]}予想の証明を完了するには、それが完全に一般的に成り立つことの証明が必要である。

リウヴィル数を定義する一つの方法は、与えられた実数xが線形多項式 | qx  − p | を0 にすることなくどれだけ小さくするかを考えることです。ここで、 p、qは整数であり、| p |、| q | は正の整数Hによって制限されます。   

させて${\displaystyle m(x,1,H)}$これらの多項式が取る最小の非ゼロ絶対値と、次の値を取る。

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

ω( x ,  1) は、実数xの無理数の尺度と呼ばれることが多い。有理数の場合、ω( x , 1) = 0 であり、無理数の場合は 1 以上となる。リウヴィル数は、無限の無理数の尺度を持つように定義される。ロスの定理によれば、無理な実代数的数は無理数の尺度が 1 である。  

次に、係数が整数で、次数が最大でn、高さが最大でHである多項式の複素数xにおける値について考えます。ここで、nとHは正の整数です。

させて${\displaystyle m(x,n,H)}$このような多項式が取る最小の非ゼロ絶対値は、${\displaystyle x}$そして、以下を取ってください。

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

ある最小の正の整数nに対してこれが無限であると仮定します。この場合の複素数x は、次数nのU数と呼ばれます。   

これで定義できます

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

ω( x ) は、しばしばxの超越性の尺度と呼ばれます。ω( x , n ) が有界である場合、ω( x ) は有限であり、xはS 数と呼ばれます。ω( x , n ) が有限だが有界でない場合、 xはT 数と呼ばれます。xが代数的であるのは、 ω( x ) = 0 の場合のみです。     

明らかに、リウヴィル数は U 数の部分集合である。 ウィリアム・ルヴェックは1953 年に任意の次数の U 数を構成した。^{[ 24 ]}リウヴィル数、したがって U 数は非可算集合である。それらは測度 0 の集合である。^{[ 25 ]}

T 数には、測度 0 の集合も含まれます。^{[ 26 ]}その存在が示されるまでに約 35 年かかりました。1968年にWolfgang M. Schmidt は、例が存在することを示しました。しかし、ほとんどすべての複素数は S 数です。^{[ 27 ]} Mahler は、指数関数がすべての非ゼロ代数的数を S 数に送ることを証明しました。^{[ 28 ] [ 29 ]}これは、 eが S 数であることを示し、 πの超越性の証明を与えます。この数πは U 数ではないことが知られています。^{[ 30 ]} 他の多くの超越数は分類されていません。

2 つの数x、y は、整数係数を持つ 2 つの不定元に関する非ゼロ多項式Pが存在し、 P ( x、y ) = 0 となる場合、代数的に従属であると呼ばれます。代数的に従属する 2 つの複素数は、同じマーラー クラスに属するという強力な定理があります。^{[ 24 ] [ 31 ]}これにより、リウヴィル数とeまたはπ の和などの新しい超越数を構成することができます。    

記号Sはおそらくマーラーの師であるカール・ルートヴィヒ・ジーゲルの名前を表しており、TとUはその次の2文字に過ぎない。

1939年、ユルジェン・コクスマは代数的数による近似に基づく別の分類を提案した。^{[ 23 ] [ 32 ]}

複素数xを次数 ≤ n、高さ ≤ Hの代数的数で近似することを考えます。| x − α| が最小の正の値をとるような、この有限集合の代数的数を α とします。ω*( x , H , n ) と ω*( x , n ) を次のように定義します。  

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

最小の正の整数nに対してω*( x , n ) が無限大である場合、x は次数nのU*-数と呼ばれる。 

ω*( x , n ) が有界で 0 に収束しない場合、xはS*-数と呼ばれます。

数xは、ω*( x , n ) が 0 に収束する場合、A*-数と呼ばれます。 

ω*( x , n ) がすべて有限だが有界でない場合、xはT*-数と呼ばれます。

コクスマとマーラーの分類は、超越数を同じクラスに分類するという点で同等である。^{[ 32 ]} A *数は代数的数である。^{[ 27 ]}

させて

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

λ（リウヴィル数）のn乗根はn次のU数であることが示せる。^{[ 33 ]}

この構成を改良することで、次数nの U 数の非可算族を作成できます。λについて、上記の数列の 10 の 1 つおきのべき乗からなる集合をZとします。Z のすべての部分集合の集合は非可算です。λの数列からZの部分集合のいずれかを削除すると、n乗根が次数nの U 数である、非可算個の異なるリウヴィル数が生成されます。

数列 {ω( x , n )} の上限は型と呼ばれます。ほとんどすべての実数は型 1 の S 数であり、これは実数 S 数の中で最小です。ほとんどすべての複素数は型 1/2 の S 数であり、これも最小です。ほとんどすべての数が S 数であるという主張はマーラーによって予想され、1965 年にウラジーミル・スプリンジュクによって証明されました。^{[ 34 ]}