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数直線とは、数を空間的に表現する直線の図式表現であり、通常は定規のように目盛りが付けられています。原点はゼロを表し、両方向に等間隔に目盛りが付けられており、整数を表しています。数直線は無限に伸びているものと想定されます。数と数直線上の点との関連付けは、数に対する算術演算と点間の幾何学的関係を結びつけ、数学を学ぶための概念的な枠組みを提供します。
初等数学では、数直線はまず整数の加算と減算、特に負の数の加算と減算を教えるために使われます。生徒が進むにつれて、分数、小数、平方根、円周率πなどの超越数など、より多くの種類の数を数直線上に配置できるようになります。数直線上のすべての点は一意の実数に対応し、すべての実数は一意の点に対応します。[ 1 ]
数直線を使うと、数値概念を幾何学的に解釈したり、幾何学概念を数値的に解釈したりすることができます。数値間の不等式は、点間の左右の順序関係に対応します。数値の間隔は、直線の幾何学的セグメントに関連付けられます。数値に対する演算と関数は、直線の幾何学的変換に対応します。直線を円に巻き付けると、モジュラー算術が角度の幾何学的合成に関連付けられます。対数間隔の目盛りで直線をマークすると、乗算と除算が幾何学的平行移動に関連付けられ、これが計算尺の原理となります。解析幾何学では、座標軸は、幾何学的空間内の点を数値の組に関連付ける数直線であり、これにより、幾何学的形状を数値方程式で記述したり、数値関数をグラフ化したりすることができます。
高度な数学では、数直線は通常、実数直線または実数線と呼ばれ、実数の集合と同型な幾何学的直線であり、しばしば実数と混同されます。実数と実数直線はどちらも一般的にRまたは で表されます。実数直線は1次元の実座標空間であるため、高次元空間と比較する際にはR 1と表記されることがあります。実数直線は、直線上の点間の距離を定義するために数値の差を用いる1次元のユークリッド空間です。また、ベクトル空間、距離空間、位相空間、測度空間、線形連続体と考えることもできます。実数直線は複素平面に埋め込むことができ、複素数の2次元幾何学的表現として使用されます。
演算目的で数直線が初めて言及されたのは、ジョン・ウォリスの『代数学論』（1685年）である。[ 2 ]ウォリスはこの論考の中で、人が歩くという比喩を用いて、数直線上での加算と減算を前後に動くこととして説明している。
しかし、演算について言及されていないより古い図解は、ジョン・ネイピアの『対数表の解説』（1616年）に見られ、そこでは1から12までの値が左から右に並んでいる。[ 3 ]
一般に信じられていることとは異なり、ルネ・デカルトの原著『幾何学』には、今日私たちが使用するような数直線は登場しないが、座標系は使用されている。特に、デカルトの著作には、線上にマッピングされた具体的な数値は含まれておらず、抽象的な量のみが含まれている。[ 4 ]
数直線は通常水平に表されますが、デカルト座標平面では垂直軸（y軸）も数直線です。[ 5 ]直線上の矢印は、数が増加する正の方向を示します。[ 5 ]一部の教科書では、矢印が継続を示すことを示唆するために、両側に矢印を付けています。これは不要です。なぜなら、幾何学の規則によれば、端点のない直線は正と負の方向に無限に続くからです。1つの端点を持つ直線は半直線、2つの端点を持つ直線は線分です。
数直線上で、ある数が別の数よりも右にある場合、最初の数は2番目の数よりも大きい（言い換えれば、2番目の数は最初の数よりも小さい）。2つの数の間の距離は、その差の大きさ、つまり最初の数から2番目の数を引いた値、あるいは2番目の数から最初の数を引いた絶対値である。この差を求めることが引き算である。
したがって、例えば、0と他の数値との間の線分の長さは、後者の数値の大きさを表す。
2つの数を足し合わせるには、0から一方の数までの長さを「拾い上げ」、0だった端をもう一方の数の上に重ねて再び置くことで足し合わせることができます。
2 つの数を掛け合わせるには、次の例のように行います。5 × 3 を計算するには、これが 5 + 5 + 5 と同じであることに注意し、0 から 5 までの長さを取り出して 5 の右側に配置し、次にその長さをもう一度取り出して前の結果の右側に配置します。これにより、それぞれ 5 の長さが 3 つ合わさった結果が得られます。このプロセスは 15 で終了するため、5 × 3 = 15 となります。
割り算は、次の例のように実行できます。6 を 2 で割る、つまり 6 の中に 2 が何回入るかを調べるには、0から 2 までの長さが 0 から 6 までの長さの始点にあることに注目します。前の長さを拾い上げ、元の位置の右側に再び置きます。このとき、以前は 0 にあった端点が 2 の位置に置かれます。次に、長さを最新の位置の右側に再び移動します。これにより、長さ 2 の右端が 0 から 6 までの長さの右端に位置します。長さ 6 には 2 の長さが 3 つあるので、6 の中に 2 が 3 回入ります (つまり、6 ÷ 2 = 3)。
数直線上の2つの数の間の部分を区間と呼びます。その区間が両方の数を含む場合、それは閉区間と呼ばれ、両方の数を含まない場合は開区間と呼ばれます。一方の数のみを含む場合は、半開区間と呼ばれます。
ある特定の点から一方向に無限に伸びるすべての点をまとめて光線と呼びます。光線がその特定の点を含む場合、それは閉じた光線であり、そうでない場合は開いた光線です。
数直線上では、2点間の距離が単位長さとなるのは、それらの数を表す差が1に等しい場合に限る。それ以外の場合もあり得る。
最も一般的な選択肢の 1 つは対数スケールです。これは、正の数を直線上に表すもので、表される数の比率が固定値 (通常は 10) であれば、2 点間の距離が単位長さになります。このような対数スケールでは、原点が 1 を表します。1 インチ右に移動すると 10 になり、10 の右に 1 インチ移動すると10×10 = 100、次に10×100 = 1000 = 10 3、次に10×1000 = 10,000 = 10 4などとなります。同様に、1 の左に 1 インチ移動すると1/10 = 10 –1、次に1/100 = 10 –2などとなります。
この方法は、桁の異なる値を同じ図上に表現したい場合に有効です。例えば、宇宙に存在する様々な物体の大きさを同時に表現するには、対数スケールが必要です。具体的には、光子、電子、原子、分子、人間、地球、太陽系、銀河、そして可視宇宙などが挙げられます。
対数目盛は、計算尺において、対数目盛上の長さを加算または減算することによって数値を乗算または除算するために使用されます。
原点を通って実数直線に直角に引かれた直線は、虚数を表すために使用できます。この直線は虚数直線と呼ばれ、数直線を複素数平面に拡張し、複素数を表す点が配置されます。
あるいは、実数直線を水平方向に引いて、一般的にxと呼ばれる実数の取りうる値を表し、別の実数直線を垂直方向に引いて、一般的にyと呼ばれる別の実数の取りうる値を表すこともできます。これらの直線は合わせてデカルト座標系と呼ばれ、平面上の任意の点は、2 つの実数の値を表します。さらに、デカルト座標系自体を拡張して、「画面（またはページ）から出てくる」3 番目の数直線を視覚化し、zと呼ばれる第 3 の変数を測定することもできます。正の数は画面よりも見る人の目に近く、負の数は「画面の後ろ」にあります。つまり、数値が大きいほど画面から遠くなります。すると、私たちが住む 3 次元空間の任意の点は、3 つの実数の値を表すことになります。
実数直線は、標準的な<順序付けの下で線形連続体です。具体的には、実数直線は<によって線形に順序付けられ、この順序付けは稠密であり、最小上界特性を持ちます。
上記の性質に加えて、実数直線は最大値も最小値も持ちません。また、可算稠密部分集合、すなわち有理数の集合を持ちます。可算稠密部分集合を持ち、最大値も最小値も持たない任意の線形連続体は、実数直線と順序同型であるという定理があります。
実数直線は可算連鎖条件も満たします。つまり、R内の互いに素で空でない開区間の任意の集合は可算です。順序理論では、有名なススリン問題では、最大要素も最小要素も持たない可算連鎖条件を満たすすべての線形連続体が、必然的にRと順序同型であるかどうかを問うています。この命題は、 ZFCとして知られる集合論の標準的な公理系とは無関係であることが示されています。
実数直線は距離空間を形成し、その距離関数は絶対差によって与えられる。
計量テンソルは明らかに1次元ユークリッド計量です。n次元ユークリッド計量はn×n単位行列として行列形式で表すことができるため、実数直線上の計量は単純に1×1単位行列、つまり1になります。
p ∈ Rかつε > 0の場合、pを中心とするR内のε -球は、単純に開区間( p − ε , p + ε )になります。
この実数直線は、距離空間としていくつかの重要な性質を持っています。
実数直線は標準的な位相を持ち、それは2つの異なる同等な方法で導入できます。まず、実数は全順序であるため、順序位相を持ちます。次に、実数は上記で定義された距離から距離位相を継承します。実数直線上の順序位相と距離位相は同じです。位相空間として、実数直線は開区間(0, 1)と同相です。
実数直線は自明に次元1の位相多様体である。同相写像を除けば、境界を持たない連結な1次元多様体のうち、円と並んで2種類しかないうちの1つである。また、実数直線上には標準的な微分構造が存在するため、微分多様体でもある。（微分同相写像を除けば、位相空間がサポートする微分構造は1種類しかない。）
実数直線は、局所コンパクト空間であり、パラコンパクト空間であると同時に、第2可算かつ正規空間でもある。また、パス連結であるため連結でもあるが、任意の1点を除去することで非連結にすることができる。実数直線は可縮であるため、そのホモトピー群および縮約ホモロジー群はすべてゼロとなる。
実数直線は局所的にコンパクトな空間であるため、いくつかの異なる方法でコンパクト化できます。実数直線の1点コンパクト化は円（すなわち、実射影直線）であり、追加の点は符号なし無限大と考えることができます。あるいは、実数直線には2つの端点があり、結果として得られる端点コンパクト化は拡張された実数直線[−∞, +∞]です。また、無限個の追加点を加えるストーン・チェフコンパクト化もあります。
場合によっては、実数の集合に下限位相やザリスキー位相などの他の位相を適用すると便利なことがあります。実数の場合、後者は有限補元位相と同じです。
実数直線は、実数体 R 上の 1 次元のベクトル空間です(つまり、実数体R自体上) 。通常の乗法を内積として持ち、ユークリッドベクトル空間です。この内積によって定義されるノルムは、単純に絶対値です。
実数直線は、ルベーグ測度という標準的な測度を持つ。この測度は、 R上で定義されたボレル測度の完備化として定義でき、任意の区間の測度はその区間の長さに等しい。
Aが単位元を持つ実代数である場合、実数と1の積は、その代数内の実数直線になります。例えば、複素平面z = x + i yにおいて、部分空間{ z : y = 0}は実数直線です。同様に、四元数の代数も実数直線になります。
部分空間 { q : x = y = z = 0}内に実数直線が存在する。
実際の代数が直和である場合すると、写像によってA上の共役が導入される。部分空間V の。このようにして、実数直線は共役の不動点から構成される。
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