確率分布

確率論と統計学において、確率分布は、実験で起こり得る結果の発生確率を与える数学的関数である。^{[1] [2]これは、}標本空間とイベントの確率（標本空間のサブセット）の観点からランダム現象を数学的に記述したものである。 ^[3]

たとえば、X をコイン投げの結果 (「実験」) を表すために使用する場合、Xの確率分布は、 X = 表の場合は 0.5 (2 分の 1 または 1/2) 、X = 裏の場合は 0.5 (コインが公平であると仮定)になります。より一般的には、確率分布は、多くの異なるランダム値の相対的な発生を比較するために使用されます。

確率分布は、さまざまな方法で定義でき、離散変数または連続変数に対して定義できます。特殊な特性を持つ分布や特に重要な用途の分布には、特定の名前が付けられます。

確率分布は、標本空間のサブセットであるイベントの確率の数学的記述です。標本空間は、多くの場合、表記法で と表され、観察されるランダムな現象のすべての可能な結果の集合です。標本空間は、実数集合、説明ラベル集合、ベクトル集合、任意の非数値集合など、任意の集合です。たとえば、コイン投げの標本空間は、 Ω = { "heads", "tails" }のようになります。${\displaystyle \ \Omega \ ,}$

ランダム変数の特定のケースの確率分布を定義するには（サンプル空間を数値セットとして見ることができるように）、離散ランダム変数と絶対連続 ランダム変数を区別するのが一般的です。離散ケースでは、各可能な結果に確率を割り当てる確率質量関数 を指定すれば十分です（たとえば、公平なサイコロを投げるとき、サイコロのドットの数に対応する6つの数字「1」から「6」のそれぞれには確率があります）。イベントの確率は、イベントを満たすすべての結果の確率の合計として定義されます。たとえば、「サイコロが偶数の値を投げる」というイベントの確率は ${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle \ {\tfrac {1}{6}}~).}$$${\displaystyle \ p({\text{“}}2{\text{”}})+p({\text{“}}4{\text{”}})+p({\text{“}}6{\text{”}})={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{2}}~.}$$

対照的に、ランダム変数が連続体から値を取る場合、慣例により、個々の結果には確率 0 が割り当てられます。このような連続ランダム変数の場合、間隔などの無限に多くの結果を含むイベントのみが 0 より大きい確率を持ちます。

たとえば、スーパーマーケットでハムの重さを測る場合を考えてみましょう。はかりは任意の桁数の精度を提供できると仮定します。すると、ハムの重さがちょうど500 gである確率はゼロになります。これは、選択した精度レベルがどれだけ高くても、精度レベルによって無視される残りの省略桁にゼロ以外の小数桁がないとは想定できないためです。

ただし、同じユース ケースで、「500 g」のハムのパッケージの重量が 98% 以上の確率で 490 g から 510 g の間である必要があるなどの品質管理要件を満たすことは可能です。これが可能なのは、この測定では基盤となる機器にそれほど高い精度が要求されないためです。

絶対連続確率分布は、いくつかの方法で記述できます。確率密度関数は、任意の値の無限小確率を記述し、結果が特定の区間にある確率は、その区間にわたって確率密度関数を積分することによって計算できます。 ^{[4]分布の別の記述は、}累積分布関数によるもので、これはランダム変数が特定の値以下である確率 (つまり、ある に対して) を記述します。累積分布関数は、図 1 に示すように、からまでの確率密度関数の下の領域です。^[5]${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mathcal {P}}}(X<x)\ }$${\displaystyle \ x\ }$${\displaystyle \ -\infty \ }$${\displaystyle \ x\ ,}$

確率分布は、確率質量関数や累積分布関数など、さまざまな形式で記述できます。絶対連続変数と離散変数に適用される最も一般的な記述の 1 つは、入力空間がσ 代数であり、出力として実数確率、特に 内の数値を与える確率関数を使用することです。 ${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$

確率関数は、コイントスの例ではP (表) = 0.5、P (裏) = 0.5となるように定義されているように、標本空間自体のサブセットを引数としてとることができます。しかし、標本空間を数値の集合 (例: 、 ) に変換するランダム変数が広く使用されているため、引数がこれらの特定の種類の集合 (数値集合) のサブセットである確率分布を研究する方が一般的です。^[6]また、この記事で説明する確率分布はすべてこのタイプです。変数の特定の値が特定のイベントに属する確率を と表記するのが一般的です。^{[7] [8]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle P(X\in E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

上記の確率関数は、すべてのコルモゴロフ公理を満たす場合にのみ確率分布を特徴付けます。つまり、

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$なので、確率は非負である
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$なので、確率は${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$任意の可算な互いに素な集合族に対して${\displaystyle \{E_{i}\}}$

確率関数の概念は、確率空間 の要素として定義することでより厳密になります。ここで、は可能な結果の集合、は確率を測定できるすべてのサブセットの集合、はこれらの測定可能なサブセットのそれぞれに確率を割り当てる確率関数、または確率測度です。^[9]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$

確率分布は通常、2 つのクラスのいずれかに属します。離散確率分布は、可能な結果の集合が離散的であり(例: コイントス、サイコロを振る)、確率が結果の確率の離散リストによってエンコードされるシナリオに適用できます。この場合、離散確率分布は確率質量関数と呼ばれます。一方、絶対連続確率分布は、可能な結果の集合が特定の日の気温など、連続した範囲 (例: 実数) の値を取るシナリオに適用できます。絶対連続の場合、確率は確率密度関数によって記述され、確率分布は定義により確率密度関数の積分になります。^{[7] [4] [8]}正規分布は、一般的に見られる絶対連続確率分布です。連続時間で定義される確率過程を含むようなより複雑な実験では、より一般的な確率尺度の使用が必要になる場合があります。

標本空間が 1 次元 (実数、ラベルのリスト、順序付けられたラベル、または 2 値など) である確率分布は単変量と呼ばれ、標本空間が2 次元以上のベクトル空間である分布は多変量と呼ばれます。単変量分布は、単一のランダム変数がさまざまな値を取る確率を与えます。多変量分布 (結合確率分布)は、ランダム ベクトル(2 つ以上のランダム変数のリスト) がさまざまな値の組み合わせを取る確率を与えます。重要でよく見られる単変量確率分布には、二項分布、超幾何分布、および正規分布があります。よく見られる多変量分布は、多変量正規分布です。

確率関数、累積分布関数、確率質量関数、確率密度関数の他に、モーメント生成関数と特性関数も、基礎となる累積分布関数を一意に決定するため、確率分布を識別するのに役立ちます。^[10]

確率分布に関する文献で広く使用されているいくつかの重要な概念と用語を以下に示します。^[1]

• ランダム変数: サンプル空間から値を取得します。確率は、どの値と値のセットがより可能性が高いかを説明します。
• イベント: 一定の確率で発生するランダム変数の可能な値 (結果) のセット。
• 確率関数または確率測度：事象確率を表します。 ^[11]${\displaystyle P(X\in E)}$${\displaystyle E,}$
• 累積分布関数: ランダム変数が以下の値を取る確率を評価する関数(実数値ランダム変数のみ)。${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$
• 分位関数: 累積分布関数の逆関数。確率 でを超えない を。${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• 離散確率分布: 有限または可算無限の数の値を持つ多くのランダム変数の場合。
• 確率質量関数( pmf ): 離散ランダム変数が何らかの値に等しい確率を与える関数。
• 頻度分布:サンプル内のさまざまな結果の頻度を表示する表。
• 相対頻度分布:各値がサンプル内の結果の数(つまりサンプル サイズ)で除算 (正規化) された頻度分布。
• カテゴリ分布: 有限の値のセットを持つ離散ランダム変数の場合。

• 絶対連続確率分布: 数え切れないほど多くの値を持つ多くのランダム変数の場合。
• 確率密度関数( pdf ) または確率密度:サンプル空間(ランダム変数が取る可能性のある値の集合)内の任意のサンプル (またはポイント) における値が、ランダム変数の値がそのサンプルと等しくなる相対的な可能性を提供すると解釈できる関数。

• サポート: ランダム変数によって非ゼロの確率(連続分布の場合は確率密度)で想定できる値の集合。ランダム変数 の場合、 と表記されることもあります。${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}}$
• テール：^[12]確率変数の境界に近い領域（その領域でpmfまたはpdfが比較的低い場合）。通常は、またはその和集合の形をとります。${\displaystyle X>a}$${\displaystyle X<b}$
• 頭部: ^[12] pmfまたはpdfが比較的高い領域。通常はの形になります。${\displaystyle a<X<b}$
• 期待値または平均:起こり得る値の確率を重みとして使用して、それらの値を加重平均したもの、またはその連続的な類似物。
• 中央値: 中央値より小さい値のセットと中央値より大きい値のセットのそれぞれの確率が半分以下になるような値。
• モード: 離散ランダム変数の場合は、最も高い確率を持つ値。絶対連続ランダム変数の場合は、確率密度関数がローカルピークを持つ場所。
• 分位点: q 分位点は、 となる値です。${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X<x)=q}$
• 分散: 平均に関する PMF または pdf の 2 番目のモーメント。分布の分散の重要な尺度です。
• 標準偏差: 分散の平方根であり、分散の別の尺度です。
• 対称性: 特定の値 (通常は中央値) の左側の分布部分が右側の部分の鏡像となる、一部の分布の特性。
• 歪度: PMF または PDF が平均の片側に「傾く」程度の尺度。分布の3 番目の標準化モーメント。
• 尖度: PMF または PDF の裾の「太さ」の尺度。分布の 4 番目の標準化モーメント。

実数値のランダム変数の特殊なケースでは、確率分布は確率測度の代わりに累積分布関数で表現できる。確率分布に関するランダム変数の累積分布関数は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}$$

任意の実数値ランダム変数の累積分布関数には次の特性があります。

• ${\displaystyle F(x)}$減少しない。
• ${\displaystyle F(x)}$右連続です。
• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$そして;そして${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$
• ${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$。

逆に、上記の性質のうち最初の4つを満たす関数は、実数上の確率分布の累積分布関数である。^[13]${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

任意の確率分布は、離散分布、絶対連続分布、特異連続分布の混合として分解することができ、^[14]したがって、任意の累積分布関数は、対応する3つの累積分布関数の凸和として分解することができます。

離散確率分布は、可算個数の値のみをとることができるランダム変数の確率分布です^[15] (ほぼ確実に) ^[16]。つまり、あらゆる事象の確率は(有限または可算無限) 和として表現できます。 ここで、 はを持つ可算集合です。したがって、離散ランダム変数 (つまり、確率分布が離散的なランダム変数) は、確率質量関数を持つものとまったく同じです。値の範囲が可算無限である場合、これらの値は、確率が 1 になるように十分速くゼロに減少する必要があります。たとえば、に対しての場合、確率の合計は になります。 ${\displaystyle E}$$${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A\cap E}P(X=\omega ),}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(X\in A)=1}$ ${\displaystyle p(x)=P(X=x)}$${\displaystyle p(n)={\tfrac {1}{2^{n}}}}$${\displaystyle n=1,2,...}$${\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots =1}$

統計モデリングで使用されるよく知られた離散確率分布には、ポアソン分布、ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布、負の二項分布、カテゴリ分布などがあります。[3] 大規模な母集団からサンプル（観測値の集合）が抽出されると、サンプルポイントは離散的な経験分布を持ち、^母集団の分布に関する情報を提供します。さらに、離散一様分布は、いくつかの選択肢の間で等確率のランダム選択を行うコンピュータプログラムでよく使用されます。

実数値の離散ランダム変数は、累積分布関数がジャンプ不連続によってのみ増加するランダム変数として定義できます。つまり、その累積分布関数は、より高い値に「ジャンプ」する場所でのみ増加し、ジャンプのない区間では一定です。ジャンプが発生するポイントは、ランダム変数が取る可能性のある値です。したがって、累積分布関数は次の形式になります。 $${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{\omega \leq x}p(\omega ).}$$

cdf がジャンプするポイントは常に可算集合を形成します。これは任意の可算集合である可能性があり、したがって実数で密である可能性もあります。

離散確率分布は、多くの場合、決定論的ランダム変数の確率分布であるディラック測度で表されます。任意の結果 に対して、に集中するディラック測度を とします。離散確率分布が与えられた場合、と確率質量関数を持つ可算集合 が存在します。 が任意のイベントである場合、 または簡単に言えば、${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \delta _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(X\in A)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }(E),}$$$${\displaystyle P_{X}=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }.}$$

同様に、離散分布は、一般化確率密度関数としてディラックのデルタ関数で表すことができ、これは任意のイベントに対して^[17]を意味する 。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta (x-\omega ),}$$$${\displaystyle P(X\in E)=\int _{E}f(x)\,dx=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\int _{E}\delta (x-\omega )=\sum _{\omega \in A\cap E}p(\omega )}$$${\displaystyle E.}$

離散確率変数 が非ゼロの確率で取り得る値であるとします 。${\displaystyle X}$${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots }$

$${\displaystyle \Omega _{i}=X^{-1}(u_{i})=\{\omega :X(\omega )=u_{i}\},\,i=0,1,2,\dots }$$

これらは互いに素な集合であり、そのような集合に対して

$${\displaystyle P\left(\bigcup _{i}\Omega _{i}\right)=\sum _{i}P(\Omega _{i})=\sum _{i}P(X=u_{i})=1.}$$

が 以外の値を取る確率はゼロなので、次のように 書くことができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots }$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X(\omega )=\sum _{i}u_{i}1_{\Omega _{i}}(\omega )}$$

ただし、確率がゼロの集合を除き、 はの指示関数です。これは、離散確率変数の別の定義として使用できます。 ${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

特別なケースとして、1つの固定値のみをとることができるランダム変数の離散分布があります。言い換えると、これは決定論的分布です。正式に表現すると、ランダム変数が1点分布を持つとは、^[18]のような結果の可能性があるときです。他のすべての可能な結果の確率は0です。その累積分布関数は、0から1にすぐにジャンプします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X{=}x)=1.}$

絶対連続確率分布は、実数直線上の区間全体など、無数に多くの可能な値を持つ実数上の確率分布であり、任意のイベントの確率を積分として表すことができます。^[19]より正確には、各区間について に属する確率がでのの積分で与えられるような関数がある場合、実数ランダム変数は絶対連続確率分布を持ちます。^{[20] [21]これは}確率密度関数 の定義であるため、絶対連続確率分布は確率密度関数を持つ分布とまったく同じです。特に、 が任意の単一の値（つまり、 ）を取る確率はゼロです。これは、上限と下限が一致する積分は常にゼロに等しいためです。区間 を任意の測定可能なセット に置き換えても、対応する等式が依然として成り立ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]}$${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$ $${\displaystyle P\left(a\leq X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\leq X\leq a}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx.}$$

絶対連続ランダム変数は、確率分布が絶対連続であるランダム変数です。

絶対連続確率分布の例としては、正規分布、一様分布、カイ二乗分布などが挙げられます。

上記で定義した絶対連続確率分布は、まさに絶対連続累積分布関数を持つ分布です。この場合、累積分布関数はという形式を持ちます 。 ここで は分布 に関するランダム変数の密度です。 ${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

用語に関する注意:絶対連続分布は、連続累積分布関数を持つ連続分布とは区別する必要があります。すべての絶対連続分布は連続分布ですが、その逆は真ではありません。絶対連続でも離散でもそれらの混合でもなく、密度を持たない特異分布が存在します。例としてカントール分布が挙げられます。ただし、一部の著者は累積分布関数が絶対連続であるすべての分布を表すために「連続分布」という用語を使用しています。つまり、絶対連続分布を連続分布と呼んでいます。^[7]

密度関数とそれと同等の絶対連続測度のより一般的な定義については、絶対連続測度を参照してください。

確率論の測度論的形式化では、確率変数は確率空間から測定可能空間への測定可能な関数として定義される。形式の事象の確率がコルモゴロフの確率公理を満たすとすると、の確率分布はの像測度であり、これは を満たす確率測度である。^{[22] [23] [24]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}$

またはにサポートを持つ絶対連続分布と離散分布は、無数の現象をモデル化するのに非常に便利です。^{[7] [5]}実用的な分布のほとんどは、超立方体や球などの比較的単純な部分集合にサポートされているためです。ただし、常にそうであるとは限らず、実際にはある空間内の複雑な曲線などにサポートされる現象も存在します。これらの場合、確率分布はそのような曲線の像にサポートされており、閉じた式を見つけるのではなく、経験的に決定される可能性があります。^[25]${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

右の図はその一例で、プラズマ中のラングミュア波の挙動をモデル化するために使用できる微分方程式系（一般にラビノビッチ・ファブリカント方程式として知られる）の発展を示しています。^[26]この現象を研究する場合、サブセットから観測される状態は赤で示されます。したがって、赤いサブセットの特定の位置にある状態を観測する確率はどれくらいかと尋ねることができます。そのような確率が存在する場合、それはシステムの確率測度と呼ばれます。^{[27] [25]}

この種の複雑なサポートは、力学系でかなり頻繁に現れます。システムが確率測度を持つことを証明するのは簡単ではなく、主な問題は次のとおりです。 を時間の瞬間とサポートのサブセットとします。システムの確率測度が存在する場合、セット内の観測状態の頻度は間隔が等しく、 であることが期待されますが、これは起こらない可能性があります。たとえば、が収束しないときの極限である正弦波 に似た振動が発生する可能性があります。正式には、システムが無限の未来まで観測されたときに相対頻度の極限が収束する場合にのみ、測度は存在します。^[28]確率測度の存在を研究する力学系の分野はエルゴード理論です。 ${\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle [t_{2},t_{3}]}$${\displaystyle \sin(t)}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

これらの場合でも、確率分布が存在する場合、サポートが非可算か可算かに応じて、それぞれ「絶対連続」または「離散」と呼ばれる場合があることに注意してください。

ほとんどのアルゴリズムは、半開区間[0, 1)に均一に分布する数値を生成する疑似乱数生成器に基づいています。これらのランダム変数は、何らかのアルゴリズムによって変換され、必要な確率分布を持つ新しいランダム変数が作成されます。この均一な疑似ランダム性のソースを使用すると、任意のランダム変数を実現できます。^[29]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

例えば、 が0から1の間の一様分布に従うとします。 に対してランダムベルヌーイ変数を構成するには、 と 定義します 。${\displaystyle U}$${\displaystyle 0<p<1}$$${\displaystyle X={\begin{cases}1,&{\text{if }}U<p\\0,&{\text{if }}U\geq p\end{cases}}}$$$${\displaystyle \Pr(X=1)=\Pr(U<p)=p,\quad \Pr(X=0)=\Pr(U\geq p)=1-p.}$$

この確率変数Xはパラメータを持つベルヌーイ分布に従います。^[29]これは離散確率変数の変換です。 ${\displaystyle p}$

絶対連続ランダム変数の分布関数の場合、絶対連続ランダム変数を構築する必要があります。の逆関数である は、一様変数 に関係します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\mathit {inv}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle {U\leq F(x)}={F^{\mathit {inv}}(U)\leq x}.}$$

たとえば、指数分布を持つランダム変数を構築する必要があるとします。 ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\[2pt]&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\[2pt]&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\[2pt]&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}}$$ であり、分布を持つ場合、ランダム変数はによって定義されます。これは の指数分布を持ちます。^[29]${\displaystyle F^{\mathit {inv}}(u)={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U(0,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=F^{\mathit {inv}}(U)={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-U)}$${\displaystyle \lambda }$

統計シミュレーション（モンテカルロ法）で頻繁に発生する問題は、特定の方法で分布する 疑似乱数を生成することです。

確率分布の概念とそれが表すランダム変数は、確率論という数学の分野と統計学の科学の基礎となっています。人口内で測定できるほぼすべての値にはばらつきや変動性があります (たとえば、人の身長、金属の耐久性、売上の伸び、交通量など)。ほぼすべての測定は、何らかの固有の誤差を伴います。物理学では、ガスの運動特性から基本粒子の量子力学的記述まで、多くのプロセスが確率的に記述されます。これらの理由と他の多くの理由から、単純な数字は量を表すのに不十分な場合が多く、確率分布の方が適切な場合が多くあります。

以下は、関連するプロセスの種類別にグループ化された、最も一般的な確率分布のリストです。より完全なリストについては、検討対象の結果の性質 (離散、絶対連続、多変量など) 別にグループ化された 確率分布のリストを参照してください。

以下の単変量分布はすべて単一のピークを持ちます。つまり、値が 1 つの点の周りに集まると想定されます。実際には、実際に観測される量は複数の値の周りに集まる可能性があります。このような量は、混合分布を使用してモデル化できます。

• 正規分布（ガウス分布）は、単一の量に対して最も一般的に使用される絶対連続分布である。

• 対数正規分布、対数が正規分布する単一の量の場合
• パレート分布、対数が指数分布する単一の量の場合。典型的なべき乗分布

• 離散一様分布、有限の値の集合（例えば、公平なサイコロの出目）
• 連続一様分布、絶対的に連続的に分布する値の場合

• 基本的な分布:
  • ベルヌーイ分布、単一のベルヌーイ試行の結果（成功/失敗、はい/いいえなど）
  • 二項分布、独立した発生の総数が一定である場合の「肯定的な発生」（成功、賛成票など）の数
  • 負の二項分布、二項分布型の観測値の場合、関心のある量は、与えられた数の成功が発生する前に失敗した回数である。
  • 二項分布型の観測値に対する幾何分布。ただし、関心のある量は最初の成功までの失敗の数です。負の二項分布の特殊なケースです。
• 有限母集団のサンプリングスキームに関連するもの:
  • 超幾何分布、非置換サンプリングを使用して、総発生数を固定した場合の「肯定的な発生」（成功、賛成票など）の数
  • ベータ二項分布、総発生数が一定である場合の「肯定的な発生」（成功、賛成票など）の数、ポリア壷モデルを使用したサンプリング（ある意味では、非置換サンプリングの「反対」 ）

• カテゴリ分布、単一のカテゴリ結果（例：調査におけるはい/いいえ/多分）の場合。ベルヌーイ分布の一般化
• 多項分布、カテゴリ結果の各タイプの数、総結果の数が一定である場合、二項分布の一般化
• 多変量超幾何分布は、多項分布に似ていますが、非復元抽出法を使用します。超幾何分布の一般化です。

• ポアソン分布、与えられた期間におけるポアソン型イベントの発生回数
• 次のポアソン型イベントが発生するまでの時間に対する指数分布
• ガンマ分布、次のk個のポアソン型イベントが発生するまでの時間

• レイリー分布は、ガウス分布の直交成分を持つベクトル振幅の分布です。レイリー分布は、ガウスの実数成分と虚数成分を持つ RF 信号に見られます。
• ライス分布は、定常背景信号成分がある場合のレイリー分布の一般化です。マルチパス伝播による無線信号のライス フェーディングや、非ゼロ NMR 信号でのノイズ破損を伴う MR 画像で見られます。

• カイ二乗分布、標準正規変数の二乗和の分布。例えば、正規分布するサンプルのサンプル分散に関する推論に役立ちます（カイ二乗検定を参照）。
• スチューデントのt分布は、標準正規変数と尺度化されたカイ2乗変数の平方根の比の分布です。未知の分散を持つ正規分布サンプルの平均に関する推論に役立ちます（スチューデントのt検定を参照）。
• F分布は、2つの尺度化されたカイ2乗変数の比の分布です。たとえば、分散の比較やR2乗（相関係数の2乗）を含む推論に役立ちます。

• ベータ分布、単一の確率（0から1までの実数）の場合。ベルヌーイ分布および二項分布と共役です。
• 非負のスケーリングパラメータの場合のガンマ分布。ポアソン分布または指数分布の速度パラメータ、正規分布の精度（逆分散）などに共役です。
• ディリクレ分布、合計が 1 になる確率ベクトル、カテゴリ分布および多項分布と共役、ベータ分布の一般化
• ウィシャート分布、対称非負定値行列の場合、多変量正規分布の共分散行列の逆行列に共役、ガンマ分布の一般化^[30]

• 自然言語処理で特定の単語や単語シーケンスの発生確率を割り当てるために使用されるキャッシュ言語モデルやその他の統計言語モデルは、確率分布を使用してこれを行います。
• 量子力学では、粒子が特定の点に存在する確率密度は、その点における粒子の波動関数の大きさの2乗に比例する（ボルン則を参照）。したがって、粒子の位置の確率分布関数は、次元1で粒子の位置xが区間a ≤ x ≤ b内にある確率、および次元3で同様の三重積分によって記述される。これは量子力学の重要な原理である。^[31]${\textstyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\,|\Psi (x,t)|^{2}}$
• 電力潮流研究における確率的負荷潮流は、入力変数の不確実性を確率分布として説明し、確率分布の観点から電力潮流計算も提供します。^[32]
• 熱帯低気圧、雹、事象間の時間などの過去の頻度分布に基づいた自然現象の発生予測。 ^[33]

• 条件付き確率分布
• 経験的確率分布
• ヒストグラム
• 結合確率分布
• 確率測定
• 準確率分布
• リーマン・スティルチェス積分の確率論への応用

• 確率分布の一覧
• 統計トピックのリスト

ウィキメディア・コモンズには、確率分布に関連するメディアがあります。

• 「確率分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 連続確率分布のフィールド ガイド、Gavin E. Crooks。
• 確率の測度、関数、分布の区別、Math Stack Exchange