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集合論において、無限集合は有限集合ではない集合である。無限集合は可算集合の場合もあれば不可算集合の場合もある。[1]
プロパティ
自然数の集合（その存在は無限公理によって仮定されている）は無限である。[1]これは、公理によって無限であることが直接要求される唯一の集合である。他の無限集合の存在は、ツェルメロ-フランケル集合論（ZFC）で証明できるが、それは自然数の存在から従うことを示すことによってのみ証明できる。
集合が無限であるためには、すべての自然数に対して、その自然数を濃度とする部分集合が存在する必要がある。 [2]
選択公理が成り立つ場合、集合が無限となるのは、それが可算な無限部分集合を含む場合のみです。
集合の集合が無限であるか、無限の要素を含む場合、その和集合は無限である。無限集合の冪集合は無限である。 [3]無限集合の任意のスーパーセットは無限である。無限集合を有限個のサブセットに分割する場合、少なくともそのうちの 1 つは無限でなければならない。無限集合に写像できる任意の集合は無限である。無限集合と空でない集合の直積は無限である。それぞれが少なくとも 2 つの要素を含む無限個の集合の直積は空か無限のいずれかであり、選択公理が成り立つ場合、それは無限である。
無限集合が整列した集合である場合、その集合には最大元を持たない、空でない非自明な部分集合が必ず存在します。
ZFでは、集合が無限であるためには、その冪集合の冪集合がデデキント無限集合であり、その集合自体と同数の真部分集合を持つ必要がある。 [4]選択公理も真であれば、無限集合はまさにデデキント無限集合である。
無限集合が整列可能な集合である場合、その集合には同型でない整列可能な集合が多数存在します。
歴史
デイビッド・バートンが著書『数学の歴史入門』で論じた重要な考え方には、集合の「要素」または部分の定義方法、集合内の一意の要素の定義方法、無限の証明方法などがある。[5]バートンは可算集合と不可算集合を含むさまざまな種類の無限の証明についても論じている。[5] 無限集合と有限集合を比較する際に使用されるトピックには、順序集合、濃度、同値性、座標平面、普遍集合、マッピング、部分集合、連続性、超越性などがある。[5] カントールの集合の考え方は、三角法と無理数の影響を受けた。バートン、ポーラ、ナルリ、ロジャーが言及した無限集合論のその他の重要な考え方には、πなどの実数、整数、オイラー数などがある。[5] [6] [7]
バートンとロジャーズはどちらも有限集合を用いて、マッピング、帰納法による証明、背理法による証明などの証明概念を用いて無限集合を説明し始めた。[5] [7] 数学的木も無限集合を理解するために使用できる。[8]バートンは和集合や部分集合などの概念を含む無限集合の証明についても論じている。[5]
バートンは『数学史入門』の第12章で、ツェルメロ、デデキント、ガリレオ、クロネッカー、カントール、ボルツァーノなどの数学者が無限集合論を研究し影響を与えたことを強調している。これらの数学者の多くは、無限について議論したり、無限集合の考え方に何らかの貢献をした。1800年代のプロイセンの歴史などの潜在的な歴史的影響が、カントールの無限集合論を含む学術的な数学的知識の増加につながった。[5]
無限集合論の潜在的な応用分野の一つは遺伝学と生物学である。[9]
例
可算無限集合
すべての整数の集合、{..., −1, 0, 1, 2, ...} は可算無限集合である。すべての偶数の集合も、それが整数の真部分集合であっても可算無限集合である。[3]
すべての有理数の集合は整数の集合と一対一なので可算無限集合である。[3]
無限集合
すべての実数の集合は非可算無限集合である。すべての無理数の集合も非可算無限集合である。[3]
参照
参考文献
- ^ ab Bagaria, Joan (2019)、「集合論」、Zalta, Edward N. (編)、スタンフォード哲学百科事典(2019年秋版)、スタンフォード大学形而上学研究室、 2019年11月30日取得
- ^ Boolos, George (1998). Logic, Logic, and Logic (イラスト入り)。ハーバード大学出版局。p. 262。ISBN 978-0-674-53766-8。
- ^ abcd Caldwell, Chris. 「The Prime Glossary — Infinite」. primes.utm.edu . 2019年11月29日閲覧。
- ^ Boolos, George (1994)、「正直な労働が窃盗に勝る利点」、Mathematics and mind (Amherst, MA, 1991)、Logic Comput. Philos.、Oxford Univ. Press、ニューヨーク、pp. 27–44、MR 1373892特に32～33ページを参照。
- ^ abcdefg バートン、デイビッド（2007年）。数学の歴史：入門（第6版）。ボストン：マグロウヒル。pp.666–689。ISBN 9780073051895。
- ^ Pala, Ozan; Narli, Serkan (2020-12-15). 「証明像の形成における形式知識の役割：無限集合の文脈におけるケーススタディ」。トルココンピュータ数学教育ジャーナル (TURCOMAT)。11 (3): 584–618. doi : 10.16949/turkbilmat.702540。S2CID 225253469。
- ^ ab ロジャース、ナンシー（2000）。推論を学ぶ：論理、集合、関係の入門。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 978-1-118-16570-6. OCLC 757394919.
- ^ Gollin, J. Pascal; Kneip, Jakob (2021-04-01). 「無限木集合の表現」. Order . 38 (1): 79–96. arXiv : 1908.10327 . doi : 10.1007/s11083-020-09529-0 . ISSN 1572-9273. S2CID 201646182.
- ^ Shelah, Saharon; Strüngmann, Lutz (2021-06-01). 「数理生物学における無限組合せ論」. Biosystems . 204 :104392. doi : 10.1016/j.biosystems.2021.104392 . ISSN 0303-2647. PMID 33731280. S2CID 232298447.
外部リンク
- 無限集合の数学の短期集中講座