実分析

数学において、実解析の分野は実数、実数の列と級数、および実関数の挙動を研究します。^{[1]実解析が研究する実数値の列と関数の特定の特性には、}収束、極限、連続性、滑らかさ、微分可能性、積分可能性などがあります。

実解析は、複素数とその関数 の研究を扱う複素解析とは区別されます。

実解析の定理は、確立されなければならない実数系の性質に依存しています。実数系は、非可算集合( ) と、+および⋅で示される2 つの二項演算、および≤で示される全順序で構成されます。演算により、実数は体 になり、順序とともに順序体 になります。実数系は、他の任意の完全順序体がそれに同型であるという意味で、唯一の完全順序体 です。直感的には、完全性とは、実数に「ギャップ」(または「穴」) がないことを意味します。この性質により、実数は他の順序体 (たとえば、有理数 ) と区別され、実数の関数のいくつかの主要な性質の証明に重要です。実数の完全性は、多くの場合、最小上界性質として便利に表現されます(以下を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

実数には、複素数にはないさまざまな格子理論的特性があります。また、実数は順序付けられた体を形成し、その中では正の数の和と積も正になります。さらに、実数の順序付けは完全であり、実数は最小の上限特性を持っています。

上限を持つの空でない部分集合には、最小の上限も存在し、これも実数です。${\displaystyle \mathbb {R} }$

これらの順序理論的性質は、単調収束定理、中間値定理、平均値定理など、実解析におけるいくつかの基本的な結果につながります。

しかし、実解析の結果は実数について述べられているが、これらの結果の多くは他の数学的対象に一般化できる。特に、関数解析と作用素理論の多くのアイデアは実数の特性を一般化している。そのような一般化にはリース空間と正の作用素の理論が含まれる。また、数学者は複素数列の実部と虚部を考慮したり、作用素列の点ごとの評価を行ったりする。^{[説明が必要]}

実解析の定理の多くは、実数直線の位相的性質から導かれる。上で述べた実数の順序性質は、これらの位相的性質と密接に関連している。位相空間として、実数は標準位相を持ち、これは順序 によって誘導される順序位相である。あるいは、絶対値関数 を使用して計量関数または距離関数を と定義することにより、実数は計量空間の典型的な例となる。計量によって誘導される位相は、順序 によって誘導される標準位相と同一であることがわかる。本質的に位相的性質を持つ中間値定理などの定理は、 だけでなく、より一般的な計量空間または位相空間の設定で証明できることが多い。多くの場合、このような証明は、直接的な方法を適用する古典的な証明に比べて短く単純になる傾向がある。 ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$${\displaystyle d}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

シーケンスは、定義域が可算で全順序集合である関数です。^[2]定義域は通常、自然数とみなされますが、^[3]負のインデックスを含むすべての整数の集合でインデックス付けされた双方向シーケンスも考慮すると便利な場合があります。

実解析において興味深いことに、実数値シーケンス（ここでは自然数でインデックス付け）はマップ です。各シーケンスは、シーケンスの項（または、まれに要素）と呼ばれます。シーケンスが明示的に関数として表記されることはめったにありません。代わりに、慣例により、ほとんどの場合、個々の項または一般項を括弧で囲んだ順序付き∞-タプルであるかのように表記されます。^[4]極限 に向かう（つまり、存在する）シーケンスは収束すると言われ、そうでない場合は発散すると言われます。（詳細については、極限と収束のセクションを参照してください。）実数値シーケンスは、すべての に対してとなる が存在する場合、有界です。 または が成り立つ場合 、実数値シーケンスは単調増加または減少します。どちらかが成り立つ場合、シーケンスは単調 であると言われます。連鎖不等式がまたは < または > に置き換えられても依然として成り立つ場合、単調性は厳密です。 ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ $${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |a_{n}|<M}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (a_{n})}$$${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$

シーケンス が与えられた場合、別のシーケンス は、すべての正の整数 に対して であり、自然数の厳密に増加するシーケンスである 場合、の部分シーケンスです。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{k})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n_{k})}$

大まかに言えば、極限とは、入力またはインデックスが特定の値に近づくにつれて、関数またはシーケンスが「近づく」値です。 ^[5] （変数が無制限に増加または減少するときの関数またはシーケンスの動作を扱う場合、この値には記号を含めることができます。）極限の考え方は微積分（および一般的な数学的分析）の基礎であり、その正式な定義は連続性、微分、積分などの概念を定義するために使用されます。（実際、極限動作の研究は、微積分と数学的分析を他の数学の分野と区別する特性として使用されてきました。） ${\displaystyle \pm \infty }$

極限の概念は、17 世紀末にニュートンとライプニッツによって関数に対して非公式に導入され、微小微積分を構築しました。数列については、この概念はコーシーによって導入され、19 世紀末にボルツァーノとワイエルシュトラスによって厳密化され、次のような 現代的なε-δ 定義が与えられました。

定義。 が上で定義される実数値関数であるとします 。任意の に対して、 が存在して、すべての に対して、 が成り立つ場合、 が に近づくにつれて に近づく、または の極限が に近づくにつれてに近づく、と述べます。これは、記号的に または と書きます 。直感的には、この定義は次のように考えることができます。として、任意の正の数 が与えられ、それがどんなに小さくても、 を常に見つけることができ、と がより小さく離れていることを保証できるとき、 と言います。ただし、( の定義域において) は より小さくから離れているが とは異なる実数である必要があります。定義の条件に対応する最後の規定の目的は、 が 自身の値について何も意味しないことを保証することです。実際には、が存在するために がの定義域内にある必要さえありません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$$${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$${\displaystyle f(x)\to L}$${\displaystyle x\to x_{0}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

少し異なりますが関連するコンテキストでは、限界の概念は、が大きくなるときのシーケンスの動作に適用されます。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle n}$

定義。を実数値列と します。任意の に対して、 となる自然数が存在する場合、 はに収束するといいます。これを記号的に と書き表す か、 が収束しない 場合はが発散するといいます。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$$${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a;}$$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$

実数値関数を実変数に一般化するには、この定義を少し変更する（シーケンスと項をそれぞれ関数と値に、自然数とを実数とに置き換える）と、が無制限に増加するときの の極限の定義が得られ、 と表記されます。不等式をに逆転させると、が無制限に減少するときの の極限の対応する定義が得られ、となります。${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$${\displaystyle x\geq M}$${\displaystyle x\leq M}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

場合によっては、収束する値が不明または無関係であっても、シーケンスが収束すると結論付けることが有用なことがあります。このような場合、コーシー シーケンスの概念が役立ちます。

定義。を実数値列とします。 任意のに対して、 となるような自然数が存在するとき、はコーシー列であるといいます。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n\geq N}$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$

実数値列がコーシー列である場合、そしてそれが収束する場合に限り、それが示される。実数のこの性質は、標準計量 が備わった実数が完全な計量空間であると表現される。しかし、一般的な計量空間では、コーシー列は必ずしも収束する必要はない。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

さらに、単調な実数値シーケンスの場合、シーケンスが収束する場合にのみ、シーケンスが有界であることが示されます。

数列に加えて、上の関数の列 、つまり と表記される関数の無限の順序付き族と、それらの収束特性についても話すことができます。ただし、関数の列の場合、点収束と一様収束と呼ばれる 2 種類の収束があり、区別する必要があります。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

大まかに言えば、関数 が極限関数（ と表記）に点収束するということは、任意の が与えられたときに が収束することを意味します。これに対して、一様収束はより強いタイプの収束であり、一様収束する関数列は点収束もしますが、その逆は成り立ちません。一様収束には、ある整数 に対して のときはいつでも、関数族 のメンバーが の任意の値に対して の誤差内に収まる必要があります。関数族（と表記されることもあります）が一様収束するには、どんなに小さい値であっても、任意の に対して のそのような値が存在しなければなりません。直感的には、 が十分に大きい場合、関数はすべて、定義域 のすべての値に対して、幅約（つまり、 と の間）の「チューブ」内に閉じ込められると想像することで、この状況を視覚化できます。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$${\displaystyle 2\varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f-\varepsilon }$${\displaystyle f+\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

2 つの極限演算 (たとえば、極限、導関数、積分など) の順序を交換する必要がある場合は、点収束と一様収束の区別が重要です。交換が適切に行われるためには、実解析の多くの定理で一様収束が求められます。たとえば、連続関数のシーケンス (以下を参照) は、収束が一様であれば連続極限関数に収束することが保証されますが、収束が点単位のみである場合は極限関数が連続しない可能性があります。 一様収束の概念を明確に定義し、その意味を十分に調査したのは、一般にカール ワイエルシュトラスであるとされています。

コンパクト性とは、一般位相幾何学の概念であり、実解析の多くの定理で重要な役割を果たします。コンパクト性の特性は、集合が閉じていて有界であるという概念の一般化です。(実解析の文脈では、これらの概念は同値です。ユークリッド空間内の集合がコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要があります。) 簡単に言うと、閉集合にはその境界点がすべて含まれますが、集合が有界であるためには、集合内の任意の 2 点間の距離がその数より小さくなる実数が存在する必要があります。 では、閉じていて有界であるためコンパクトな集合には、空集合、有限個の点、閉区間、およびそれらの有限和が含まれます。ただし、このリストはすべてを網羅しているわけではありません。たとえば、集合 はコンパクト集合です。カントールの 3 元集合は、コンパクト集合の別の例です。一方、集合 は、境界点 0 が集合のメンバーではないため、有界ではあるものの閉じていないため、コンパクトではありません。この集合は閉じていますが有界ではないため、コンパクトでもありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

実数のサブセットの場合、コンパクト性に関する同等の定義がいくつかあります。

定義。集合がコンパクトとは、閉じていて境界があることを意味します。 ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

この定義は任意の有限次元のユークリッド空間 にも当てはまりますが、一般には距離空間には当てはまりません。 この定義と、このセクションの後半で説明する部分被覆に基づくコンパクト性の定義との同値性は、ハイン・ボレルの定理として知られています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

すべての距離空間に適用されるより一般的な定義では、部分列の概念が使用されます (上記を参照)。

定義。距離空間内の集合は、その中のすべての列に収束する部分列がある場合にコンパクトである。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

この特定の特性は、後続コンパクト性として知られています。 では、集合が後続コンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要があります。この定義は、上記の定義と同等です。後続コンパクト性は、距離空間の部分被覆に基づくコンパクト性の定義と同等ですが、位相空間一般については同等ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

コンパクト性の最も一般的な定義は、開被覆と部分被覆の概念に依存しており、これは位相空間 (したがって特別なケースとして計量空間 と ) に適用できます。簡単に言うと、開集合の集合は、これらの集合の和が のスーパーセットである場合に、集合 の開被覆であると言われます。この開被覆は、 もカバーするの有限部分集合が見つかる場合、有限部分被覆を持つと言われます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle X}$

定義。位相空間内の集合がコンパクトであるとは、そのすべての開被覆に有限の部分被覆がある場合をいう。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

コンパクト集合は、収束や連続性などの特性に関して適切に動作します。たとえば、コンパクト距離空間内の任意のコーシー列は収束します。別の例として、連続写像によるコンパクト距離空間の像もコンパクトです。

実数の集合から実数への関数は、直交平面上のグラフで表すことができます。大まかに言えば、グラフが「穴」や「ジャンプ」のない単一の途切れのない曲線である場合、そのような関数は連続しています。

この直感を数学的に厳密にする方法はいくつかあります。一般性の異なるレベルの定義をいくつか与えることができます。2 つ以上の定義が適用できる場合、それらは互いに同等であることが容易に示されるため、最も便利な定義を使用して、特定の関数が連続しているかどうかを判断できます。以下に示す最初の定義では、 は、実数集合の非退化区間を定義域として定義される関数です。可能性のあるものとしては、 、実数集合全体、開区間、閉区間などがあります。 ここで、および は異なる実数であり、特に、空の場合や 1 つの点のみで構成される場合は除外します。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$

定義。が非退化区間である 場合、が で連続であると言います。が任意の で連続である場合、は連続写像であると言います。 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in I}$

が点 で極限を持つための必要条件は、 自体での の振る舞いを制約しないのに対し、が で連続であるためには、の存在に加えて、次の 2 つの条件も満たされていなければなりません。(i)は で定義される必要があります。つまり、はの領域にあります。(ii)としてです。上記の定義は、孤立点を含まない任意の領域、または同等に、任意の がの極限点である場合に適用されます。一般領域でに適用されるより一般的な定義は次のとおりです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$${\displaystyle x\to p}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$

定義。が の任意の部分集合である 場合、任意の に対してが存在して、すべての に対して が成り立つとき、はで連続であるといいます。 が任意の で連続である場合、は連続写像であるといいます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |x-p|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in X}$

この定義の帰結として、 は任意の孤立点 で自明に連続である。このやや直感に反する孤立点の扱いは、実数直線上の関数の連続性の定義が位相空間間の写像の最も一般的な連続性の定義（距離空間、特に特殊なケースを含む）と一致することを保証するために必要である。この定義は実解析の議論の範囲を超えているため、完全を期すために以下に示す。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

定義。および が位相空間である 場合、におけるの任意の近傍に対してがにおけるの近傍であるとき、 はで連続であるといいます。における任意の開いに対してがで開いているとき、は連続写像であるといいます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(p)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$

(ここで、はの逆像を指します。) ${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle S\subset Y}$${\displaystyle f}$

定義。が実数のサブセットである場合、任意の に対してが存在し、すべての に対してとなるとき、関数 が上で一様連続であるという。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle |x-y|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

明示的に、関数が 上で一様連続である場合、定義を満たすために必要なの選択は、与えられた に対して のすべてに有効でなければなりません。対照的に、関数がすべての点で連続している場合（または 上で連続していると言われる場合）、 の選択はと の両方に依存する可能性があります。単純連続とは対照的に、一様連続は指定された領域でのみ意味をなす関数の特性です。単一の点で一様連続であると言っても意味がありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

コンパクト集合上では、すべての連続関数が一様連続であることが簡単に示されます。が の有界非コンパクト部分集合である場合、 は連続だが一様連続ではないことが存在します。簡単な例として、によって定義される を考えます。0 に近い点を選択することで、与えられた に対して、 の任意の単一の選択を常に行うことができます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

定義。を実数直線上の区間とする。関数が上で絶対連続であるとは、任意の正数 に対して、の互いに素な部分区間の有限列が^[6]を満たす正数が存在することをいう。${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

それから

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

絶対連続関数は連続です。この定義でn = 1 の場合を考えてみましょう。I上のすべての絶対連続関数の集合はAC( I ) で表されます。絶対連続性はルベーグ積分理論の基本概念であり、ルベーグ積分に適用される微積分学の基本定理の一般化バージョンを定式化することを可能にします。

関数の導関数または微分可能性の概念は、関数を「最良」の線形近似を使用して特定の点の近くで近似するという概念に由来します。この近似は、存在する場合、一意であり、特定の点 で関数に接する線によって与えられ、その線の傾きが での関数の導関数です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

関数が微分可能であるのは、極限が${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

が存在します。この極限はにおけるの導関数${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$として知られており、のサブセット上でのみ定義されている可能性のある関数は の導関数(または導関数)です。 導関数があらゆる場所に存在する場合、関数 は微分可能であると言われます。 ${\displaystyle f'}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

定義の単純な帰結として、が で連続であるとは、 がそこで微分可能である場合です。したがって、微分可能性は連続性よりも強い正則性条件（関数の「滑らかさ」を記述する条件）であり、関数が実数直線全体で連続であっても、どこでも微分可能ではない可能性があります（ワイエルシュトラスのどこでも微分不可能な連続関数を参照）。微分関数の微分を求めるなどして、高次の微分の存在についても議論することができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

関数は微分可能クラスによって分類することができます。クラス(適用可能な区間を示すために使用される場合もあります) は、すべての連続関数から構成されます。クラス は、導関数が連続であるすべての微分可能関数から構成されます。このような関数は、連続的に微分可能と呼ばれます。したがって、関数 は、まさにその導関数が存在し、クラス に属する関数です。一般に、クラス は、をすべての連続関数の集合と宣言し、任意の正の整数 に対して を、導関数が に含まれるすべての微分可能関数の集合と宣言することによって、再帰的に定義できます。特に、はすべての に対してに含まれ、この包含が厳密であることを示す例があります。クラス は、が非負の整数 上で変化するときの集合の共通部分であり、このクラスのメンバーは滑らかな関数 として知られています。クラスはすべての解析関数から構成され、 に厳密に含まれます(解析的でない滑らかな関数については、 バンプ関数 を参照してください)。${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{0}([a,b])}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\omega }}$${\displaystyle C^{\infty }}$

級数は、無限の数列の合計をとるという不正確な概念を形式化します。「無限」の数の項の合計をとると有限の結果になるという考えは、古代ギリシャ人にとっては直感に反するもので、ゼノンや他の哲学者による多くのパラドックスの定式化につながりました。級数に値を割り当てるという現代の概念は、「無限」の数の項を追加するという不明確な概念を扱うことを回避します。代わりに、部分和として知られる、数列の最初の項の有限の合計が考慮され、 が無制限に大きくなるにつれて、部分和の列に限界の概念が適用されます。この限界が存在する場合、級数にはその値が割り当てられます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

（無限）数列が与えられたとき、関連する 数列 を正式な数学的対象 として定義することができ、これは単に と書かれることもあります。数列の部分和は数 です。数列の部分和 が収束する場合、その数列は収束すると言われます。そうでない場合は、その数列は発散と言われます。収束数列の和は数 として定義されます。${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle (s_{n})}$${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

ここでの「和」という言葉は、部分和の列の極限を求めるための略語として比喩的な意味で使用されており、単に無限数の項を「追加する」と解釈されるべきではありません。たとえば、有限和の動作とは対照的に、無限級数の項を並べ替えると、異なる数に収束する場合があります (詳細については、 リーマン再配置定理に関する記事を参照してください)。

収束級数の例としては、ゼノンの有名なパラドックスの 1 つの基礎となる幾何級数があります。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

対照的に、調和級数は発散級数であることが中世以来知られていました。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(ここで、「」は、級数の部分和が無限に増加することを示すための表記規則にすぎません。) ${\displaystyle =\infty }$

が収束する場合、その級数は絶対収束すると言われる。 が発散する収束級数は非絶対収束すると言われる。^[7] 級数が絶対収束する場合は収束することが簡単に示される。一方、非絶対収束する級数の例としては、 ${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

実数または複素数aで無限に微分可能な実数値または複素数値関数 ƒ ( x )のテイラー級数は、べき級数である。

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

これはより簡潔なシグマ記法で次のように 書くことができる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

ここでn ! はnの階乗を表し、ƒ  ^{( n )} ( a ) は点aで評価されたƒのn次導関数を表します。 0 次導関数ƒはƒ自身と定義され、 ( x − a ) ^{0と 0! は両方とも 1 と定義されます。} a = 0の場合、この級数はマクローリン級数とも呼ばれます。

点aの周りのfのテイラー級数は、発散したり、点aだけで収束したり、すべてのxに対して収束したり（収束が保証される最大のR を収束半径 と呼ぶ）、実数線全体で収束したりすることがあります。収束するテイラー級数であっても、その点における関数の値とは異なる値に収束する場合があります。ある点におけるテイラー級数の収束半径がゼロでなく、その和が収束円 内の関数である場合、その関数は解析的です。解析関数には多くの基本的な特性があります。特に、実変数の解析関数は、複素変数の関数に自然に拡張されます。指数関数、対数、三角関数、およびそれらの逆関数は、このようにして複素変数の関数に拡張されます。 ${\displaystyle |x-a|<R}$

フーリエ級数は、周期関数または周期信号を、（無限の場合もある）一連の単純な振動関数、つまり正弦と余弦 （または複素指数）の和に分解します。フーリエ級数の研究は、通常、数学>数学的解析>フーリエ解析の分野で行われ、扱われます。

積分は、曲線で囲まれた面積を求める問題と、曲線の長さや面に囲まれた体積を求める関連問題を形式化したものです。この種の問題を解くための基本的な戦略は、古代ギリシャ人や中国人には知られており、枯渇法として知られていました。一般的に言えば、目的の面積は、正確な面積を計算できる多角形の近似を、より正確に外接および内接させることによって、それぞれ上と下から囲まれます。より大きく (「無限」) な数のより小さく (「無限小」) な部分で構成される近似を考慮すると、近似によって定義される上限と下限が共通の値に収束するため、曲線で囲まれた面積を推測できます。

この基本戦略の精神は、リーマン積分の定義に簡単に見ることができます。リーマン積分では、より薄い長方形のスライス (「精緻化」) を考慮したときに、上側と下側のリーマン (またはダルブー) 和が共通の値に収束する場合に積分が存在すると言われています。リーマン積分に比べて、ルベーグ積分の定義に使用される仕組みははるかに複雑ですが、ルベーグ積分は同様の基本的な考え方を念頭に置いて定義されました。リーマン積分と比較して、より洗練されたルベーグ積分では、ユークリッド空間のはるかに複雑で不規則なサブセットに対して面積 (または長さ、体積など。一般に「尺度」と呼ばれます) を定義および計算できますが、面積を割り当てることができない「測定不可能な」サブセットも依然として存在します。

リーマン積分は、区間のタグ付き分割に関する関数のリーマン和によって定義される。 を実数直線の閉区間とすると、のタグ付き分割は有限列である。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

これは区間をでインデックス付けされたサブ区間に分割し、各サブ区間には区別された点 で「タグ付け」します。で制限される関数に対して、タグ付けされた分割に関する のリーマン和を次のように 定義します。${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

ここで、 は部分区間 の幅です。したがって、合計の各項は、高さが与えられた部分区間の特定の点における関数値に等しく、幅が部分区間の幅と同じである長方形の面積です。このようなタグ付きパーティションのメッシュは、パーティションによって形成される最大の部分区間 の幅です。のリーマン積分は、任意の に対してが存在し、メッシュ を持つ任意のタグ付きパーティションに対して、次が成り立つとき、である といえます。${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle i}$${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle {\cal {P}}}$${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

これは と表記されることもあります。選択されたタグが各区間の最大値（または最小値）を与える場合、リーマン和は上ダルブー和（または下ダルブー和） と呼ばれます。十分に小さいメッシュに対して、上ダルブー和と下ダルブー和を互いに任意に近づけることができる場合、関数はダルブー積分可能です。この定義により、ダルブー積分はリーマン積分可能な特殊なケースであるかのように見えますが、実際には、関数がダルブー積分可能であるのはリーマン積分可能で、積分の値が等しい場合のみであるという意味で、それらは同等です。実際、微積分と実解析の教科書では、前者の定義の方が適用しやすいため、ダルブー積分の定義をリーマン積分の定義として紹介し、この2つを混同することがよくあります。 ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$

微積分学の基本定理は、積分と微分はある意味では逆の演算であると主張しています。

ルベーグ積分は、積分をより大規模な関数のクラスに拡張する数学的構成であり、これらの関数を定義できる領域も拡張します。長さ、面積、または体積を抽象化した測度の概念は、ルベーグ積分確率論の中心です。

超関数（または一般化関数）は、関数を一般化するオブジェクトです。超関数により、古典的な意味では導関数が存在しない関数を微分することが可能になります。特に、局所的に積分可能な関数には、超関数の導関数が存在します。

実解析は、数列とその極限、連続性、微分、積分、関数の数列などの概念を研究する解析分野です。定義により、実解析は実数に焦点を当てており、多くの場合、拡張された実数直線を形成するために正と負の無限大が含まれます。実解析は、複素数の同じ特性を広く研究する複素解析と密接に関連しています。複素解析では、繰り返し微分可能、べき級数として表現可能、コーシーの積分公式を満たすなど、いくつかの有用な特性を持つ正則関数を介して微分を定義するのが自然です。

実解析では、通常、より広範囲に適用できる微分可能関数、滑らかな関数、または調和関数を考慮する方が自然ですが、正則関数のより強力な特性がいくつか欠けている可能性があります。ただし、代数の基本定理などの結果は、複素数で表現するとより簡単になります。

複素変数の解析関数の理論からの手法は、留数計算による実積分の評価など、実解析でよく使用されます。

重要な結果には、ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理とハイン-ボレルの定理、中間値定理と平均値定理、テイラーの定理、微積分の基本定理、アルツェラ-アスコリの定理、ストーン-ワイエルシュトラスの定理、ファトゥの補題、単調収束と優勢収束の定理などがあります。

実解析のさまざまなアイデアは、実数直線からより広い、またはより抽象的な文脈に一般化できます。これらの一般化により、実解析は他の分野やサブ分野に結び付けられます。たとえば、連続関数やコンパクト性などのアイデアを実解析から距離空間や位相空間に一般化すると、実解析は一般位相幾何学の分野に結び付けられ、有限次元ユークリッド空間を無限次元の類似物に一般化すると、バナッハ空間やヒルベルト空間の概念が生まれ、より一般的には関数解析につながります。 ゲオルク・カントールによる実数の集合と列、それらの間のマッピング、および実解析の基礎的な問題の研究から、素朴集合論が生まれました。関数の列の収束の問題の研究から、最終的に数学解析のサブ分野としてフーリエ解析が生まれました。実変数の関数から複素変数の関数に微分可能性を一般化することの結果の研究から、正則関数の概念が生まれ、解析の別の明確なサブ分野として複素解析が始まりました。一方、リーマンの意味で積分をルベーグの意味で一般化することで、測度論の基本概念である抽象測度空間の概念が定式化されました。最後に、実数直線から高次元空間の曲線や曲面への積分の一般化により、ベクトル解析の研究が生まれ、そのさらなる一般化と定式化は、微分幾何学や幾何学と位相幾何学の他の密接に関連する分野における微分形式や滑らかな（微分可能な）多様体の概念の発展に重要な役割を果たしました。

• 実解析トピックのリスト
• 時間スケール計算– 実解析と差分計算の統合
• 実多変数関数
• 実座標空間
• 複雑な分析

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• ドナルド・ヤウ著『分析入門』
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• ジョン・オコナーによる初級分析コース
• エリアス・ザコン著『数学分析 I』
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• 数学用語の最も古い使用例: 微積分と解析
• 基礎解析：実解析入門（Jiri Lebl 著）
• ウィーン大学のジェラルド・テシュルによる実数解析と関数解析のトピック。