凸集合

実数集合Rの凸部分集合は、 Rの区間と点です。ユークリッド平面の凸部分集合の例としては、正多角形、正三角形、正三角形の交点などがあります。ユークリッド 3 次元空間の凸部分集合の例としては、アルキメデス立体やプラトン立体などがあります。ケプラー・ポアンソ多面体は、非凸集合の例です。

凸でない集合は非凸集合と呼ばれます。凸多角形ではない多角形は凹多角形と呼ばれることもありますが、^{[ 5 ]}一部の資料ではより一般的に凹集合という用語を非凸集合の意味で使用していますが、^{[ 6 ]}ほとんどの権威はこの使用法を禁止しています。^{[ 7 ] [ 8 ]}

凸集合の補集合、例えば凹関数のエピグラフなどは、特に数学的最適化の文脈では、逆凸集合と呼ばれることがある。^{[ 9 ]}

ベクトル空間、アフィン空間、またはユークリッド空間の凸部分集合の集合は 、次の性質を持ちます。^{[ 10 ] [ 11 ]}

1. 空集合と空間全体は凸集合である。
2. 任意の凸集合の共通部分は凸集合である。
3. 凸集合の和集合は、それらの集合が包含関係において鎖（全順序集合）を形成する場合に凸集合となる。この性質においては、鎖に限定することが重要である。なぜなら、2つの凸集合の和集合は必ずしも凸集合になるとは限らないからである。

閉凸集合とは、そのすべての極限点を含む凸集合のことである。閉半空間（超平面上および超平面の片側に位置する空間内の点の集合）の交点として特徴づけることができる。

以上のことから、このような交点は凸集合であり、閉集合であることは明らかです。その逆、すなわち、すべての閉凸集合がこのような交点として表現できることを証明するには、与えられた閉凸集合Cとその外側の点Pに対して、 C を含みPを含まない閉半空間Hが存在するという支持超平面定理が必要です。支持超平面定理は、関数解析におけるハーン・バナッハの定理の特殊な場合です。

凸集合の面${\displaystyle C}$凸部分集合である${\displaystyle F}$の${\displaystyle C}$点が${\displaystyle p}$で${\displaystyle F}$2点間に厳密に位置する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle C}$、 両方${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$必ず${\displaystyle F}$[ ^{12 ]}同様に、任意^の${\displaystyle x,y\in C}$任意の実数${\displaystyle 0<t<1}$そのため${\displaystyle (1-t)x+ty}$は${\displaystyle F}$、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$必ず${\displaystyle F}$この定義によれば、${\displaystyle C}$それ自体と空集合は、${\displaystyle C}$これらは時として些細な面と呼ばれる${\displaystyle C}$極端な点${\displaystyle C}$は、${\displaystyle C}$。

させて${\displaystyle C}$凸集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それはコンパクトである（あるいは同等に、閉じていて有界である）。すると${\displaystyle C}$は、その極点の凸包である。^{[ 13 ]}より一般的には、局所凸位相ベクトル空間内の各コンパクト凸集合は、その極点の閉じた凸包である（クライン・ミルマンの定理）。

例えば：

• 平面上の三角形（内部領域を含む）は、コンパクトな凸集合である。その非自明な面は、3つの頂点と3つの辺である。（したがって、唯一の極点は3つの頂点である。）
• 閉じた単位円盤の非自明な面は${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$は、単位円上の極点、すなわち単位円上の点である。${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$。

C を平面上の凸体(内部が空でない凸集合)とする。Cに長方形r を内接させると、rの相似コピーRがCに外接する。正の相似比は最大で 2 であり、次のようになる。^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)}$$

セット ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$すべての平面凸体は、凸体の直径D、その内接半径r (凸体に含まれる最大の円)、およびその外接半径R (凸体を含む最小の円) によってパラメータ化できます。実際、このセットは^{[ 15 ] [ 16 ]}で与えられる不等式のセットによって記述できます。$${\displaystyle 2r\leq D\leq 2R}$$$${\displaystyle R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D}$$$${\displaystyle r+R\leq D}$$$${\displaystyle D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})}$$そして、凸体を( r / R , D /2 R )で与えられるR ²点に写像する 関数gの像として視覚化することができる。この関数の像は ( r , D , R ) Blachke-Santaló 図として知られている。^{[ 16 ]}

あるいは、セット ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$また、幅（任意の2つの異なる平行なサポート超平面間の最小距離）、周囲長、面積によってパラメータ化することもできます。^{[ 15 ] [ 16 ]}

Xを位相ベクトル空間とし、${\displaystyle C\subseteq X}$凸型である。

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} C}$そして${\displaystyle \operatorname {Int} C}$どちらも凸集合である（つまり、凸集合の閉包と内部は凸集合である）。
• もし${\displaystyle a\in \operatorname {Int} C}$そして${\displaystyle b\in \operatorname {Cl} C}$それから${\displaystyle [a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C}$（どこ${\displaystyle [a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}}$)
• もし${\displaystyle \operatorname {Int} C\neq \emptyset }$それから：
  • ${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {Int} C\right)=\operatorname {Cl} C}$、 そして
  • ${\displaystyle \operatorname {Int} C=\operatorname {Int} \left(\operatorname {Cl} C\right)=C^{i}}$、 どこ${\displaystyle C^{i}}$はCの代数的内部です。

ベクトル空間のすべての部分集合Aは、最小の凸集合 ( Aの凸包と呼ばれる) に含まれます。これは、 A を含むすべての凸集合の共通部分です。凸包演算子 Conv() は、閉包演算子の特性を持ちます。

• 広範: S  ⊆  Conv( S )、
• 非減少: S  ⊆ T はConv( S )  ⊆  Conv( T )を意味し、
• 冪等性: Conv(Conv( S )) = Conv( S )。

凸包演算は、凸集合の集合が格子を形成するために必要であり、その「結合」演算は、2つの凸集合の和集合の凸包である。 $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S)\vee \operatorname {Conv} (T)=\operatorname {Conv} (S\cup T)=\operatorname {Conv} {\bigl (}\operatorname {Conv} (S)\cup \operatorname {Conv} (T){\bigr )}.}$$ 任意の凸集合の共通部分はそれ自体が凸集合であるため、（実数または複素数の）ベクトル空間の凸部分集合は完全束を形成する。

実ベクトル空間において、2つの（空でない）集合S ₁とS _2のミンコフスキー和は、和の項集合からベクトルを要素ごとに加算して形成される 集合S ₁ + S ₂として定義される。  $${\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.}$$ より一般的には、有限個の（空でない）集合の族S _nのミンコフスキー和は、ベクトルの要素ごとの加算によって形成される集合である。$${\displaystyle \sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.}$$

ミンコフスキー 加算では、ゼロベクトル0のみを含むゼロ集合{0}が特別な重要性を持つ。ベクトル空間の 空でない部分集合Sごとに、    $${\displaystyle S+\{0\}=S;}$$ 代数的な用語では、{0}はミンコフスキー加算の単位元（空でない集合の集合上）である。 ^{[ 17 ]}

ミンコフスキー加算は、凸包を取る操作に関して良好な挙動を示す。これは以下の命題によって示される。

S ₁、S _{2 を}実ベクトル空間の部分集合とすると、それらのミンコフスキー和の凸包は、それらの凸包のミンコフスキー和に等しい。 $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

この結果は、空でない有限集合の任意の集合に対して、より一般的に成り立つ。 $${\displaystyle {\text{Conv}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Conv}}\left(S_{n}\right).}$$

数学用語では、ミンコフスキー総和と凸包の形成の操作は可換な操作である。^{[ 18 ] [ 19 ]}

2 つのコンパクト凸集合のミンコフスキー和はコンパクトである。コンパクト凸集合と閉じた凸集合の和は閉じている。^{[ 20 ]}

1966年にDieudonnéによって証明された次の有名な定理は、2つの閉じた凸部分集合の差が閉じた集合となるための十分条件を与えている。^{[ 21 ]}この定理は、空でない凸部分集合Sの凹錐の概念を使用しており、次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {rec} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},}$$ ここで、この集合は凸円錐であり、${\displaystyle 0\in X}$そして満足${\displaystyle S+\operatorname {rec} S=S}$Sが閉集合かつ凸集合である場合、${\displaystyle \operatorname {rec} S}$閉鎖され、すべての${\displaystyle s_{0}\in S}$、 $${\displaystyle \operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).}$$

定理（ディウドネ）。AとBを、局所凸位相ベクトル空間の空でない閉凸部分集合とする。${\displaystyle \operatorname {rec} A\cap \operatorname {rec} B}$は線形部分空間である。AまたはBが局所コンパクトであれば、A − Bは閉集合 となる。 

C を実空間または複素ベクトル空間内の集合とする。Cは、 C内にx ₀が存在し、 x ₀からC内の任意の点yへの線分がC内に含まれる場合、星型凸集合（星形集合）と呼ばれる。したがって、空でない凸集合は常に星型凸集合であるが、星型凸集合は必ずしも凸集合ではない。

一般化された凸性の例としては、直交凸性がある。^{[ 22 ]}

ユークリッド空間における集合Sは、 S内の2点を結ぶ座標軸に平行な任意の線分がSの内部に完全に含まれる場合、直交凸集合または直交凸集合と呼ばれる。直交凸集合の任意の集合の交わりが直交凸集合であることは容易に証明できる。凸集合の他の性質も同様に成り立つ。

凸集合と凸包の定義は、ユークリッド幾何学以外の幾何学にも自然に拡張され、測地線凸集合とは、集合内の任意の2点を結ぶ測地線を含む集合であると定義される。

凸性は、順序位相を備えた全順序集合Xに拡張することができる。^{[ 23 ]}

Y ⊆ Xとする。部分空間Yは、 Y内の任意の点のペアa、bに対して、 a ≤ bならば区間[ a、b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b }がYに含まれる場合、凸集合である。つまり、Y は、 Y内のすべてのa、bに対して、a ≤ bならば[ a、b ] ⊆ Yとなる場合に限り凸である。

凸集合は一般に連結ではない。反例として、Zの部分空間 {1,2,3} が挙げられる。これは凸集合であると同時に連結ではない。

凸性の概念は、凸性の特定の性質を公理として選択すれば、他の対象にも一般化できる。

集合Xが与えられたとき、X上の凸性とは、次の公理を満たすXの部分集合の集合𝒞のことである。 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 24 ]}

1. 空集合とXは𝒞に含まれます。
2. 𝒞の任意の集合の共通部分は𝒞に含まれます。
3. 𝒞の要素の連鎖(包含関係に関して)の和集合は𝒞に含まれる。

𝒞の要素は凸集合と呼ばれ、ペア( X , 𝒞 )は凸空間と呼ばれます。通常の凸性の場合、最初の 2 つの公理が成り立ち、3 番目の公理は自明です。

抽象的な凸性の別の定義、より離散幾何学に適した定義については、反マトロイドに関連する凸幾何学を参照してください。

凸性は抽象的な代数構造として一般化できる。すなわち、空間が凸であるとは、点の凸結合をとることが可能であることを意味する。