アル・フワーリズミー

左：アル・フワーリズミー著『代数学の書』のアラビア語原本。右：フレデリック・ローゼン著『アル・フワーリズミーの代数学』 （英語訳）の一ページ。

アル＝ジャブル（アラビア語: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala ）は、西暦820年頃に書かれた数学書です。カリフ・アル＝マアムーンの奨励により、計算に関する一般向けの著作として書かれ、貿易、測量、相続法上のさまざまな問題への例と応用が豊富に含まれています。^{[ 55 ]}「代数」という用語は、この本で説明されている方程式の基本演算の1つ（アル＝ジャブル、つまり「復元」を意味し、方程式の両辺に数を加えて項を統合または消去すること）の名前から派生しています。本書は、ロバート・オブ・チェスター（セゴビア、1145年）とジェラール・オブ・クレモナによってラテン語でLiber algebrae et almucabalaとして翻訳され、その語源は「代数学」である。アラビア語の唯一の写本はオックスフォードに所蔵されており、1831年にF.ローゼンによって翻訳された。^{[ 56 ]}ラテン語訳はケンブリッジに所蔵されている。^{[ 57 ]}

この論文では、2次までの多項式方程式の解法について網羅的に解説し、^{[ 58 ]}方程式の反対側に項を移すこと、つまり方程式の反対側の同類項を消去することを指す「簡約」と「均衡」の基本的方法について論じた。^{[ 59 ]}

アル・フワーリズミーの線形方程式と二次方程式の解法は、まず方程式を6つの標準形式（bとcは正の整数）のいずれかに変換することから始まった。

• 平方根は等しい⁽ ax² = bx )
• 平方数は等しい ( ax ² = c )
• 根号が等しい ( bx = c )
• 平方根は等しい数である ( ax ² + bx = c )
• 平方数と数は根号に等しい ( ax ² + c = bx )
• 根号と数は平方数に等しい（bx + c = ax² ^）

平方の係数を割り、アル・ジャブル（アラビア語: الجبر「復元」または「完成」）とアル・ムカバラ（「バランス」）の 2 つの操作を使用することによって。アル・ジャブルは、負の単位、平方根、平方を方程式から取り除くプロセスで、同じ量を両辺に加えます。たとえば、x ² = 40 x  −  4 x ^{2は 5} x ² = 40 xに簡約されます。アル・ムカバラは、同じ種類の量を方程式の同じ側に持ってくるプロセスです。たとえば、x ²  +  14 = x  + 5 はx ² + 9 = x に簡約されます。  

上記の議論では、本書で取り上げられている問題の種類に現代の数学的記法が用いられています。しかし、アル＝フワーリズミーの時代には、これらの記法のほとんどがまだ発明されていなかったため、彼は問題とその解答を提示するために通常のテキストを使用する必要がありました。例えば、ある問題について彼は次のように書いています（1831年の「ローゼン」訳より）^{[ 55 ]}

誰かが「10を2つに分け、一方をそれ自身で掛けると、もう一方を81倍したものと等しくなります」と言ったとします。計算：10を引いたものをそれ自身で掛けると、100プラス1平方マイナス20となり、これは81になります。100と1平方から20を分離し、81に加えます。すると100プラス1平方となり、これは101の平方根に等しくなります。平方根を半分にすると、半分は50.5になります。これをそれ自身で掛けると、2550.25になります。ここから100を引くと、残りは2450.25になります。ここから平方根を抽出すると、49.5になります。平方根の半分である50.5からこれを引くと、残りは1となり、これが2つの部分の1つです。

現代の表記法では、 x を「物」（شيء shayʾ ）または「根」として、このプロセスは、次のステップで表されます。

${\displaystyle (10-x)^{2}=81x}$

${\displaystyle 100+x^{2}-20x=81x}$

${\displaystyle x^{2}+100=101x}$

方程式の根をx = pおよびx = qとする。すると${\displaystyle {\tfrac {p+q}{2}}=50{\tfrac {1}{2}}}$、${\displaystyle pq=100}$そして

${\displaystyle {\frac {pq}{2}}={\sqrt {\left({\frac {p+q}{2}}\right)^{2}-pq}}={\sqrt {2550{\tfrac {1}{4}}-100}}=49{\tfrac {1}{2}}}$

したがって、根は次のように与えられます。

${\displaystyle x=50{\tfrac {1}{2}}-49{\tfrac {1}{2}}=1}$

アブ・ハニーファ・ディーナワリー、アブ・カーミル、アブ・ムハンマド・アル・アドリー、アブ・ユスフ・アル・ミシュフ・アル・ミーシュニ、アブドゥ・アル・ハムイード・イブン・トルコなど、キターブ・アル・ジャブル・ワル・ムカーバラの名前で著作を出版している著者もいる。 、シンド・イブン・アリー、サール・イブン・ビスル、シャラフ・アルディーン・アル・フシー。

ソロモン・ガンズはアル・フワーリズミーを代数学の父と評している。

アル・フワーリズミーの代数学は、諸科学の基礎であり礎石とみなされている。ある意味では、アル・フワーリズミーはディオファントスよりも「代数学の父」と呼ばれるにふさわしい。なぜなら、アル・フワーリズミーは代数学を初歩的な形で教えた最初の人物であり、ディオファントスは主に数の理論に関心を持っていたからである。^{[ 60 ]}

ビクター・J・カッツ氏は次のように付け加えた 。

現存する最初の真の代数学のテキストは、ムハンマド・イブン・ムーサ・アル＝フワーリズミーが825年頃にバグダッドで書いた『アル＝ジャブルとアル＝ムカバラ』である。^{[ 61 ]}

ジョン・J・オコナーとエドモンド・F・ロバートソンは、マックチューター数学史アーカイブに次のように記している。

おそらくアラビア数学における最も重要な進歩の一つは、この時期にアル・フワーリズミーの研究、すなわち代数学の始まりから始まった。この新しい考え方がどれほど重要であったかを理解することが重要である。それは、本質的に幾何学であったギリシャの数学概念からの革命的な転換であった。代数学は、有理数、無理数、幾何学的量などをすべて「代数的対象」として扱うことを可能にする統一理論であった。それは数学に、それまで存在していた概念よりもはるかに広い全く新しい発展の道を与え、この分野の将来の発展のための手段を提供した。代数学の概念の導入のもう一つの重要な側面は、それまでなかった方法で数学をそれ自身に適用することを可能にしたことである。^{[ 62 ]}

ロシュディ・ラシェッドとアンジェラ・アームストロングは次のように書いています。

アル・フワーリズミーのテキストは、バビロニアの粘土板だけでなく、ディオファントスの『算術』とも異なっていることがわかる。もはや一連の問題を解くことに関するものではなく、基本的な用語から始まる解説であり、その組み合わせによって方程式のあらゆる可能な原型が得られ、それがそれ以降、研究の真の対象を明確に構成する。一方、方程式そのもののための方程式という考え方は最初から現れており、問題を解く過程で単に現れるのではなく、無限のクラスの問題を定義するために具体的に求められるという意味で、一般的な方法で現れると言える。^{[ 63 ]}

スイス系アメリカ人の数学史家フロリアン・カジョリによれば、アル・フワーリズミーの代数学はインドの数学者の業績とは異なっていた。なぜなら、インドには復元や還元のような規則がなかったからである。^{[ 64 ]}アル・フワーリズミーの代数学の業績とインドの数学者ブラフマグプタの業績との相違点と重要性について、カール・B・ボイヤーは次のように書いている。

確かに、アル＝フワーリズミーの著作は、2つの点でディオファントスの著作から後退していると言える。第一に、ディオファントスの問題に見られるものよりもはるかに初歩的なレベルであり、第二に、アル＝フワーリズミーの代数学は徹底的に修辞的で、ギリシャの算術やブラフマグプタの著作に見られるようなシンコペーションは全くない。偶数も記号ではなく言葉で書かれているのだ！アル＝フワーリズミーがディオファントスの著作を知っていた可能性は極めて低いが、ブラフマグプタの著作の天文学的および計算的な部分には少なくとも精通していたに違いない。しかし、アル＝フワーリズミーも他のアラビアの学者も、シンコペーションや負の数を用いることはなかった。それにもかかわらず、アル・ジャブルは、ディオファントスやブラフマグプタの著作よりも現代の初等代数学に近い。なぜなら、この書物は不定式解析の難問ではなく、方程式、特に2次方程式の解法を簡潔かつ初歩的に解説しているからである。アラブ人は一般的に、前提から結論までの明快な議論と体系的な構成を好んだが、この点ではディオファントスもヒンドゥー教徒も優れていなかった。^{[ 65 ]}

アル＝フワーリズミーの2番目に影響力のある著作は算術に関するもので、ラテン語訳は残っているものの、アラビア語の原文は失われている。彼の著作には、kitāb al-ḥisāb al-hindī（「インドの計算の書」^{[注2 ]}）や、おそらくより初歩的なkitab al-jam' wa'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī（「インドの算術における加算と減算」）などがある。^{[ 67 ] [ 68 ]}これらのテキストでは、ダストボード上で実行できる十進数（ヒンドゥー・アラビア数字）のアルゴリズムが説明されている。アラビア語でタクト（ラテン語：タブラ）と呼ばれる、薄い砂や塵で覆われたボードが計算に使用され、スタイラスで数字を書き込むことができ、必要に応じて簡単に消したり書き直したりできた。アル・フワーリズミーのアルゴリズムは、ペンと紙で実行できるアル・ウクリーディーシーのアルゴリズムに取って代わられるまで、ほぼ3世紀にわたって使用されました。 ^{[ 69 ]}

12世紀にアラビアの科学が翻訳を通じてヨーロッパに流入した波の一部として、これらの文献はヨーロッパで革命的なものとなった。^{[ 70 ]} アル・フワーリズミーのラテン語化された名前であるAlgorismus は、計算に使用される方法の名前となり、「アルゴリズム」という用語に残っている。それは徐々にヨーロッパで使用されていたそろばんに基づく方法に取って代わった。^{[ 71 ]}

アル・フワーリズミーの方法を応用したラテン語のテキストが4つ現存しているが、それらのどれもが逐語訳であるとは考えられていない。^{[ 67 ]}

• Dixit Algorizmi (1857 年にAlgoritmi de Numero Indorumというタイトルで出版^{[ 72 ]} ) ^{[ 73 ]}
• Liber Alchoarismi de Practica Arismetice
• リベル・イサゴガルム・アルコリズミ
• リベル・パルヴェリス

「アル＝フワーリズミーはこう語った」は、ケンブリッジ大学図書館所蔵の写本の冒頭の一節で、一般的には1857年のタイトル「Algoritmi de Numero Indorum 」で知られています。これは、 1126年に天文表を翻訳したバースのアデラールに帰属されています。おそらくアル＝フワーリズミー自身の著作に最も近いものでしょう。^{[ 73 ]}

アル・フワーリズミーの算術に関する研究は、インド数学で発展したヒンドゥー・アラビア数字体系に基づくアラビア数字を西洋世界に紹介するきっかけとなった。 「アルゴリズム」という用語は、アル・フワーリズミーが開発したヒンドゥー・アラビア数字を用いた算術の手法である「アルゴリズム」に由来する。 「アルゴリズム」と「アルゴリズム」はどちらも、アル・フワーリズミーの名前のラテン語形であるAlgoritmiとAlgorismiに由来する。^{[ 74 ]}

アル＝フワーリズミーの『ジージ・アッ＝シンドヒンド』^{[ 40 ]}（アラビア語: زيج السند هند、「シッダーンタの天文表」^{[ 75 ]}）は、暦と天文学の計算に関する約37章と、暦、天文学、占星術のデータを含む116の表、および正弦値の表からなる作品である。これは、シンドヒンドとして知られるインドの天文学的方法に基づいた多くのアラビア語のジージの最初のものである。^{[ 76 ]} シンドヒンドという言葉は、サンスクリット語のシッダーンタが訛ったもので、これは天文学の教科書の一般的な名称である。実際、アル・フワーリズミーの表にある平均運動は、ブラフマグプタの「修正ブラフマシッダーンタ」（ブラフマスプタシッダーンタ）にあるものから派生したものである。^{[ 77 ]}

この著作には、太陽、月、そして当時知られていた5つの惑星の運行表が収められている。この著作は、イスラム天文学における転換点となった。それまで、イスラム世界の天文学者たちは、主に他者の著作を翻訳したり、既に発見された知識を習得したりするなど、研究的なアプローチで天文学に取り組んできたのである。

オリジナルのアラビア語版（紀元820年頃執筆）は失われているが、スペインの天文学者マスラマ・アル＝マジュリティ（紀元1000年頃）によるラテン語訳が残っており、おそらくバースのアデラール（1126年1月26日）によるものと思われる。^{[ 78 ]}ラテン語訳の現存する4つの写本は、シャルトルの公立図書館、パリのマザリーヌ図書館、マドリードの国立図書館、オックスフォードのボドリアン図書館に所蔵されている。

アル・フワーリズミーの天文学への貢献は、実践的かつ理論的であり、彼の時代の天文学現象の理解と応用方法に影響を与えた。彼の綿密な方法論的アプローチとこの分野における科学的発展は、現代天文学に直接的な影響を与えた。「アル・フワーリズミーの天文表、通称ジージは、後世の天文学者にとって不可欠なツールとなった。これらの表は、日食や天体の位置など、航海や時刻の計測に不可欠な天文現象を予測するための正確な計算を可能にした。」^{[ 79 ]}

アル＝フワーリズミーの『ズィージュ・アッ＝シンドヒンド』には、正弦と余弦の三角関数の表が含まれていた。^{[ 76 ]}球面三角法に関する関連論文も彼に帰せられている。^{[ 62 ]}

アル・フワーリズミーは正確な正弦表と余弦表を作成した。^{[ 80 ] [ 81 ]}

アル＝フワーリズミーの3番目の主要な著作は、833年に完成した『キターブ・スーラト・アル＝アルド』 （アラビア語: كتاب صورة الأرض、「地球の記述の書」）^{[ 82 ]} 、別名『地理学』である。これは、 2世紀のプトレマイオスの『地理学』を大幅に改訂したもので、一般的な序論に続いて、都市やその他の地理的特徴の2402の座標のリストで構成されている。^{[ 83 ]}

現存するKitāb Ṣūrat al-Arḍの写本は 1 冊のみで、ストラスブール大学図書館に所蔵されている。^{[ 84 ] [ 85 ]}ラテン語訳はマドリードのスペイン国立図書館にある。^{[ 86 ]}本書は緯度と経度の一覧から始まり、「気候帯」の順、つまり緯度のブロックごとに、そして各気候帯内では経度の順に並べられている。ポール・ガレズが指摘するように、このシステムにより、現存する唯一の文書の状態が悪く、事実上判読不能な場合でも、多くの緯度と経度を推測することができる。アラビア語の写本にもラテン語訳にも世界地図は含まれていないが、ヒューバート・ダウニヒトは座標のリストから欠落した地図を復元することができた。ダウニヒトは写本に記された海岸地点の緯度と経度を読み取り、判読できない場合は文脈から推測した。彼はそれらの地点を方眼紙に写し取り、直線で結んで、元の地図に描かれていた海岸線を近似的に再現した。彼は河川や町についても同様の作業を行った。^{[ 87 ]}

アル・フワーリズミーは、プトレマイオスがカナリア諸島から地中海の東岸まで地中海の長さを過大評価していたことを訂正した^{[ 88 ]} 。プトレマイオスはそれを経度63度と過大評価していたが、アル・フワーリズミーはそれを経度約50度とほぼ正確に推定した。彼は「大西洋とインド洋を、プトレマイオスがしたような内陸の海ではなく、開けた水域として描いた」 ^{[ 89 ]} 。そのため、アル・フワーリズミーの幸運諸島における本初子午線は、マリヌスとプトレマイオスが使用した線より東に約10度ずれていた。中世のイスラム教徒の地誌のほとんどは、アル・フワーリズミーの本初子午線を使い続けた^{[ 88 ] 。}

アル＝フワーリズミーは、ヘブライ暦に関する論文『リサーラ・フィ・イスティクラージュ・タアリーフ・アル＝ヤフード』（アラビア語: رسالة في إستخراج تأريخ اليهود、「ユダヤ暦の抽出」）を含む、他のいくつかの著作を著した。この論文では、19年周期のメトン周期、ティシュリー月の最初の日が何曜日に当たるかを決定する規則、アンノ・ムンディ（ユダヤ暦）とセレウコス朝の紀元との間隔の計算、ヘブライ暦を用いて太陽と月の平均経度を決定する規則について説明している。同様の内容は、アル＝ビールーニーとマイモニデスの著作にも見られる。^{[ 40 ]}

イブン・アル＝ナディームのアラビア語書籍索引『アル＝フィフリスト』には、アル＝フワーリズミーの年代記『キターブ・アル＝タアリーフ』 （アラビア語：كتاب التأريخ ）が言及されている。直接の写本は現存しないが、 11世紀までにヌサイビンに写本が伝わり、そこで大司教マル・エリアス・バル・シナヤが発見した。エリアスの年代記は「預言者の死」からヒジュラ暦169年までを引用しているが、その時点でエリアスのテキスト自体に欠落が生じる。^{[ 90 ]}

ベルリン、イスタンブール、タシュケント、カイロ、パリにあるいくつかのアラビア語写本には、アル＝フワーリズミーに由来する、あるいは少なくとも可能性の高い資料がさらに含まれている。イスタンブールの写本には日時計に関する論文が含まれており、フィフリストはアル＝フワーリズミーの著作として『キターブ・アル＝ルハーマ（アラビア語: كتاب الرخامة』を挙げている。メッカの方向の決定に関する論文など、他の論文は球面天文学に関するものである。

朝の広さに関する2つの文献（Ma'rifat sa'at al-mashriq fī kull balad ）と、高さからの方位角の決定に関する文献（Ma'rifat al-samt min qibal al-irtifā'）は特に注目に値する。彼はアストロラーベの使用法と製作法に関する2冊の本を著した。