コーシー列

もし${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$は集合内のシーケンスです${\displaystyle X,}$すると、数列のコーシー収束係数は関数となる。${\displaystyle \alpha }$自然数の集合からそれ自身への変換で、すべての自然数に対して${\displaystyle k}$および自然数${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

コーシー収束の法則を持つ任意の数列はコーシー数列である。コーシー数列の法則の存在は、自然数の整列性（とする）から導かれる。${\displaystyle \alpha (k)}$可能な限り最小であること${\displaystyle N}$コーシー列の定義において、${\displaystyle \varepsilon }$である${\displaystyle 1/k}$) モジュラスの存在は可算選択の原理からも導かれる。正則コーシー列は、与えられたコーシー収束モジュラス（通常、${\displaystyle \alpha (k)=k}$または${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$) コーシー収束のモジュラスを持つ任意のコーシー列は、正則コーシー列と同等である。これは、選択公理のいかなる形式も使用せずに証明できる。

コーシー収束の法則は、選択法を用いたくない構成的数学者によって用いられる。コーシー収束の法則を用いることで、構成的解析における定義と定理の両方を簡略化できる。正則コーシー列は、ビショップ（2012）とブリッジズ（1997）によって構成的数学の教科書で用いられた。

実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の絶対値によって誘導される距離に関して完全であり、実数の標準的な構成の 1 つは有理数のコーシー列です。この構成では、特定の末尾挙動を持つ有理数のコーシー列の各同値類、つまり互いに任意に近づく列の各クラスは実数です。

やや異なる例として、離散距離（異なる2点間の距離が1となる）を持つ距離空間Xが挙げられる。Xの要素のコーシー列は、ある固定点を超えると一定となり、最終的には循環項に収束する。

有理数​${\displaystyle \mathbb {Q} }$完全ではない（通常の距離の場合）： 収束する有理数列が存在する（${\displaystyle \mathbb {R} }$）から無理数へ。これらは、限界のないコーシー数列である。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$実際、実数x が無理数である場合、数列 ( x _n ) は、そのn番目の項がxの小数展開をn桁に切り捨てたものであり、無理数の極限xを持つ有理数のコーシー列を与えます。無理数は確かに存在します。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$例えば：

• 定義されるシーケンス${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$定義から明らかなように、有理数 (1、3/2、17/12、...) から構成されますが、無理数である平方根 2に収束します。平方根を計算するバビロニアの方法を参照してください。
• シーケンス${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$連続するフィボナッチ数の比率であり、収束する場合、ある極限値に収束する。${\displaystyle \phi }$満足${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$そして、有理数はこの性質を持たない。しかし、これを実数列とみなすと、実数に収束する。${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$黄金比は、非有理数である。
• 指数関数、正弦関数、余弦関数の exp( x )、sin( x )、cos( x )の値は、任意の有理数に対して無理数であることが知られています。${\displaystyle x\neq 0,}$しかし、それぞれは、例えばマクローリン級数を用いて、有理コーシー列の極限として定義することができる。

完了ターン${\displaystyle \mathbb {Q} }$の中へ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

オープンインターバル${\displaystyle (0,2)}$通常の距離を持つ実数の集合において${\displaystyle \mathbb {R} }$完全な空間ではない。${\displaystyle x_{n}=1/n}$その中にはコーシー（任意の小さな距離境界の場合）がある${\displaystyle d>0}$すべての条件${\displaystyle x_{n}}$の${\displaystyle n>1/d}$に合う${\displaystyle (0,d)}$ただし、区間では収束しません。${\displaystyle X}$—その「限界」である0は空間に属しません${\displaystyle X.}$

完了すると、開いた区間が${\displaystyle (0,2)}$閉区間へ${\displaystyle [0,2].}$

• 収束する数列 (極限sを持つ) はすべてコーシー列である。なぜなら、任意の実数が与えられたとき、${\displaystyle \varepsilon >0,}$ある固定点を超えると、数列のすべての項は距離内に収まる。${\displaystyle \varepsilon /2}$sの、したがって数列の任意の 2 つの項は距離内に収まる${\displaystyle \varepsilon }$お互いについて。
• 任意の距離空間において、コーシー列${\displaystyle x_{n}}$は有界である（あるNに対して、数列のN番目以降のすべての項は互いに距離 1 以内であり、M が最大距離である場合、${\displaystyle x_{N}}$そして、 N番目までの項は、数列のどの項も距離が以下より大きくない。${\displaystyle M+1}$から${\displaystyle x_{N}}$)
• 任意の距離空間において、収束部分列が極限sを持つコーシー列は、それ自体も収束します (同じ極限で)。なぜなら、任意の実数r > 0 に対して、元の数列のある固定点を超えると、部分列のすべての項はsからr /2 の距離内にあり、元の数列の任意の 2 つの項は互いにr /2 の距離内にあるため、元の数列のすべての項はsからrの距離内にあるからです。

これら最後の 2 つの性質は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と合わせて、実数の完備性の標準的な証明を 1 つ与え、これはボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの定理の両方に密接に関連しています。実数のコーシー列はすべて有界であるため、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により収束する部分列を持ち、したがってそれ自体も収束します。この実数の完備性の証明は、暗黙のうちに最小上界公理を利用しています。上記で述べた、実数を有理数の完備化として構成する別のアプローチでは、実数の完備性がトートロジーになります。

コーシー列を扱い、完全性を利用できることの利点を示す標準的な例の一つは、実数の無限級数（あるいはより一般的には、任意の完全ノルム線形空間、またはバナッハ空間の要素）の総和を考えることによって得られます。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$部分和の列が収束するのは、部分和の列が収束する場合に限る。${\displaystyle (s_{m})}$収束する、 ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$部分和の列がコーシー列であるかどうかを判断するのは、正の整数に対して、${\displaystyle p>q,}$$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

もし${\displaystyle f:M\to N}$は距離空間MとNの間の一様連続写像であり、( x _n ) はMのコーシー列である。${\displaystyle (f(x_{n}))}$はNにおけるコーシー列である。${\displaystyle (x_{n})}$そして${\displaystyle (y_{n})}$有理数、実数、または複素数における 2 つのコーシー数列である場合、その和は${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$そしてその製品は${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$これらもコーシー列である。

位相ベクトル空間にもコーシー列の概念が存在する。${\displaystyle X}$:地元の拠点を選択してください${\displaystyle B}$のために${\displaystyle X}$約0; すると（${\displaystyle x_{k}}$) は、各要素に対して がコーシー列である場合にコーシー列である。${\displaystyle V\in B,}$数がある${\displaystyle N}$いつでも ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$は${\displaystyle V.}$トポロジーが${\displaystyle X}$並進不変な計量と互換性がある${\displaystyle d,}$二つの定義は一致している。

位相ベクトル空間におけるコーシー列の定義は、連続的な「減算」演算が存在することのみを必要とするため、位相群の文脈で次のように述べることもできます。${\displaystyle (x_{k})}$位相群において${\displaystyle G}$がコーシー列であるのは、すべての開近傍に対して${\displaystyle U}$アイデンティティの​${\displaystyle G}$ある数が存在する${\displaystyle N}$いつでも${\displaystyle m,n>N}$したがって、${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$上記のように、アイデンティティのローカルベースの近隣地域についてこれをチェックすれば十分です。${\displaystyle G.}$

距離空間の完備化の構成と同様に、コーシー列上の二項関係をさらに定義することができる。${\displaystyle G}$それ${\displaystyle (x_{k})}$そして${\displaystyle (y_{k})}$すべてのオープン近隣に対して、${\displaystyle U}$アイデンティティの${\displaystyle G}$ある数が存在する${\displaystyle N}$いつでも${\displaystyle m,n>N}$したがって、${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$この関係は同値関係です。数列がコーシー列であるため、反射的です。対称的であるため、${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$これは逆の連続性により、恒等写像の別の開近傍である。推移的であるため${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$どこ${\displaystyle U'}$そして${\displaystyle U''}$は、次のようなアイデンティティの開いた近傍である。${\displaystyle U'U''\subseteq U}$;このようなペアは、群演算の連続性によって存在する。

群の中にもコーシー列の概念がある。${\displaystyle G}$： させて${\displaystyle H=(H_{r})}$正規サブグループの減少シーケンスである${\displaystyle G}$有限インデックスの。すると数列${\displaystyle (x_{n})}$で${\displaystyle G}$はコーシーであると言われている（${\displaystyle H}$) 任意の${\displaystyle r}$がある${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

技術的には、これは特定の位相の選択に対する位相群コーシー列と同じものです。${\displaystyle G,}$すなわち、${\displaystyle H}$地元の拠点です。

セット${\displaystyle C}$このようなコーシー列の集合は（成分ごとの積に対して）群を形成し、${\displaystyle C_{0}}$ヌルシーケンス（次のようなシーケンス）${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$) は、${\displaystyle C.}$因子群${\displaystyle C/C_{0}}$完成と呼ばれる${\displaystyle G}$に関して${\displaystyle H.}$

すると、この完備化は数列の逆極限と同型であることが示される。${\displaystyle (G/H_{r}).}$

数論や代数幾何学でよく知られているこの構成の例として、${\displaystyle p}$素数に関する整数の-進完備化${\displaystyle p.}$この場合、${\displaystyle G}$は加算の対象となる整数であり、${\displaystyle H_{r}}$ は、整数倍からなる加法部分群である。${\displaystyle p_{r}.}$

もし${\displaystyle H}$は共終列である（つまり、有限指数の任意の正規部分群には、${\displaystyle H_{r}}$) の場合、この完備化は、の逆極限と同型であるという意味で正準である。${\displaystyle (G/H)_{H},}$どこ${\displaystyle H}$有限指数を持つすべての正規部分群で変化する。詳細については、Lang著『代数学』第1章10節を参照のこと。

実数列${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$通常の自然数nに加えて、指数nの超自然数Hに対して定義される自然な超実数拡張が存在する。数列がコーシー数列であるのは、任意の無限HおよびKに対して、値が${\displaystyle u_{H}}$そして${\displaystyle u_{K}}$無限に近い、または等しい、つまり、

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

ここで「st」は標準部品関数です。

Krause (2020)は、あるカテゴリーのコーシー完備化の概念を導入した。${\displaystyle \mathbb {Q} }$（対象が有理数である圏であり、 xからyへの射が存在するのは、${\displaystyle x\leq y}$このコーシー完備化により、${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$（ここでも、自然な順序付けを用いてカテゴリーとして解釈される。）