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数学と物理学の関係は、古代から哲学者、数学者、物理学者の研究対象であり、最近では歴史家や教育者も研究対象としています。[2]一般的に非常に密接な関係であると考えられており、[3]数学は「物理学に不可欠なツール」[4]と表現され、物理学は「数学におけるインスピレーションと洞察の豊かな源」[5]と表現されています。最も古く、最も議論されているテーマのいくつかは、2つの科目の主な違い、相互の影響、物理学における数学的厳密さの役割、物理学における数学の有効性を説明する問題に関するものです。
アリストテレスは著書『物理学』の中で、数学者が行う研究が物理学者が行う研究とどう違うかというテーマを扱っている。 [6]数学が自然の言語であるという考え方は、ピタゴラス学派の考えに見ることができる。「数字が世界を支配する」や「すべては数である」という信念だ。[7] [8]そして2千年後にはガリレオ・ガリレイも「自然の書は数学の言語で書かれている」と表現した。[9] [10]
歴史の相互作用
球の体積の公式を数学的に証明する前に、アルキメデスは物理的な推論を使って解を発見した（天秤の上で物体がバランスをとっている様子を想像する）。[11]アリストテレスは物理学と数学を理論科学に分類し、倫理学や政治学などの実用科学や医学や植物学などの生産科学とは対照的とした。[12]
17世紀以降、数学における最も重要な進歩の多くは物理学の研究に動機づけられたように見え、これは次の世紀にも続いた（ただし、19世紀には数学は物理学からますます独立し始めた）。[13] [14]微積分の創造と発展は物理学の必要性と強く結びついていた。[15]ガリレオ・ガリレイやアイザック・ニュートンなどの学者の研究から生じた新しい力学を扱うための新しい数学言語が必要だった。[16]微分の概念が必要だったが、ニュートンは現代の極限の概念を持っておらず、代わりに当時厳密な基礎を欠いていた無限小を採用した。 [17]この期間中、物理学と数学の間にはほとんど区別がなかった。[18]たとえば、ニュートンは幾何学を力学の一分野と見なしていた。[19]
カール・フリードリヒ・ガウス、ヤーノシュ・ボヤイ、ニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマンによって定式化された非ユークリッド幾何学は、物理学を単一のユークリッド幾何学の制限から解放した。[20]リーマン幾何学と呼ばれる非ユークリッド幾何学のバージョンは、重力の物理的なアイデアを当てはめる重要な数学的枠組みを提供することで、アインシュタインが一般相対性理論を開発することを可能にした。 [21]
19世紀、オーギュスト・コントは科学の階層構造において、物理学と天文学は数学よりも一般性が低く複雑であると位置付けた。なぜなら、両者とも数学に依存しているからである。[22] 1900年、ダヴィド・ヒルベルトは『数理科学の進歩のための23の課題』の中で、物理学の公理化を6番目の課題とみなした。この問題は未解決のままである。[23]
1930年、ポール・ディラックは積分に使用したときに単一の値を生成するディラックのデルタ関数を発明しました。この関数の数学的厳密さは、数学者ローラン・シュワルツが超関数の理論を展開するまで疑問視されていました。[24]
2つの分野のつながりは、時には類似の概念を異なる名前で識別するだけで済むこともあり、1975年のWu-Yang辞書[25]ではゲージ理論の概念と微分幾何学の概念が関連づけられている[ 26] 。332
物理学は数学ではない
数学と物理学は密接な関係にあるが、同義語ではない。数学では、対象を正確に定義し、論理的に関連付けることができるが、対象は実験測定と関係している必要はない。物理学では、定義は抽象化または理想化であり、自然界と比較した場合の適切な近似である。1960年に、ゲオルク・ラッシュは、ニュートンの法則でさえも真実ではないモデルがあると指摘し、モデルは真実ではなく、特定の目的への適用性に基づいて評価されるべきであると強調した。 [要出典]たとえば、ニュートンは観察に基づいて第二運動法則などの定義を中心に物理モデルを構築し、微積分学と非常に正確な惑星力学の発展につながったが、後にこの定義は改良された力学モデルに取って代わられた。[27]数学は、特性が確実に知ることができる実体を扱います。[28]デイヴィッド・ヒュームによれば、数学で遭遇するようなアイデアそのものだけを扱う陳述だけが確実に真であると証明でき、現実世界の経験に関する結論は「蓋然的推論」によってのみ得られる。[29]これは、アルバート・アインシュタインが「どれだけ実験しても私が正しいと証明することはできないが、一度の実験で私が間違っていると証明できる」と述べた状況につながる。 [30]純粋数学の研究における究極の目標は厳密な証明であるが、物理学では最先端の研究では発見的議論で十分な場合がある。 [31]つまり、物理学者と数学者の方法と目標は異なる。[32]それにもかかわらず、ローランド・オムネスによれば、数学の公理は単なる慣習ではなく、物理的な起源を持っている。[33]
物理学における厳密さの役割
純粋数学では厳密さが不可欠です。[34]しかし、物理学の文献に見られる多くの定義や議論には、数学の厳密さの基準に達していない概念やアイデアが含まれています。[31] [35] [36] [37]
例えば、 フリーマン・ダイソンは量子場理論には2つの「面」があると特徴づけた。外面は自然を見つめ、そこで量子場理論の予測は例外的に成功する。内面は数学的基礎を見つめ、矛盾と謎を発見する。物理理論の成功は、厳密な数学的裏付けが欠けているにもかかわらずもたらされる。[38] : ix [39] : 2
哲学的問題
数学の哲学で考慮される問題のいくつかは次のとおりです。
- 物理世界の研究における数学の有効性を説明する。「この時点で、あらゆる時代において探究心をかき立ててきた謎が浮かび上がる。結局のところ、経験とは無関係な人間の思考の産物である数学が、現実の対象にこれほど見事に適しているのはなぜだろうか？」—アルバート・アインシュタイン、 『幾何学と経験』（1921年）より。[40]
- 数学と物理学を明確に区別する：いくつかの結果や発見については、それが数学の領域に属するのか物理学の領域に属するのかを区別することが難しい。[41]
- 物理空間の幾何学とは何か？[42]
- 数学の公理の起源は何ですか？[43]
- 既存の数学は物理理論の創造と発展にどのような影響を与えるのでしょうか？[44]
- 算術は分析的か総合的か？（カントより、分析的・総合的区別を参照）[45]
- 結果を見るために物理的な実験を行うことと、結果を見るために数学的な計算を行うことの本質的な違いは何でしょうか？（チューリングとウィトゲンシュタインの論争より）[46]
- ゲーデルの不完全性定理は物理理論が常に不完全であることを意味するのか？（スティーブン・ホーキングより）[47] [48]
- 数学は発明されたものか、それとも発見されたものか？（マリオ・リヴィオらが提起した数千年前の疑問）[49]
教育
近年、物理学と数学の間には多くの相互関係があるにもかかわらず、この2つの分野は別々に教えられることがほとんどである。[50]このため、数学教育にも関心を持つフェリックス・クライン、リチャード・クーラント、ウラジミール・アーノルド、モリス・クラインなどの数学専門の数学者は、物理科学にもっと密接に関連した方法で数学を教えることを強く主張するようになった。 [51] [52]物理学者と数学者の「考え方」の違いや、その後の物理学の授業でどのように使用されるかにもかかわらず、大学の物理学の学生のための数学の初期コースは数学者によって教えられることが多い。[53]
参照
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さらに読む
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外部リンク
- グレゴリー W. ムーア – 物理数学と未来 (2014 年 7 月 4 日)
- IOP 物理学研究所 – 数理物理学とは何か、なぜ必要なのか? (2014 年 9 月)
- ファインマンがYouTubeで公開されているビデオで数学と物理学の違いを説明している