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「自然科学における数学の不合理な有効性」は、物理学者ユージン・ウィグナーがニューヨーク大学で行った1959年のリチャード・クーラント数学科学講演のタイトルであり、1960年に『Communication in Pure and Applied Mathematics』に掲載された。 [ 1 ]この講演でウィグナーは、物理学とは独立して開発・研究されてきた純粋数学の概念は、しばしば数学者が「独創性と形式美の感覚」を示すために行われるが、[ 2 ]それにもかかわらず、物理学に応用されることが多いと指摘している。理論物理学の数学的構造は、その理論のさらなる進歩への道筋を示し、自然を記述する上で経験的な予測力を持つことが多い。アルバート・アインシュタインと哲学者アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、以前は物理科学における抽象数学の成功は説明を必要とする謎だと考えていたが、ウィグナーの講演は、この問題の古典的な表明となった。[ 3 ]
ウィグナーは、数学的概念は、それが最初に開発された文脈をはるかに超えた適用性を持つと主張している。彼は次のように書いている。「物理学者のしばしば粗雑な経験を数学的に定式化することで、驚くほど多くの事例において、広範な現象の驚くほど正確な記述が得られることを指摘しておくことが重要である。」[ 4 ]彼はさらに、300年前にガリレオが適切に述べた「自然の法則は数学の言語で書かれている」という観察は、「今やこれまで以上に真実味を帯びている」と付け加えている。
ウィグナーが最初に挙げた例は、アイザック・ニュートンが定式化した万有引力の法則である。もともとは地球表面上の自由落下物体をモデル化するために用いられたこの法則は、ウィグナーが「非常に乏しい観測」と呼ぶもの[ 4 ]に基づいて惑星の運動を記述するように拡張され、「あらゆる合理的な期待を超えて正確であることが証明された」[ 5 ] 。ウィグナーは、「ニュートンは、地球上で投げられた石の軌道の放物線と、空における月の軌道の円が、同じ数学的対象である楕円の特殊なケースであることに気づき、当時としては非常に近似的な単一の数値的一致に基づいて万有引力の法則を仮定した」と述べている。
ウィグナーの2番目の例は量子力学から来ています。マックス・ボルンは、「ハイゼンベルクが示した計算規則の一部が、数学者たちがずっと以前に確立した行列を用いた計算規則と形式的に同一であることに気づいた。ボルン、ジョルダン、ハイゼンベルクは、古典力学の方程式の位置変数と運動量変数を行列に置き換えることを提案した。彼らは行列力学の規則をいくつかの非常に理想化された問題に適用し、結果は非常に満足のいくものであった。しかし、当時、彼らの行列力学がより現実的な条件下で正しいことが証明されるという合理的な証拠はなかった。」しかし、ヴォルフガング・パウリは、彼らの研究が水素原子を正確に記述していることを発見した。 「この適用により、経験と一致する結果が得られた。」電子を2つ持つヘリウム原子はより複雑だが、「それでも、数か月前にコーネル大学の木下氏と標準局のバズリー氏が行ったヘリウムの最低エネルギー準位の計算は、1000万分の1という観測精度内で実験データと一致している。確かにこの場合、我々は方程式に入力していない何かを『得た』のだ」。より重い元素の原子スペクトルについても同じことが言える。
ウィグナーの最後の例は量子電磁力学から引用されている。「ニュートンの万有引力の法則は経験と明白な関連性を持っていたのに対し、経験が行列力学の定式化に取り入れられたのは、ハイゼンベルクの定式化という洗練された、あるいは昇華された形においてのみであった。ベーテが構想し、シュウィンガーが確立したラムシフトの量子論は純粋に数学的な理論であり、実験の唯一の直接的な貢献は、測定可能な効果の存在を示すことであった。計算との一致は千分の一以下である。」
ウィグナーが挙げた例以外にも、例は数多く存在する。よく引用されるもう一つの例は、19世紀半ばに知られていた基本的な電気的・磁気的現象をモデル化するために導出されたマクスウェル方程式である。この方程式は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの死後間もない1879年にデイヴィッド・エドワード・ヒューズによって発見された電波も記述している。また、アインシュタインの一般相対性理論も忘れてはならない。この理論は、ガウス、リーマン、クリストッフェル、リッチ＝クルバストロ、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタといった偉大な数学者たちによるテンソル解析の発展なくしては成立しなかっただろう。
論文に対する反応は以下のとおりです。
数学者でありチューリング賞受賞者でもあるリチャード・ハミングは、1980年にウィグナーの「不合理な有効性」について考察し、それを拡張した。彼はそれに対する4つの「部分的な説明」について議論し[ 6 ]、それらは不十分であると結論付けた。それらは以下の通りである。
1.人間は自分が探しているものを見る。科学は実験に基づいているという考えは、部分的にしか正しくない。ハミングは、物理的現実の本質的な性質からではなく、用いられた数学的手法から生じたと考える、非自明な物理現象の例を4つ挙げている。
落下する物体が二つに割れたとしましょう。もちろん、二つの破片はすぐにそれぞれの速度まで減速します。しかし、さらに、一方の破片がもう一方の破片に接触したとしましょう。今度はそれらは一つの物体となり、両方とも加速するのでしょうか？二つの破片を一緒に縛るとしましょう。それらを一つの物体にするには、どれくらいきつく縛らなければならないのでしょうか？軽い糸？ロープ？接着剤？二つの破片が一つになるのはいつでしょうか？[ 14 ]
2.人間は状況に合った数学を作り出し、選択する。手持ちの数学が常にうまくいくとは限らない。例えば、単なるスカラーでは力を理解するのが難しいことが判明したとき、まずベクトルが、次にテンソルが発明された。
3．数学は人間の経験のごく一部しか扱っていない。人間の経験の多くは科学や数学の範疇ではなく、倫理学、美学、政治哲学といった価値哲学の範疇に属する。世界を数学で説明できると主張することは、信仰行為に等しい。
4.進化によって、人間は数学的に考える能力を身につけてきた。初期の生命体には、人間が複雑な論理的思考の連鎖を作り出し、それに従う能力の萌芽がすでに存在していたに違いない。
物理学者マックス・テグマークは、数学が外部の物理的現実を記述するのに有効であるのは、物理世界が抽象的な数学的構造だからだと主張した。[ 9 ] [ 17 ]この理論は「数学的宇宙仮説」と呼ばれ、ピーター・アトキンスが以前に提唱した考えを反映している。[ 18 ]しかし、テグマークは「もし存在するならば、我々の世界と同型な真の数学的構造はまだ見つかっていない」と明言している。むしろ、物理学における数学理論が成功しているのは、より複雑で予測力のある数学を近似しているからである。テグマークによれば、「我々の成功した理論は、物理学を近似する数学ではなく、より複雑な数学を近似する単純な数学である」。
アイヴァー・グラッタン＝ギネスは、問題となっている有効性は類推、一般化、比喩といった概念で極めて合理的かつ説明可能であると結論づけた。彼は、ウィグナーが「数学における自然科学の有効性、すなわち多くの数学が科学における解釈によって動機づけられてきたという事実」をほとんど無視していると強調している。[ 10 ]
マイケル・アティヤはエッセイ「数学における物理学の不合理な有効性」で立場を逆転させた。彼は、物理学のツールボックスによって、エドワード・ウィッテンのような実践者が標準的な数学、特に4次元多様体の幾何学を超越できると主張した。物理学者のツールとして、量子場理論、特殊相対性理論、非可換ゲージ理論、スピン、カイラリティ、超対称性、電磁双対性などが挙げられる。[ 19 ]
ドイツの学者モーリッツ・ドロビッシュは、ほとんどの科学の「数学的基礎」を崇拝していたことで知られており、それによって学生は「目的論的な整合性に畏敬の念を抱き」、「目的を徐々に理解していく超人的な秩序ある知恵を認識する」ことができるようになる、と述べている。[ 20 ]また、天文学については、 [ 21 ]次のように述べている。
天体が軌道を描く調和のとれた秩序、永遠に変わらない規則性は、私たちの内なる深い響きの弦に触れ、偶然の死んだメカニズムが目の前で展開するのをただ見守るのではなく、至高の賢者の概念へと私たちを高めてくれる。[ 22 ]
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