代数式

数学において、代数式とは、定数（通常は代数的数）、変数、および基本的な代数演算（加算（+）、減算（−）、乗算（×）、除算（÷）、整数乗、平方根（分数乗））から 構成される式であり、= や < などの関係記号は含まれません。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}例えば、${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$は代数式です。平方根を取ることは 1/2乗することと同じなので、次の式も代数式です。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$$

代数方程式とは、多項式を含む方程式であり、その解は代数式である。

定数の集合が数値に限定されている場合、任意の代数式は算術式と呼ばれます。ただし、代数式は抽象代数などのより抽象的な対象にも使用できます。定数が整数に限定されている場合、代数式で記述できる数値の集合は代数的数と呼ばれます。

対照的に、π やeのような超越数は、整数定数や代数演算から導出されないため、代数的ではありません。通常、πは幾何学的関係として構成され、 eの定義には無限個の代数演算が必要です。より一般的には、定数や変数から代数的に独立している式を超越数と呼びます。

代数学には、式の各部分を説明するための独自の用語があります。

n次多項式の根、あるいは同等に多項式方程式の解は、 n < 5の場合、常に代数式で表すことができます（二次方程式の解の公式、三次方程式、四次方程式を参照）。このような方程式の解を代数解と呼びます。しかし、アーベル・ルフィニの定理によれば、n < 5の場合、すべての方程式に対して代数解が存在するわけではなく（一部の方程式に対してのみ存在します）、代数解は存在しません。${\displaystyle \geq }$5.

2つの多項式が与えられた${\displaystyle P(x)}$そして​​${\displaystyle Q(x)}$それら の商は有理式、または単に有理分数と呼ばれます。 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}有理式${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$適切な場合${\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}$、それ以外の場合は不適切です。たとえば、分数$\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$は適切であり、分数は${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$仮分数は、多項式（定数を含む場合もある）と真分数の和として表すことができます。仮分数の最初の例では、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$$

ここで、2 番目の項は真有理分数です。2 つの真有理分の和も真有理分数です。真有理分数を 2 つ以上の分数の和として表す逆のプロセスは、それを部分分数に分解すると呼ばれます。たとえば、

$$\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$$

ここで、右側の2つの項は部分分数と呼ばれます。

以下の表は、一般的な慣習（ただし普遍的な慣習ではない）に基づき、代数式が包含できる要素の種類によって、他のいくつかの種類の数学式とどのように比較されるかをまとめたものです。

有理代数式（または有理式）とは、 x² + 4x + 4のように、多項式の商として表せる代数式のことです。^無理代数式とは、√x + 4のように、有理式ではない式のことです。

• 代数関数
• 解析的表現
• 閉じた形式の式
• 式（数学）
• 微積分入門
• 用語（論理）

• ジェームズ、ロバート・クラーク、ジェームズ、グレン（1992）。数学辞典。シュプリンガー。p.  8。ISBN 9780412990410。

• ワイススタイン、エリック W. 「代数式」 . MathWorld .