線形状態空間モデルの離散化 離散化は、連続微分方程式を 数値計算 に適した離散差分方程式 に変換することにも関係しています。
以下の連続時間状態空間モデル
x ˙ （ t ） = A x （ t ） + B u （ t ） + w （ t ） y （ t ） = C x （ t ） + D u （ t ） + v （ t ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)+\mathbf {w} (t)\\[2pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)+\mathbf {v} (t)\end{整列}}}
ここで、v とwは、 パワースペクトル密度 を持つ連続的なゼロ平均白色雑音 源である。
w （ t ） ～ N （ 0 、 Q ） v （ t ） ～ N （ 0 、 R ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} (t)&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\[2pt]\mathbf {v} (t)&\sim N(0,\mathbf {R} )\end{aligned}}}
入力uに対して ゼロ次ホールド 、ノイズv に対して連続積分を仮定すると、離散化できる。
x [ k + 1 ] = A d x [ k ] + B d u [ k ] + w [ k ] y [ k ] = C d x [ k ] + D d u [ k ] + v [ k ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A_{d}x} [k]+\mathbf {B_{d}u} [k]+\mathbf {w} [k]\\[2pt]\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C_{d}x} [k]+\mathbf {D_{d}u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{整列}}}
共分散を含む
w [ k ] ～ N （ 0 、 Q d ） v [ k ] ～ N （ 0 、 R d ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} [k]&\sim N(0,\mathbf {Q_{d}} )\\[2pt]\mathbf {v} [k]&\sim N(0,\mathbf {R_{d}} )\end{aligned}}}
どこ
A d = e A T = L − 1 { （ s 私 − A ） − 1 } t = T B d = （ ∫ τ = 0 T e A τ d τ ） B C d = C D d = D Q d = ∫ τ = 0 T e A τ Q e A ⊤ τ d τ R d = R 1 T {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A_{d}} &=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}_{t=T}\\[4pt]\mathbf {B_{d}} &=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} \\[4pt]\mathbf {C_{d}} &=\mathbf {C} \\[8pt]\mathbf {D_{d}} &=\mathbf {D} \\[2pt]\mathbf {Q_{d}} &=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau \\[2pt]\mathbf {R_{d}} &=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}\end{aligned}}}
そしてTは サンプル時間 です。Aが 非特異行列 の場合、B d = A − 1 （ A d − 私 ） B 。 {\displaystyle \mathbf {B_{d}} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A_{d}} -\mathbf {I} )\mathbf {B} .}
離散化された測定ノイズの式は、連続的な測定ノイズがパワースペクトル密度で定義されていることの結果である。[ 1 ]
A d B d [ 2 ] :
e [ A B 0 0 ] T = [ A d B d 0 私 ] {\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}
ここで、A d B d
プロセスノイズの離散化 Q d [ 3 ] 。 F = [ − A Q 0 A ⊤ ] T G = e F = [ … A d − 1 Q d 0 A d ⊤ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{\top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}} 離散化されたプロセスノイズは、 G G Q d = （ A d ⊤ ） ⊤ （ A d − 1 Q d ） = A d （ A d − 1 Q d ） 。 {\displaystyle \mathbf {Q_{d}} =(\mathbf {A_{d}} ^{\top })^{\top }(\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} )=\mathbf {A_{d}} (\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} ).}
近似値 厳密な離散化は、関連する行列の指数関数演算や積分演算が膨大になるため、時に困難となる場合があります。小さな時間ステップに基づいた近似離散モデルを計算する方がはるかに容易です。e A T ≈ 私 + A T {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T} x [ k + 1 ] ≈ （ 私 + A T ） x [ k ] + T B u [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}
これはオイラー法 とも呼ばれ、前進オイラー法とも呼ばれます。その他の可能な近似法は次のとおりです。e A T ≈ （ 私 − A T ） − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} -\mathbf {A} T)^{-1}} 逆オイラー法 とも呼ばれ、e A T ≈ （ 私 + 1 2 A T ） （ 私 − 1 2 A T ） − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)(\mathbf {I} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)^{-1}} 双線形変換 、またはタスティン変換として知られています。これらの近似はそれぞれ異なる安定性特性を持っています。双線形変換は連続時間システムの不安定性を保持します。
連続特性の離散化 統計学 や機械学習において、離散化とは 、連続的な特徴量や変数を離散化された特徴量や名義変数に変換するプロセスを指します。これは、確率質量関数を作成する際に役立ちます。
参考文献 ↑ アナリティック・サイエンシズ・コーポレーション。テクニカルスタッフ。（1974）。応用最適推定 。ゲルブ、 アーサー、1937-。マサチューセッツ州ケンブリッジ：MITプレス。121ページ。ISBN 0-262-20027-9 OCLC 960061 ↑ レイモンド・デカーロ著『線形システム：状態変数アプローチと数値実装』 プレンティス・ホール、ニュージャージー州、1989年 ↑ Charles Van Loan:行列指数関数を含む積分の計算 、IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404、1978
さらに読む ロバート・グローバー・ブラウン＆パトリック・YC・ファン（1997）。ランダム信号と応用カルマンフィルタリング入門 （第3 版）。ISBN 978-0471128397 。 陳志松（1984）。『 線形システム理論と設計 』フィラデルフィア、ペンシルベニア州、アメリカ合衆国：Saunders College Publishing。ISBN 978-0030716911 。 C. Van Loan (1978年6月) 「行列指数関数を含む積分の計算」(PDF) IEEE Transactions on Automatic Control 23 (3): 395–404 . doi : 10.1109/TAC.1978.1101743 . hdl : 1813/7095 . RH Middleton & GC Goodwin (1990).デジタル制御と推定：統一的アプローチ 。Prentice Hall. p. 33f. ISBN 978-0132116657 。
外部リンク 幾何学と力学における離散化：微分幾何学と力学の離散化に関する研究
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)+\mathbf {w} (t)\\[2pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)+\mathbf {v} (t)\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50c7eac452966ef7b518f4ea64e4950eec34ccc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} (t)&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\[2pt]\mathbf {v} (t)&\sim N(0,\mathbf {R} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e12699148fbcde7f4361f696a8b6add8b67a9c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A_{d}x} [k]+\mathbf {B_{d}u} [k]+\mathbf {w} [k]\\[2pt]\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C_{d}x} [k]+\mathbf {D_{d}u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23d42ffa583b69f13eef6c0a69e8232d14c5dfe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} [k]&\sim N(0,\mathbf {Q_{d}} )\\[2pt]\mathbf {v} [k]&\sim N(0,\mathbf {R_{d}} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52a115c08857929e8572d8026d4250e05207f89)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A_{d}} &=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}_{t=T}\\[4pt]\mathbf {B_{d}} &=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} \\[4pt]\mathbf {C_{d}} &=\mathbf {C} \\[8pt]\mathbf {D_{d}} &=\mathbf {D} \\[2pt]\mathbf {Q_{d}} &=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau \\[2pt]\mathbf {R_{d}} &=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6947bf63df44563f02895cf17ba001378a1019)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{\top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f474b1998d8108ca7b65652fee62e0bd539ef8e9)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\Bigl [}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t){\Bigr ]}=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c906c791f846510eacf14f357b5abf8f073e1720)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)&=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} (t)&=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd3a0e41f0526fa22fabfb6b633ffcd7eed33e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k]&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)\\[6pt]\mathbf {x} [k]&=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[4pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} [(k+1)T-\tau ]}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c834a71f8c1e116b3ea64de473e4ae5eb5bef24)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de738568b201f70e218c5199a23c2aaab2cc43)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[4pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {Bu} [k]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d47249c5b6a83ab7312b1e05fb81baa7ea849b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathbf {A} ^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {Bu} [k],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b49a8d4cb6abf936d5e7478c5998a390bb89de)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce448a3fc0aaf840b30366e51d1c71395cfccf0)
![{\displaystyle [..,1,1,1,..]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86c8f472e5913de12dfc193277854c795ac9e28)
![{\displaystyle [1,1,1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc66b65aae3e64329a6d193aa71bcb91689b3c77)