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可換代数（当初はイデアル理論として知られていた）は、可換環、そのイデアル、およびそのような環上の加群を研究する代数学の一分野である。代数幾何学と代数的整数論はどちらも可換代数に基づいている。可換環の代表的な例としては、多項式環、通常の整数を含む代数的整数環などが挙げられる。; およびp進整数。[ 1 ]
可換代数は代数幾何学の主要な技術的ツールであり、可換代数の多くの結果や概念は幾何学的概念と密接に関連している。
必ずしも可換ではない環の研究は非可換代数として知られており、環論、表現論、バナッハ環論などが含まれる。
可換代数は、本質的には代数的整数論や代数幾何学に現れる環の研究である。
代数的整数論に関連して、デデキント環（代数的整数論に現れる主要な可換環のクラス）、整数拡大、付値環など、いくつかの可換代数の概念が開発されてきた。
体上の複数の不定元に関する多項式環は、可換環の例です。代数幾何学は基本的にこれらの環の共通零点の研究であるため、代数幾何学の多くの結果や概念は可換代数にも対応するものがあり、それらの名称はしばしば幾何学的な起源を想起させます。例えば、「クルル次元」、「環の局所化」、「局所環」、「正則環」などです。
アフィン代数多様体は多項式環の素イデアルに対応し、そのようなアフィン多様体の点は、この素イデアルを含む極大イデアルに対応する。もともと代数多様体上で定義されたザリスキ位相は、任意の可換環の素イデアルの集合に拡張されている。この位相では、閉集合は与えられたイデアルを含む素イデアルの集合である。
環のスペクトルとは、ザリスキ位相を備えた素イデアルと、この位相の基底の開集合における環の局所化によって形成される環状空間のことである。これは、グロタンディークによって導入された代数幾何学の一般化であるスキーム理論の出発点であり、スキーム理論は可換代数に強く基づいており、また、可換代数の多くの発展を促してきた。
当初はイデアル理論として知られていたこの分野は、リヒャルト・デデキントのイデアルに関する研究から始まり、それはエルンスト・クンマーとレオポルド・クロネッカーの先行研究に基づいていた。後に、ダフィット・ヒルベルトは、以前の「数環」という用語を一般化するために「環」という用語を導入した。ヒルベルトは、複素解析や古典的な不変式論などに基づいた、より具体的で計算指向の方法に代わる、より抽象的なアプローチを導入した。そして、ヒルベルトはエミー・ネーターに大きな影響を与え、ネーターは多くの先行研究の結果を、現在ネーター条件として知られる昇連鎖条件の観点から再定式化した。もう一つの重要なマイルストーンは、ヒルベルトの弟子であるエマニュエル・ラスカーの研究であり、彼は基本イデアルを導入し、ラスカー・ネーターの定理の最初のバージョンを証明した。
可換代数を成熟した学問分野として確立させた立役者は、ヴォルフガング・クルルであった。彼は、環の局所化と完備化、そして正則局所環といった基本的な概念を導入した。クルルは、まずネーター環についてクルル次元の概念を確立し、その後、その理論を一般付値環やクルル環にまで拡張した。今日に至るまで、クルルの主イデアル定理は、可換代数における最も重要な基礎定理として広く認められている。これらの成果は、代数幾何学への可換代数の導入への道を開き、このアイデアは代数幾何学に革命をもたらした。
可換代数の現代的な発展の多くは、加群を重視している。環RのイデアルとR代数はどちらもR加群の特殊な場合であるため、加群理論はイデアル理論と環拡大理論の両方を包含する。クロネッカーの研究において既に萌芽が見られたものの、加群理論を用いた可換代数への現代的なアプローチは、通常、クルルとネーターに帰せられる。
エミー・ネーターにちなんで名付けられたネーター環とは、すべてのイデアルが有限生成である環のことである 。つまり、任意のイデアルのすべての要素は、環内の要素を係数とする有限個の要素の線形結合として表すことができる。
一般的に可換環と考えられているものの多くはネーター環であり、特に、すべての体、整数、およびそれらの上の1つまたは複数の不定元に関するすべての多項式環がネーター環である。体上の多項式環がネーター環であるという事実は、ヒルベルトの基底定理と呼ばれる。
さらに、多くの環構成はネーター性を保持します。特に、可換環Rがネーター環である場合、その環上のすべての多項式環、およびすべての商環、局所化、または完備化についても同様です。
ネーター性の重要性は、その遍在性と、可換代数の多くの重要な定理が関係する環がネーター環であることを要求するという事実にある。これは特にラスカー・ネーターの定理、クルルの交差定理、中山の補題の場合に当てはまる。
さらに、環がネーター環である場合、素イデアルの降鎖条件を満たし、これはすべてのネーター局所環が有限のクルル次元を持つことを意味します。
環のイデアルQ は、Qが真であり、 xy ∈ Q のとき、x ∈ Qまたはy n ∈ Qのいずれかが正の整数nに対して成り立つ場合、プライマリー イデアルであると言われます。 Zでは、プライマリー イデアルは、 pが素数でe が正の整数である ( p e )の形のイデアルです。したがって、( n )のプライマリー分解は、 ( n ) を有限個のプライマリー イデアルの共通部分として表すことに対応します。
ここで示すラスカー・ネーターの定理は、算術の基本定理のある種の一般化と見なすことができる。
ラスカー・ネーターの定理— R を可換ネーター環とし、IをRのイデアルとする。このとき、I は異なる根基を持つ有限個の基本イデアルの共通部分として表すことができる。すなわち、次のようになる。
すべてのiに対してQ i がプライマリであり、 i ≠ jに対してRad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) である。さらに、次の場合：
は、 i ≠ jに対してRad( P i ) ≠ Rad( P j )となるIの分解であり、Iのどちらの分解も冗長ではない(つまり、{ Q 1 , ..., Q t } または { P 1 , ..., P k } のいずれの真部分集合もIと等しい交差を生成しない)、t = kであり、( Q iを番号付けし直した後) すべてのiに対してRad( Q i ) = Rad( P i ) である。
Iの任意の基本分解に対して、すべての根基の集合、すなわち集合 {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )} は、ラスカー・ネーターの定理により変わりません。実際、(ネーター環の場合) この集合は、モジュールR / Iの暗殺者、つまり、 R / I ( R上のモジュールとして見た場合)の素数のすべての消滅者の集合であることがわかります。
局所化とは、与えられた環または加群に「分母」を導入する形式的な方法である。つまり、既存の環/加群から分数で構成される新しい環/加群を導入する。
ここで、分母sはRの与えられた部分集合Sの範囲内にある。典型的な例は、整数環Zから有理数環Qを構成することである。
完備化とは、環や加群上の複数の関連関手のうち、完備な位相環や位相加群を生成するものの総称である。完備化は局所化と類似しており、これらは可換環の解析における最も基本的なツールの一つである。完備な可換環は一般的な可換環よりも構造が単純であり、ヘンゼルの補題が適用可能である。
ザリスキー位相は、環（素イデアルの集合）のスペクトル上の位相を定義する。 [ 2 ] この定式化では、ザリスキー閉集合は、集合として扱われる。
ここで、Aは固定された可換環であり、Iはイデアルです。これは、アフィン空間の閉集合が多項式方程式で定義される古典的なザリスキ位相と類推して定義されます。古典的な図との関連性を見るには、任意の多項式の集合S (代数的に閉じた体上) に対して、ヒルベルトのヌルシュテレンザッツから、 V ( S ) (古い意味で)の点は、イデアル ( x 1 - a 1 , ... , x n - a n ) がSを含むタプル ( a 1 , ..., a n ) と正確に一致することに注意してください。さらに、これらは極大イデアルであり、「弱い」ヌルシュテレンザッツにより、任意のアフィン座標環のイデアルが極大であるのは、それがこの形式である場合のみです。したがって、V ( S ) はSを含む極大イデアルと「同じ」です。グロタンディークがSpecを定義する際に革新的だったのは、極大イデアルをすべての素イデアルに置き換えたことである。この定式化においては、この観察を環のスペクトルにおける閉集合の定義に単純に一般化することは自然なことである。
可換代数（代数多様体の定義に用いられる多項式環とその商環の形式）は、常に代数幾何学の一部であった。しかし、1950年代後半に、代数多様体はアレクサンダー・グロタンディークのスキームの概念に包含された。その局所対象はアフィン・スキームまたは素スペクトルであり、これらは局所的に環化された空間であり、可換単位環の圏と反同値（双対）な圏を形成し、体k上のアフィン代数多様体の圏と有限生成縮約k代数の圏との間の双対性を拡張する。接着はザリスキ位相に沿って行われる。局所的に環化された空間の圏内で接着できるだけでなく、米田埋め込みを用いて、アフィン・スキームの圏上の集合の前層のより抽象的な圏内でも接着できる。集合論的な意味でのザリスキー位相は、グロタンディーク位相の意味でのザリスキー位相に置き換えられます。グロタンディークは、粗雑なザリスキー位相よりも幾何学的に精緻で敏感な、よりエキゾチックな例、すなわちエタール位相と、 2つの平坦なグロタンディーク位相（fppfとfpqc）を念頭に置いて、グロタンディーク位相を導入しました。今日では、ニスネヴィッチ位相など、他のいくつかの例が注目されています。さらに、層は、通常、いくつかの追加の表現可能性条件によって、グロタンディークの意味でのスタックに一般化することができ、アルティンスタック、さらに精緻なドリーニュ・マンフォードスタックにつながり、これらはしばしば代数的スタックと呼ばれます。
