フラクタル

数学において、フラクタルとは、任意の小さなスケールで詳細な構造を含む幾何学的形状であり、通常、フラクタル次元は位相次元を厳密に超える。多くのフラクタルは、マンデルブロ集合の連続的な拡大で示されるように、さまざまなスケールで類似して見える。^{[1] [2] [3] [4]}このように、スケールが小さくなるほど類似したパターンが現れる現象は自己相似性と呼ばれ、拡大対称性または展開対称性とも呼ばれる。メンガースポンジのように、この複製があらゆるスケールでまったく同じである場合、その形状はアフィン自己相似と呼ばれる。^{[5]フラクタル幾何学は、}測度論 という数学の分野に属する。

フラクタルが有限の幾何学的図形と異なる点の 1 つは、そのスケールの仕方です。塗りつぶされた多角形の辺の長さを2倍にすると、その面積は 4 倍になります。これは、2 (新しい辺の長さと古い辺の長さの比) の 2 乗 (塗りつぶされた多角形の従来の寸法) です。同様に、塗りつぶされた球の半径を2 倍にすると、その体積は 8 倍になります。これは、2 (新しい半径と古い半径の比) の 3 乗 (塗りつぶされた球の従来の寸法) です。ただし、フラクタルの 1 次元の長さがすべて 2 倍になると、フラクタルの空間内容は、必ずしも整数ではない累乗でスケールされ、一般に従来の寸法よりも大きくなります。^{[1]この累乗は、従来の次元 (正式には}位相次元と呼ばれます)と区別するために、幾何学的オブジェクトのフラクタル次元と呼ばれます。 ^[6]

解析的には、多くのフラクタルはどこでも微分不可能である。^{[1] [4]}無限フラクタル曲線は、通常の線とは異なる方法で空間を曲がりくねっていると考えられる。これは、位相的にはまだ1次元であるが、そのフラクタル次元は、通常の線よりも効率的に空間を局所的に満たすことを示す。^{[1] [6]}

フラクタルは17世紀に再帰の概念から始まり、ますます厳密な数学的処理を経て、19世紀にはベルナルド・ボルツァーノ、ベルンハルト・リーマン、カール・ワイエルシュトラスの独創的な研究によって連続だが微分不可能な関数の研究へと進み、^{[7] 20世紀には}フラクタルという言葉が作られ、その後20世紀にはフラクタルとコンピューターベースのモデリングへの関心が急増しました。^{[8] [9]}

フラクタルの概念を正式に定義する方法について、数学者の間で意見の相違がある。マンデルブロ自身は、フラクタルを「美しく、非常に難しく、ますます便利になっている。それがフラクタルだ」と要約した。^[10]より正式には、1982年にマンデルブロはフラクタルを次のように定義した。「フラクタルとは、定義上、ハウスドルフ・ベシコヴィッチ次元が位相次元を厳密に超える集合である。」^[11]その後、この定義は限定的すぎると感じ、定義を簡略化して拡張した。「フラクタルとは、各部分が（少なくともおおよそ）全体の縮小コピーである、部分に分割できる粗いまたは断片化された幾何学的形状である。」 ^{[1]さらに後になって、マンデルブロは「}フラクタルを衒学的定義なしで使用し、フラクタル次元をすべての変種に適用できる一般的な用語として使用する」ことを提案した。 ^[12]

数学者の間では、理論上のフラクタルとは、無限に自己相似で反復され詳細な数学的構成物であり、多くの例が定式化され研究されてきたというのがコンセンサスである。^{[1] [2] [3]}フラクタルは幾何学的パターンに限定されず、時間的プロセスを記述することもできる。^{[5] [4] [13 ] [14] [15] [16]}さまざまな自己相似度を持つフラクタルパターンが、視覚的、物理的、聴覚的メディアでレンダリングまたは研究されており^[17]、自然界^{[18] [19] [20] [21]}テクノロジー^{[22] [23] [24] [25]}芸術^{[26] [27]}建築物にも見られる。^[28]フラクタルは、ほとんどのカオス的プロセスの幾何学的描写に現れるため（典型的にはアトラクターとして、または吸引域間の境界として）、カオス理論の分野では特に関連性が高い。 ^[29]

「フラクタル」という用語は、1975年に数学者ブノワ・マンデルブロによって造られました。 ^{[30]マンデルブロは、この用語を「壊れた」または「破損した」を意味するラテン語の}frāctusに基づいており、理論的な分数次元の概念を自然界の幾何学的パターンに拡張するために使用しました。^{[1] [31] [32]}

「フラクタル」という言葉は、数学者とは対照的に一般の人々にとっては異なる意味合いを持つことが多く、一般の人々は数学的概念よりもフラクタルアートに馴染みがある可能性が高いです。数学的概念は数学者にとっても正式に定​​義するのが難しいですが、数学的背景を少し理解すれば主要な特徴を理解することができます。

たとえば、「自己相似性」の特徴は、レンズなどのデバイスでデジタル画像を拡大して、以前は見えなかったより微細な新しい構造を明らかにすることにたとえて簡単に理解できます。しかし、これをフラクタルに対して行うと、新しい詳細は現れません。何も変化せず、同じパターンが何度も繰り返されるか、フラクタルによってはほぼ同じパターンが何度も現れます。自己相似性自体は必ずしも直感に反するものではありません (たとえば、平行鏡の無限後退やホムンクルス(頭の中の小さな男の頭の中の小さな男) など、人々は非公式に自己相似性について考えてきました)。フラクタルの場合の違いは、再現されるパターンが詳細でなければならないことです。^{[1] : 166, 18  [2] [31]}

この詳細さという考え方は、数学的な背景があまりなくても理解できる別の特徴に関係しています。たとえば、フラクタル次元が位相次元より大きいということは、幾何学的形状が通常認識される方法と比較して、フラクタルがどのように拡大縮小されるかを指します。たとえば、直線は慣例的に 1 次元であると理解されています。このような図形を、それぞれ元の長さの 1/3 ずつに分割すると、常に 3 つの等しいピースができます。正方形は 2 次元であると理解されています。このような図形を、両方の次元でそれぞれ 1/3 ずつ縮小したピースに分割すると、合計で 3 ² = 9 個のピース​​ができます。

通常の自己相似オブジェクトの場合、n 次元であるということは、スケール係数 1/ rでそれぞれ縮小された断片に反復タイル分割すると、合計r ^{n 個}の断片が存在することを意味します。次に、コッホ曲線について考えてみましょう。これは、スケール係数 1/3 でそれぞれ縮小された 4 つのサブコピーに反復タイル分割できます。したがって、厳密に類推すると、コッホ曲線の「次元」は、3 ^D = 4 を満たす一意の実数Dであると考えることができます。この数は、コッホ曲線のフラクタル次元と呼ばれ、従来認識されている曲線の次元ではありません。一般に、フラクタルの重要な特性は、フラクタル次元が従来理解されている次元 (正式には位相次元と呼ばれる) とは異なることです。

これはまた、フラクタルが数式として「どこでも微分可能」ではないという3番目の特徴の理解にもつながります。具体的には、フラクタルは従来の方法では測定できないことを意味します。^{[1] [4] [33]}詳しく言うと、波状の非フラクタル曲線の長さを見つけようとすると、波の上に端から端まで置けるほど小さい測定ツールの直線部分を見つけることができ、その部分は通常の巻尺で測定する方法で曲線に一致すると考えられるほど小さくなります。しかし、コッホの雪片のような無限に「波打つ」フラクタル曲線を測定する場合、曲線に一致するほど小さい直線部分を見つけることは決してできません。なぜなら、ギザギザのパターンは常に任意の小さなスケールで再び現れ、曲線にどんどんぴったりと合わせようとするたびに、測定された全長に巻尺が少しずつ引き込まれるからです。その結果、曲線全体を完全に覆うには無限のテープが必要となり、つまり雪片の周囲は無限になる。^[1]

フラクタルの歴史は、主に理論的な研究からコンピュータグラフィックスの現代の応用へと辿り着き、その過程で何人かの著名な人々が標準的なフラクタル形式に貢献してきました。^{[8] [ 9]伝統的な}アフリカの建築 に共通するテーマはフラクタルスケーリングの使用であり、円形の家でできた円形の村など、構造の小さな部分が大きな部分と類似して見える傾向があります。^[34]ピックオーバー によると、フラクタルの背後にある数学は、数学者で哲学者のゴットフリート・ライプニッツが再帰的な 自己相似性について熟考した17世紀に形になり始めました（ただし、彼は直線だけがこの意味で自己相似であると考えるという間違いを犯しました）。 ^[35]

ライプニッツは著書の中で「分数指数」という用語を使ったが、「幾何学」がまだそれを知らなかったことを嘆いた。^{[1] : 405}実際、さまざまな歴史的記録によれば、その時点以降、この問題に取り組んだ数学者はほとんどおらず、取り組んだ人々の研究は、数学の「怪物」と呼ばれることもある、そのような馴染みのない新興概念に対する抵抗のため、主に不明瞭なままだった。 ^{[33] [8] [9]こうして、2世紀が経過した1872年7月18日、}カール・ワイエルシュトラスが、今日ではフラクタルと見なされるグラフを持つ関数の最初の定義を、王立プロイセン科学アカデミーで発表した。このグラフはどこでも連続しているが、どこでも微分できないという直感に反する性質を持つ。 ^{[8] : 7  [9]}

さらに、和の指数が増加すると、商の差は任意に大きくなります。^[36]それから間もなく、1883年に、ワイエルシュトラスの講義に出席したゲオルク・カントール^[9]は、カントール集合として知られる実数直線の部分集合の例を発表しました。これは珍しい特性を持ち、現在ではフラクタルとして認識されています。^{[8] : 11–24}また、その世紀の後半には、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレが「自己逆」フラクタルと呼ばれるようになったフラクタルのカテゴリを導入しました。^{[1] : 166}

次の画期的な出来事の 1 つは 1904 年にヘルゲ・フォン・コッホがポアンカレの考えを拡張し、ワイエルシュトラスの抽象的かつ解析的な定義に満足せず、より幾何学的な定義を与えたことです。これには類似の関数の手描き画像が含まれており、現在ではコッホの雪片と呼ばれています。^{[8] : 25  [9]}もう 1 つの画期的な出来事はその 10 年後の 1915 年にヴァツワフ・シェルピンスキが有名な三角形を描き、その 1 年後にはカーペットを描いたことです。 1918 年までに、ピエール・ファトゥとガストン・ジュリアという2 人のフランス人数学者が、独立して研究していたにもかかわらず、複素数と反復関数のマッピングに関連するフラクタル挙動として現在では見なされている結果をほぼ同時に記述し、アトラクターとリペラー(つまり、他の点を引き付けたり反発したりする点)に関するさらなるアイデアにつながりました。これはフラクタルの研究で非常に重要になっています。^{[4] [8] [9]}

その論文が提出されてから間もなく、1918年3月までにフェリックス・ハウスドルフは「次元」の定義を拡張し、集合が非整数次元を持つことを認めるようになった。^[9]自己相似曲線の考え方はポール・レヴィによってさらに発展し、彼は1938年の論文「全体に相似な部分からなる平面または空間曲線と面」で、新しいフラクタル曲線、レヴィC曲線について説明した。^{[注 1]}

さまざまな研究者が、現代のコンピュータグラフィックスの助けがなければ、初期の研究者は手書きの絵で描くことしかできず、発見した多くのパターンの美しさを視覚化したり、その意味を理解する手段がなかったと仮定している（たとえば、ジュリア集合は、非常に単純な絵として数回の反復を経てのみ視覚化できた）。^{[1] : 179  [33] [9]}しかし、1960年代にブノワ・マンデルブロが、ルイス・フライ・リチャードソンによる初期の研究を基にして、「イギリスの海岸線の長さは？統計的自己相似性と分数次元」などの論文で自己相似性について書き始めたことで、状況は一変した。 ^{[37] [38]}

1975年^[31] 、マンデルブロは数百年にわたる思考と数学的発展を「フラクタル」という言葉の造語にまとめ、その数学的定義をコンピュータで構築した印象的な視覚化で示した。彼の標準的なマンデルブロ集合などのこれらの画像は人々の想像力をかき立てた。その多くは再帰に基づいており、「フラクタル」という用語の一般的な意味につながった。^{[39] [33] [8] [35]}

1980年、ローレン・カーペンターはSIGGRAPHでプレゼンテーションを行い、フラクタル的に生成された風景を生成およびレンダリングするためのソフトウェアを紹介しました。^[40]

マンデルブロが幾何学的フラクタルを説明するために発表した、よく引用される説明の 1 つは、「大まかに、または断片化された幾何学的形状で、複数の部分に分割でき、各部分は (少なくとも大まかに) 全体の縮小コピーである」というものです。 ^{[1]これは一般的には役立ちますが、限界があります。著者は}フラクタルの正確な定義については意見が分かれていますが、ほとんどの場合、自己相似性の基本的な考え方と、フラクタルが埋め込まれている空間とフラクタルが持つ異常な関係について詳しく説明しています。^{[1] [5] [2] [4] [41]}

フラクタルパターンはフラクタル次元によって特徴付けられるという点については同意されているが、これらの数値は複雑さ（つまり、スケールの変化に伴う詳細の変化）を定量化する一方で、特定のフラクタルパターンの構築方法の詳細を一意に記述または指定するものではない。 ^{[42] 1975年にマンデルブロが「フラクタル」という言葉を作ったとき、彼は}ハウスドルフ・ベシコヴィッチ次元が位相次元よりも大きいオブジェクトを表すためにそうしました。^{[31]しかし、この要件は}ヒルベルト曲線などの空間充填曲線では満たされません。^{[注 2]}

フラクタルの定義を一つにまとめるのは困難であるため、フラクタルは厳密に定義するべきではないと主張する人もいます。ファルコナーによれば、フラクタルは一般的に以下の特徴の集合体によって特徴付けられるに過ぎません。^[2]

• 自己相似性には次のようなものが含まれます。

• 正確な自己相似性：コッホ雪片のように、あらゆるスケールで同一である
• 準自己相似性: 異なるスケールで同じパターンを近似します。フラクタル全体の小さなコピーが歪んだ退化した形で含まれる場合があります。たとえば、マンデルブロ集合のサテライトは集合全体の近似ですが、正確なコピーではありません。
• 統計的自己相似性: パターンを確率的に繰り返すことで、数値的または統計的尺度がスケールを超えて保存されます。たとえば、イギリスの海岸線のよく知られた例のようにランダムに生成されたフラクタルでは、コッホの雪片のようなフラクタルを定義する繰り返し単位のように、セグメントがきちんとスケールされ、繰り返されることは期待できません。^[4]
• 質的自己相似性：時系列の場合^[13]
• マルチフラクタルスケーリング: 複数のフラクタル次元またはスケーリング規則によって特徴付けられる

• 任意の小さなスケールでの微細構造。この構造の結果として、フラクタルは創発的な特性を持つ可能性があります^[43]（このリストの次の基準に関連）。
• 伝統的なユークリッド幾何学の言語では、再帰的に定義された一連の段階の限界としてしか簡単に説明できない、局所的および全体的な不規則性。フラクタルパターンの画像では、これは「滑らかに積み重なる表面」や「渦巻きの上に渦巻き」などのフレーズで表現されています。^[6]フラクタルを生成するための一般的な手法を参照してください。

これらの基準は、他の典型的なフラクタル特徴を持たずに自己相似である可能性のあるケースなど、特定のケースを除外するためのガイドラインを形成します。たとえば、直線は自己相似ですが、詳細がないためフラクタルではなく、再帰を必要とせずにユークリッド言語で簡単に記述できます。^{[1] [4]}

フラクタル画像は、フラクタル生成プログラム によって作成できます。バタフライ効果により、単一の変数の小さな変化が予測できない結果をもたらす可能性があります。

• 反復関数システム（IFS） – 固定された幾何学的置換規則を使用する。確率的または決定論的である可能性がある。 ^[44]例：コッホスノーフレーク、カンター集合、ハーファーマンカーペット、 ^[45] シェルピンスキーカーペット、シェルピンスキーガスケット、ペアノ曲線、ハーター・ハイウェイドラゴン曲線、 T定規、メンガースポンジ
• ストレンジアトラクター- カオスを示す初期値微分方程式または差分方程式のシステムのマップまたは解の反復を使用します（例：マルチフラクタル画像またはロジスティックマップを参照）
• Lシステム– 文字列の書き換えを使用する。植物、生物細胞（ニューロンや免疫系細胞など^[21]）、血管、肺構造^{[46]などの分岐パターンに似ている場合があり、また}空間充填曲線やタイリングなどのタートルグラフィックスパターンに似ている場合もある。
• 脱出時間フラクタル-空間 (複素平面など)の各ポイントで式または反復関係を使用します。通常は準自己相似で、「軌道」フラクタルとも呼ばれます。たとえば、マンデルブロ集合、ジュリア集合、バーニング シップ フラクタル、ノヴァ フラクタル、リアプノフ フラクタルなどです。脱出時間式の 1 回または 2 回の反復によって生成される 2D ベクトル フィールドも、ポイント (またはピクセル データ) がこのフィールドを繰り返し通過するときにフラクタル形式を生成します。
• ランダムフラクタル– 確率論的ルールを使用します。例：レヴィ飛行、パーコレーションクラスター、自己回避歩行、フラクタルランドスケープ、ブラウン運動の軌跡、ブラウン木（拡散制限凝集または反応制限凝集クラスターをモデル化することによって生成される樹状フラクタル）。^[4]

• 有限分割規則–タイルを改良するために再帰的な位相アルゴリズムを使用し^{[47] 、}細胞分裂のプロセスに似ています。 ^[48]カンター集合とシェルピンスキーカーペットを作成するために使用される反復プロセスは、重心分割と同様に有限分割規則の例です。

フラクタル パターンは、物理的時間と空間の実際的な制限により、無限ではなく一定の範囲内で広範囲にモデル化されてきました。モデルは、理論上のフラクタルやフラクタル特性を持つ自然現象をシミュレートする場合があります。モデリング プロセスの出力は、非常に芸術的なレンダリング、調査用の出力、またはフラクタル分析のベンチマークになる場合があります。フラクタルのテクノロジへの特定の応用については、別の場所でリストされています。モデル化による画像やその他の出力は、厳密にフラクタル特性を持たない場合でも、通常「フラクタル」と呼ばれます。たとえば、フラクタル特性をまったく示さないフラクタル画像の領域にズームインできる場合などです。また、これらには、真のフラクタルの特性ではない計算や表示のアーティファクトが含まれる場合があります。

モデル化されたフラクタルには、音、^[17]デジタル画像、電気化学パターン、概日リズム、^[49]などがあります。フラクタルパターンは、物理的な 3 次元空間^{[24] : 10}および仮想的に再構築されており、しばしば「インシリコ」モデリングと呼ばれます。^[46]フラクタルのモデルは、通常、上記のような手法を実装したフラクタル生成ソフトウェアを使用して作成されます。 ^{[4] [13] [24]}一例として、樹木、シダ、神経系の細胞、^[21]血液と肺の血管系、^[46]および自然界のその他の分岐パターンは、再帰アルゴリズムとL システム手法を使用してコンピューター上でモデル化できます。^[21]

いくつかのパターンの再帰的な性質は、特定の例で明らかです。木の枝やシダの葉は、全体のミニチュアレプリカです。同一ではありませんが、性質は似ています。同様に、ランダムフラクタルは、海岸線や山など、非常に不規則な現実世界の多くのオブジェクトを説明/作成するために使用されてきました。フラクタルをモデリングする際の制限は、フラクタルモデルが自然現象に似ているからといって、モデル化されている現象がモデリングアルゴリズムに似たプロセスによって形成されたことを証明するわけではないことです。

自然界に見られる近似フラクタルは、拡張された有限のスケール範囲にわたって自己相似性を示します。たとえば、フラクタルと葉の関係は現在、木に含まれる炭素の量を決定するために使用されています。^[50]フラクタルの特徴を持つことが知られている現象には次のものがあります。

• 
  冷たいガラスに自然に発生する霜の結晶はフラクタル模様を形成する
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  幾何学的光学系におけるフラクタル盆地境界^[57]
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  接着剤で覆われたアクリル板2枚を引き離すとフラクタルが形成される
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  4インチ（100 mm）のアクリルガラスブロック内の高電圧破壊により、フラクタルなリヒテンベルク図形が作成される。
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  ロマネスコブロッコリーは、自然のフラクタルに近似した自己相似形を呈している。
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  フラクタルな解凍パターン、火星の極地。このパターンは凍結した CO2 の昇華によって形成されます_。画像の幅は約 1 キロメートルです。
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  木の上でフラクタル的に成長する粘菌Brefeldia maxima
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  ゾルンホーフェン石灰岩中のシロメレーン樹枝状結晶

フラクタルは生物の領域でよく見られ、分岐プロセスやその他の複雑なパターン形成を通じて生じます。イアン・ウォンと同僚は、移動する細胞がクラスター化と分岐によってフラクタルを形成できることを示しました。^[70] 神経細胞は細胞表面でのプロセスを通じて機能し、表面積と体積の比率が大幅に増加すると現象が強化されます。その結果、神経細胞はフラクタルパターンを形成することがよくあります。^{[71]これらのプロセスは細胞}生理学やさまざまな病理学において重要です。^[72]

複数の細胞内構造がフラクタルに集まることもわかっています。ディエゴ・クラプフは、分岐プロセスを通じてヒト細胞内のアクチンフィラメントがフラクタルパターンに集まることを示しました。 ^{[57]同様にマティアス・ワイスは}小胞体がフラクタルの特徴を示すことを示しました。 ^{[73]現在、フラクタルは}タンパク質から細胞小器官、そして細胞全体に至るまで、細胞生物学のいたるところに存在していると考えられています。

1999年以来、数多くの科学グループがジャクソン・ポロックが水平のキャンバスに直接絵の具を注いで制作した50点以上の絵画のフラクタル分析を行ってきました。 ^{[74] [75] [76]}

最近、フラクタル分析は本物のポロックと偽物のポロックを区別する成功率93%を達成するために使用されています。^[77]認知神経科学者は、ポロックのフラクタルが、コンピューターで生成されたフラクタルや自然のフラクタルと同様に、観察者にストレス軽減効果をもたらすことを示しました。^[78]

デカルコマニーはマックス・エルンストなどの芸術家が使用した技法で、フラクタルのような模様を作り出すことができます。^[79]これは2つの表面の間に絵の具を押し付け、引き離すという技法です。

サイバネティクスの専門家ロン・エグラッシュは、フラクタル幾何学と数学がアフリカの芸術、ゲーム、占い、貿易、建築に広く見られると示唆している。円形の家は円の円の中に、長方形の家は長方形の長方形の中に現れるなどである。このようなスケーリングパターンは、アフリカの織物、彫刻、さらにはコーンロウのヘアスタイルにも見られる。^{[27] [80]} ホッキー・シトゥンキルも、インドネシアの伝統芸術、バティック、伝統的な家の装飾品に同様の特性があると示唆している。^{[81] [82]}

民族数学者のロン・エグラッシュは、ベニンの都市計画について、都市自体や村だけでなく、家の部屋までフラクタルを基礎として用いたと論じている。彼は「ヨーロッパ人が初めてアフリカに来たとき、彼らは建築が非常に無秩序で原始的だと考えていた。アフリカ人がまだ発見さえしていなかった数学の形式を使っていたかもしれないとは思いもよらなかった」とコメントしている。^[83]

1996年のマイケル・シルバーブラットとのインタビューで、デイヴィッド・フォスター・ウォレスは、編集者のマイケル・ピーチに渡した『インフィニット・ジェスト』の初稿の構造はフラクタル、具体的にはシェルピンスキーの三角形（別名シェルピンスキー・ガスケット）に触発されたものだったが、編集された小説は「むしろ不均衡なシェルピンスキー・ガスケットのようなものだ」と説明した。^[26]

オランダの芸術家MC エッシャーの作品の中には、 「Circle Limit III」など、端に近づくにつれてどんどん小さくなる形が無限に繰り返され、拡大しても同じパターンに見えるようなパターンが含まれているものもあります。

フラクタル ベースのデザインの美的および心理的効果: ^[84]自然界に広く見られるフラクタル パターンは、さまざまなサイズ スケールで繰り返される自己相似性の要素を持っています。人工環境の知覚体験は、これらの自然パターンを含めることで影響を受ける可能性があります。これまでの研究では、フラクタル パターンの好みと複雑さの推定に一貫した傾向があることが示されています。ただし、他の視覚的判断の影響については、限られた情報しか収集されていません。ここでは、人工空間にすでに設置されているフラクタルの「グローバル フォレスト」デザインの美的および知覚的体験を調べ、フラクタル パターンの要素が、居住者の幸福を促進するために利用できる肯定的な心理的体験とどのように関連しているかを示します。これらのデザインは、個々のフラクタルの「ツリー シード」で構成される複合フラクタル パターンであり、これらが組み合わさって「グローバル フラクタル フォレスト」を形成します。ローカルの「ツリー シード」パターン、ツリー シードの位置のグローバル構成、および結果として生じる全体的な「グローバル フォレスト」パターンには、フラクタルの性質があります。これらのデザインは複数の媒体にまたがっていますが、すべて空間の機能と全体的なデザインを損なうことなく、居住者のストレスを軽減することを目的としています。この一連の研究では、まず、パターンの複雑さ、好み、エンゲージメントの評価がフラクタルの複雑さとともに増加するのに対し、リフレッシュとリラクゼーションの評価は複雑さとともに同じか低下するという、さまざまな視覚属性間の相反する関係を確立しました。次に、局所的な構成フラクタル (「ツリーシード」) パターンが全体的なフラクタル デザインの認識に寄与していることを突き止め、フラクタル デザインの設置における美的効果と心理的効果 (知覚されるエンゲージメントとリラクゼーションの個々の経験など) のバランスをとる方法を検討します。この一連の研究は、フラクタルの好みが覚醒の増加 (エンゲージメントと複雑さへの欲求) と緊張の低下 (リラクゼーションまたはリフレッシュへの欲求) のバランスによって決まることを示しています。 「木の種」の要素で構成される、中程度から高度の複雑性を持つ複合的な「地球規模の森林」パターンの設置は、これらの相反するニーズのバランスを取り、居住者の幸福を促進するために人工環境におけるバイオフィリックパターンの実用的な実装として機能することができます。

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  山の表面をモデル化したフラクタル（アニメーション）
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  3D再帰画像
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  再帰フラクタル蝶の画像
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  フラクタルの炎

人間はフラクタル次元が1.3から1.5のフラクタルパターンを処理することに特によく適応しているようです。^[85]人間がフラクタル次元が1.3から1.5のフラクタルパターンを見ると、生理的なストレスが軽減される傾向があります。^{[86] [87]}