分散

確率論と統計学において、分散とはランダム変数の平均からの偏差の二乗の期待値です。標準偏差(SD) は分散の平方根として得られます。分散は散布度の尺度であり、つまり、一連の数値が平均値からどれだけ離れているかの尺度です。これは分布の2番目の中心モーメントであり、ランダム変数とそれ自身の共分散であり、、、、、またはで表されます。^[1 ]${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$${\displaystyle V(X)}$${\displaystyle \mathbb {V} (X)}$

分散を分散の尺度として用いる利点は、期待絶対偏差などの他の分散の尺度よりも代数的操作がしやすいことです。たとえば、相関のないランダム変数の合計の分散は、それらの分散の合計に等しくなります。実際の用途における分散の欠点は、標準偏差とは異なり、ランダム変数とは単位が異なることです。そのため、計算が完了すると、分散の尺度として標準偏差が報告されるのが一般的です。もう 1 つの欠点は、分散が多くの分布に対して有限ではないことです。

どちらも「分散」と呼ばれる 2 つの異なる概念があります。1 つは、上で説明したように、理論的な確率分布の一部であり、方程式によって定義されます。もう 1 つの分散は、一連の観測の特性です。分散が観測から計算される場合、それらの観測は通常、現実世界のシステムから測定されます。システムのすべての可能な観測が存在する場合、計算された分散は母集団分散と呼ばれます。ただし、通常はサブセットのみが利用可能であり、これから計算された分散はサンプル分散と呼ばれます。サンプルから計算された分散は、完全な母集団分散の推定値と見なされます。母集団分散の推定値を計算する方法は複数あり、これについては以下のセクションで説明します。

2 種類の分散は密接に関連しています。どのように関連しているかを確認するには、理論上の確率分布を仮説的観測の生成元として使用できることを考えてみましょう。分布を使用して無限の数の観測が生成されると、その無限セットから計算されたサンプル分散は、分布の分散方程式を使用して計算された値と一致します。分散は統計において中心的な役割を果たしており、分散を使用するアイデアには、記述統計、統計的推論、仮説検定、適合度、モンテカルロ サンプリングなどがあります。

ランダム変数の分散は、平均 からの偏差の二乗の期待値です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}$

この定義には、離散的、連続的、どちらでもない、または混合のプロセスによって生成されるランダム変数が含まれます。分散は、ランダム変数とそれ自身の 共分散と考えることもできます。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).}$

分散は、 を生成する確率分布の2 番目のキュムラントと同等です。分散は、通常 、または 、あるいは記号的に 、または単に（「シグマスクエアード」と発音）と表されます。分散の式は、次のように展開できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$${\displaystyle V(X)}$${\displaystyle \mathbb {V} (X)}$${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}$

言い換えると、Xの分散は、 Xの二乗の平均からXの平均の二乗を引いたものに等しくなります。この式は、浮動小数点演算を使用した計算には使用しないでください。式の 2 つの要素の大きさが同じである場合、壊滅的な相殺が発生するからです。数値的に安定した他の代替方法については、「分散を計算するためのアルゴリズム」を参照してください。

確率変数の生成器が確率質量関数を持つ離散的である場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2},}$

ここで期待値です。つまり、 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$

(このような離散加重分散が、合計が 1 でない重みによって指定される場合、重みの合計で割ります。)

等確率の値の集合の分散は次のように表される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$

ここで平均値です。つまり、 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

等確率の値の集合の分散は、平均値を直接参照することなく、点同士の距離の二乗偏差の二乗で表現することができる。^[2]${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

確率変数が確率密度関数を持ち、対応する累積分布関数である場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}$

または同等に、

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$

ここでの期待値は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}$

これらの式では、およびに関する積分はそれぞれルベーグ積分とルベーグ・スティルチェス積分 です。${\displaystyle dx}$${\displaystyle dF(x)}$

関数がすべての有限区間でリーマン積分可能である場合、 ${\displaystyle x^{2}f(x)}$${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$

ここで積分は不定リーマン積分である。

パラメータλを持つ指数分布は、確率密度関数が次のように与えられる 連続分布である。

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$

区間[0,∞)上の平均は

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}$

部分積分を使用し、すでに計算された期待値を利用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}$

したがって、 Xの分散は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$

公平な6面サイコロは、結果が1から6までで、それぞれが1/6の等確率である離散確率変数Xとしてモデル化できます。Xの期待値は、したがって、 Xの分散は、 ${\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}$

n面サイコロの結果Xの分散の一般的な式は 、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}$

次の表は、一般的に使用されるいくつかの確率分布の分散を示しています。

分散は、平方が正またはゼロであるため、負ではありません。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$

定数の分散はゼロです。

${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}$

逆に、ランダム変数の分散が 0 の場合、それはほぼ確実に定数です。つまり、常に同じ値を持ちます。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}$

分布が有限の期待値を持たない場合、コーシー分布の場合のように、分散も有限にはならない。しかし、分布によっては、期待値が有限であるにもかかわらず、有限の分散を持たない場合がある。例としては、指数 が${\displaystyle k}$${\displaystyle 1<k\leq 2.}$

分散分解または全分散の法則の一般的な公式は次の通りである。と が2つのランダム変数であり、 の分散が存在する場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}$

の条件付き期待値 と条件付き分散は、次のように理解できます。ランダム変数 Yの特定の値y が与えられた場合、 イベント Y  =  yが与えられたときの条件付き期待値があります。この量は特定の値 yに依存し、関数です。ランダム変数Yで評価された同じ関数は、条件付き期待値です。${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid Y)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$${\displaystyle g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y).}$

特に、が離散確率変数であり、可能な値が対応する確率で存在すると仮定すると、全分散の式において、右辺第1項は次のようになる。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\ldots }$${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,}$

${\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}$

ここで、同様に、右辺の2番目の項は ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}$

ここで、およびである。したがって、総分散は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu _{i}=\operatorname {E} [X\mid Y=y_{i}]}$${\displaystyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}$

同様の式が分散分析にも適用され、対応する式は次のようになる。

${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};}$

ここでの二乗平均は、二乗平均を意味します。線形回帰分析では、対応する式は次のようになります。 ${\displaystyle {\mathit {MS}}}$

${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.}$

これは分散の加法性からも導き出すことができます。合計（観測）スコアは予測スコアとエラー スコアの合計であり、後者 2 つは相関していないためです。

偏差の二乗和（平方和、）についても同様の分解が可能です。 ${\displaystyle {\mathit {SS}}}$

${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},}$

${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.}$

非負の確率変数の母分散は、累積分布関数 Fで次 のように表すことができます。

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-\left(\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right)^{2}.}$

この式は、密度ではなく CDF を便利に表現できる 状況で分散を計算するために使用できます。

ランダム変数の2次モーメントは、ランダム変数の1次モーメント（つまり平均）の周りでとったときに最小値、つまり になります。逆に、連続関数がすべてのランダム変数Xに対して を満たす場合、その関数は必ず（a > 0 ）の形になります。これは多次元の場合にも当てはまります。^[3]${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)}$${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}+b}$

期待される絶対偏差とは異なり、変数の分散の単位は、変数自体の単位の 2 乗です。たとえば、メートルで測定された変数の分散は、メートルの 2 乗で測定されます。このため、データ セットを分散よりも標準偏差または二乗平均平方根偏差で記述することが好まれることがよくあります。サイコロの例では、標準偏差は√ 2.9 ≈ 1.7で、期待される絶対偏差の 1.5 よりわずかに大きくなります。

標準偏差と期待絶対偏差は、どちらも分布の「広がり」の指標として使用できます。標準偏差は期待絶対偏差よりも代数的な操作が容易で、分散とその一般化共分散とともに、理論統計で頻繁に使用されます。ただし、期待絶対偏差は、測定の異常や過度に裾の重い分布から生じる外れ値の影響を受けにくいため、より堅牢な傾向があります。

分散は位置パラメータの変化に対して不変です。つまり、変数のすべての値に定数を追加しても、分散は変化しません。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$

すべての値が定数でスケーリングされる場合、分散はその定数の 2 乗でスケーリングされます。

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$

2つのランダム変数の和の分散は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX-bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)}$

ここで共分散は です。 ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$

一般に、ランダム変数の合計の場合、分散は次のようになります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}$

ビエネメ将軍の身元も参照。

これらの結果から、線形結合の分散は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$

ランダム変数が ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$

それらは無相関であると言われます。前述の式から、ランダム変数が無相関である場合、それらの合計の分散はそれらの分散の合計に等しくなります。記号で表すと次のようになります。 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}$

独立したランダム変数は常に無相関であるため（共分散 § 無相関と独立性を参照）、上記の式は特にランダム変数が独立している場合に当てはまります。したがって、合計の分散が分散の合計と等しくなるためには独立性は十分ですが、必要ではありません。 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

をランダム変数の列ベクトルとして定義し、をスカラーの列ベクトルとして定義します。したがって、はこれらのランダム変数の線形結合であり、 はの転置を表します。また、は の共分散行列とします。 の分散は次のように与えられます。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle c^{\mathsf {T}}X}$${\displaystyle c^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle c^{\mathsf {T}}X}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(c^{\mathsf {T}}X\right)=c^{\mathsf {T}}\Sigma c.}$

これは、平均の分散が（1の列ベクトルで）次のように表されることを意味します。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\bar {x}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}1'X\right)={\frac {1}{n^{2}}}1'\Sigma 1.}$

他の分散の尺度よりも分散が優先される理由の 1 つは、相関のないランダム変数の合計 (または差) の分散が、それらの分散の合計であるためです。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).}$

この式はビエネメの公式^[5]と呼ばれ、1853年に発見されました。^{[6] [7]この式は、変数が}独立しているというより強い条件で行われることが多いですが、無相関であれば十分です。したがって、すべての変数が同じ分散σ ^{2 を持つ場合、} nによる除算は線形変換であるため、この式は、それらの平均の分散が

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

つまり、n が増加すると平均の分散は減少します。この平均の分散の式は、中心極限定理で使用される標本平均の標準誤差の定義で使用されます。

最初の主張を証明するには、次のことを示せば十分である。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).}$

一般的な結果は帰納的に導かれる。定義から始めると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}}$

期待演算子の線形性と、 XとYの独立性（または無相関性）の仮定を使用すると、これは次のようにさらに単純化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}}$

一般に、 n個の変数の合計の分散は、それらの共分散の合計です。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right).}$

(注: 2 番目の等式は、 Cov( X _i , X _i ) = Var( X _i )という事実から生じます。)

ここで、は共分散であり、独立したランダム変数（存在する場合）に対しては 0 になります。この式は、和の分散が、成分の共分散行列のすべての要素の合計に等しいことを示しています。次の式は、和の分散が、共分散行列の対角線の合計に、その上三角要素（または下三角要素）の合計の 2 倍を加えたものであることを示しています。これは、共分散行列が対称であることを強調しています。この式は、古典的な検定理論のCronbach のアルファ理論で使用されます。 ${\displaystyle \operatorname {Cov} (\cdot ,\cdot )}$

したがって、変数の分散がσ ^{2 で}、異なる変数の平均相関がρである場合、それらの平均の分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho \sigma ^{2}.}$

これは、平均の分散が相関の平均とともに増加することを意味します。言い換えれば、追加の相関観測は、追加の独立した観測ほど平均の不確実性を減らすのに効果的ではありません。さらに、変数が単位分散を持っている場合、たとえば標準化されている場合、これは次のように単純化されます。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho .}$

この式は、古典的な検定理論のスピアマン・ブラウン予測式で使用されている。平均相関が一定であるか収束する限り、 nが無限大になるとρに収束する。したがって、等しい相関または収束する平均相関を持つ標準化変数の平均の分散については、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\rho .}$

したがって、多数の標準化変数の平均の分散は、それらの平均相関とほぼ等しくなります。これにより、大数の法則では標本平均は独立変数に対して収束すると規定されているにもかかわらず、相関変数の標本平均は一般に母平均に収束しないことが明らかになります。

事前に、ある基準に従って許容される観測数がわからないままサンプルが採取される場合がある。そのような場合、サンプルサイズNはランダム変数であり、その変動はXの変動に加算される。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left[N\right]\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} \left[X\right])^{2}}$^[8]

これは全分散の法則に従います。

N がポアソン分布に従う場合、推定値n = Nとなります。したがって、 の推定値は となり、次のようになります (標本平均の標準誤差を参照)。 ${\displaystyle \operatorname {E} [N]=\operatorname {Var} (N)}$${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$${\displaystyle n{S_{x}}^{2}+n{\bar {X}}^{2}}$${\displaystyle \operatorname {SE} ({\bar {X}})={\sqrt {\frac {{S_{x}}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}}$

スケーリング特性とビエネイメの公式、そして共分散 Cov( aX ,  bY )= abCov ( X ,  Y )の特性を組み合わせると 、次のことが分かります。

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX\pm bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)\pm 2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y).}$

これは、変数の加重合計において、最大の重みを持つ変数が、合計の分散において不釣り合いに大きな重みを持つことを意味します。たとえば、XとYが無相関で、 Xの重みがYの重みの 2 倍である場合、 Xの分散の重みはYの分散の重みの 4 倍になります。

上記の式は、複数の変数の加重合計に拡張できます。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$

2つの変数XとYが独立している場合、それらの積の分散は^{[9]で与えられる。}

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).}$

同様に、期待値の基本的な性質を用いると、次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.}$

一般に、2 つの変数が統計的に依存している場合、それらの積の分散は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}$

デルタ法は、 2次のテイラー展開を使用して、1つ以上のランダム変数の関数の分散を近似します。ランダム変数の関数のモーメントについてはテイラー展開を参照してください。たとえば、1つの変数の関数の近似分散は次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}$

ただし、f は2 回微分可能であり、 Xの平均と分散は有限であるものとする。

昨日の一日の雨量の測定などの現実世界の観測は、通常、実行可能なすべての観測の完全なセットにはなり得ません。そのため、有限セットから計算された分散は、通常、可能性のある観測の全母集団から計算された分散とは一致しません。つまり、推定方程式を使用して、限られた観測セットから平均と分散を推定します。推定値は、潜在的な観測の全母集団から観測バイアスなしで抽出されたn個の観測のサンプルの関数です。この例では、サンプルは、対象地域内にある利用可能な雨量計から昨日の降雨量の実際の測定値のセットになります。

母平均と母分散の最も単純な推定量は、単に標本の平均と分散、標本平均と（補正されていない）標本分散です。これらは矛盾のない推定量（標本数が増えるにつれて母集団全体の値に収束する）ですが、改善することができます。最も単純な場合、標本分散は、（標本）平均の偏差の二乗和を標本数nで割って計算されます。ただし、 n以外の値を使用すると、推定量がさまざまな方法で改善されます。分母の一般的な値は、n、 n  − 1、n  + 1、およびn  − 1.5 の4 つです。nは最も単純（標本の分散）で、n  − 1 はバイアスを排除し、n  + 1 は正規分布の平均二乗誤差を最小化し、n − 1.5 は正規分布の 標準偏差の不偏推定 におけるバイアスをほぼ排除します。

まず、真の母平均が不明な場合、標本分散（真の平均の代わりに標本平均を使用する）は偏りのある推定値になります。つまり、分散を係数 ( n  − 1) / nで過小評価します。この係数を修正して、標本平均を中心とした偏差の二乗和をnではなくn -1 で割ることをベッセル補正と呼びます。結果として得られる推定値は偏りがなく、 （修正）標本分散または偏りのない標本分散と呼ばれます。平均が、分散の推定に使用されたのと同じ標本以外の方法で決定される場合、この偏りは発生せず、分散は（独立に既知の）平均を中心とした標本の分散として安全に推定できます。

第二に、標本分散は一般に標本分散と母集団分散の間の平均二乗誤差を最小化しません。バイアスを修正すると、状況は悪化することがよくあります。修正された標本分散よりもパフォーマンスのよいスケール係数を常に選択できますが、最適なスケール係数は母集団の過剰尖度(平均二乗誤差: 分散を参照) に依存し、バイアスを導入します。これは常に、不偏推定量をスケールダウン ( n − 1より大きい数で割る) することから成り、収縮推定量 の簡単な例です。つまり、不偏推定量をゼロに向かって「収縮」します。正規分布の場合、n + 1 ( n  − 1 またはn ではなく) で割ると、平均二乗誤差が最小化されます。ただし、結果として得られる推定量にはバイアスがあり、バイアス標本分散と呼ばれます。

一般に、値x _iを持つサイズNの有限母集団の母分散は、母平均が、が期待値演算子であるで与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2}\end{aligned}}}$$${\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$${\textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}$${\textstyle \operatorname {E} }$

母分散は^{[10]を使って計算することもできる。}

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}$

(右側には合計に重複する項がありますが、中央の側には合計する一意の項のみがあります。) これは、母分散が生成確率分布の分散と一致するため当てはまります。この意味で、母集団の概念は、無限の母集団を持つ連続ランダム変数に拡張できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

多くの実際の状況では、母集団の真の分散は事前にはわからないため、何らかの方法で計算する必要があります。非常に大きな母集団を扱う場合、母集団内のすべてのオブジェクトを数えることは不可能であるため、計算は母集団のサンプルに対して実行する必要があります。 ^{[11]これは一般に}サンプル分散または経験的分散と呼ばれます。サンプル分散は、連続分布の分散をその分布のサンプルから推定するためにも適用できます。

サイズの母集団からn個の値Y ₁ , ...,  Y _nを置換した標本（ n <  N  ）を採取し、この標本に基づいて分散を推定する。^{[12]標本データの分散を直接取ると、}偏差の二乗の平均が得られる。 ${\textstyle N}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}\right)-{\overline {Y}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j\,:\,i<j}\left(Y_{i}-Y_{j}\right)^{2}.}$^[13]

（この式の導出については、母分散のセクションを参照してください。）ここで、は標本平均を表します。 ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

${\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}.}$

Y _{i は}ランダムに選択されるため、と は両方ともランダム変数です。それらの期待値は、母集団からのサイズnのすべての可能なサンプル { Y _i }の集合を平均することで評価できます。これにより、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$${\displaystyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\tilde {S}}_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$

ここでは、および の独立性により、 セクションで導出されたおよびが使用されます。 ${\textstyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} [Y_{i}^{2}]-\mu ^{2}}$${\textstyle \operatorname {E} [Y_{i}Y_{j}]=\operatorname {E} [Y_{i}]\operatorname {E} [Y_{j}]=\mu ^{2}}$${\textstyle Y_{i}}$${\textstyle Y_{j}}$

したがって、の期待値は母分散（真の分散）よりもその係数だけ小さいため、の係数によって偏りのある母分散の推定値が得られます。このため、は偏りのある標本分散と呼ばれます。 ${\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$${\textstyle {\frac {n-1}{n}}}$${\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$${\textstyle {\tilde {S}}_{Y}^{2}}$

この偏りを補正すると、次のように表される不偏標本分散が得られます。 ${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}$

どちらの推定値も、文脈によってバージョンを決定できる場合は、 単にサンプル分散と呼ばれることがあります。同じ証明は、連続確率分布から取得されたサンプルにも適用できます。

n − 1という項の使用はベッセル補正 と呼ばれ、標本共分散や標本標準偏差(分散の平方根) でも使用されます。平方根は凹関数であるため、分布に依存する負のバイアス (ジェンセンの不等式による) が導入され、そのため、補正された標本標準偏差 (ベッセル補正を使用) はバイアスされます。標準偏差の不偏推定は技術的に複雑な問題ですが、正規分布の場合、 n − 1.5という項を使用すると、 ほぼ不偏推定値が得られます。

不偏標本分散は関数ƒ ( y ₁ ,  y ₂ ) = ( y ₁  −  y ₂ ) ^{2 /2の}U統計量であり、これは母集団の2要素サブセットにわたって2標本統計量を平均することによって得られることを意味します。

数値セット {10、15、30、45、57、52、63、72、81、93、102、105} の場合、このセットが何らかの測定のデータ母集団全体である場合、分散は、このセットの平均に関する偏差の二乗の合計をセット メンバーの数である 12 で割った母分散 932.743 になります。セットが母集団全体のサンプルである場合、不偏サンプル分散は、サンプルの平均に関する偏差の二乗の合計を 12 ではなく 11 で割った 1017.538 として計算できます。Microsoft Excelの関数 VAR.S は不偏サンプル分散を返し、VAR.P は母分散を表します。

ランダム変数の関数であるため、標本分散自体もランダム変数であり、その分布を調べるのは自然なことです。Y i が正規分布からの独立した観測値である場合、_コクランの定理は、不偏標本分散S ^{2がスケールされた}カイ2乗分布に従うことを示しています（漸近的性質と基本的な証明も参照）。^[14]

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

ここでσ ^{2 は}母分散である。直接的な帰結として、

${\displaystyle \operatorname {E} \left(S^{2}\right)=\operatorname {E} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)=\sigma ^{2},}$

そして^[15]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]=\operatorname {Var} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{(n-1)^{2}}}\operatorname {Var} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}$

Y _iが独立かつ同一分布に従うが、必ずしも正規分布するとは限らない場合、 ^[16]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2},\quad \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]={\frac {\sigma ^{4}}{n}}\left(\kappa -1+{\frac {2}{n-1}}\right)={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right),}$

ここで、κは分布の尖度、 μ ₄は4次中心モーメントです。

大数の法則の条件が観測値の二乗に当てはまる場合、S ^{2 は}σ ²の 一貫した推定値になります。推定値の分散が漸近的にゼロに近づくことがわかります。漸近的に同等の式は、Kenney and Keeping (1951:164)、Rose and Smith (2002:264)、およびWeisstein (nd)で与えられています。^{[17] [18] [19]}

サミュエルソンの不等式は、サンプル平均と（偏りのある）分散が計算されていると仮定して、サンプル内の個々の観測値が取り得る値の境界を示す結果である。^[20]値は、${\displaystyle {\bar {y}}\pm \sigma _{Y}(n-1)^{1/2}.}$

^[21]によれば、正の実数の サンプル{ y _{i }に対して、}

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}\leq 2y_{\max }(A-H),}$

ここで、y _maxはサンプルの最大値、Aは算術平均、Hはサンプルの調和平均、はサンプルの (偏りのある) 分散です。 ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$

この境界は改善されており、分散は次のように制限されることが分かっています。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}\leq {\frac {y_{\max }(A-H)(y_{\max }-A)}{y_{\max }-H}},}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}\geq {\frac {y_{\min }(A-H)(A-y_{\min })}{H-y_{\min }}},}$

ここでymin_はサンプルの最小値である。^[22]

分散の等価性の F 検定とカイ二乗検定は、サンプルが正規分布している場合に適しています。非正規性の場合、2 つ以上の分散の等価性を検定することはより困難になります。

ノンパラメトリック検定がいくつか提案されています。これには、Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey 検定、Capon 検定、Mood 検定、Klotz 検定、Sukhatme 検定が含まれます。Sukhatme 検定は 2 つの分散に適用され、両方の中央値が既知でゼロに等しいことが必要です。Mood 検定、Klotz 検定、Capon 検定、Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey 検定も 2 つの分散に適用されます。これらの検定では中央値が不明でもかまいませんが、2 つの中央値が等しいことが必要です。

Lehmann 検定は、2 つの分散のパラメトリック検定です。この検定にはいくつかのバリエーションが知られています。分散の等価性に関するその他の検定には、Box 検定、Box–Anderson 検定、Moses 検定などがあります。

ブートストラップ法やジャックナイフ法などの再サンプリング法は、分散の等価性を検定するために使用できます。

確率分布の分散は、 古典力学における、質量分布の線に沿った質量中心の周りの回転に関する慣性モーメントに類似しています。 ^{[引用が必要]} この類似性のため、分散のようなものは確率分布のモーメントと呼ばれます。^{[引用が必要]共分散行列は、多変量分布の}慣性モーメントテンソルに関連しています。 の共分散行列を持つn点のクラウドの慣性モーメントは、次のように与えられます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle I=n\left(\mathbf {1} _{3\times 3}\operatorname {tr} (\Sigma )-\Sigma \right).}$

物理学と統計学における慣性モーメントの違いは、直線上に集まった点については明らかです。多くの点がx軸の近くにあり、それに沿って分布しているとします。共分散行列は次のようになります 。

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}10&0&0\\0&0.1&0\\0&0&0.1\end{bmatrix}}.}$

つまり、x方向の分散が最も大きい。物理学者はこれをx軸周りのモーメントが低いと考えるので、慣性モーメントテンソルは

${\displaystyle I=n{\begin{bmatrix}0.2&0&0\\0&10.1&0\\0&0&10.1\end{bmatrix}}.}$

半分散は分散と同じ方法で計算されますが、平均を下回る観測値のみが計算に含まれます。また、さまざまな応用分野では特定の尺度として説明されています。歪んだ分布の場合、半分散は分散では得られない追加情報を提供することができます。^[23]$${\displaystyle {\text{Semivariance}}={1 \over {n}}\sum _{i:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}}$$

半分散に関連する不等式については、チェビシェフの不等式 § 半分散を参照してください。

分散という用語は、ロナルド・フィッシャーが1918年に発表した論文「メンデル遺伝の仮定に基づく親族間の相関関係」で初めて導入された。^[24]

利用可能な統計の大部分は、人間の測定値の平均からの偏差が誤差の正規法則に非常に近いこと、したがって変動は平均二乗誤差の平方根に対応する標準偏差によって一様に測定できることを示しています。 標準偏差 および を持つ均一な母集団分布を生成する可能性のある 2 つの独立した変動原因がある場合、両方の原因が一緒に作用すると、分布の標準偏差は になります。 したがって、変動原因を分析するには、変動の尺度として標準偏差の二乗を扱うことが望ましいです。 この量を分散と呼びます...${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$

がスカラー複素数値ランダム変数で、値が の場合、その分散は の複素共役です 。この分散は実数スカラーです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[(x-\mu )(x-\mu )^{*}\right],}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x.}$

がベクトル値のランダム変数で、値が にあり、が列ベクトルと考えられる場合、分散の自然な一般化はとなり、は の転置であり、したがって は行ベクトルとなります。結果は半正定値正方行列となり、一般に分散共分散行列(または単に共分散行列) と呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )(X-\mu )^{\operatorname {T} }\right],}$${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$${\displaystyle X^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle X,}$

がベクトルおよび複素数値のランダム変数で、値が の場合、共分散行列はとなり、 はの共役転置です^{[要出典]。} この行列は半正定値で正方行列でもあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )(X-\mu )^{\dagger }\right],}$${\displaystyle X^{\dagger }}$${\displaystyle X.}$

ベクトル値ランダム変数の分散のもう一つの一般化は、行列ではなくスカラー値になる一般化分散であり、共分散行列の行列式である。一般化分散は、平均の周りの点の多次元散布と関連していることが示される。^[25]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \det(C)}$

スカラー分散の式 を考察し、ランダム変数とその平均の間のユークリッド距離の二乗、または、単にベクトルとそれ自身のスカラー積として再解釈すると、別の一般化が得られます。この結果は、共分散行列のトレースである となります。 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}$${\displaystyle (X-\mu )^{2}}$${\displaystyle X-\mu }$${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{\operatorname {T} }(X-\mu )\right]=\operatorname {tr} (C),}$

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