凸形状

数学において、凸幾何学は、主にユークリッド空間における凸集合を研究する幾何学の一分野です。凸集合は、計算幾何学、凸解析、離散幾何学、関数解析、数の幾何学、積分幾何学、線形計画法、確率論、ゲーム理論など、多くの分野で自然に現れます。

数学主題分類MSC2010によると、 ^{[ 1 ]}凸および離散幾何学という数学分野には、次の 3 つの主要な分野が含まれます。^{[ 2 ]}

• 一般的な凸性
• 多面体と多面体
• 離散幾何学

（ただし、後者2つのうち凸幾何学に含まれるのは一部のみである。）

一般的な凸性は、さらに以下のように細分化されます。^{[ 3 ]}

• 公理的凸性と一般化凸性
• 次元制限のない凸集合
• 位相ベクトル空間における凸集合
• 2次元における凸集合（凸曲線を含む）
• 3次元空間における凸集合（凸面を含む）
• n次元における凸集合（凸超曲面を含む）
• 有限次元バナッハ空間
• ランダム凸集合と積分幾何学
• 凸体の漸近理論
• 凸集合による近似
• 凸集合の変形（星型、( m, n )凸など）
• ヘリー型定理と幾何学的横断理論
• 組み合わせ凸性のその他の問題
• 長さ、面積、体積
• 混合巻および関連トピック
• 凸体に対する評価
• 不平等と極値問題
• 凸関数と凸プログラム
• 球面凸性と双曲凸性

凸幾何学は比較的新しい数学分野です。凸幾何学への最初の貢献は古代に遡り、ユークリッドやアルキメデスの著作に見出すことができますが、20世紀初頭にヘルマン・ブルンとヘルマン・ミンコフスキーによる2次元および3次元における研究によって、独立した数学分野となりました。彼らの成果の大部分はすぐに高次元空間に一般化され、1934年にT. ボネセンとW. フェンシェルはユークリッド空間R ⁿにおける凸幾何学の包括的な概説を発表しました。20世紀における凸幾何学のさらなる発展と、多くの数学分野との関連性については、 P.M. グルーバーとJ.M. ウィルズが編集した『凸幾何学ハンドブック』にまとめられています。

• 凸性に関するトピック一覧

• ウィキメディア・コモンズにある凸幾何学に関連するメディア