連続体（集合論）

集合論の数学分野では、連続体とは実数、またはそれに対応する（無限）基数を意味し、で表される。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$[ ^{1 ] [ 2 ]}ゲオルク・カントールは^濃度が${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$最小の無限大よりも大きい、すなわち、$\displaystyle \aleph _{0}}$彼はまた、${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$に等しい${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\!}$自然数の冪集合の濃度。

連続体の濃度は実数の集合の大きさである。連続体仮説は、連続体の濃度と自然数の濃度の間に濃度は存在しない、と述べることで表現されることがある。$\displaystyle \aleph _{0}}$あるいは、${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$[ ^{1 ]​}

レイモンド・ワイルダー（1965）によれば、集合Cと関係<を線形連続体にする4つの公理がある。

• Cは単純に < に関して順序付けられます。
• [ A,B ] がCのカットである場合、Aは最後の要素を持つか、Bは最初の要素を持つかのいずれかである。（デデキントカットと比較せよ）
• Cの空でない可算部分集合Sが存在し、x,y ∈ Cでx < yを満たすならば、z ∈ Sでx < z < yを満たすzが存在する。（分離性公理）
• Cには最初の要素も最後の要素もない。（非有界性公理）

これらの公理は、実数直線の順序型を特徴づける。

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• 超限数