初等算術

初等算術は、加算、減算、乗算、除算を含む数学の一分野です。抽象度が低く、応用範囲が広く、すべての数学の基礎となることから、初等算術は一般的に学校で最初に教えられる数学の分野です。^[¹^]^[²^]

数値システム

数体系において、数字は数値の値を表すために使用される文字です。数体系の一例として、主に使用されているインド・アラビア数字体系（0～9）があり、これは十進位取り記数法を使用しています。[ 3 ^]他の数体系には、カクトヴィク体系（アラスカ、カナダ、グリーンランドのエスキモー・アリュート語でよく使用される）があり、これは20進位取り記数法です。^[⁴^]使用する数体系に関係なく、算術演算の結果は影響を受けません。

後継関数と順序付け

初等算術では、自然数（0を含む）の次の自然数は、その数に1を加えた結果です。自然数（0を除く）の前の自然数は、その数から1を引いた結果です。たとえば、0の次の数は1であり、11の前の数は10です（ $0+1=1$ そして $11-1=10$ すべての自然数には後継数があり、0 を除くすべての自然数には前継数がある。^{[ 5 ]}

自然数には全順序があります。ある数が ( より大きい場合 $>$ )別の数値の場合、後者は(より小さい) $<$ ）前者。例えば、3は8より小さい（ $3<8$ ）、したがって8は3より大きい（ $8>3$ 自然数は整列しており、自然数の任意の部分集合には最小の要素が存在する。

数える

集合内の各要素に自然数を割り当てることで、最初の要素には1、それ以降の要素には1ずつ増加します。集合内の要素の数をカウントと呼びます。これは集合の濃度とも呼ばれます。

数えるということは、集計するプロセス、つまり、一連の物体それぞれに印をつけるプロセスを指す場合もある。

追加

加算は、2 つ以上の数 (加数または被加数と呼ばれる) を組み合わせて、結合された数 (和と呼ばれる) を生成する数学演算です。2 つの数の加算はプラス記号 ( $+$ [ ⁶^{]これは以下}^の規則に従って実行されます。

加数の順序は和に影響しません。これは加法の交換法則として知られています。(a + b) と (b + a) は同じ結果になります。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}
2つの数の和は一意であり、和には正しい答えが1つだけ存在する。^{[ 8 ]}

2桁の数字の合計が2桁の数になる場合、「十の位」の数字は「繰り上がり」と呼ばれます。^{[ 9 ]}初等算数では、生徒は通常、整数の加算を学び、負の数や分数などのトピックについても学ぶことがあります。

引き算

引き算は、2 つの数の差を計算します。減数とは、引かれる数、減数とは、引かれる数です。マイナス記号 ( $-$ マイナス記号は負の数を表すためにも使用されます。^{[ 10 ]}

引き算は交換法則を満たさないため、数の順序を変えると最終的な値が変わる可能性があります。 $3-5$ は、 $5-3$ 初等算術では、正の結果を得るためには、被減数は常に減数よりも大きくなければなりません。

引き算は、分離、結合（例えば、特定の集合の部分集合の大きさを求める）、およびその他の文脈における数量の算出にも使用されます。

引き算を行う方法はいくつかあります。伝統的な数学の方法では、手計算に適した方法を使用して引き算を行います。 ^{[ 11 ]}改革数学は一般的に、特定のテクニックを優先せず、生徒が独自の計算方法を考案するように指導することで特徴付けられます。

アメリカの学校では、繰り下がりを使った引き算の方法を教えています。^{[ 12 ]}次のような引き算の問題 $86-39$ 10 の位から 10 を借りて一の位に加えることで、引き算がしやすくなります。6 から 9 を引くには、10 の位から 10 を借りて、問題を次のようにします。 $70+16-39$ これは、8 を消してその上に 7 を書き、6 の上に 1 を書くことで示されます。これらの印は「松葉杖」と呼ばれ、1937 年 11 月に研究で使用したウィリアム A. ブラウネルによって発明されました。 ^{[ 13 ]}

オーストリア式（加算法とも呼ばれる）は、一部のヨーロッパ諸国で教えられています。前の方法とは対照的に、繰り下がりは使用されませんが、国によって異なる補助手段があります。^[¹⁴^]^[¹⁵^]加算法では、減数を増やす必要があります。これにより、前の問題は次のように変換されます。 $(80+16)-(39+10)$ 減数の数字の下に、注意書きとして小さな「1」が記されています。

例

792と308の数字を、一の位から引くと、2は8より小さい。繰り下がりの方法を使うと、90から10が繰り上がり、90は80になる。これにより問題は次のように変わる。 $12-8$ 。

十の位では、80と0の差は80です。

百の位では、700と300の差は400です。

結果：

$792-308=484$

乗算

乗算は、繰り返し加算を行う数学演算です。2つの数を掛け合わせると、その結果は積となります。掛け合わされる数は、被乗数、乗数、または因数と呼ばれます。乗算は、「5かける3は15」、「5かける3は15」、「15は5と3の積」のように表現できます。

乗算は、乗算記号（×）、アスタリスク（*）、括弧（）、またはドット（⋅）を使用して表されます。「5かける3は15です」という文は次のように書くことができます。 $5×3=15$ 「、」 $5\ast 3=15$ 「、」 $(5)(3)=15$ "、または " $5\cdot 3=15$ 「。

初等算術では、乗算は次の性質を満たす^{[ a ]}：

交換法則。積の順序を入れ替えても結果は変わりません。 $a\times b=b\times a$ 。
結合法則。積の括弧の順序を並べ替えても結果は変わりません。 $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ 。
分配法則。乗法は加算に対して分配法則が成り立つ。 $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 。
同一性。任意の数を1倍すると、その数自身になる。 $a\times 1=a$ 。
ゼロ。どんな数でも0を掛けると0になります。 $a\times 0=0$ 。

乗算アルゴリズムにおいて、2桁の数字の積の「十の位」の数字は「繰り上がり桁」と呼ばれます。

1桁の因数に対する乗算の例

729と3を掛け合わせると、一の位から始めて、9と3の積は27になります。7は一の位の下に書き、2は繰り上がりとして十の位の上に書きます。

2と3の積は6で、繰り上がりの数字は6に2を加えるので、十の位には8が書かれます。

7と3の積は21であり、これが最後の桁であるため、2は繰り上がりの桁として書かれず、代わりに1の横に書かれます。

結果：

3\times 729=2187

複数桁の因数に対する乗算の例

789と345を掛け合わせると、一の位から始めて、789と5の積は3945になります。

10の位は4です。乗数は40であり、4ではありません。789と40の積は31560です。

3は百の位の数字です。乗数は300です。789と300の積は236700です。

すべての製品を追加すると、

結果：

789\times 345=272205

分割

除算は算術演算であり、乗算の逆演算である。 $c\times b=a$ 。

割り算は次のように書ける $a\div b$ 、 ${\frac {a}{b}}$ 、またはa ⁄ b 。これは口頭では「 a をbで割る」または「a のb乗」と読むことができます。

英語圏以外の文化圏では、「a ÷ b」はa : bと表記されることがあります。英語では、コロンは比率を表す際にのみ使用されます（「aはbに対して」）。

方程式において $a\div b=c$ ここで、aは被除数、bは除数、cは商です。初等算術レベルでは、ゼロによる除算は不可能と考えられています。

2つの数を割り算するには、紙の上で筆算を用いることができます。割り算の簡略版である筆算は、除数が小さい場合に使用できます。

より体系的でない方法としては、チャンキングという概念があり、各段階で部分的な残差からより多くの倍数を差し引くという方法がある。

例

272 を 8 で割ると、百の位から始めると、2 は 8 で割り切れません。20 と 7 を足すと 27 になります。8 の除数に 27 を超えずに掛けられる最大の数は 3 なので、十の位に 3 を書きます。27 から 24 (3 と 8 の積) を引くと、余りは 3 になります。

一の位を見ると、数字は2です。30（余り3×10）と2を足すと32になります。32と8の商は4で、これが一の位に書かれています。

結果： $272\div 8=34$

バス停方式

一部の学校で教えられている別の分割方法はバス停方式で、次のように表記されることもあります。

  結果   （除数）被除数

以下に、上記と同じ例を用いて手順を示します。

0 3 4 8|272 0 ( 8 × 0 = 0) 2 7 ( 2 - 0 = 2 ) 24 ( 8 × 3 = 24) 3 2 (27 - 24 = 3 ) 32 ( 8 × 4 = 32) 0 (32 - 32 = 0)

結果：

$272\div 8=34$

教育水準

初等算数は通常、小学校または中学校レベルで教えられ、地域の教育基準によって規定されています。米国とカナダでは、初等算数の指導に使用される内容と方法について議論がありました。^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

注記

↑基本的な算術は主に自然数（場合によっては 0 を含む）の集合の下で行われますが、他の数の集合の下での乗算は、有理数やそれ以上のに逆元が存在すること、四元数やより高次の数の集合で可換性が欠如することなど、ここに挙げた性質よりも多かれ少なかれ性質を満たすことがあります。

参考文献

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