行列（数学）

2つの大きな角括弧があり、それぞれm行にn個の添え字付き文字「a」変数が含まれています。各文字「a」には、行番号と列番号が添え字として与えられます。 — m × $n$ 行列： $m$ 行は水平方向、 $n$ 列は垂直方向です。行列の各要素は、多くの場合、2 つの添え字が付いた変数で表されます $。$ たとえば、 $a$ $2,1 は$ 、行列の 2 行目、1 列目の要素を表します。

数学において、行列（複数形：行列）とは、行と列に要素またはエントリが配置された数値またはその他の数学的オブジェクトの長方形配列であり、通常は加算と乗算の特定の性質を満たします。

例えば、 ${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$ は、2行3列の行列を表します。これはしばしば「2×3行列」、2×3行列、または2×3次元行列と呼ばれます。

線形代数では、行列は線形写像として用いられます。幾何学では、行列は幾何学的変換（例えば回転）や座標変換に用いられます。数値解析では、多くの計算問題が行列計算に還元することで解決され、その過程で巨大な次元の行列を用いた計算が必要となることがよくあります。行列は、直接的に、あるいは幾何学や数値解析における利用を通して、数学や科学のほとんどの分野で用いられています。

正方行列、つまり行数と列数が等しい行列は、行列理論において重要な役割を果たします。正方行列の行列式は、行列に関連付けられた数値であり、正方行列の研究の基本となります。例えば、正方行列は、式がゼロでない場合に限り可逆であり、正方行列の固有値は、その特性多項式の根です。 $\det(\lambda IA)$ 。

行列理論は、行列の研究に焦点を当てた数学の一分野である。当初は線形代数の下位分野であったが、すぐにグラフ理論、代数学、組み合わせ論、統計学に関連する分野を含むように発展した。

意味

行列は、行列の「要素」と呼ばれる数値（またはその他の数学的対象）の長方形配列です。行列は、加算や乗算などの標準的な演算の対象となります。^[¹^]最も一般的なのは、体上の行列です。 $F$ は要素の長方形配列です。 $F$ ⁠ .^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}実数行列と複素数行列は、それぞれ要素が実数または複素数である行列です。より一般的な要素の種類については、以下で説明します。たとえば、これは実数行列です。 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.$

行列内の数値（またはその他のオブジェクト）は、そのエントリまたは要素と呼ばれます。行列内のエントリの水平方向と垂直方向の行は、それぞれ行と列と呼ばれます。^{[ 4 ]}

サイズ

行列のサイズは、その行数と列数によって定義されます。行列（通常の意味での）は、行数と列数が正の整数である限り、行数と列数に制限はありません。m行 $n列の行列は、$ $m$ × $n$ 行列^[⁴^]または $m$ × $n行列$ ^[⁵^]と呼ばれ、 $m$ と $nは$ その次元 $と$ 呼ばれます^[⁶^]。例えば、行列は ${\mathbf {A} }$ 上記は3×2行列です。

行が1つだけの行列は行行列または行ベクトルと呼ばれ、列が1つだけの行列は列行列または列ベクトルと呼ばれます。行数と列数が同じ行列は正方行列と呼ばれます。^{[ 7 ]}行数または列数（あるいはその両方）が無限にある行列は無限行列と呼ばれます。コンピュータ代数プログラムなどの一部のコンテキストでは、行も列もない行列（空行列と呼ばれる）を考慮すると便利です。^{[ 8 ]}

表記法

記号行列表記の具体的な方法は多岐にわたるが、いくつかの一般的な傾向が見られる。行列は一般的に角括弧または丸括弧で表され、^{[ 9 ]} $m$ × $n$ 行列は $\mathbf {A}$ は次のように表されます。 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$ これは、例えばインデックスとともに、単一の一般的な用語のみを記述することで省略できます。 $\mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{or}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}$ または $\mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ の場合⁠ $n=m$ ⁠ .

行列は通常、大文字（例： ${\mathbf {A} }$ 上記の例では）、^{[ 10 ]}一方、対応する小文字には2つの添え字インデックスが付いています（例：⁠ $a_{11}$ ⁠、または⁠ $a_{1,1}$ ⁠ ) はエントリを表します。^{[ 11 ]}行列を記号化するために大文字を使用することに加えて、多くの著者は、行列を他の数学的オブジェクトとさらに区別するために、一般的に太字ローマン（非イタリック体）などの特別な活字スタイルを使用します。別の表記法としては、変数名に二重下線を使用する方法があり、太字スタイルを使用する場合と使用しない場合があります。例： ⁠ ${\underline {\underline {A}}}$ ⁠ .^{[ 12 ]}

$行列A$ の $i$ 行 $j$ 列目の要素は、 ${i,j}$ または $(i,j)$ 行列の要素であり、一般的にはで表される。 $a_{i,j}$ または⁠ $a_{ij}$ ⁠ .^{[ 13 ]} その項目の別の表記法は次のとおりです。 ${\mathbf {A} [i,j]}$ そして $\mathbf {A} _{i,j}$ 例えば、 $(1,3)$ 次の行列のエントリ $\mathbf {A}$ $5$ です(また、と表記されます) $a_{13}$ ⁠、 ⁠ $a_{1,3}$ ⁠、 $\mathbf {A} [1,3]$ または⁠ ${\mathbf {A} }_{1,3}$ ⁠ ): $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}$

行列の要素は、次のような数式で定義されることがあります。 $a_{i,j}=f(i,j)$ 例えば、次の行列の各要素は $\mathbf {A}$ 式によって決定される $a_{ij}=i-j$ ⁠ . $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}$ この場合、行列自体が角括弧または二重括弧で囲まれた式によって定義されることがあります。たとえば、上記の行列は次のように定義されます。 ${\mathbf {A} }=[i-j]$ または⁠ $\mathbf {A} =((i-j))$ $行列のサイズがm$ × $n$ の場合、上記の式は $f(i,j)$ いずれにも有効です $i=1,\dots ,m$ そして、どんな $j=1,\dots ,n$ これは個別に指定することも、 $添え字としてm$ × $n$ を使用して示すこともできます。たとえば、行列 $\mathbf {A}$ 上記は3×4であり、次のように定義できます。 ${\mathbf {A} }=[i-j](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)$ または⁠ $\mathbf {A} =[i-j]_{3\times 4}$ ⁠ .

$一部のプログラミング言語では、 m$ × $n$ 行列を表すために二重添え字配列（または配列の配列）を使用します。一部のプログラミング言語では、配列インデックスの番号付けがゼロから始まるため、 $m$ × $n$ 行列のエントリは次のようにインデックス付けされます。 $0\leq i\leq m-1$ そして $0\leq j\leq n-1$ ⁠ .^{[ 14 ]} $この記事では、列挙が1$ から始まるという、数学の記述におけるより一般的な慣例に従います。

$m$ 行 $n$ 行の実数行列の集合は、しばしば次のように表される。 ${\mathcal {M}}(m,n)$ ⁠、または⁠ ${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )$ 別の体、または環 $R上のすべての$ $m$ × $n$ 行列の集合は、同様に次のように表記されます。 ${\mathcal {M}}(m,n,R)$ ⁠、または⁠ ${\mathcal {M}}_{m\times n}(R)$ $m = n$ の場合（例えば正方行列の場合）、次元は繰り返さない。 ${\mathcal {M}}(n,R)$ ⁠、または⁠ ${\mathcal {M}}_{n}(R)$ ⁠ .^{[ 15 ]}多くの場合、 ⁠ $M$ ⁠、または⁠ $\operatorname {Mat}$ ⁠ は⁠の代わりに使用されます ${\mathcal {M}}$ ⁠ .^{[ 16 ]}

基本操作

行列にはいくつかの基本的な演算を適用できます。転置や部分行列など、要素の性質に依存しない演算もあります。行列の加算、スカラー乗算、行列の乗算、行演算など、行列の要素に対する演算を含む演算もあり、そのため行列の要素が数値であるか、体または環に属している必要があります。^{[ 17 ]}

このセクションでは、行列の要素は固定された環（通常は数の体）に属するものと仮定します。

追加

行列の加算と減算には、一貫したサイズの行列が必要であり、要素ごとに計算されます。2つの $m$ × $n$ 行列の和 $A + B$ と差 $A - Bは次のようになります。$ ^[¹⁸^]

${\begin{aligned}({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\\({\mathbf {A}}-{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}-{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.\end{aligned}}$

例えば、

${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$

$数のよく知られた性質は、行列の$ これらの演算にも適用されます。たとえば、加算は可換であり、つまり、行列の和は被加算項の順序に依存しません。A $+$ $B$ $=$ $B$ $+$ $A$ 。^[¹⁹^]

スカラー乗算

数 $c$ (この文脈ではスカラーとも呼ばれる) と行列 $Aの積$ $c Aは、$ $A$ の各要素に $c$ を掛けることによって計算されます。^[²⁰^] $(c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}$ この演算はスカラー乗算と呼ばれますが、その結果は「スカラー積」とは呼ばれません。これは、「スカラー積」が「内積」の同義語としてよく使われるため、混乱を避けるためです。^{[ 21 ]}例えば、

$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

行列の減算は、行列の加算とスカラー乗算（ $-1）$ の組み合わせと一致する：^{[ 22 ]}

$\mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B}$

転置

$m$ × $n$ 行列 $A$ の転置行列は、行を列に、列を行に変換することによって形成される $n$ × $m$ 行列 $A$ $T$ ( $A$ $tr$ または $t$ $A$ とも表記される)です。 $\left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.$ 例えば： ${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}$

転置は加算とスカラー乗算と互換性があり、 $(c A) T = c (A T)$ および $(A + B) T = A T + B T$ で表されます。最後に、 $(A T) T = A$ です。^{[ 23 ]}

行列乗算

2 つの行列の乗算は、各行列によって表される線形変換の合成に対応します。これは、左の行列の列の数と右の行列の行の数が同じ場合に限り定義されます。A が m × n 行列で、B が n × p 行列である場合 $、$ $それら$ の $行列$ 積AB $は$ $、$ A $の$ 対応する行 $と$ $B$ の対応する列の $内積$ によってエントリが与えられる $m$ × $p$ 行列です。^[²⁴^] $[\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},$ ここで $1 \leq i \leq m$ および $1 \leq j \leq p で$ ある。^{[ 25 ]}例えば、積の下線付き項目 2340 は $、(2 \times 1000) + (3 \times 100) + (4 \times 10) = 2340 と計算される。$ ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

行列の乗算は、行列のサイズがさまざまな積が定義されるような場合、規則 $(AB) C = A (BC)$ (結合法則)、および $(A + B) C = AC + BC 、ならびに$ $C (A + B) = CA + CB$ (左分配法則および右分配法則) を満たします。^{[ 26 ]}積 $ABは、$ $BA$ が定義されていなくても定義できます。つまり、 $A$ と $B がそれぞれ$ $m$ × $n$ 行列と $n$ × $k$ 行列で、 $m \neq k の場合です。$ 両方の積が定義されている場合でも、一般に等しくする必要はありません。つまり、次のようになります。^{[ 27 ]} ${\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.$

言い換えれば、行列の乗算は可換ではない。これは、積が因数の順序に依存しない（有理数、実数、複素数）数とは著しく対照的である。^{[ 24 ]}互いに可換でない2つの行列の例は次のとおりである。 ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},$ 一方 ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.$

先に述べた通常の行列乗算の他に、乗算の一種とみなせる行列演算もいくつか存在する。例えば、アダマール積やクロネッカー積などである。^{[ 28 ]}これらは、シルベスター方程式などの行列方程式を解く際に現れる。^{[ 29 ]}

行操作

行操作には 3 つの種類があります: ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

行の追加、つまり、ある行を別の行に追加すること。
行乗算、つまり、ある行のすべての要素にゼロ以外の定数を乗じること。
行の入れ替え、つまり行列の2つの行を入れ替えること。

これらの操作は、線形方程式の解法やガウス消去法およびガウス・ジョルダン消去法による行列の逆行列の計算など、さまざまな方法で使用されます。^[³²^]

サブマトリックス

行列のサブマトリックスとは、任意の行または列、あるいはその両方を削除することによって得られる行列のことです。^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}例えば、次の3 × 4行列から、 3 行目と 2 列目を削除することで 2 × 3サブマトリックスを作成できます。 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.$

行列の小行列式と余因子は、特定のサブ行列の行列式を計算することによって求められます。^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}

主部分行列は、特定の行と列を削除して得られる正方部分行列です。定義は著者によって異なります。一部の著者によると、主部分行列とは、残る行インデックスの集合と残る列インデックスの集合が同じである部分行列です。^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}他の著者は、主部分行列を、ある数 $k$ に対して最初の $k$ 行と k 列が残る部分行列と定義しています。^[³⁹^]このタイプの部分行列は、主主部分行列とも呼ばれています。^[⁴⁰^]

線形方程式

行列は、複数の線形方程式、すなわち連立線形方程式を簡潔に記述し、扱うために使用できます。たとえば、 $A$ が $m$ × $n$ 行列で、 $x$ が n 個の変数 $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、 ...、$ $x$ $n$ の列ベクトル (つまり $n$ × 1行列)を表し $、$ $b$ が $m$ × 1列ベクトルである場合、行列方程式は次のようになります $。$ $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ 線形方程式系^{[ 41 ]と同等である。} ${\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}$

行列を使用すると、すべての方程式を個別に書き出すよりもコンパクトに解くことができます。n = m で方程式が独立している場合は $、 [$ 42 ]^の^よう^に記述することで実行できます $。$ $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$ ここで、 $A -1は$ $A$ の逆行列です。A に逆行列がない場合 $、$ 解（存在する場合）は一般化逆行列を使用して見つけることができます。^[⁴³^]

線形変換

行列と行列の乗算は、線形変換（線形写像とも呼ばれる）と関連付けると、その本質的な特徴が明らかになる。実数 $m$ × $n$ 行列 $A$ は線形変換を生み出す。 $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 各ベクトル $x$ をにマッピングします $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠（行列）積 $Ax$ は、のベクトルです。 $\mathbb {R} ^{m}.$ 逆に、各線形変換 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ $これは、一意のm$ 行 $n$ 列の行列 $A$ から生じます。具体的には、 $A$ の $(i, j)要素は$ $f$ $($ $e$ $j$ $)の$ $i$ 番目の座標であり、 $e$ $j$ $= (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)は$ $j$ 番目の位置に $1 があり、それ以外の位置に$ $0 が$ ある単位ベクトルです。行列 $A$ は線形写像 $f$ を表すと言われ、 $A$ $はf$ の変換行列と呼ばれます。^[⁴⁴^]

例えば、2×2行列 $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ これは、単位正方形を頂点が $(0, 0)$ 、 $($ $a$ $、$ $b$ $)$ 、 $($ $a$ $+$ $c$ $、$ $b$ $+$ $d$ $)$ 、および $($ $c$ $、$ $d$ $)にある$ 平行四辺形に変換するものと見なすことができます。右図の平行四辺形は、 $A$ に各列ベクトルを乗算することによって得られます。 $\left[{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}\right]$ ⁠、 ⁠ $\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ ⁠、 ⁠ $\left[{\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}\right]$ ⁠、そして⁠ $\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$ ⁠順に。これらのベクトルは単位正方形の頂点を定義します。^{[ 45 ]}次の表は、 ⁠の関連する線形写像を持ついくつかの2 × 2実数行列 $\mathbb {R} ^{2}$ 青色のオリジナル画像は、緑色のグリッドと図形にマッピングされます。原点 $（0, 0）$ は黒い点で示されています。

行列と線形写像の1対1対応の下では、行列の乗算は写像の合成に対応する。^{[ 50 ]} $k$ × $m$ 行列 $Bが$ 別の線形写像を表す場合 $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}$ ⁠、すると合成 $g \circ fは$ ^[⁵¹^]により $BA$ で表される。 $(g\circ f)({\mathbf {x}})=g(f({\mathbf {x}}))=g({\mathbf {Ax}})={\mathbf {B}}({\mathbf {Ax}})=({\mathbf {BA}}){\mathbf {x}}.$

最後の等式は、上述の行列乗算の結合法則から導かれる。

行列 $A$ のランクは、その行列の線形独立な行ベクトルの最大数であり、これは線形独立な列ベクトルの最大数と同じです。^{[ 52 ]}同様に、それは $A$ で表される線形写像の像の次元です。^[⁵³^]ランク零性定理は、行列の核の次元とランクの合計が、その行列の列数に等しいと述べています。 ^[⁵⁴^]

正方行列

正方行列とは、行数と列数が同じ行列のことです。n $\times$ $n$ 行列は、 $n$ 次の正方行列として知られています。同じ次数の2つの正方行列は加算および乗算できます。要素 $a ii$ は正方行列の主対角線を形成します。これらは、行列の左上隅から右下隅まで走る仮想線上にあります。^{[ 55 ]}

与えられた次元の正方行列は非可換環を形成し、これは非可換環の最も一般的な例の1つである。^{[ 56 ]}

主な種類

対角行列と三角行列

主対角線より下の要素がすべてゼロの場合、 $A$ は $上$ 三角行列と呼ばれます。同様に、主対角線より上の要素がすべてゼロの場合、 $A$ $は$ 下三角行列と呼ばれます。^{[ 57 ]}主対角線以外の要素がすべてゼロの場合、 $A$ は対角行列と呼ばれます。^{[ 58 ]}

単位行列

サイズ $nの$ 単位行列 I $n は$ 、主対角線上のすべての要素が $1$ に等しく、他のすべての要素が $0$ に等しい $n$ × $n$ 行列です。^[⁵⁹^]例えば、 ${\begin{aligned}\mathbf {I} _{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\\[4pt]\mathbf {I} _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\\[4pt]\vdots &\\[4pt]\mathbf {I} _{n}&={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ $これはn$ 次正方行列であり、特殊な対角行列でもあります。この行列を単位行列と呼ぶのは、この行列を乗算しても行列が変化しないためです。^{[ 59 ]} ${\mathbf {AI}}_{n}={\mathbf {I}}_{m}{\mathbf {A}}={\mathbf {A}}$ $任意のm$ 行 $n$ 行列 $A$ に対して。

単位行列のスカラー倍をスカラー行列と呼ぶ。^{[ 60 ]}

対称行列または歪対称行列

正方行列 $A$ がその転置行列と等しい場合、つまり $A = A T$ は対称行列です。一方、 $A$ がその転置行列の負の値と等しい場合、つまり $A = - A T$ は、 $A$ が歪対称行列です。複素行列では、対称性はしばしばエルミート行列の概念に置き換えられます。エルミート行列は $A * = A$ を満たし、ここで星印またはアスタリスクは行列の共役転置、つまり $A$ の複素共役の転置を表します。^[⁶¹^]

スペクトル定理によれば、実対称行列と複素エルミート行列は固有基底を持ちます。つまり、すべてのベクトルは固有ベクトルの線形結合として表現できます。どちらの場合も、すべての固有値は実数です。^{[ 62 ]}この定理は、無限に多くの行と列を持つ行列に関連する無限次元の状況に一般化できます。^{[ 63 ]}

可逆行列とその逆行列

正方行列 $A$ は、次の条件を満たす行列 $Bが存在する場合に$ 可逆または非特異であると呼ばれます。^[⁶⁴^]^[⁶⁵^] ${\mathbf {AB}}={\mathbf {BA}}={\mathbf {I}}_{n},$ ここで、 $I nは$ $n$ × $n$ の単位行列であり、主対角線上の各要素は $1$ 、それ以外の要素は $0 です$ 。B が存在する場合 $、それは一意であり、$ $A$ の逆行列と呼ばれ、 $A$ $-1$ と表記されます。^[⁶⁶^]

正方行列が可逆であるかどうかをテストし、可逆であればその逆行列を計算するアルゴリズムは数多く存在する。最も古いアルゴリズムの1つで、現在でも広く使われているのがガウス消去法である。^{[ 67 ]}

定値行列

対称実数行列 $A$ は、関連する二次形式が次の条件を満たす場合に 正定値であると呼ばれる。 $f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}$ $は、のすべての非ゼロベクトルx$ に対して正の値をとる。 $\mathbb {R} ^{n}$ $f (x) が$ ^負の値のみを生成する場合 $、 Aは$ 負定値行列です。f $が$ 負の値と正の値の両方を生成する $場合、 Aは$ 不定値行列です。^[ 68 ^] 2 次形式 $f$ が非負の値 (正またはゼロ) のみを生成する場合、対称行列は正半定値行列と呼ばれます(または非正の値のみを生成する場合は、負半定値行列と呼ばれます)。したがって、行列が不定値となるのは、正半定値行列でも負半定値行列でもない場合に限ります。^{[ 69 ]}

対称行列は、そのすべての固有値が正である場合に限り正定値である。つまり、行列は正半定値であり、可逆である。^{[ 70 ]}右側の表は、2×2行列の2つの可能性を示している。対角行列の固有値は、対角線上の要素にすぎないので、^{[ 71 ]}これらの例では、固有値は行列自体から直接読み取ることができる。最初の行列は2つの固有値が両方とも正であり、2番目の行列は1つが正で、もう1つが負である。

入力として 2 つの異なるベクトルを許可すると、 $A$ に関連付けられた双線形形式が得られます。^[⁷²^] $B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.$

複素行列の場合、同じ用語と結果が適用され、対称行列、二次形式、双線形形式、転置行列 $x T$ はそれぞれエルミート行列、エルミート形式、半双線形形式、共役転置行列 $x H$ に置き換えられます。^{[ 73 ]}

直交行列

直交行列とは、列と行が直交単位ベクトル（つまり正規直交ベクトル）である実数成分を持つ正方行列のことである。[ ⁷⁴^]^同様に、行列 $Aの$ 転置行列が逆行列と等しい場合、その行列は直交行列である。 $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,$ それは、 $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},$ ここで、 $I n$ はサイズ $nの$ 単位行列である。^[⁷⁵^]

直交行列 $A$ は必ず可逆（逆行列 $A - 1 = A T$ ）、ユニタリ（ $A - 1 = A *$ ）、正規（ $A * A = AA *$ ）である。任意の直交行列の行列式は $+1$ または $-1$ のいずれかである。特別な直交行列とは、行列式が $+1$ の直交行列である。線形変換として、行列式が $+1$ のすべての直交行列は、鏡映を伴わない純粋な回転である。つまり、変換によって変換された構造の向きが保持される。一方、行列式が $-1のすべての直交行列は向きを反転する。つまり、純粋な$ 鏡映と（場合によってはゼロ）回転の合成である。単位行列の行列式は $1$ であり、角度 0 による純粋な回転である。^{[ 76 ]}

直交行列の複素数版はユニタリ行列である。^{[ 77 ]}

主な業務

トレース

正方行列 A のトレース $tr$ ( $A) は$ 、その対角成分の合計です。上記のように行列の乗算は可換ではありませんが、 2 つの行列の積のトレースは因子の順序に依存しません。^[⁷⁸^] $\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$ これは行列乗算の定義からすぐにわかります。^{[ 79 ]} $\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$ したがって、2 つ以上の行列の積のトレースは、行列の巡回置換に依存しないことがわかります。ただし、これは一般に任意の置換には適用されません。たとえば、一般に $tr(ABC) \neq tr(BAC)です。$ ^{[ 80 ]}また、行列のトレースはその転置行列のトレースと等しくなります。^{[ 81 ]}つまり、 $\operatorname {tr} ({\mathbf {A}})=\operatorname {tr} ({\mathbf {A}}^{\rm {T}}).$

決定要因

\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} — 上の線形変換 $\mathbb {R} ^{2}$ 示された行列によって与えられます。右側の緑色の平行四辺形の面積は 1 なので、この行列の行列式は −1 ですが、 $マップ$ $は$ ベクトルの反時計回りの向きを時計回りに反転させるため、向きが反転します。

正方行列 $A$ の行列式( det $($ $A$ $)$ または $|$ $A$ $|$ と表記) は、行列の特定の性質を表す数値です。行列が可逆であるのは、その行列式がゼロでない場合のみです。 ^[⁸²^]その絶対値は面積 (単位は⁠です) に等しくなります。 $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ ) またはボリューム (in ⁠ ) $\mathbb {R} ^{3}$ ⁠ ) は単位正方形 (または立方体) の像を表し、その符号は対応する線形マップの向きに対応します。行列式は、向きが保持されている場合に限り正になります。^{[ 83 ]}

2 × 2行列の行列式は^[⁸⁴^]で与えられます。 $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$ 3 × 3行列の行列式は6 つの項から構成されます (サラスの法則)。より長いライプニッツの公式は、これら 2 つの公式をすべての次元に一般化したものです。^{[ 85 ]}

正方行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい。 $\det({\mathbf {AB}})=\det({\mathbf {A}})\cdot \det({\mathbf {B}}),$ または別の表記法を使用する: ^{[ 86 ]} $|{\mathbf {AB}}|=|{\mathbf {A}}|\cdot |{\mathbf {B}}|.$ 任意の行の倍数を別の行に加えたり、任意の列の倍数を別の列に加えたりしても、行列式は変わりません。 2 つの行または 2 つの列を入れ替えると、行列式に $-1$ を掛けることで影響します。^{[ 87 ]}これらの操作を使用すると、任意の行列を下三角行列 (または上三角行列) に変換でき、そのような行列の場合、行列式は主対角の要素の積に等しくなります。これにより、任意の行列の行列式を計算する方法が提供されます。最後に、ラプラス展開は、行列式を小行列式、つまりより小さな行列の行列式で表します。^{[ 88 ]}この展開は、行列式の再帰的な定義に使用できます (開始ケースとして、 1 × 1行列の行列式 (これは唯一の要素です)、または0 × 0行列の行列式 (これは $1$ です) を取ります)。これは、ライプニッツの公式と同等であることがわかります。行列式は、クラメルの公式を用いて線形システムを解くために使用できます。クラメルの公式では、関連する2つの正方行列の行列式の割り算が、システムの各変数の値に等しくなります。^[⁸⁹^]

固有値と固有ベクトル

番号 ${\textstyle \lambda }$ 非ゼロベクトル $v$ が $\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ $これらはそれぞれA$ の固有値および固有ベクトル と呼ばれます。^[⁹⁰^]^[⁹¹^]数 $λが$ $n$ × $n$ 行列 $A$ の固有値であるのは、 $($ $A$ $-$ $λ$ $I$ $n$ $)$ が可逆でない場合のみであり、これは以下と同等です。 ^[⁹²^] $\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.$ 不定行列 $X$ の行列式 $det($ $X$ $I$ $n$ $-$ $A$ $)$ の評価によって与えられる多項式 $p A は$ $、 A$ の特性多項式と呼ばれます。これは次数 $n$ の単項式です。したがって、多項式方程式 $p$ $A$ $($ $λ$ $) = 0$ は、最大で $n 個の$ 異なる解、つまり行列の固有値を持ちます。^[⁹³^] $A$ の要素が実数であっても、それらは複素数になることがあります。^[⁹⁴^]ケイリー・ハミルトンの定理によれば、 $p$ $A$ $($ $A$ $) =$ $0$ 、つまり、行列自体をその特性多項式に代入した結果は零行列になります。^[⁹⁵^]

計算上の側面

行列計算は、さまざまな手法で実行できる場合が多い。多くの問題は、直接アルゴリズムと反復アプローチの両方で解決できる。たとえば、正方行列の固有ベクトルは、 $n が$ 無限大に近づくときに固有ベクトルに収束するベクトル列 $x n$ を見つけることで得られる。^[⁹⁶^]

それぞれの問題に最適なアルゴリズムを選択するには、利用可能なすべてのアルゴリズムの有効性と精度の両方を判断することが重要です。これらの問題を研究する分野は数値線形代数と呼ばれます。^{[ 97 ]}他の数値的な状況と同様に、2つの主要な側面はアルゴリズムの複雑さと数値的な安定性です。

アルゴリズムの複雑さを決定するということは、例えば行列の乗算など、あるアルゴリズムを実行するために必要なスカラーの加算や乗算といった基本演算の上限または推定値を求めることを意味します。上記の定義を用いて 2 つの $n$ × $n$ 行列の行列積を計算するには $n 3 回の$ 乗算が必要です。これは、積の $n 2$ 個の要素のいずれに対しても n 回の乗算が必要となるため $です$ 。Strassenアルゴリズムはこの「素朴な」アルゴリズムよりも優れており、 $n 2.807 回の$ 乗算しか必要としません。^{[ 98 ]} 理論的にはより高速ですが実用的ではない行列乗算アルゴリズムが開発されており、^{[ 99 ]} MapReduceなどの並列アルゴリズムや分散コンピューティングシステムを使用してこの問題を高速化する手法も開発されています。^[¹⁰⁰^]

多くの実際的な状況では、関係する行列に関する追加情報が既知である。重要なケースは疎行列、つまり要素のほとんどがゼロである行列に関するものである。例えば、疎行列 $Aの線形システム$ $Ax = b$ を解くための、共役勾配法などの特別に適合したアルゴリズムが存在する。^[¹⁰¹^]

アルゴリズムは、おおまかに言えば、入力値のわずかな変動が結果に大きな変動をもたらさない場合に、数値的に安定していると言えます。例えば、行列の逆行列は、その随伴行列を計算することで求めることができます。 ${\mathbf {A}}^{-1}=\operatorname {adj} ({\mathbf {A}})/\det({\mathbf {A}}).$ しかし、行列の行列式が非常に小さい場合、これは大きな丸め誤差につながる可能性があります。行列のノルムは、行列の逆行列を計算するなどの線形代数問題の条件を捉えるために使用できます。^{[ 102 ]}

分解

行列をより扱いやすい形式に変換する方法はいくつかあります。これらは一般的に行列分解または行列因数分解の手法と呼ばれています。これらの手法は計算を容易にするため、注目されています。

LU分解は、行列を下三角行列（ $L$ ）と上三角行列（ $U$ ）の積として分解します。 ^{[ 103 ]}この分解が計算されると、線形システムは、前方代入と後方代入と呼ばれる単純な手法によってより効率的に解くことができます。同様に、三角行列の逆行列は、アルゴリズム的に計算が容易になります。ガウス消去法は同様のアルゴリズムであり、任意の行列を行階段形に変換します。^{[ 104 ]}どちらの方法も、適切な基本行列を行列に乗算することによって進められます。これは、行または列の置換と、ある行の倍数を別の行に加えることに対応します。特異値分解（SVD）は、任意の行列 $Aを$ $UDV *の$ 積として表します。ここで、 $U$ と $V$ はユニタリ行列であり、 $D$ は対角行列です。^{[ 105 ]}

固有値分解または対角化は、 $A を$ 積 $VDV -1$ として表します。ここで、 $D$ は対角行列、 $V$ は適切な可逆行列です。^{[ 106 ]} $A$ がこの形式で書ける場合、対角化可能と呼ばれます。より一般的に、すべての行列に適用できるジョルダン分解は、行列をジョルダン標準形に変換します。つまり、非ゼロ要素が $A$ の固有値 $λ 1$ から $λ n$ のみであり、主対角線上に配置され、場合によっては主対角線の真上に 1 に等しい要素がある行列です（右図参照）。^[¹⁰⁷^]固有値分解が与えられれば、 $A$ $のn$ 乗（つまり、 $n$ 回繰り返した行列乗算）は、次のように計算できます。 ${\mathbf {A}}^{n}=({\mathbf {VDV}}^{-1})^{n}={\mathbf {VDV}}^{-1}{\mathbf {VDV}}^{-1}\ldots {\mathbf {VDV}}^{-1}={\mathbf {VD}}^{n}{\mathbf {V}}^{-1}$ 対角行列のべき乗は、対応する対角要素のべき乗を取ることで計算でき、これは $A$ のべき乗を行うよりもはるかに簡単です。これを利用して、線形微分方程式、行列の対数、行列の平方根を解く際によく必要となる行列指数 $e A$ を計算できます。^[¹⁰⁸^]数値的に条件が悪い状況を避けるために、シューア分解などのさらなるアルゴリズムを使用できます。^[¹⁰⁹^]

抽象代数的側面と一般化

行列はさまざまな方法で一般化できます。抽象代数では、より一般的な体や環の要素を持つ行列を使用しますが、線形代数では、行列の性質を線形写像の概念でコード化します。無限に多くの列と行を持つ行列を考えることができます。もう 1 つの拡張はテンソルで、これは数値の高次元配列と見なすことができます。ベクトルは多くの場合、数値のシーケンスとして実現できますが、行列は数値の長方形または 2 次元配列です。^{[ 110 ]}特定の要件を満たす行列は、行列群として知られるグループを形成する傾向があります。^{[ 111 ]}同様に、特定の条件下では、行列は行列環として知られる環を形成します。^[¹¹²^]行列の積は一般には可換ではありませんが、特定の行列は、行列体と呼ばれることもある体を形成します。^[¹¹³^] (ただし、「行列体」という用語は曖昧で、ある空間の点を連続的に行列に写像する特定の物理場の形式も指します。 ^[¹¹⁴^] )一般に、任意の環上の行列とその乗算は、その環上の行列の圏である圏の矢印と矢印の合成として表すことができます。この圏の対象は自然数であり、行列の次元を表します。^[¹¹⁵^]

体または環に要素を持つ行列

この記事では、要素が実数または複素数である行列に焦点を当てています。しかし、行列は実数や複素数よりもはるかに一般的なタイプの要素を持つものとして考えることができます。一般化の第一歩として、加算、減算、乗算、除算演算が定義され、適切に動作する集合である任意の体（フィールド）を、実数または複素数の代わりに使用できます。 $\mathbb {R}$ または $\mathbb {C}$ 例えば、有理数や有限体など。例えば、符号理論では有限体上の行列が用いられます。^{[ 116 ]}固有値は多項式の根であるため、行列の要素の体よりも大きな体でのみ存在し得ます。例えば、実数要素を持つ行列の場合、固有値は複素数となる可能性があります。行列の要素をより大きな体の要素として再解釈する（例えば、実数行列を、要素がすべて実数である複素数行列とみなす）ことで、各正方行列が完全な固有値セットを持つと考えることができます。^{[ 117 ]}あるいは、代数的に閉じた体上の要素を持つ行列のみを考えることもできます。例えば、 $\mathbb {C} ,$ 最初から^。 [ ^{118 ]}

要素が多項式である行列[ ¹¹⁹^]、より一般的には環 $Rの要素を持つ行列は$ ^、数学で広く使用されています。^[¹^]環は、除算演算が存在する必要がないという点で、体よりも一般的な概念です。行列の加算と乗算演算も、この設定にそのまま適用されます。 $R$ 上のすべての $n$ × $n正方行列の集合$ $M($ $n$ $,$ $R$ $) ($ $M$ $n$ $(R)$ ^[¹⁵^]とも表記) は、行列環と呼ばれる環であり、左 $R$ 加群 $R$ $n$ の自己準同型環と同型です。^[¹²⁰^]環 $R$ が可換、つまり乗算が可換である場合、環 $M($ $n$ $,$ $R$ $)は$ $R$ 上の結合代数でもあります。可換環 $R上の正方行列の$ 行列式は、ライプニッツの公式を使用して定義できます。このような行列は、その行列式が $R$ で可逆である場合に限り可逆であり、すべての非ゼロ要素が可逆である体 $F$ 上の状況を一般化したものである。^[¹²¹^]スーパーリング上の行列はスーパー行列と呼ばれる。^[¹²²^]

行列は、すべての要素が同じ環に属するとは限らず、そもそも環に属していない場合もあります。特殊ではありますが、よくあるケースとしてブロック行列があります。ブロック行列は、要素自体が行列である行列と考えることができます。要素は正方行列である必要はなく、したがってどの環の要素である必要もありません。ただし、それらを乗算するには、そのサイズが特定の条件を満たす必要があります。全体の積を形成するために乗算される部分行列の各ペアは、互換性のあるサイズでなければなりません。^{[ 123 ]}

線形マップとの関係

線形マップ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ $は、$ 上記のように $m$ × $n$ 行列と同等です。より一般的には、有限次元ベクトル空間間の任意の線形 $写像$ $f$ $:$ $V$ $\to$ $W$ $は、$ $V$ の基底 $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ と $W$ の基底 $w$ $1$ $, ...,$ $w$ $m$ ( $nは$ $V$ の次元、 $mは$ $W$ の次元) $を$ 選択した後、行列 A = $( a ij$ ) で記述できます。 $f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.$ 言い換えれば、 $A$ の列 $j は、$ $W$ の基底ベクトル $w$ $i$ に関して $v$ $j$ の像を表します。したがって、この関係によって行列 $A$ の要素が一意に決定されます。行列は基底の選択に依存します。異なる基底の選択は、異なるが等価な行列を生み出します。^[¹²⁴^]上記の具体的な概念の多くは、この観点から再解釈できます。たとえば、転置行列 $A$ $T$ は、双対基底に関して、 $A$ で与えられる線形写像の転置を表します。^[¹²⁵^]

これらの性質はより自然に言い換えることができる。すなわち、ある体に属する要素を持つ行列の圏である。 $k$ 乗法を合成とすることは、有限次元ベクトル空間とこの体上の線形写像の圏と同等である。 ^[¹²⁶^]

$より一般的には、 m$ × $n$ 行列の集合は、単位元を持つ任意の環 $R$ $の$ 自由加群 $R$ $m$ と $R$ $n$ $の間のR$ 線形写像を表すために使用できます。n $=$ $m$ の場合、これらの写像の合成が可能であり、これにより $R$ $n$ の自己準同型環を表す $n$ × $n$ 行列の行列環が生じます。^[¹²⁷^]

マトリックスグループ

群とは、ある一定の条件を満たす、2つの対象を3つ目の対象と組み合わせる演算である二項演算と、対象群の集合から構成される数学的構造である。[ 128 ^]対象が可逆である群 $n\times n$ 行列と群演算は行列乗算であり、次数の行列群と呼ばれます。 $n$ ⁠ .^{[ 129 ]}このような行列群はすべて、すべての可逆行列の群の部分群（つまり、その中に含まれるより小さな群）です。 $n\times n$ 行列、次数の一般線形群 $n$ ⁠ .^{[ 130 ]}

正方行列の積と逆行列の下で保存される任意の性質を使用して、行列群を定義できます。たとえば、すべての⁠ $n\times n$ $行列式が1$ である行列は、次数の特殊線形群と呼ばれる群を形成します。 $n$ ⁠ .^{[ 131 ]}条件によって決定される直交行列の集合 ${\mathbf {M}}^{\rm {T}}{\mathbf {M}}={\mathbf {I}},$ 直交群を形成する。^{[ 132 ]}すべての直交行列は、行列式が $1$ または $-1である。行列式が$ $1$ の直交行列は、特殊直交群と呼ばれる群を形成する。^{[ 133 ]}

対称群の正則表現を考察すれば分かるように、すべての有限群は行列群と同型である。^[¹³⁴^]表現論を用いて比較的よく理解されている行列群を用いて、一般群を研究することができる。^[¹³⁵^]

無限行列

無限に多くの行と列を持つ行列を考えることも可能です。^{[ 136 ]}この場合も、上記で紹介した基本演算は同じように定義されます。ただし、行列の乗算、およびそこから派生するすべての演算は、特定の行列に限定した場合にのみ意味を持ちます。これは、上記の行列積の定義に含まれる和が無限個の被加数を含むためです。^{[ 137 ]}この問題を回避する簡単な方法は、すべての行（または列）に有限個の非ゼロ項のみを含む有限行列に限定することです。[ ^{138 ]有限}の場合（上記参照）と同様に、行列が線形写像を表す場合、無限行列は、収束と連続性の問題が生じるヒルベルト空間上の作用素を表すために使用できます。しかし、行列の明示的な観点は問題を曖昧にする傾向があり、^[¹³⁹^]代わりに、関数解析の抽象的でより強力なツールが使用され、行列を線形マップに関連付け（上記の有限の場合のように）、追加の収束と連続性の制約を課します。

空の行列

空行列とは、行数または列数（あるいはその両方）がゼロである行列のことです。^{[ 140 ]}^{[ 8 ]}空行列は、特定の再帰的構成の有用な基本ケースとなることがあり、 ^[¹⁴¹^]ゼロベクトル空間を含むマップを扱うのに役立ちます。^[¹⁴²^]例えば、 $A$ が3 × 0行列で、 $Bが$ 0 × 3行列である場合、 $AB$ $は 3 次元空間V$ からそれ自身へのヌルマップに対応する3 × 3ゼロ行列であり、 $BAは$ 0 × 0行列です。空行列には共通の表記法はありませんが、ほとんどのコンピュータ代数システムでは、空行列の作成と計算が可能です。^[¹⁴³^] 0 × 0行列の行列式は、行列式のライプニッツの公式に空積が現れることと一致するように、慣習的に 1 と定義されています。 ^[¹⁴⁴^]この値は、行列式をより小さな行列の行列式に関連付けるデナノ・ヤコビ恒等式の2 × 2の場合との整合性を保つためにも必要です。 ^[¹⁴⁵^]

半環に要素を持つ行列

半環は環に似ていますが、要素は加法逆元を持つ必要がないため、自由に減算を行うことはできません。環の要素を持つ行列の加算と乗算の定義は、半環の要素を持つ行列にもそのまま適用されます。半環の要素を持つ固定サイズの行列は、可換モノイドを形成します。 $\operatorname {Mat} (m,n;R)$ 加算に関して。^{[ 146 ]}半環内の要素を持つ固定サイズの正方行列は半環を形成する。 $\operatorname {Mat} (n;R)$ 加算と乗算の下で。^{[ 146 ]}

$n$ × $n$ 正方行列の行列式 $M$ 可換半環のエントリを持つ $R$ 半環要素の加法逆元を含む定義が必要となるため、一般に定義することはできない。その代わりに、正の行列式と負の行列式のペアがその役割を果たす。

\det \nolimits _{+}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}

\det \nolimits _{-}M=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (n)\setminus \operatorname {Alt} (n)}M_{1\sigma (1)}\cdots M_{n\sigma (n)}

ここで、和はそれぞれ偶数順列と奇数順列について取られる。^{[ 147 ]}^{[ 148 ]}

あるカテゴリに属するエントリを持つ行列

行列とその乗算は、環における乗算に似た「テンソル積」を備えた圏のエントリオブジェクトによって定義できます。テンソル積は環における加算に似ており、前者は後者に対して分配法則を満たします。 ^[¹⁴⁹^]ただし、このように定義された乗算は、通常よりも弱い意味で結合法則を満たすだけかもしれません。これらは、行列の双圏と呼ばれるより大きな構造の一部です。興味のある読者のために、上記の要約の完全な説明を以下に示します。

させて $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ 以下の2つの条件を満たすモノイド圏とする。

すべての（小さな）副産物が存在する。特に、 $\varnothing$ 初期オブジェクトである。
ファンクター $\otimes$ はコプロダクトに対して分配法則が成り立つ。すなわち、すべてのオブジェクトに対して $X$ そして一連のオブジェクト $(Y_{i})_{i\in I}$ で ${\mathcal {C}}$ 正典 ${\mathcal {C}}$ -射 $\coprod _{i\in I}(X\otimes Y_{i})\to X\otimes \coprod _{i\in I}Y_{i}$ $\coprod _{i\in I}(Y_{i}\otimes X)\to \left(\coprod _{i\in I}Y_{i}\right)\otimes X$ 同型写像である。特に、標準射は $\varnothing \to X\otimes \varnothing$ そして $\varnothing \to \varnothing \otimes X$ これらは同型写像である。

次に、双圏 ${\mathcal {C}}$ -行列 $\operatorname {Mat} ({\mathcal {C}})$ 以下に示します。^{[ 149 ]}

対象は集合である。
1-射 $M\colon A\to B$ $M\colon A\to B$ 地図 $M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ $M\colon A\times B\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ これは単に行列です ${\mathcal {C}}$ $\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 。
- 1-射の合成 $M\colon A\to B$ そして $N\colon B\to C$ 行列乗算として理解できるは $(N\circ M)(a,c)=\coprod _{b\in B}M(a,b)\otimes N(b,c).$
- 上の恒等1-射 $A$ は $\operatorname {id} _{A}(a,b)={\begin{cases}I&a=b\\\varnothing &a\neq b\end{cases}}.$
1-射間の2-射 $M,N\colon A\to B$ は家族です ${\mathcal {C}}$ -射 $(f_{ab}\colon M(a,b)\to N(a,b))_{(a,b)\in A\times B}$ 2-射の垂直合成と水平合成の定義は自然である。垂直合成は、 ${\mathcal {C}}$ -射;水平合成は関数性から派生したものである。 $\otimes$ そして、副産物の普遍的な性質。

一般に、行列の双圏は厳密な2-圏である必要はない。例えば、1-射の合成は、通常の厳密な意味では結合的ではなく、コヒーレント同型を除いてのみ結合的である可能性がある。

アプリケーション

行列は数学だけでなく他の科学分野にも数多くの応用例があります。中には、行列による数値のコンパクトな表現を利用するだけのものもあります。例えば、テキストマイニングや自動シソーラス作成では、 tf-idfなどの文書-単語行列を使用して、複数の文書における特定の単語の出現頻度を追跡します。^[¹⁵⁰^]

複素数は、特定の実数2×2行列によって表現できます。 $a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},$ 複素数と行列の加算と乗算が互いに対応している。例えば、2×2回転行列は、上記のように絶対値1の複素数との乗算を表す。同様の解釈は、四元数^[¹⁵¹^]やクリフォード代数全般にも可能である。 ^[¹⁵²^]

ゲーム理論と経済学では、利得行列は、与えられた（有限の）戦略セットからプレイヤーが選択する戦略に応じて、2 人のプレイヤーの利得を符号化します。^{[ 153 ]}両方のプレイヤーが混合戦略を実行する場合のゲームの期待結果は、この行列の両側に戦略を表すベクトルを乗じることによって得られます。^{[ 154 ]}ゲーム理論の中心であるミニマックス定理は、行列とベクトルの積で定式化されることが多い線形計画の双対性理論と密接に関連しています。^{[ 155 ]}

ヒル暗号などの初期の暗号化技術も行列を使用していた。しかし、行列の線形性のため、これらのコードは比較的簡単に解読できる。^[¹⁵⁶^]コンピュータグラフィックスでは、オブジェクトを表現するために行列を使用し、理論的なカメラ観測に対応する3次元オブジェクトを2次元スクリーンに投影するなどのタスクを実行するためにアフィン回転行列を使用してオブジェクトの変換を計算し、シャープ化、ぼかし、エッジ検出などの画像畳み込みを適用します。^[¹⁵⁷^]多項式環上の行列は、制御理論の研究において重要です。^[¹⁵⁸^]

化学では、特に量子論を用いて分子結合や分光法を議論するようになってから、さまざまな方法で行列が利用されるようになった。例としては、ハートリー・フォック法の分子軌道を得るためにルートハン方程式を解く際に使用される重なり行列やフォック行列などがある。^[¹⁵⁹^]

グラフ理論

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.} — 隣接行列を持つ無向グラフ： ${\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.$

有限グラフの隣接行列は、グラフ理論の基本概念です。^[¹⁶⁰^]これは、グラフのどの頂点が辺で接続されているかを記録します。2つの異なる値（例えば、それぞれ「はい」と「いいえ」を意味する $1$ と $0 ）のみを含む行列は、$ 論理行列と呼ばれます。距離（またはコスト）行列には、辺の距離に関する情報が含まれています。^[¹⁶¹^{]これらの概念は}^、ハイパーリンクで接続されたウェブサイト[ ¹⁶²^]や道路で接続された都市などに適用できます。この場合（接続ネットワークが非常に密でない限り）、行列は疎になり、つまり、ゼロ以外のエントリが少ない傾向があります。したがって、ネットワーク理論では、特別に調整された行列アルゴリズムを使用できます。^[¹⁶³^]

解析と幾何学

微分可能な関数のヘッセ行列 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $これは、いくつかの座標方向に関するƒ$ の2 階微分から成り立っています。つまり、^[¹⁶⁴^] $H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].$

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}} — $関数f$ $($ $x$ $,-$ $y$ $) =$ $x$ $2$ $-$ $y$ $2$ の鞍点 $(x = 0, y = 0)$ (赤)では、ヘッセ行列は次のようになります。 ${\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}$ 不定です。

これは関数の局所的な成長挙動に関する情報を符号化します。臨界点 $x = (x 1, ..., x n)$ 、つまり、1階偏導関数が $\partial f/\partial x_{i}$ $f$ がゼロになる場合、ヘッセ行列が正定値であれば、関数は局所最小値を持つ。二次計画法は、行列に付随する関数と密接に関連する二次関数のグローバル最小値または最大値を見つけるために使用できる（上記参照）。^[¹⁶⁵^]

幾何学的な状況で頻繁に使用されるもう1つの行列は、微分可能な写像のヤコビ行列である。 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ $f 1 、 ...、 f m$ ^が $f$ の成分を表す場合、ヤコビ行列は次のように定義されます^[ 166 ^] $J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.$ $n > m$ の場合、ヤコビ行列のランクが最大値 $m$ に達すると、陰関数定理により、 $f は$ その点で局所的に可逆になります。^[¹⁶⁷^]

偏微分方程式は、その方程式の最高階微分演算子の係数行列を考慮することで分類できます。楕円型偏微分方程式の場合、この行列は正定値であり、これは問題の方程式の可能な解の集合に決定的な影響を与えます。^{[ 168 ]}

有限要素法は、偏微分方程式を解くための重要な数値的手法であり、複雑な物理システムのシミュレーションに広く応用されています。この手法は、十分細かいグリッドに基づいて選択された区分的線形関数によって、ある方程式の解を近似しようとします。そして、その区分的線形関数は、行列方程式として再定式化することができます。^{[ 169 ]}

確率論と統計学

{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{smallmatrix}}\right]} — 2つの異なるマルコフ連鎖。この図は、状態「2」にある粒子の数（合計1000個）を示しています。両方の極限値は、次の遷移行列から決定できます。 $\left[{\begin{smallmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{smallmatrix}}\right]$ （赤） $\left[{\begin{smallmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{smallmatrix}}\right]$ （黒）。

確率行列は、行が確率ベクトルである正方行列です。つまり、行の要素は非負であり、合計は 1 になります。確率行列は、有限個の状態を持つマルコフ連鎖を定義するために使用されます。 ^{[ 170 ]}確率行列の行は、その行に対応する状態にある粒子の次の位置の確率分布を示します。マルコフ連鎖の特性（吸収状態、つまり、どの粒子も最終的に到達する状態など）は、遷移行列の固有ベクトルから読み取ることができます。^{[ 171 ]}

統計学では、さまざまな形式の行列も利用されます。^{[ 172 ]}記述統計学はデータセットの記述に関係しており、データセットは多くの場合データ行列として表現でき、その後、次元削減手法が適用されることがあります。共分散行列は、複数の確率変数の相互分散を符号化します。^[¹⁷³^]行列を使用するもう1つの手法は線形最小二乗法です。これは、有限個のペア $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $), ($ $x$ $2$ $,$ $y$ $2$ $), ..., ($ $x$ $N$ $,$ $y$ $N$ $)$ を線形関数で近似する方法です。 $y_{i}\approx ax_{i}+b,\quad i=1,\ldots ,N$ これは行列の特異値分解に関連する行列の観点から定式化することができる。 ^{[ 174 ]}

ランダム行列は、行列の正規分布などの適切な確率分布に従う乱数を要素とする行列です。確率論を超えて、数論から物理学まで幅広い分野で応用されています。^[¹⁷⁵^]^[¹⁷⁶^]

量子力学と素粒子物理学

量子力学の最初のモデル（ハイゼンベルク、1925年）は、無限次元行列を使用して、古典物理学の位置、運動量、エネルギーなどの変数の役割を引き継ぐ演算子を定義しました。^{[ 177 ]} （これは行列力学と呼ばれることもあります。^{[ 178 ]}）有限次元と無限次元の両方の行列は、それ以来、量子力学で多くの目的で使用されています。具体的な例の1つは密度行列で、物理システムで実行された測定結果の確率を計算するために使用されるツールです。^[¹⁷⁹^]^[¹⁸⁰^]

線形変換とそれに伴う対称性は、現代物理学において重要な役割を果たしている。例えば、量子場理論における素粒子は、特殊相対性理論のローレンツ群の表現として、より具体的にはスピン群の下での振る舞いによって分類される。パウリ行列やより一般的なガンマ行列を含む具体的な表現は、スピノルとして振る舞うフェルミオンの物理的記述の不可欠な部分である。^[¹⁸¹^]最も軽い3つのクォークについては、特殊ユニタリ群SU(3)を含む群論的表現が存在する。物理学者は、これらの計算にゲルマン行列として知られる便利な行列表現を使用する。ゲルマン行列は、強い核相互作用の現代的記述である量子色力学の基礎を形成するSU(3)ゲージ群にも使用される。カビボ・小林・益川行列は、弱い相互作用にとって重要な基本クォーク状態は、特定の異なる質量を持つ粒子を定義する基本クォーク状態と同じではないが、線形関係にあるという事実を表している。^[¹⁸²^]

もう1つの行列は、実験的素粒子物理学の基礎を形成する散乱実験を記述するための重要なツールとして機能します。粒子加速器で発生するような衝突反応は、相互作用しない粒子が互いに向かい合い、小さな相互作用領域で衝突し、その結果として新しい一連の相互作用しない粒子が生成されますが、これは、放出される粒子の状態と入射する粒子の状態の線形結合のスカラー積として記述できます。この線形結合は、S行列として知られる行列によって与えられ、粒子間の可能な相互作用に関するすべての情報を符号化します。^{[ 183 ]}

通常モード

物理学における行列の一般的な応用例の一つは、線形結合調和系の記述である。このような系の運動方程式は行列形式で記述でき、質量行列に一般化速度を乗じて運動項を表し、力行列に変位ベクトルを乗じて相互作用を表す。解を得る最良の方法は、行列方程式を対角化して系の固有ベクトル、すなわち正規モードを決定することである。このような手法は、分子の内部ダイナミクス、すなわち相互に結合した構成原子からなる系の内部振動を扱う際に非常に重要である。 ^{[ 184 ]}また、機械的振動や電気回路の振動を記述するためにも必要となる。^{[ 185 ]}

幾何光学

幾何光学は、さらに行列の応用を提供します。この近似理論では、光の波動性は無視されます。その結果、光線が実際に幾何光線であるモデルが得られます。光学素子による光線の偏向が小さい場合、特定の光線に対するレンズまたは反射素子の作用は、2成分ベクトルと光線伝達行列解析と呼ばれる2×2行列の乗算として表現できます。ベクトルの成分は光線の傾きと光軸からの距離であり、行列は光学素子の特性を符号化します。行列には2種類あります。レンズ面での屈折を記述する屈折行列と、参照面を次の屈折面まで移動させる移動を記述する移動行列です。次の屈折面では、別の屈折行列が適用されます。レンズと反射素子の組み合わせで構成される光学系は、構成要素の行列の積から得られる行列によって簡単に記述されます。^{[ 186 ]}

ジョーンズ微分法は光源の偏光を次のようにモデル化する。 $2\times 2$ ベクトル、およびこの偏光ベクトルに対する光学フィルターの影響を行列として表す。^{[ 48 ]}

エレクトロニクス

線形部品（抵抗器、インダクタ、コンデンサなど）で構成される電子回路はキルヒホッフの回路法則に従い、線形方程式系が得られます。この方程式系は、回路内の各点における電源電流と電圧と、それに対応する電流と電圧の関係を表す行列方程式で記述でき、行列の要素は回路によって決定されます。^{[ 187 ]}

歴史

行列は線形方程式を解く際に長い歴史で応用されてきましたが、1800 年代までは配列として知られていました。紀元前 10 世紀から 2 世紀にかけて書かれた中国の文献「九章算術」は、配列法を用いて連立方程式を解いた最初の例です^{[ 188 ]}。1545 年、イタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノは「アルス・マグナ」を出版し、この方法をヨーロッパに紹介しました[ ^{189 ] 。}日本の数学者関は1683 年に同じ配列法を用いて連立方程式を解きました^{[ 190 ]} 。オランダの数学者ヤン・デ・ウィットは 1659 年の著書「曲線の要素(1659 )」で配列を用いて変換を表現しました^[¹⁹¹^] 。1700年から 1710 年の間に、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは情報や解を記録するために配列を使用することを公表し、50 種類以上の配列システムで実験を行いました。^[¹⁸⁹^]クレーマーは1750年に彼の法則を発表した。 ^[¹⁹²^]^[¹⁹³^]

数学におけるこの「行列」という用語の使用（19 世紀にはラテン語から「子宮」を意味する英語であり、印刷、生物学、地質学の専門用語でもある^{[ 194 ]} ）は、1850 年にジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって造語された^{[ 195 ]} 。彼は行列を、今日ではマイナーと呼ばれるいくつかの行列式を生み出す対象、つまり、元の行列から列と行を削除することによって得られるより小さな行列の行列式として理解した。1851 年の論文で、シルベスターは次のように説明している。^{[ 196 ]}

私は以前の論文で、「行列」を、共通の親から異なる決定要因体系が生み出される可能性のある、長方形の項の配列として定義しました。

アーサー・ケイリーは、それまで行われていたように、調査対象の係数の回転版ではない行列を用いた幾何学的変換に関する論文を発表しました。代わりに、彼は加算、減算、乗算、除算などの演算をこれらの行列の変換として定義し、結合法則と分配法則が成り立つことを示しました。ケイリーは、行列の乗算の非可換性と行列の加算の可換性を調査し、実証しました。^{[ 189 ]}初期の行列理論では、配列の使用はほぼ行列式に限定されていましたが、ケイリーの抽象的な行列演算は革命的でした。彼は、方程式系に依存しない行列概念を提案する上で重要な役割を果たしました。1858年、ケイリーは行列理論に関する覚書^{[ 197 ]}^{[ 198 ]}を出版し、その中でケイリー・ハミルトンの定理を提案し、実証しました。^{[ 189 ]}

イギリスの数学者カスバート・エドマンド・カリスは、1913年に初めて行列に現代的な括弧表記法を使用し、同時に、行列を表す表記法 $A = [a i, j]$ の最初の重要な使用例を示しました。ここで $a i, j$ $はi$ 番目の行と $j$ 番目の列を表します。 ^{[ 189 ]}

行列式の現代的な研究は、いくつかの源泉から生まれた。 $[$ ^{199 ]ガウス}は $、$ 数論の問題から、二次形式、すなわち $x²$ $+$ $xy$ $-$ $2y²$ のような式の係数と、 3 次元の線形写像を行列と関連付けた。アイゼンシュタインは、現代の用語では行列の積は非可換であるという指摘を含め、これらの概念をさらに発展させた。コーシーは、行列 $A$ $= [$ $a$ $i$ $,$ $j$ $]$ の行列式の定義として、次の式を用いて、行列式に関する一般的な命題を最初に証明した。多項式のa $j$ $k$ $の$ べき乗を $a$ $j$ $,$ $k$ に置き換える。 $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i}),$ どこ $\textstyle \prod$ は、示された項の積を表します。また、1829 年に、対称行列の固有値は実数であることを示しました。 ^{[ 200 ]}ヤコビは、「関数行列式」を研究しました。これは、後にシルベスターによってヤコビ行列式と呼ばれ、局所的（または無限小）レベルでの幾何学的変換を記述するために使用できます（上記参照）。クロネッカーの『行列式理論に関する講義』 ^{[ 201 ]}とワイエルシュトラスの『行列式理論について』^{[ 202 ]}は、いずれも 1903 年に出版され、コーシーの公式などの以前のより具体的なアプローチとは対照的に、初めて行列式を公理的に扱いました。この時点で、行列式はしっかりと確立されました。^{[ 203 ]}^{[ 199 ]}

多くの定理は、最初は小さな行列に対してのみ確立されました。たとえば、ケイリー・ハミルトンの定理は、前述の論文でケイリーによって2 × 2行列に対して証明され、ハミルトンによって4 × 4行列に対して証明されました。双線形形式を研究していたフロベニウスは、この定理をすべての次元に一般化しました (1898 年)。また、19 世紀末には、ガウス・ジョルダン消去法(現在ガウス消去法として知られる特殊なケースを一般化したもの) がヴィルヘルム・ジョルダンによって確立されました。20 世紀初頭には、行列は線形代数において中心的な役割を担うようになりました。^[²⁰⁴^]これは、前世紀の超複素数系の分類に行列が使用されたことが一因です。 ^[²⁰⁵^]

ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンによる行列力学の創始は、無限に多くの行と列を持つ行列の研究につながった。^[²⁰⁶^]その後、フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間上の線形演算子などの関数解析概念をさらに発展させることにより、量子力学の数学的定式化を行った。ヒルベルト空間は、大まかに言えば、ユークリッド空間に対応するが、無限の独立した方向を持つ。^[²⁰⁷^]

数学における「行列」という言葉のその他の歴史的な用法

この言葉は、歴史的に重要な少なくとも2人の著者によって、通常とは異なる方法で使用されてきた。

バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、彼らの『プリンキピア・マテマティカ』（1910～1913年）の中で、還元可能性の公理の文脈で「行列」という言葉を使っています。彼らは、任意の関数を順次より低い型の関数に還元する手段としてこの公理を提案しました。つまり、「最下」（0次）では、関数はその拡張と同一になります。^{[ 208 ]}

変数の数に関わらず、見かけ上の変数を含まない関数を、行列と呼ぶことにしよう。すると、行列以外のあらゆる関数は、一般化、すなわち、問題の関数がすべての可能な値に対して真である、あるいは引数のいずれか1つの値が真であり、他の引数は未決定であるという命題を考慮することによって、行列から導き出される。

例えば、2 つの変数 $x$ と $yの関数$ $Φ(x, y)$ は、変数 x の代わりに代入された「個体」 $a$ $i$ のすべての可能な値に対する関数を「考慮」することによって、 $yのような単一の変数の関数の$ 集合に縮小できます。そして、結果として得られる単一の変数 $y$ の関数の集合、つまり $\forall$ $a$ $i$ $: Φ($ $a$ $i$ $,$ $y$ $)$ は、変数 $y$ の代わりに代入された「個体」 $b$ $i$ のすべての可能な値に対する関数を「考慮」することによって、値の「行列 $」$ に縮小できます。 $\forall b_{j}\forall a_{i}\colon \phi (a_{i},b_{j}).$

アルフレッド・タルスキは1941年の著書『論理学入門』の中で、「行列」という言葉を数理論理学で用いられる真理値表の概念と同義語として用いた。 ^{[ 209 ]}

注記

1 2 Lang (2002)、第 XIII 章。
↑フレイリー (1976)、p. 209。
↑ネリング (1970)、37ページ。
1 2ブラウン (1991)、p. 1。
↑ゴラブとヴァン・ローン (1996)、p. 3.
↑ Horn & Johnson (1985)、p. 5。
↑ Gbur (2011)、p. 89。
1 2「少なくとも1つの次元がゼロである行列は空行列と呼ばれる」、 MATLABデータ構造、Wayback Machineに2009年12月28日にアーカイブ済み
↑ラマチャンドラ・ラオとビーマサンカラム (2000)、p. 71．
↑ハミルトン (1987)、p. 29。
↑ジェントル (1998) 、 52-53頁。
↑ Bauchau & Craig (2009)、p. 915。
↑ジョンストン (2021)、p. 21。
↑ Oualline (2003)、第 5 章。
1 2 Pop & Furdui (2017) .
↑例えば、 $M$ ⁠ 、 Mello (2017)、 p. 48を参照。 $\operatorname {Mat}$ ⁠ 、 Axler (1997)、 p. 50を参照。
↑ Brown (1991)、定義 I.2.1 (加算)、定義 I.2.4 (スカラー乗算)、および定義 I.2.33 (転置)。
↑ホワイトロー（1991）、29ページ。
↑ブラウン (1991)、定理 I.2.6.
↑ホワイトロー（1991）、30ページ。
↑マクスウェル（ 1969）、p.46。
↑ランカスター&ティスメネツキー (1985) 、 6–7ページ。
↑ Andrilli & Hecker (2022)、p. 38、「行列の転置とその性質」。
1 2ランカスター&ティスメネツキー (1985)、p. 9。
↑ブラウン (1991)、定義 I.2.20。
↑ブラウン (1991)、定理 I.2.24。
↑ボアス（2005）、117ページ。
↑ Horn & Johnson (1985)、第4章および第5章。
↑ヴァン・ローン (2000)。
↑ペローネ (2024)、p. 119 – 120。
↑ラング (1986) 、 71ページ。
↑ワトキンス（ 2002）、p.102。
↑ブロンソン (1970)、p. 16。
↑クレイジグ (1972)、p. 220。
1 2プロッターとモーリー (1970)、p. 869。
↑ Kreyszig (1972) 、 241、244ページ
↑シュナイダー＆バーカー (2012)。
↑ペルリス（1991）。
↑アントン（2010）。
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 17, ISBN 978-0-521-83940-2。
↑ブラウン (1991)、I.2.21 および 22。
↑ Gbur (2011)、p. 95。
↑ベン・イスラエル＆グレヴィル（2003）、1～2頁。
↑グロスマン (1994)、494-495頁。
↑ Bierens (2004)、p. 263。
↑ジョンストン (2021)、p. 56。
↑ Pettofrezzo (1978)、p. 60。
1 2 3 Han、Kim & Noz (1997) .
↑ジェフリー (2010)、p. 264。
↑ Greub (1975 、p. 90)。ただし、Greub は、行列と列ベクトルを乗算するのではなく、行ベクトルと行列を乗算することによって変換を表すという転置された慣例に従っているため、合成を表す積の 2 つの行列の順序が逆になることに注意してください。
↑ Lang (1986)、§VI.1.
↑ブラウン (1991)、定義 II.3.3。
↑ Greub (1975)、セクション III.1。
↑ブラウン (1991)、定理 II.3.22。
↑アントン（ 2010）、p.27。
↑レイエス (2025)。
↑アントン（ 2010）、p.68。
↑ Gbur (2011)、p. 91。
1 2ボアズ (2005)、p. 118。
↑ Horn & Johnson (1985)、§0.9.1 対角行列。
↑ボアス（2005）、138ページ。
↑ Horn & Johnson (1985)、定理 2.5.6。
↑コンウェイ（1990）、262～263頁。
↑ブラウン (1991)、定義 I.2.28。
↑ブラウン (1991)、定義 I.5.13。
↑アントン（ 2010）、p.62。
↑ Gbur (2011)、pp. 99–100。
↑ Horn & Johnson (1985)、第7章。
↑アントン (2010)、定理 7.3.2。
↑ Horn & Johnson (1985)、定理 7.2.1。
↑ボアズ (2005)、p. 150。
↑ Horn & Johnson (1985)、p. 169、例4.0.6。
↑ Lang (1986)、付録。複素数。
↑ Horn & Johnson (1985)、pp. 66–67。
↑ Gbur (2011)、pp. 102–103。
↑ボアズ (2005) 、 127、153–154ページ
↑ボアス（2005）、141ページ。
↑ Horn & Johnson (1985)、pp. 40、42。
↑ラング (1986)、p. 281。
↑ Tang (2006)、p. 226。
↑バーンスタイン (2009)、94ページ。
↑ Horn & Johnson (1985)、§0.5 非特異性。
↑マルガリットとラビノフ (2019)。
↑ 「行列｜数学」、ブリタニカ百科事典、 2020年8月19日取得
↑ブラウン (1991)、定義 III.2.1。
↑ブラウン (1991)、定理 III.2.12。
↑ブラウン (1991)、系 III.2.16.
↑ミルスキー (1990)、定理 1.4.1。
↑ブラウン (1991)、定理 III.3.18。
↑ Eigen はドイツ語とオランダ語で「自分の」という意味です。Wiktionaryを参照してください。
↑ブラウン (1991)、定義 III.4.1。
↑ブラウン (1991)、定義 III.4.9。
↑ブラウン (1991)、系 III.4.10.
↑アントン (2010) 、 317–319ページ。
↑バーンスタイン (2009)、p. 265。
↑ハウスホルダー (1975)、第 7 章。
↑バウ IIIとトレフェテン (1997)。
↑ Golub & Van Loan (1996)、アルゴリズム 1.3.1。
↑ヴァシレフスカ・ウィリアムズら。 (2024)。
↑ミスラ、バッタチャリヤ、ゴッシュ (2022)。
↑ Golub & Van Loan (1996)、第9章および第10章、特に第10.2節。
↑ Golub & Van Loan (1996)、第2.3章。
↑ Press et al. (1992)。
↑ Stoer & Bulirsch (2002)、セクション 4.1。
↑ Gbur (2011)、pp. 146–153。
↑ Horn & Johnson (1985)、定理 2.5.4。
↑ Horn & Johnson (1985)、第 3.1 章、3.2 章。
↑アーノルド (1992)、第 14.5 節、7 節、8 節。
↑ブロンソン (1989)、第 15 章。
↑コバーン (1955)、第 V 章
↑タップ（2016）。
↑ Lam (1999)、pp. 461–470、第7章、§17 行列環、§17A 特徴付けと例。
↑ Hachenberger & Jungnickel (2020)、p. 302、定義7.2.1。
↑ Ydri (2016)。
↑ Riehl (2016)、pp. 4-6。
↑ロス (2006)、p. 27。
↑ Chahal (2018)、pp. 115–116。
↑ Meckes & Meckes (2018)、pp. 360–361。
↑エドワーズ (2004)、p. 80。
↑ラング (2002)、p. 643、XVII.1。
↑ Lang (2002)、命題 XIII.4.16.
↑ Reichl (2004)、セクション L.2。
↑ Jeffrey (2010)、pp. 54ff、3.7 行列の分割。
↑ Greub (1975)、セクション III.3。
↑ Greub (1975)、セクション III.3.13。
↑ペローネ (2024)、99–100 ページ。
↑ Hungerford (1980)、pp. 328–335、VII.1: 行列とマップ。
↑ Horn & Johnson (1985)、p. 69。
↑ベイカー (2003)、定義 1.30。
↑キャメロン (2014)。
↑ベイカー (2003)、定理 1.2。
↑ Artin (1991)、第4.5章。
↑ Serre (2007)、p. 20。
↑ Rowen (2008)、p. 198、例19.2。
↑表現論または群表現論の参考文献を参照してください。
↑伊藤1987の「マトリックス」の項目を参照。
↑ Boos (2000)、pp. 34–39、2.2無限行列の扱い。
↑グリレット (2007) 、 334ページ。
↑ 「行列理論の多くは無限次元空間には適用できず、適用できるものもそれほど有用ではないが、時として役立つこともある。」 Halmos 1982 、p. 23、第5章。
↑「空行列：行または列の次元がゼロの場合、行列は空行列です」、用語集（2009年4月29日にWayback Machineにアーカイブ）、O-Matrix v6ユーザーガイド
↑コールマン＆ヴァン・ローン（1988）、p.213。
↑ヘイズウィンケル&グバレーニ (2017)、p. 151 .
↑空行列の表記法は、 Bernstein (2009)のp. 90など一部の資料とは異なる方法で使用されています $0_{0\times n}$ ゼロ行列に似ている。Hazewinkel & Gubareni (2017) 、p. 151は、 ${\mathfrak {I}}_{0\times n}$ 。
↑ West (2020)、p. 750。
↑ブルアルディら。（2018）、p.１９．
1 2ファリド、カーン、ワン (2013)、2087。
↑ Reutenauer & Straubing (1984)、351。
↑ゴッシュ (1996)、222。
1 2カルボニ、カサンジアン、ウォルターズ (1987)、137。
↑ Manning & Schütze (1999)、セクション 15.3.4。
↑ Ward (1997)、第2.8章。
↑アブワモヴィッチ (2000)、p. 436。
↑ Fudenberg & Tirole (1983)、セクション 1.1.1。
↑ McHugh (2025)、p. 390、11.2.3ベクトル-行列-ベクトル積としての期待ペイオフ。
↑ Matoušek & Gärtner (2007) 、 136–137ページ。
↑スティンソン (2005)、第 1.1.5 章および第 1.2.4 章。
↑ ISRDグループ（2005）、第7章。
↑ Bhaya & Kaszkurewicz (2006)、p. 230。
↑ジェンセン (1999)、p. 65–69。
↑ Godsil & Royle (2004)、第 8.1 章。
↑ Punnen & Gutin (2002)。
↑ Zhang、Yu 、 Hou (2006)、p.７．
↑スコット＆トゥマ（2023）。
↑ラング (1987)、第 XVI.6 章。
↑ Nocedal & Wright (2006)、第16章。
↑ラング (1987)、第 XVI.1 章。
↑ Lang 1987 、第 XVI.5 章。より高度でより一般的な記述については、 Lang 1969 、第 VI.2 章を参照。
↑ギルバーグとトルーディンガー (2001)。
↑ Šolin 2005 、第 2.5 章。剛性法も参照。
↑ラトゥーシュとラマスワミ (1999)。
↑ Mehata & Srinivasan (1978)、Ch. 2.8.
↑ヒーリー、マイケル(1986)、『統計のための行列』、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850702-4
↑クルザノフスキ (1988)、60ページ、第2.2章。
↑クルザノフスキ (1988)、第 4.1 章。
↑コンリー 2007
↑ザブロディン、ブレジン、カザコフら。2006年
↑シフ (1968)、第 6 章。
↑ペレス (1993)、p. 20。
↑ Bohm (2001)、第I.8節、第II.4節、および第II.8節。
↑ペレス (1993)、73ページ。
↑ Itzykson & Zuber (1980)、第 2 章。
↑ Burgess & Moore (2007)、セクション 1.6.3. (SU(3))、セクション 2.4.3.2. (小林-益川行列)。
↑ワインバーグ (1995)、第 3 章。
↑ウェレット (1987)、第 II 部。
↑ライリー、ホブソン、ベンス (1997)、7.17。
↑ Guenther (1990)、第 5 章。
↑ Suresh Kumar (2009)、pp. 747–749。
↑ Shen、Crossley 、Lun 1999はBretscher 2005 、p. 1で引用されている
1 2 3 4 5 Dossey (2002)、pp. 564–565。
↑ニーダム、ジョセフ、王玲（1959）、『中国の科学と文明』第3巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、 117ページ、 ISBN 978-0-521-05801-8{{cite book}}: CS1メンテナンス: ISBNエラーを無視しました (リンク)
↑ドッシー（2002）、564ページ。
↑クレイマー (1750)。
↑コシンスキー (2001)。
↑マレー、ジェームズ、ブラッドリー、ヘンリー編 (1908)、「マトリックス」、『歴史的原則に基づく新英語辞典』、第6巻、第2部 (M–N)、オックスフォード：クラレンドン・プレス、 238ページ
↑最も初期の出版例は、JJシルベスター（1850）「本誌9月号掲載論文『新しい種類の定理について』およびパスカルの定理に関する追加」、ロンドン、エジンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学雑誌、 37巻：363-370頁。369頁より：「この目的のために、正方形ではなく、m行n列からなる長方形の項の配置から始めなければならない。これはそれ自体は行列式を表すものではなく、いわば行列であり、そこから様々な行列式体系を形成することができる…」
↑シルベスター (1904)、p. 247、論文 37。
↑ケイリー (1858)。
↑デュドネ (1978)、Vol. 1、Ch. III、p. 96.
1 2ノブロッホ (1994)。
↑ホーキンス (1975)。
↑クローネッカー1897
↑ヴァイエルシュトラス1915 年、271–286 ページ
↑ &ミラー (1930)。
↑ボシェ（2004）。
↑ホーキンス (1972)。
↑ van der Waerden (2007)、28–40 ページ。
↑ペレス (1993) 、 79、106–107ページ
↑ホワイトヘッド、アルフレッド・ノース、およびラッセル、バートランド（1913）プリンキピア・マテマティカ *56、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国（1962年再版）162ページ以降を参照。
↑タルスキ (1941)、p. 40。

参考文献

数学的参考文献

アンドリリ、スティーブン、ヘッカー、デイビッド（2022）『初等線形代数（第6 版）』アカデミック・プレス、ISBN 9780323984263
アントン、ハワード（2010）『初等線形代数（第10 版）』ジョン・ワイリー＆サンズ、414ページ、ISBN 978-0-470-45821-1
アーノルド、ウラジミール・I. (1992)、常微分方程式、クック、ロジャー訳、ベルリン、ドイツ；ニューヨーク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-540-54813-3
マイケル・アーティン(1991)、代数、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-89871-510-1
アクサー、シェルドン（1997）、『線形代数の正しい学び』、数学学部教科書（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 9780387982595
Baker, Andrew J. (2003)、『行列群: リー群理論入門』、ベルリン、デラウェア州。ニューヨーク州ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-1-85233-470-3
Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra , Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
Ben-Israel, Adi ; Greville, Thomas Nall Eden (2003), Generalized Inverses: Theory and Applications (2nd ed.), New York, NY: Springer, doi : 10.1007/b97366 , ISBN 978-0-387-00293-4
バーンスタイン、デニス S. (2009)、行列数学：理論、事実、および公式（第 2 版）、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 978-1-4008-3334-4
Bhaya, Amit; Kaszkurewicz, Eugenius (2006)、「数値アルゴリズムと行列問題に対する制御的視点」、Advances in Design and Control、第10巻、SIAM、ISBN 9780898716023
ビエレンス、ハーマン・J. (2004)『計量経済学の数学的および統計的基礎入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521542241
ブース、ヨハン（2000）、『総和法における古典的および現代的方法』、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780198501657
ブレッチャー、オットー（2005）、『線形代数とその応用』（第3 版）、プレンティスホール
ブロンソン、リチャード（1970）、『行列法入門』、ニューヨーク：アカデミック・プレス、LCCN 70097490
ブロンソン、リチャード（1989）、『シャウムの行列演算の理論と問題の概要』、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-007978-6
Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces , New York, NY: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
リチャード・A・ブルアルディ;カルモナ、アンヘレス。ヴァン・デン・ドリーシェ、P. ;カークランド、スティーブン。ステヴァノヴィッチ、ドラガン (2018)、エンシナス、アンドレス M. Mitjana、Margarida (編)、組合せ行列理論、数学の上級コース。 CRM Barcelona、Birkhäuser/Springer、Cham、doi : 10.1007/978-3-319-70953-6、ISBN 978-3-319-70952-9MR 3791450
キャメロン、ピーター J. (2014)、「行列群」(PDF)、ホグベン、レスリー (編)、線形代数ハンドブック、離散数学とその応用 (ボカラトン) (第 2 版)、CRC プレス、フロリダ州ボカラトン、ISBN 978-1-4665-0728-9MR 3013937
Carboni, Aurelio; Kasangian, Stefano; Walters, Robert (1987)、「モジュールの双圏の公理系」、Journal of Pure and Applied Algebra、45 (2): 127–141、doi : 10.1016/0022-4049(87)90065-X、MR 0889588、Zbl 0615.18006
Chahal, JS (2018),線形代数の基礎, CRC Press, ISBN 9780429758119
コバーン、ナサニエル（1955）、『ベクトルとテンソル解析』、ニューヨーク、NY：マクミラン、OCLC 1029828
コールマン、トーマス F.、ヴァン・ローン、チャールズ (1988)、『行列計算ハンドブック』、応用数学の最前線、第 4 巻、SIAM、ISBN 9780898712278
Conrey, J. Brian (2007), 『楕円曲線のランクとランダム行列理論』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-69964-8
ドッシー、ジョン A. (2002)、離散数学（第 4 版）、アディソンウェスリー、ISBN 9780321079121
コンウェイ、ジョン・B. (1990)、『関数解析入門』、大学院数学テキスト、第 96巻（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 0-387-97245-5
エドワーズ、ハロルド M. (2004)、線形代数、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 9780817643706
Farid, FO; Khan, Israr Ali; Wang, Qing-Wen (2013)、「任意の半環上の行列とその一般化逆行列について」、Linear Algebra and its Applications、439 (7): 2085–2105、doi : 10.1016/j.laa.2013.06.002、MR 3090456、Zbl 1283.15016
フレイリー、ジョン・B. (1976)、『抽象代数学入門』（第2 版）、リーディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-01984-1
フーデンバーグ、ドリュー、ティロール、ジャン（1983）『ゲーム理論』MIT出版
ジェントル、ジェームズ E. (1998)、統計学への応用における数値線形代数、シュプリンガー、ISBN 9780387985428
Ghosh、Shamik (1996)、「半環上の行列」、情報科学、90 ( 1–4 ): 221–230、doi : 10.1016/0020-0255(95)00283-9、MR 1388422、Zbl 0884.15010
ギルバーグ、デイビッド、トルーディンガー、ニール S. (2001)、楕円型偏微分方程式（第 2 版）、ベルリン、ドイツ、ニューヨーク、ニューヨーク州：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-540-41160-4
ゴッドシル、クリス；ロイル、ゴードン（2004）、『代数的グラフ理論』、大学院数学テキスト、第 207巻、ベルリン、ドイツ；ニューヨーク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95220-8
Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
Greub、Werner Hildbert (1975)、線形代数、数学の大学院テキスト、ベルリン、デラウェア州;ニューヨーク州ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90110-7
グリレ、ピエール・アントワーヌ（2007）、『抽象代数学』、大学院数学テキスト、第242巻（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 9780387715681
ディルク・ハッヘンバーガー; Jungnickel、Dieter (2020)、ガロア体のトピックス、数学におけるアルゴリズムと計算、vol. 29、チャム：スプリンガー、土井：10.1007/978-3-030-60806-4、ISBN 978-3-030-60804-0MR 4233161
Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book , Graduate Texts in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0MR 0675952
グロスマン、スタンレー・I. (1994)、初等線形代数（第5 版）、Saunders College Pub.、ISBN 9780030973543
ハミルトン、AG（1987）、『線形代数入門：同時例付き』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521310413
ハゼウィンケル、ミヒール；グバレニ、ナディヤ・M. (2017)、代数、環、モジュール、第2巻：非可換代数と環（第2 版）、CRC Press
ホーン、ロジャー A. ;ジョンソン、チャールズ R. (1985)、行列解析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6
ハウスホルダー、アルストン S. (1975)『数値解析における行列の理論』、ニューヨーク、NY：ドーバー出版、MR 0378371
ハンガーフォード、トーマス W. (1980)、代数学、大学院数学テキスト、第 73 巻、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク-ベルリン、ISBN 0-387-90518-9MR 0600654
ISRDグループ（2005）、『コンピュータグラフィックス』、タタ・マグロウヒル、ISBN 978-0-07-059376-3
伊藤清司編(1987)、数学百科事典。 Vol. I-IV (第 2 版)、MIT プレス、ISBN 978-0-262-09026-1MR 0901762
ジェフリー、アラン（2010）、『エンジニアと科学者のための行列演算：線形代数の必須ガイド』、シュプリンガー、ISBN 9789048192748
ジョンストン、ナサニエル（2021）、『線形代数と行列代数入門』、シュプリンガー・ネイチャー、ISBN 9783030528119
クレイジグ、アーウィン（1972）、『高等工学数学（第3 版）』、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-50728-8。
Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis , Oxford Statistical Science Series, vol. 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9MR 0969370
Lam, TY (1999), Lectures on Modules and Rings , Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Springer-Verlag, New York, doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 0-387-98428-3MR 1653294
ランカスター、ピーター、ティスメネツキー、ミロン (1985)、『行列の理論：応用付き』（第2 版）、エルゼビア、ISBN 9780080519081
ラング、セルジュ（1969）、『分析II』、アディソン・ウェスリー
ラング、セルジュ（1986）、『線形代数入門（第2 版）』、シュプリンガー、ISBN 9781461210702
Lang、Serge (1987)、いくつかの変数の微積分(第 3 版)、ベルリン、デラウェア州;ニューヨーク州ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96405-8
ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556
Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999),確率モデリングにおける行列解析法の入門(第 1 版), フィラデルフィア、ペンシルベニア州: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
マニング、クリストファー D. Schütze、Hinrich (1999)、統計的自然言語処理の基礎、MIT Press、ISBN 978-0-262-13360-9
Margalit, Dan; Rabinoff, Joseph (2019)、「行列式と体積」、インタラクティブ線形代数、ジョージア工科大学、 2025年5月10日取得
Matoušek, イジー; Gärtner、Bernd (2007)、Understanding Linear Programming、Springer Science & Business Media、ISBN 9783540307174
Maxwell, EA (1969), Algebraic Structure and Matrices, Being Part II of Advanced Algebra , Cambridge University Press
McHugh, Andrew (2025), 『有限数学：ビジネス、社会科学、音楽への応用を含む入門』、Academic Press、ISBN 9780443290954
メッケス、エリザベス S. ; メッケス、マーク W. (2018)、線形代数、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9781316836026
Mehata, KM; Srinivasan, SK (1978), Stochastic processes , New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
メロ、デイビッド C. (2017)、『線形代数への招待』、数学教科書、CRC Press、ISBN 9781498779586
ミルスキー、レオニード（1990）『線形代数入門』、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66434-7
Misra, Chandan; Bhattacharya, Sourangshu; Ghosh, Soumya K. (2022年6月)、「Stark: Apache Spark を使用した高速かつスケーラブルな Strassen 行列乗算」、IEEE Transactions on Big Data、8 (3): 699–710、arXiv : 1811.07325、doi : 10.1109/tbdata.2020.2977326
ネリング、エヴァー・D. (1970)『線形代数と行列理論（第2 版）』ニューヨーク：ワイリー、LCCN 76-91646
ノセダル、ホルヘ；ライト、スティーブン J. (2006)、数値最適化（第 2 版）、ベルリン、ドイツ；ニューヨーク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、p. 449、ISBN 978-0-387-30303-1
ウアリン、スティーブ（2003）、『実践C++プログラミング』、オライリー、ISBN 978-0-596-00419-4
ペローネ、パオロ（2024）『カテゴリー理論入門』、ワールドサイエンティフィック、doi：10.1142/9789811286018_0005、ISBN 978-981-12-8600-1
Pettofrezzo, Anthony J. (1978), Matrices and Transformations , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, ISBN 9780486636344
Perlis, Sam (1991), Theory of Matrices , Dover books on advanced mathematics, Courier Dover Corporation, p. 103, ISBN 978-0-486-66810-9
Pop; Furdui (2017)、『2次正方行列』、Springer International Publishing、ISBN 978-3-319-54938-5
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A. ; Vetterling, William T. (1992)、「LU分解とその応用」（PDF）、『Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing 』（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、pp. 34–42、2009年9月6日にオリジナルからアーカイブ済み
プロッター、マレー・H.、モリー、チャールズ・B.・ジュニア (1970)、『解析幾何学を含む大学微積分』（第2 版）、リーディング：アディソン・ウェスリー、LCCN 76087042
プネン、アブラハム・P.、グティン、グレゴリー（2002）、『巡回セールスマン問題とその変種』、ボストン、マサチューセッツ州：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、ISBN 978-1-4020-0664-7
Ramachandra Rao, A.; Bhimasankaram, P. (2000),線形代数, Texts and Readings in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Springer, ISBN 9789386279019
Reutenauer, Christophe; Straubing, Howard (1984)、「可換半環上の行列の逆行列」、Journal of Algebra、88 (2): 350–360、doi : 10.1016/0021-8693(84)90070-X、MR 0747520、Zbl 0563.15011
Reyes, Manuel (2025)、「非可換スペクトル理論の概観」、Notices of the American Mathematical Society、72 (2): 145–153、arXiv : 2409.08421、doi : 10.1090/noti3100、MR 4854325
リーエル、エミリー（2016）『文脈におけるカテゴリー理論』ドーバー出版、ISBN 9780486809038
ロス、ロン（2006）『符号理論入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521845045
ローウェン、ルイス・ハレ（2008）、『大学院代数学：非可換的観点』、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4153-2
シュナイダー、ハンス、バーカー、ジョージ・フィリップ (2012)、『行列と線形代数』、ドーバー数学叢書、クーリエ・ドーバー社、 251ページ、ISBN 978-0-486-13930-2
Scott, J.; Tůma, M. (2023), "疎行列とそのグラフ", Algorithms for Sparse Linear Systems , Nečas Center Series, Cham: Birkhäuser, pp. 19–30 , doi : 10.1007/978-3-031-25820-6_2 , ISBN 978-3-031-25819-0
Serre, Denis (2007), Matrices: Theory and Applications , Graduate Texts in Mathematics , vol. 216, Springer Science & Business Media, doi : 10.1007/978-1-4419-7683-3 , ISBN 9780387227580
Šolin, Pavel (2005),偏微分方程式と有限要素法, Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-76409-0
スティンソン、ダグラス R. (2005)、暗号学、離散数学とその応用、チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-508-5
ステア、ジョセフ。 Bulirsch、Roland (2002)、数値解析入門(第 3 版)、ベルリン、デラウェア州。ニューヨーク州ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95452-3
Suresh Kumar, KS (2009), Electric Circuits and Networks , Dorling Kindersley, ISBN 978-81-317-1390-7
Tang, KT (2006), Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1: Complex Analysis, Determinants and Matrices , Springer, ISBN 978-3-540-30273-5
Tapp, Kristopher (2016), Matrix Groups for Undergraduates , Student Mathematical Library, vol. 79 (2nd ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, doi : 10.1090/stml/079 , ISBN 978-1-4704-2722-1MR 3468869
Van Loan, Charles F. (2000)、「遍在するクロネッカー積」、Journal of Computational and Applied Mathematics、123 ( 1–2 ): 85–100、Bibcode : 2000JCoAM.123...85L、doi : 10.1016/S0377-0427(00)00393-9、MR 1798520
Vassilevska Williams, Virginia; Xu, Yinzhan; Xu, Zixuan; Zhou, Renfei (2024)、「行列乗算の新しい境界: アルファからオメガまで」、2024年ACM-SIAM離散アルゴリズムシンポジウム（SODA）論文集、pp. 3792–3835、arXiv : 2307.07970、doi : 10.1137/1.9781611977912.134、ISBN 978-1-61197-791-2
Ward, JP (1997)、「四元数とケイリー数」、Mathematics and its Applications、第403巻、ドルトレヒト、オランダ：Kluwer Academic Publishers Group、doi：10.1007/978-94-011-5768-1、ISBN 978-0-7923-4513-8MR 1458894
ワトキンス、デイビッド S. (2002)、『行列計算の基礎』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-46167-8
West, Douglas B. (2020),組合せ数学, Cambridge University Press, ISBN 9781108889520
ホワイトロー、TA（1991）、『線形代数入門』（第2 版）、CRC Press、p.29 、ISBN 9780751401592
張、塩春。ユウ、ジェフリー・シュー。 Hou、Jingyu (2006)、Web コミュニティ: 分析と構築、Springer、ISBN 978-3-540-27737-8

物理学の参考文献

Abłamowicz, Rafał (2000), Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Volume 1: Algebra and Physics , Progress in Mathematical Physics, vol. 18, Birkhäuser / Springer, ISBN 9780817641825
Bauchau, OA; Craig, JI (2009)、「構造解析：航空宇宙構造への応用」、固体力学とその応用、第 163巻、Springer、ISBN 9789048125166
Boas, Mary L. (2005), Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-19826-0
ボーム、アルノ（2001）『量子力学：基礎と応用』、シュプリンガー、ISBN 0-387-95330-2
バージェス、クリフ、ムーア、ガイ（2007）『標準模型入門』ケンブリッジ大学出版局、 Bibcode：2007smp..book.....B、ISBN 978-0-521-86036-9
Gbur, Greg (2011), Mathematical Methods in Optical Physics and Engineering , Cambridge University Press, Bibcode : 2011mmop.book.....G , ISBN 978-0-521-51610-5
ギュンター、ロバート・D. (1990)、現代光学、ジョン・ワイリー、ISBN 0-471-60538-7
Han, D.; Kim, YS; Noz, Marilyn E. (1997年9月)、「ローレンツ群の表現としてのジョーンズ行列形式」、Journal of the Optical Society of America A、14 (9)、Optica Publishing Group: 2290、arXiv : physics/9703032、Bibcode : 1997JOSAA..14.2290H、doi : 10.1364/josaa.14.002290
イツィクソン、クロード；ズーバー、ジャン＝ベルナール（1980）『量子場理論』マグロウヒル、ISBN 0-07-032071-3
ジェンセン、フランク（1999）、『計算化学入門』、ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 0-471-98085-4
ペレス、アッシャー（1993）『量子論：概念と方法』、クルーワー、ISBN 978-0-7923-3632-7
ライヒル、リンダ E. (2004)、カオスへの移行：保守的な古典系と量子現象、ベルリン、ドイツ；ニューヨーク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-98788-0
ライリー、ケネス・F.、ホブソン、マイケル・P.、ベンス、スティーブン・J. (1997)、『物理学と工学のための数学的方法』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-55506-X
シフ、レオナルド・I. (1968)、量子力学（第3 版）、マグロウヒル
ワインバーグ、スティーブン（1995）『場の量子論第1巻：基礎』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-55001-7
Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids , Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
Ydri, Badis (2016)、行列場理論に関する講義、Lecture Notes in Physics、第 929巻、Springer、ISBN 9783319460031
ザブロディン、アントン。エドゥアール・ブレザン;カザコフ、ウラジミール。セルバン、ディディナ。Wiegmann, Paul (2006)、Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry)、ベルリン、デラウェア州。ニューヨーク州ニューヨーク州: Springer-Verlag、ISBN 978-1-4020-4530-1

歴史的参考文献

ボシェ、マキシム（2004）、『高等代数学入門』、ニューヨーク、NY：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-49570-51907年のオリジナル版の復刻版
ケイリー、アーサー（1858年12月）「行列理論に関する覚書」、ロンドン王立協会哲学紀要、148：17–37、doi：10.1098/rstl.1858.0002、JSTOR 108649 ; 『アーサー・ケイリーの数学論文集』第2巻、ケンブリッジ大学出版局、1889年、475-496ページに再録。
ケイリー、アーサー（1889）、『アーサー・ケイリーの数学論文集』第1巻（1841～1853年）、ケンブリッジ大学出版局、 123～ 126ページ
Cramer, Gabriel (1750)、「序論 à l'Analyse des lignes Courbes algébriques」（フランス語）、ジュネーブ: Europeana、656–659ページ、 2012 年 5 月 18 日取得。
ジャン・デュドネ編(1978)、Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900、パリ、フランス: Hermann
ホーキンス、トーマス（1972）「超複素数、リー群、および群表現論の創成」、精密科学史アーカイブ、8（4）：243–287、doi：10.1007/bf00328434
ホーキンス、トーマス（1975）「コーシーと行列のスペクトル理論」、Historia Mathematica、2：1–29、doi：10.1016/0315-0860(75)90032-4、MR 0469635
Knobloch, Eberhard (1994)、「ガウスからワイエルシュトラスへ：行列式理論とその歴史的評価」、佐々木力、杉浦光夫、Joseph W. Dauben (編)、『歴史と数学の交差点』、サイエンスネットワーク：歴史研究、第 15巻、Birkhäuser、pp. 51–66、doi：10.1007/978-3-0348-7521-9_5、ISBN 3-7643-5029-6MR 1308079
Kosinski, AA (2001)、「クラメルの法則はクラメルによるものである」、Mathematics Magazine、74 (4): 310–312、doi : 10.2307/2691101、JSTOR 2691101
クロネッカー、レオポルド(1897)、ヘンゼル、クルト(編)、レオポルドクロネッカーの研究、トイブナー
ミラー、GA（1930年5月）「行列式の歴史について」、アメリカ数学月報、37（5）：216–219、doi：10.1080/00029890.1930.11987058、JSTOR 2299112
Shen, Kangshen; Crossley, John N. ; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd ed.), Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853936-0
シルベスター、JJ（1904）、ベイカー、HF（編）、『ジェームズ・ジョセフ・シルベスター数学論文集第1巻（1837～1853年）』、ケンブリッジ、イングランド：ケンブリッジ大学出版局
ファン・デル・ワールデン、BL、編。 (2007) [1968]、量子力学の情報源、ドーバー、ISBN 978-0-486-45892-2
タルスキ、アルフレッド（1941）『論理学入門と演繹科学の方法論』オックスフォード大学出版局、MR 0003375 1946年版の訂正版の復刻版、ドーバー出版、1995年、ISBN 0-486-28462-X
ワイエルシュトラス、カール（1915）、『全集』第 3巻

さらに読む

「行列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ピーターセン、カーレ・ブラント、ピーターセン、マイケル・シスキンド（2012年11月15日）、『マトリックス・クックブック』（PDF）、ウォータールー大学、 2014年3月24日取得
ブルックス、マイク（2005）、『マトリックス・リファレンス・マニュアル』、ロンドン：インペリアル・カレッジ、 2008年12月16日にオリジナルからアーカイブ、2008年12月10日に取得

外部リンク

オコナー、JJ、ロバートソン、EF（1996年2月）「行列と行列式」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
行列と線形代数の初期の利用例に関するページ
行列とベクトルを表す記号の初期の使用例

[FOOTNOTELang2002Chapter_XIII-1] 1 2 Lang (2002)、第 XIII 章。

[FOOTNOTEFraleigh1976209-2] フレイリー (1976)、p. 209。

[FOOTNOTENering197037-3] ネリング (1970)、37ページ。

[FOOTNOTEBrown19911-4] 1 2ブラウン (1991)、p. 1。

[FOOTNOTEGolubVan_Loan19963-5] ゴラブとヴァン・ローン (1996)、p. 3.

[FOOTNOTEHornJohnson19855-6] Horn & Johnson (1985)、p. 5。

[FOOTNOTEGbur201189-7] Gbur (2011)、p. 89。

[empty-8] 1 2「少なくとも1つの次元がゼロである行列は空行列と呼ばれる」、 MATLABデータ構造、Wayback Machineに2009年12月28日にアーカイブ済み

[FOOTNOTERamachandra_RaoBhimasankaram2000[httpsbooksgooglecombooksidZfJdDwAAQBAJpgPA71_71]-9] ラマチャンドラ・ラオとビーマサンカラム (2000)、p. 71．

[FOOTNOTEHamilton1987[httpsbooksgooglecombooksidW5o4AAAAIAAJpgPA29_29]-10] ハミルトン (1987)、p. 29。

[FOOTNOTEGentle1998[httpsbooksgooglecombooksid2J0ndF_LmqoCpgPA52_52–53]-11] ジェントル (1998) 、 52-53頁。

[FOOTNOTEBauchauCraig2009[httpsbooksgooglecombooksidGYRX8ZYVNYQCpgPA915_915]-12] Bauchau & Craig (2009)、p. 915。

[FOOTNOTEJohnston2021[httpsbooksgooglecombooksidy24vEAAAQBAJpgPA21_21]-13] ジョンストン (2021)、p. 21。

[FOOTNOTEOualline2003Ch._5-14] Oualline (2003)、第 5 章。

[FOOTNOTEPopFurdui2017-15] 1 2 Pop & Furdui (2017) .

[16] 例えば、 $M$ ⁠ 、 Mello (2017)、 p. 48を参照。 $\operatorname {Mat}$ ⁠ 、 Axler (1997)、 p. 50を参照。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_I.2.1_(addition),_Definition_I.2.4_(scalar_multiplication),_and_Definition_I.2.33_(transpose)-17] Brown (1991)、定義 I.2.1 (加算)、定義 I.2.4 (スカラー乗算)、および定義 I.2.33 (転置)。

[FOOTNOTEWhitelaw199129-18] ホワイトロー（1991）、29ページ。

[FOOTNOTEBrown1991Theorem_I.2.6-19] ブラウン (1991)、定理 I.2.6.

[FOOTNOTEWhitelaw199130-20] ホワイトロー（1991）、30ページ。

[FOOTNOTEMaxwell1969[httpsbooksgooglecombooksidoQk9AAAAIAAJpgPA46_46]-21] マクスウェル（ 1969）、p.46。

[FOOTNOTELancasterTismenetsky1985[httpsbooksgooglecombooksid2c011Aptsa8CpgPA6_6–7]-22] ランカスター&ティスメネツキー (1985) 、 6–7ページ。

[FOOTNOTEAndrilliHecker2022[httpsbooksgooglecombooksidWtpVEAAAQBAJpgPA38_38]The_transpose_of_a_matrix_and_its_properties-23] Andrilli & Hecker (2022)、p. 38、「行列の転置とその性質」。

[FOOTNOTELancasterTismenetsky1985[httpsbooksgooglecombooksid4nfNCgAAQBAJpgPA9_9]-24] 1 2ランカスター&ティスメネツキー (1985)、p. 9。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_I.2.20-25] ブラウン (1991)、定義 I.2.20。

[FOOTNOTEBrown1991Theorem_I.2.24-26] ブラウン (1991)、定理 I.2.24。

[FOOTNOTEBoas2005117-27] ボアス（2005）、117ページ。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Ch._4_and_5-28] Horn & Johnson (1985)、第4章および第5章。

[FOOTNOTEVan_Loan2000-29] ヴァン・ローン (2000)。

[FOOTNOTEPerrone2024[httpbooksgooglecombooksidJO8GEQAAQBAJpgPA119_119&ndash;120]-30] ペローネ (2024)、p. 119 – 120。

[FOOTNOTELang1986[httpbooksgooglecombooksidc_NEBAAAQBAJpgPA71_71]-31] ラング (1986) 、 71ページ。

[FOOTNOTEWatkins2002[httpbooksgooglecombooksidxi5omWiQ-3kCpgPA102_102]-32] ワトキンス（ 2002）、p.102。

[FOOTNOTEBronson197016-33] ブロンソン (1970)、p. 16。

[FOOTNOTEKreyszig1972220-34] クレイジグ (1972)、p. 220。

[FOOTNOTEProtterMorrey1970869-35] 1 2プロッターとモーリー (1970)、p. 869。

[FOOTNOTEKreyszig1972241,_244-36] Kreyszig (1972) 、 241、244ページ

[FOOTNOTESchneiderBarker2012-37] シュナイダー＆バーカー (2012)。

[FOOTNOTEPerlis1991-38] ペルリス（1991）。

[FOOTNOTEAnton2010-39] アントン（2010）。

[40] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 17, ISBN 978-0-521-83940-2。

[FOOTNOTEBrown1991I.2.21_and_22-41] ブラウン (1991)、I.2.21 および 22。

[FOOTNOTEGbur201195-42] Gbur (2011)、p. 95。

[FOOTNOTEBen-IsraelGreville20031–2-43] ベン・イスラエル＆グレヴィル（2003）、1～2頁。

[FOOTNOTEGrossman1994494–495-44] グロスマン (1994)、494-495頁。

[FOOTNOTEBierens2004[httpsbooksgooglecombooksidZrBaRPVRLRoCpgPA263_263]-45] Bierens (2004)、p. 263。

[FOOTNOTEJohnston2021[httpsbooksgooglecombooksidy24vEAAAQBAJpgPA56_56]-46] ジョンストン (2021)、p. 56。

[FOOTNOTEPettofrezzo1978[httpsbooksgooglecombooksid2wzp9zQhA_ICpgPA60_60]-47] Pettofrezzo (1978)、p. 60。

[FOOTNOTEHanKimNoz1997-48] 1 2 3 Han、Kim & Noz (1997) .

[FOOTNOTEJeffrey2010[httpsbooksgooglecombooksiduan0Dkn9HY8CpgPA264_264]-49] ジェフリー (2010)、p. 264。

[50] Greub (1975 、p. 90)。ただし、Greub は、行列と列ベクトルを乗算するのではなく、行ベクトルと行列を乗算することによって変換を表すという転置された慣例に従っているため、合成を表す積の 2 つの行列の順序が逆になることに注意してください。

[FOOTNOTELang1986§VI.1-51] Lang (1986)、§VI.1.

[FOOTNOTEBrown1991Definition_II.3.3-52] ブラウン (1991)、定義 II.3.3。

[FOOTNOTEGreub1975Section_III.1-53] Greub (1975)、セクション III.1。

[FOOTNOTEBrown1991Theorem_II.3.22-54] ブラウン (1991)、定理 II.3.22。

[FOOTNOTEAnton2010[httpsbooksgooglecombooksidYmcQJoFyZ5gCpgPA27_27]-55] アントン（ 2010）、p.27。

[FOOTNOTEReyes2025-56] レイエス (2025)。

[FOOTNOTEAnton2010[httpsbooksgooglecombooksidYmcQJoFyZ5gCpgPA68_68]-57] アントン（ 2010）、p.68。

[FOOTNOTEGbur201191-58] Gbur (2011)、p. 91。

[FOOTNOTEBoas2005118-59] 1 2ボアズ (2005)、p. 118。

[FOOTNOTEHornJohnson1985§0.9.1_Diagonal_matrices-60] Horn & Johnson (1985)、§0.9.1 対角行列。

[FOOTNOTEBoas2005138-61] ボアス（2005）、138ページ。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Theorem_2.5.6-62] Horn & Johnson (1985)、定理 2.5.6。

[FOOTNOTEConway1990262–263-63] コンウェイ（1990）、262～263頁。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_I.2.28-64] ブラウン (1991)、定義 I.2.28。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_I.5.13-65] ブラウン (1991)、定義 I.5.13。

[FOOTNOTEAnton2010[httpsbooksgooglecombooksidYmcQJoFyZ5gCpgPA62_62]-66] アントン（ 2010）、p.62。

[FOOTNOTEGbur201199–100-67] Gbur (2011)、pp. 99–100。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Chapter_7-68] Horn & Johnson (1985)、第7章。

[FOOTNOTEAnton2010Thm._7.3.2-69] アントン (2010)、定理 7.3.2。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Theorem_7.2.1-70] Horn & Johnson (1985)、定理 7.2.1。

[FOOTNOTEBoas2005150-71] ボアズ (2005)、p. 150。

[FOOTNOTEHornJohnson1985169Example_4.0.6-72] Horn & Johnson (1985)、p. 169、例4.0.6。

[FOOTNOTELang1986Appendix._Complex_numbers-73] Lang (1986)、付録。複素数。

[FOOTNOTEHornJohnson198566–67-74] Horn & Johnson (1985)、pp. 66–67。

[FOOTNOTEGbur2011102–103-75] Gbur (2011)、pp. 102–103。

[FOOTNOTEBoas2005127,_153–154-76] ボアズ (2005) 、 127、153–154ページ

[FOOTNOTEBoas2005141-77] ボアス（2005）、141ページ。

[FOOTNOTEHornJohnson198540,_42-78] Horn & Johnson (1985)、pp. 40、42。

[FOOTNOTELang1986p._281-79] ラング (1986)、p. 281。

[FOOTNOTETang2006226-80] Tang (2006)、p. 226。

[FOOTNOTEBernstein200994-81] バーンスタイン (2009)、94ページ。

[FOOTNOTEHornJohnson1985§0.5_Nonsingularity-82] Horn & Johnson (1985)、§0.5 非特異性。

[FOOTNOTEMargalitRabinoff2019-83] マルガリットとラビノフ (2019)。

[:3-84] 「行列｜数学」、ブリタニカ百科事典、 2020年8月19日取得

[FOOTNOTEBrown1991Definition_III.2.1-85] ブラウン (1991)、定義 III.2.1。

[FOOTNOTEBrown1991Theorem_III.2.12-86] ブラウン (1991)、定理 III.2.12。

[FOOTNOTEBrown1991Corollary_III.2.16-87] ブラウン (1991)、系 III.2.16.

[FOOTNOTEMirsky1990Theorem_1.4.1-88] ミルスキー (1990)、定理 1.4.1。

[FOOTNOTEBrown1991Theorem_III.3.18-89] ブラウン (1991)、定理 III.3.18。

[90] Eigen はドイツ語とオランダ語で「自分の」という意味です。Wiktionaryを参照してください。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_III.4.1-91] ブラウン (1991)、定義 III.4.1。

[FOOTNOTEBrown1991Definition_III.4.9-92] ブラウン (1991)、定義 III.4.9。

[FOOTNOTEBrown1991Corollary_III.4.10-93] ブラウン (1991)、系 III.4.10.

[FOOTNOTEAnton2010[httpsbooksgooglecombooksidypROEAAAQBAJpgPA317_317–319]-94] アントン (2010) 、 317–319ページ。

[FOOTNOTEBernstein2009265-95] バーンスタイン (2009)、p. 265。

[FOOTNOTEHouseholder1975Ch._7-96] ハウスホルダー (1975)、第 7 章。

[FOOTNOTEBau_IIITrefethen1997-97] バウ IIIとトレフェテン (1997)。

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996Algorithm_1.3.1-98] Golub & Van Loan (1996)、アルゴリズム 1.3.1。

[FOOTNOTEVassilevska_WilliamsXuXuZhou2024-99] ヴァシレフスカ・ウィリアムズら。 (2024)。

[FOOTNOTEMisraBhattacharyaGhosh2022-100] ミスラ、バッタチャリヤ、ゴッシュ (2022)。

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996Chapters_9_and_10,_esp._section_10.2-101] Golub & Van Loan (1996)、第9章および第10章、特に第10.2節。

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996Chapter_2.3-102] Golub & Van Loan (1996)、第2.3章。

[FOOTNOTEPressFlanneryTeukolskyVetterling1992-103] Press et al. (1992)。

[FOOTNOTEStoerBulirsch2002Section_4.1-104] Stoer & Bulirsch (2002)、セクション 4.1。

[FOOTNOTEGbur2011146–153-105] Gbur (2011)、pp. 146–153。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Theorem_2.5.4-106] Horn & Johnson (1985)、定理 2.5.4。

[FOOTNOTEHornJohnson1985Ch._3.1,_3.2-107] Horn & Johnson (1985)、第 3.1 章、3.2 章。

[FOOTNOTEArnold1992Sections_14.5,_7,_8-108] アーノルド (1992)、第 14.5 節、7 節、8 節。

[FOOTNOTEBronson1989Ch._15-109] ブロンソン (1989)、第 15 章。

[FOOTNOTECoburn1955Ch._V-110] コバーン (1955)、第 V 章

[FOOTNOTETapp2016-111] タップ（2016）。

[FOOTNOTELam1999461–470Chapter_7,_§17_Matrix_Rings,_§17A_Characterization_and_Examples-112] Lam (1999)、pp. 461–470、第7章、§17 行列環、§17A 特徴付けと例。

[FOOTNOTEHachenbergerJungnickel2020[httpsbooksgooglecombooksidiSAAEAAAQBAJpgPA302_302]Definition_7.2.1-113] Hachenberger & Jungnickel (2020)、p. 302、定義7.2.1。

[FOOTNOTEYdri2016-114] Ydri (2016)。

[FOOTNOTERiehl2016[httpsbooksgooglecombooksid6B9MDgAAQBAJpgPA4_4-6]-115] Riehl (2016)、pp. 4-6。

[FOOTNOTERoth2006[httpsbooksgooglecombooksidfk7u8awR0hICpgPA27_27]-116] ロス (2006)、p. 27。

[FOOTNOTEChahal2018[httpsbooksgooglecombooksidZIqADwAAQBAJpgPA115_115–116]-117] Chahal (2018)、pp. 115–116。

[FOOTNOTEMeckesMeckes2018[httpsbooksgooglecombooksidwK1XDwAAQBAJpgPA360_360–361]-118] Meckes & Meckes (2018)、pp. 360–361。

[FOOTNOTEEdwards2004[httpsbooksgooglecombooksidylFR4h5BIDECpgPA80_80]-119] エドワーズ (2004)、p. 80。

[FOOTNOTELang2002643XVII.1-120] ラング (2002)、p. 643、XVII.1。

[FOOTNOTELang2002Proposition_XIII.4.16-121] Lang (2002)、命題 XIII.4.16.

[FOOTNOTEReichl2004Section_L.2-122] Reichl (2004)、セクション L.2。

[FOOTNOTEJeffrey2010[httpsbooksgooglecombooksiduan0Dkn9HY8CpgPA54_54ff]3.7_Partitioning_of_matrices-123] Jeffrey (2010)、pp. 54ff、3.7 行列の分割。

[FOOTNOTEGreub1975Section_III.3-124] Greub (1975)、セクション III.3。

[FOOTNOTEGreub1975Section_III.3.13-125] Greub (1975)、セクション III.3.13。

[FOOTNOTEPerrone202499–100-126] ペローネ (2024)、99–100 ページ。

[FOOTNOTEHungerford1980328–335VII.1:_Matrices_and_maps-127] Hungerford (1980)、pp. 328–335、VII.1: 行列とマップ。

[FOOTNOTEHornJohnson198569-128] Horn & Johnson (1985)、p. 69。

[FOOTNOTEBaker2003Def._1.30-129] ベイカー (2003)、定義 1.30。

[FOOTNOTECameron2014-130] キャメロン (2014)。

[FOOTNOTEBaker2003Theorem_1.2-131] ベイカー (2003)、定理 1.2。

[FOOTNOTEArtin1991Chapter_4.5-132] Artin (1991)、第4.5章。

[FOOTNOTESerre2007[httpsbooksgooglecombooksidvY_xBwAAQBAJpgPA20_20]-133] Serre (2007)、p. 20。

[FOOTNOTERowen2008198Example_19.2-134] Rowen (2008)、p. 198、例19.2。

[135] 表現論または群表現論の参考文献を参照してください。

[136] 伊藤1987の「マトリックス」の項目を参照。

[FOOTNOTEBoos2000[httpsbooksgooglecombooksidkZ9cy6XyidECpgPA34_34–39]2.2_Dealing_with_infinite_matrices-137] Boos (2000)、pp. 34–39、2.2無限行列の扱い。

[FOOTNOTEGrillet2007[httpsbooksgooglecombooksidLJtyhu8-xYwCpgPA334_334]-138] グリレット (2007) 、 334ページ。

[139] 「行列理論の多くは無限次元空間には適用できず、適用できるものもそれほど有用ではないが、時として役立つこともある。」 Halmos 1982 、p. 23、第5章。

[140] 「空行列：行または列の次元がゼロの場合、行列は空行列です」、用語集（2009年4月29日にWayback Machineにアーカイブ）、O-Matrix v6ユーザーガイド

[FOOTNOTEColemanVan_Loan1988[httpsbooksgooglecombooksidzUh9I2mSKxgCpgPA213_213]-141] コールマン＆ヴァン・ローン（1988）、p.213。

[FOOTNOTEHazewinkelGubareni2017[httpbooksgooglecombooksid5w6lDgAAQBAJpgPA151_151]-142] ヘイズウィンケル&グバレーニ (2017)、p. 151 .

[143] 空行列の表記法は、 Bernstein (2009)のp. 90など一部の資料とは異なる方法で使用されています $0_{0\times n}$ ゼロ行列に似ている。Hazewinkel & Gubareni (2017) 、p. 151は、 ${\mathfrak {I}}_{0\times n}$ 。

[FOOTNOTEWest2020[httpsbooksgooglecombooksid0-3vDwAAQBAJpgPA750_750]-144] West (2020)、p. 750。

[FOOTNOTEBrualdiCarmonavan_den_DriesscheKirkland2018[httpsbooksgooglecombooksidLMRTDwAAQBAJpgPA19_19]-145] ブルアルディら。（2018）、p.１９．

[FOOTNOTEFaridKhanWang20132087-146] 1 2ファリド、カーン、ワン (2013)、2087。

[FOOTNOTEReutenauerStraubing1984351-147] Reutenauer & Straubing (1984)、351。

[FOOTNOTEGhosh1996222-148] ゴッシュ (1996)、222。

[FOOTNOTECarboniKasangianWalters1987137-149] 1 2カルボニ、カサンジアン、ウォルターズ (1987)、137。

[FOOTNOTEManningSchütze1999Section_15.3.4-150] Manning & Schütze (1999)、セクション 15.3.4。

[FOOTNOTEWard1997Ch._2.8-151] Ward (1997)、第2.8章。

[FOOTNOTEAbłamowicz2000[httpsbooksgooglecombooksidyvCC94xzJG8CpgPA436_436]-152] アブワモヴィッチ (2000)、p. 436。

[FOOTNOTEFudenbergTirole1983Section_1.1.1-153] Fudenberg & Tirole (1983)、セクション 1.1.1。

[FOOTNOTEMcHugh2025[httpsbooksgooglecombooksidU9slEQAAQBAJpgPA390_390]11.2.3_The_expected_payoff_as_a_vector–matrix–vector_product-154] McHugh (2025)、p. 390、11.2.3ベクトル-行列-ベクトル積としての期待ペイオフ。

[FOOTNOTEMatoušekGärtner2007[httpsbooksgooglecombooksid6MO_RS4z0w8CpgPA136_136–137]-155] Matoušek & Gärtner (2007) 、 136–137ページ。

[FOOTNOTEStinson2005Ch._1.1.5_and_1.2.4-156] スティンソン (2005)、第 1.1.5 章および第 1.2.4 章。

[FOOTNOTEISRD_Group2005Ch._7-157] ISRDグループ（2005）、第7章。

[FOOTNOTEBhayaKaszkurewicz2006[httpsbooksgooglecombooksid3X7S_965jywCpgPA230_230]-158] Bhaya & Kaszkurewicz (2006)、p. 230。

[FOOTNOTEJensen1999[httpsarchiveorgdetailsintroductiontoco0000jenspage65mode2upqmatrix_65–69]-159] ジェンセン (1999)、p. 65–69。

[FOOTNOTEGodsilRoyle2004Ch._8.1-160] Godsil & Royle (2004)、第 8.1 章。

[FOOTNOTEPunnenGutin2002-161] Punnen & Gutin (2002)。

[FOOTNOTEZhangYuHou2006[httpbooksgooglecombooksid0xhra9vKCnUCpgPA7_7]-162] Zhang、Yu 、 Hou (2006)、p.７．

[FOOTNOTEScottTůma2023-163] スコット＆トゥマ（2023）。

[FOOTNOTELang1987Ch._XVI.6-164] ラング (1987)、第 XVI.6 章。

[FOOTNOTENocedalWright2006Ch._16-165] Nocedal & Wright (2006)、第16章。

[FOOTNOTELang1987Ch._XVI.1-166] ラング (1987)、第 XVI.1 章。

[167] Lang 1987 、第 XVI.5 章。より高度でより一般的な記述については、 Lang 1969 、第 VI.2 章を参照。

[FOOTNOTEGilbargTrudinger2001-168] ギルバーグとトルーディンガー (2001)。

[169] Šolin 2005 、第 2.5 章。剛性法も参照。

[FOOTNOTELatoucheRamaswami1999-170] ラトゥーシュとラマスワミ (1999)。

[FOOTNOTEMehataSrinivasan1978Ch._2.8-171] Mehata & Srinivasan (1978)、Ch. 2.8.

[172] ヒーリー、マイケル(1986)、『統計のための行列』、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850702-4

[FOOTNOTEKrzanowski198860Ch._2.2-173] クルザノフスキ (1988)、60ページ、第2.2章。

[FOOTNOTEKrzanowski1988Ch._4.1-174] クルザノフスキ (1988)、第 4.1 章。

[175] コンリー 2007

[176] ザブロディン、ブレジン、カザコフら。2006年

[FOOTNOTESchiff1968Ch._6-177] シフ (1968)、第 6 章。

[FOOTNOTEPeres199320-178] ペレス (1993)、p. 20。

[FOOTNOTEBohm2001sections_I.8,_II.4,_and_II.8-179] Bohm (2001)、第I.8節、第II.4節、および第II.8節。

[FOOTNOTEPeres199373-180] ペレス (1993)、73ページ。

[FOOTNOTEItzyksonZuber1980Ch._2-181] Itzykson & Zuber (1980)、第 2 章。

[FOOTNOTEBurgessMoore2007section_1.6.3._(SU(3)),_section_2.4.3.2._(Kobayashi–Maskawa_matrix)-182] Burgess & Moore (2007)、セクション 1.6.3. (SU(3))、セクション 2.4.3.2. (小林-益川行列)。

[FOOTNOTEWeinberg1995Ch._3-183] ワインバーグ (1995)、第 3 章。

[FOOTNOTEWherrett1987part_II-184] ウェレット (1987)、第 II 部。

[FOOTNOTERileyHobsonBence19977.17-185] ライリー、ホブソン、ベンス (1997)、7.17。

[FOOTNOTEGuenther1990Ch._5-186] Guenther (1990)、第 5 章。

[FOOTNOTESuresh_Kumar2009747–749-187] Suresh Kumar (2009)、pp. 747–749。

[188] Shen、Crossley 、Lun 1999はBretscher 2005 、p. 1で引用されている

[FOOTNOTEDossey2002564–565-189] 1 2 3 4 5 Dossey (2002)、pp. 564–565。

[190] ニーダム、ジョセフ、王玲（1959）、『中国の科学と文明』第3巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、 117ページ、 ISBN 978-0-521-05801-8{{cite book}}: CS1メンテナンス: ISBNエラーを無視しました (リンク)

[FOOTNOTEDossey2002564-191] ドッシー（2002）、564ページ。

[FOOTNOTECramer1750-192] クレイマー (1750)。

[FOOTNOTEKosinski2001-193] コシンスキー (2001)。

[194] マレー、ジェームズ、ブラッドリー、ヘンリー編 (1908)、「マトリックス」、『歴史的原則に基づく新英語辞典』、第6巻、第2部 (M–N)、オックスフォード：クラレンドン・プレス、 238ページ

[195] 最も初期の出版例は、JJシルベスター（1850）「本誌9月号掲載論文『新しい種類の定理について』およびパスカルの定理に関する追加」、ロンドン、エジンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学雑誌、 37巻：363-370頁。369頁より：「この目的のために、正方形ではなく、m行n列からなる長方形の項の配置から始めなければならない。これはそれ自体は行列式を表すものではなく、いわば行列であり、そこから様々な行列式体系を形成することができる…」

[FOOTNOTESylvester1904247[httpsbooksgooglecombooksid5GQPlxWrDiECpgPA247_Paper_37]-196] シルベスター (1904)、p. 247、論文 37。

[FOOTNOTECayley1858-197] ケイリー (1858)。

[FOOTNOTEDieudonné1978Vol._1,_Ch._III,_p._96-198] デュドネ (1978)、Vol. 1、Ch. III、p. 96.

[FOOTNOTEKnobloch1994-199] 1 2ノブロッホ (1994)。

[FOOTNOTEHawkins1975-200] ホーキンス (1975)。

[201] クローネッカー1897

[202] ヴァイエルシュトラス1915 年、271–286 ページ

[FOOTNOTEMiller1930-203] &ミラー (1930)。

[FOOTNOTEBôcher2004-204] ボシェ（2004）。

[FOOTNOTEHawkins1972-205] ホーキンス (1972)。

[FOOTNOTEvan_der_Waerden200728–40-206] van der Waerden (2007)、28–40 ページ。

[FOOTNOTEPeres199379,_106–107-207] ペレス (1993) 、 79、106–107ページ

[208] ホワイトヘッド、アルフレッド・ノース、およびラッセル、バートランド（1913）プリンキピア・マテマティカ *56、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国（1962年再版）162ページ以降を参照。

[FOOTNOTETarski1941[httpsbooksgooglecombooksid5MeNCgAAQBAJpgPA40_40]-209] タルスキ (1941)、p. 40。

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[

[

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[

[

[ 41 ]と同等である。

の

[

[

[ 45 ]

[ 50 ]

[

[ 52 ]

[

[

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[

[ 60 ]

[

[ 62 ]

[ 63 ]

[

[

[

[ 67 ]

負

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[

[ 73 ]

74

[

[ 76 ]

[ 77 ]

[

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[

[ 83 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

[

[

[ 102 ]

[ 103 ]

[ 104 ]

[ 105 ]

意味

サイズ

表記法