反例

反例とは、主張、仮説、または一般化に反する具体的な例のことです。論理学では、反例は普遍的に述べられた主張を反証し、数学や哲学の分野では厳密に反証します。^{[ 1 ]}例えば、「学生のジョン・スミスは怠け者ではない」という主張は、「学生は怠け者である」という一般化に対する反例であり、普遍的に量化された「すべての学生は怠け者である」に対する反例であると同時に反証でもあります。^{[ 2 ]}

数学では、反例はしばしば可能な定理の限界を証明するために用いられます。反例を用いて特定の予想が誤りであることを示すことで、数学研究者は行き詰まりを避け、証明可能な定理を生み出すように予想を修正する方法を学ぶことができます。数学の発展は主に定理と反例の発見（および証明）から成ると言われることもあります。^{[ 3 ]}

哲学において、反例は通常、ある哲学的立場が特定の場合には当てはまらないことを示すことで、その立場が誤りであると主張するために用いられる。あるいは、反例がもはや当てはまらないように、最初の哲学者が自らの主張を修正することもできる。これは、数学者が反例に基づいて予想を修正する場合と類似している。

例えば、プラトンの『ゴルギアス』では、カリクレスは、肉体的に強い者や能力の高い者は、弱い者を支配する権利を当然持つと主張する。 ソクラテスはこれに対し、一般大衆の数は、その総体的な力によって、たとえ一見すると貴族よりも性格が劣っていても、少数の貴族よりも「強い」とみなせると反論する。これは、強さの概念を個人の優位性から集団の力へと転換することで、カリクレスの主張に対する反例を示している。したがって、カリクレスの主張は、彼が自身の主張を修正しない限り、この別の解釈の下では成り立たない。^{[ 7 ]}

カリクレスはソクラテスの反例に異議を唱え、庶民は貴族よりも優れている、あるいはたとえ数が多くても、貴族より強いわけではないと主張するかもしれない。しかし、カリクレスが反例を受け入れるならば、彼は自分の主張を撤回するか、反例が当てはまらなくなるように主張を修正しなければならない。例えば、彼は自分の主張を個々の人間のみに言及するように修正し、庶民を群衆ではなく個人の集まりとして考える必要があるかもしれない。実際、彼は自分の主張を「強い」ではなく「賢い」と修正し、どれほど数で勝っても人は賢くなることはない、と主張した。

• 矛盾
• 例外が規則を証明する
• 最小限の反例

• イムレ・ラカトシュ著『証明と反駁』（1976年）ケンブリッジ大学出版局ISBN 0521290384
• ジェームズ・フランクリンとアルバート・ダウド (2011) 『数学における証明：入門』、キュー、シドニーISBN 978-0-646-54509-7第6章
• Lynn Arthur SteenおよびJ. Arthur Seebach, Jr. (1978) 『位相幾何学における反例』 Springer、ニューヨークISBN 0-486-68735-X。
• ジョセフ・P・ロマーノ、アンドリュー・F・シーゲル（1986）『確率と統計における反例』チャップマン＆ホール、ニューヨーク、ロンドンISBN 0-412-98901-8。
• ゲイリー・L・ワイズとエリック・B・ホール（1993）『確率論と実解析における反例』オックスフォード大学出版局、ニューヨークISBN 0-19-507068-2。
• バーナード・R・ゲルバウム、ジョン・M・H・オルムステッド（2003）『解析における反例』。第2版（1965年）の訂正復刻版、ドーバー出版、ミネオラ、ニューヨークISBN 0-486-42875-3。
• ジョーダン・M・ストヤノフ（1997）『確率論における反例』第2版、ワイリー、チチェスターISBN 0-471-96538-3。
• Michael Copobianco & John Mulluzzo (1978)グラフ理論の例と反例、Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3。

• WikiquoteにあるCounterexampleに関連する引用文