幾何学的変換

数学において、幾何学的変換とは、ある集合からそれ自身（または別のそのような集合）への、何らかの顕著な幾何学的根拠を伴う全単射のことである。より具体的には、定義域と値域が点の集合（ほとんどの場合、定義域と値域の両方または両方）である関数であり、その関数は全単射であるため、その逆関数が存在する。^[1]幾何学の研究は、これらの変換の研究によってアプローチすることができる。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

幾何学的変換は、オペランド セットの次元によって分類できます (したがって、平面変換と空間変換を区別できます)。また、保存するプロパティによって分類することもできます。

• 変位は距離と方向角（例えば並進）を保存する。^[3]
• 等長変換は角度と距離を保存する（例：ユークリッド変換）^{[4] [5]}
• 類似性は距離間の角度と比率を保存します（例：サイズ変更）^[6]
• アフィン変換は平行性を保つ（例：スケーリング、シアー）^{[5] [7]}
• 射影変換は共線性を保つ。^[8]

これらの各クラスには、前のクラスが含まれています。^[8]

• 平面上の複素座標を使用するメビウス変換（および円反転）では、すべての直線と円の集合が保持されますが、直線と円が入れ替わることがあります。

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  オリジナル画像（フランスの地図に基づく）
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  等長法
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  類似性
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  アフィン変換
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  射影変換
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  反転

• 等角変換は角度を保存し、第一に相似です。
• 等面積変換は、平面の場合は面積を、3次元の場合は体積を保存します。^[9]およびは、一次的には、行列式1のアフィン変換です。
• 同相写像（双連続変換）は点の近傍を保存します。
• 微分同相写像（二重微分可能変換）は、第一の順序でアフィンである変換です。これには前述の変換が特別なケースとして含まれており、さらに改良することができます。

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  等角変換
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  等面積変換
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  同相写像
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  微分同相写像

同じタイプの変換はグループを形成し、そのグループは他の変換グループのサブグループになる場合があります。

多くの幾何学的変換は線形代数で表現されます。全単射線形変換は一般線形群の要素です。線形変換 Aは特異ではありません。行ベクトル vの場合、行列積 vA は別の行ベクトルw = vAを与えます。

行ベクトルvの転置は列ベクトルv ^Tであり、上記の等式の転置は、ここでA ^{T は}列ベクトルに対する左作用を提供します。 ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

変換幾何学には合成 ABがある。行ベクトルvから始めて、合成変換の右作用はw = vABである。転置後、

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

したがって、 ABの場合、関連付けられている左群の作用は、反対群の研究では、反対群の作用が区別されます。これは、可換群がこれらの反対が等しい唯一の群であるためです。 ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

• 座標変換
• エアランゲンプログラム
• 対称性（幾何学）
• モーション
• 反射
• 剛体変換
• 回転
• トポロジー
• 変換行列

ウィキメディア・コモンズには、変換 (幾何学)に関連するメディアがあります。

• アドラー、アーヴィング（2012）[1966]、幾何学の新しい見方、ドーバー、ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967) .変換による幾何学(3 巻):歪みの幾何学、合同の幾何学、群と座標. ニューヨーク: Herder and Herder.
• デビッド・ガンズ–変換と幾何学。
• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952年）。『幾何学と想像力』（第2版）。チェルシー。ISBN 0-8284-1087-9。
• ジョン・マクリアリー (2013)微分可能な視点からの幾何学、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 978-0-521-11607-7 
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965) .幾何変換(2 巻):ユークリッド変換とアフィン変換、および射影変換. ニューヨーク: Academic Press.
• AN Pressley –初等微分幾何学。
• Yaglom, IM (1962、1968、1973、2009) . Geometric Transformations (4 巻)。Random House (I、II & III)、MAA (I、II、III & IV)。