時空

物理学において、時空は時空連続体とも呼ばれ、3 次元の空間と 1 次元の時間を 1 つの4 次元連続体に融合する数学モデルです。時空図は、異なる観測者がイベントの発生場所と発生時刻をどのように認識するかなど、相対論的効果を視覚化して理解するのに役立ちます。

20 世紀に入るまでは、宇宙の 3 次元幾何学 (位置、形状、距離、方向による宇宙の記述) は時間 (宇宙内での出来事の発生時期の測定) とは別のものであると想定されていました。しかし、ローレンツ変換と特殊相対性理論により、空間と時間は新たな意味を帯びるようになりました。

1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、時​​間と空間の3次元を、現在ミンコフスキー空間として知られる単一の4次元連続体に融合する特殊相対性理論の幾何学的解釈を提示した。この解釈は、時空が質量とエネルギーによって曲がっているとする一般相対性理論にとって極めて重要であることが証明された。

非相対論的古典力学は、時間を、全体にわたって均一で、空間から分離され、すべての観測者によって同意される普遍的な測定量として扱います。古典力学は、時間の経過速度は一定であり、観測者の運動状態や外部のものと無関係であると仮定します。^[1]空間はユークリッド空間であると仮定します。つまり、空間は常識的な幾何学に従うと仮定します。^[2]

特殊相対性理論の文脈では、物体の時間の経過の観測速度は観測者に対する物体の速度に依存するため、時間は空間の3次元から切り離すことはできません。 ^{[3] ：214–217} 一般相対性理論は、重力場が、その場の外側の観測者から見た物体の時間の経過を遅くする仕組みを説明しています。

通常の空間では、位置は次元と呼ばれる3つの数値で指定されます。直交座標系では、これらはx、y、zと呼ばれることがよくあります。時空内の点はイベントと呼ばれ、空間内の3次元の位置と時間内の位置の4つの数値を指定する必要があります（図1）。イベントは、座標x、y、z、tのセットによって表されます。^[4]したがって、時空は4次元です。

爆竹や火花などの出来事を説明するために一般的な文献で使われる類推とは異なり、数学的な出来事は持続時間がゼロで、時空内の一点を表します。^[5]爆竹や火花の鳴り響きに対して相対的に運動することは可能ですが、観察者が出来事に対して相対的に運動することは不可能です。

時空を通過する粒子の経路は、一連のイベントと考えることができます。一連のイベントは、粒子の時空での進行を表す曲線を形成するためにリンクすることができます。その経路は、粒子の世界線と呼ばれます。^{[6] : 105}

数学的には、時空は多様体であり、つまり、十分に小さなスケールでは地球の表面が平らに見えるのと同じように、各点の近くでは局所的に「平ら」に見える。^[7]スケール係数（慣例的に光速と呼ばれる）は、空間で測定された距離と時間で測定された距離を関連付けます。このスケール係数の大きさ（空間で約300,000キロメートルまたは190,000マイルは時間で1秒に相当）と、時空が多様体であるという事実は、通常の非相対論的速度と通常の人間スケールの距離では、人間が観察するものは、世界がユークリッドである場合に観察するものと著しく異なることはほとんどないことを意味します。 1800年代半ばにフィゾーの実験やマイケルソン・モーリーの実験などの高感度の科学的測定法が登場して初めて、観測結果とユークリッド空間という暗黙の仮定に基づく予測結果との間に不可解な矛盾が見られるようになった。^[8]${\displaystyle c}$

特殊相対論では、観測者とはほとんどの場合、一連の物体や出来事が測定される基準フレームを意味します。この用法は、この用語の通常の英語の意味とは大きく異なります。基準フレームは本質的に非局所的な構成物であり、この用語の用法によれば、観測者が場所を持っていると言うことは意味がありません。^[9]

図 1-1 では、検討中のフレームに、この基準フレーム内で同期された密集した時計の格子が装備されており、それが 3 次元空間全体に無限に広がっていると想像してください。格子内の特定の位置は重要ではありません。時計の格子は、フレーム全体で発生するイベントの時間と位置を決定するために使用されます。観測者という用語は、1 つの慣性基準フレームに関連付けられた時計の集合全体を指します。^{[9] : 17–22}

この理想的なケースでは、空間内のあらゆる点に時計が関連付けられており、時計は各イベントを瞬時に記録し、イベントとその記録の間に時間遅延はありません。実際の観測者は、光の速度による信号の発信と検出の間に遅延があるのを目にするでしょう。実験後のデータ処理で時計を同期させるには、信号が受信された時刻を、理想的な時計の格子によって記録された実際の時刻を反映するように修正します。^{[9] : 17–22}

特殊相対性理論に関する多くの本、特に古い本では、「観察者」という言葉はより一般的な意味で使用されています。通常、どの意味が採用されているかは文脈から明らかです。

物理学者は、信号伝播の遅延を除いた後に測定または観察するものと、そのような補正をせずに視覚的に見るものを区別します。測定するものと視覚的なものの違いを理解していないことが、相対性理論の研究者の間で多くの混乱の原因となっています。^[10]

1800 年代半ばまでに、アラゴ斑点の観測や空気と水中での光速の差測定などのさまざまな実験により、粒子理論ではなく光の波動性が証明されたと考えられました。^{[11]当時、波の伝播には}波動媒体の存在が必要であると想定されていました。光波の場合、これは仮想的な光伝導エーテルであると考えられていました。^{[注 1]}この仮想媒体の特性を確立するためのさまざまな試みは、矛盾した結果をもたらしました。たとえば、フランスの物理学者イポリット・フィゾーが 1851 年に実施したフィゾーの実験では、流水中の光速は、空気中の光速と水の速度の合計よりも、水の屈折率に応じた量だけ遅いことが実証されました。^[12]

他にも問題があったが、この実験で示唆された部分的なエーテル引きずりが屈折率（波長に依存）に依存していることから、エーテルは異なる色の光に対して同時に異なる速度で流れるという受け入れがたい結論が導かれた。 ^[13] 1887年のマイケルソン・モーリーの実験（図1-2）では、仮想エーテルを通る地球の運動が光速に及ぼす差異的な影響は示されず、最も可能性の高い説明である完全なエーテル引きずりは恒星の光行差の観測と矛盾した。^[8]

1889年にジョージ・フランシス・フィッツジェラルド^[14]と1892年にヘンドリック・ローレンツはそれぞれ独立して、固定エーテル中を移動する物質は通過によって物理的に影響を受け、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明するのに必要な量だけ運動方向に収縮すると提唱した。運動方向と直角な方向では長さの変化は起こらない。

1904年までにローレンツは理論を拡張し、後にアインシュタインが導く方程式、すなわちローレンツ変換と形式的に同一の方程式に到達した。^[15]力学理論（力とトルクおよびそれらが運動に及ぼす影響の研究）として、彼の理論は物質の物理的構成要素の実際の物理的変形を仮定した。^{[16] ：163–174}ローレンツの方程式は彼が局所時間と呼ぶ量を予測し、それによって彼は光行差、フィゾーの実験およびその他の現象を説明することができた。

アンリ・ポアンカレは、空間と時間を時空に統合した最初の人物である。^{[17] [18] : 73–80, 93–95}彼は1898年に、2つの出来事の同時性は慣習の問題であると主張した。^{[19] [注 2]} 1900年に、彼は、一定の光速を仮定した時計同期の明示的な操作的定義を適用することにより、ローレンツの「局所時間」が実際に動く時計によって示されるものであることを認識した。 ^{[注 3] 1900年と1904年に、彼は、彼が}相対性原理と呼ぶものの妥当性を強調することにより、エーテルの固有の検出不可能性を示唆した。1905/1906年に^[20]、彼はローレンツの電子理論を相対性公理と一致させるために数学的に完成させた。

ローレンツ不変重力に関するさまざまな仮説を議論する中で、彼はさまざまな4つのベクトル、すなわち4つの位置、4つの速度、4つの力を定義することによって、4次元時空という革新的な概念を導入した。^{[21] [22]}しかし、彼はその後の論文では4次元形式論を追求せず、この研究は「限られた利益のために大きな苦痛を伴う」ように思われると述べ、最終的に「3次元言語が私たちの世界を説明するのに最も適しているようだ」と結論付けた。^[22] 1909年になっても、ポアンカレはローレンツ変換の動的解釈を説明し続けた。^{[16] : 163–174}

1905年、アルベルト・アインシュタインは特殊相対性理論を力学ではなく運動学（力とは関係なく動く物体を研究する学問）の観点から分析した。彼の結果は数学的にはローレンツとポアンカレの結果と同等であった。彼は、理論全体が相対性原理と光速度不変原理という2つの公理の上に成り立つことを認識して、それらの結果を得た。彼の研究は、動いている時計の間での光信号の交換、動く棒の長さの慎重な測定、その他のそのような例を含む鮮明なイメージに満ちていた。^{[23] [注4]}

アインシュタインは 1905 年に、質量とエネルギーの一般的な等価性を導入することで、電磁気的な質量とエネルギーの関係に関する以前の試みを覆しました。これは、慣性質量と重力質量が等価であることを宣言する等価原理を 1907 年にその後定式化する上で重要な役割を果たしました。質量とエネルギーの等価性を使用することで、アインシュタインは物体の重力質量がそのエネルギー量に比例することを示しました。これは、一般相対性理論の発展における初期の結果の 1 つでした。最初は時空について幾何学的に考えていなかったように見えますが、^{[3] : 219}アインシュタインは一般相対性理論のさらなる発展において、時空形式主義を完全に取り入れました。

アインシュタインが1905年に論文を発表したとき、彼のライバルでかつての数学教授ヘルマン・ミンコフスキーも特殊相対性理論の基本的な要素のほとんどに到達していた。マックス・ボルンはミンコフスキーの学生/協力者になろうとミンコフスキーと会ったときのことを次のように語っている。^[25]

私はケルンに行き、ミンコフスキーに会い、1908 年 9 月 2 日に行われた彼の有名な講演「空間と時間」を聞きました。[...] 彼は後に私に、アインシュタインが、互いに相対的に動く観測者の異なる局所時間の等価性を主張した論文を発表したとき、大きな衝撃を受けたと語りました。なぜなら、彼は独立して同じ結論に達していたが、まずその数学的構造をそのすべての素晴らしさにおいて解明したかったため、それを発表しなかったからです。彼は決して優先権を主張せず、常に偉大な発見における自分の分をアインシュタインに与えました。

ミンコフスキーは、少なくとも1905年の夏、ミンコフスキーとダヴィド・ヒルベルトが当時の著名な物理学者たちを集めてローレンツやポアンカレらの論文を研究する上級セミナーを主催して以来、マイケルソンの破壊的な実験後の電磁気学の状態に関心を抱いていた。ミンコフスキーはアインシュタインの研究をローレンツの研究の延長とみなし、ポアンカレの影響を最も直接的に受けた。^[26]

1907 年 11 月 5 日 (死の 1 年ちょっと前)、ミンコフスキーはゲッティンゲン数学協会で「相対性原理( Das Relativitätsprinzip )」と題した講演で時空の幾何学的解釈を発表しました。^{[注 5]} 1908 年 9 月 21 日、ミンコフスキーはドイツ科学者医師協会で「空間と時間( Raum und Zeit )」^{[27]と題した講演を行いました。} 「空間と時間」の冒頭には、「これから先、空間自体と時間自体はまったく影に帰し、両者の何らかの結合のみが独立性を保つ」というミンコフスキーの言葉が含まれています。『空間と時間』では、時空図（図1-4）が初めて公開され、不変間隔の概念（後述）と光速が有限であるという経験的観察により特殊相対性理論全体を導出できることを実証した注目すべき論文が含まれていました。^{[注 6]}

時空概念とローレンツ群は、19世紀にすでに開発された特定の種類の球面幾何学、双曲幾何学、または共形幾何学およびその変換群と密接に関連しており、そこでは時空間隔に類似した不変間隔が使用されています。^{[注 7]}

一方、アインシュタインは当初、ミンコフスキーの特殊相対性理論の幾何学的解釈を「余計な学識」とみなして否定していた。しかし、1907年に始まった一般相対性理論の探求を完結させるためには、相対性理論の幾何学的解釈が不可欠であることが判明した。1916年、アインシュタインはミンコフスキーへの恩義を全面的に認めた。ミンコフスキーの解釈は、一般相対性理論への移行を大いに促進した。^{[16] : 151–152}一般相対性理論の曲がった時空など、他のタイプの時空もあるため、特殊相対性理論の時空は今日ではミンコフスキー時空と呼ばれている。

3次元では、 2点間の距離は ピタゴラスの定理を使って定義できます。 ${\displaystyle \Delta {d}}$

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

2 人の視聴者が異なる座標系を使用して 2 つのポイントのx、y、z位置を測定する場合でも、同じ単位を使用して測定していると仮定すると、ポイント間の距離は両方とも同じになります。距離は「不変」です。

しかし、特殊相対論では、2 点間の距離は、2 人の異なる観測者によって測定された場合、観測者の 1 人が動いている場合、ローレンツ収縮により、同じではなくなります。2 点が空間だけでなく時間的に離れている場合、状況はさらに複雑になります。たとえば、1 人の観測者が 2 つのイベントが同じ場所で異なる時間に発生するのを見ている場合、最初の観測者に対して動いている人は、2 つのイベントが異なる場所で発生しているのを見ることになります。これは、動いている視点はそれ自体が静止しているように見え、イベントの位置は遠ざかっているか近づいているように見えるためです。したがって、2 つのイベント間の有効な「距離」を測定するには、別の尺度を使用する必要があります。^{[31] : 48–50, 100–102}

4 次元時空では、距離に相当するのは間隔です。時間は 4 番目の次元として登場しますが、空間次元とは異なる方法で扱われます。したがって、ミンコフスキー空間は4 次元ユークリッド空間とは重要な点で異なります。空間と時間を時空に統合する基本的な理由は、空間と時間が別々には不変ではないためです。つまり、適切な条件下では、異なる観測者は 2 つのイベント間の時間の長さ (時間の遅れのため) または 2 つのイベント間の距離 (長さの収縮のため) について意見が一致しません。特殊相対性理論は、空間と時間の距離を組み合わせた、時空間隔と呼ばれる新しい不変量を提供します。任意の 2 つのイベント間の時間と距離を測定するすべての観測者は、最終的に同じ時空間隔を計算することになります。観測者が 2 つのイベントを時間的にと空間距離で隔てられていると測定するとします。すると、空間的に の距離で隔てられ、 -座標で で隔てられている 2 つのイベント間の時空間隔の 2 乗は次のようになります。^[32]${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta x.}$${\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$${\displaystyle \Delta {x}}$${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$${\displaystyle ct}$

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

あるいは3次元空間の場合、

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

光速という定数は、時間単位（秒など）を空間単位（メートルなど）に変換します。間隔の二乗は、イベント A とイベント B 間の分離の尺度です。これらのイベントは、2 つの別々のオブジェクトがイベントを起こしているか、空間内の単一のオブジェクトがイベント間で慣性運動しているために、時間的に分離され、さらに空間的に分離されています。分離間隔は、イベント B とイベント A を隔てる空間距離の二乗と、同じ時間間隔で光信号が移動する空間距離の二乗との差です。イベントの分離が光信号によるものである場合、この差は消え、 となります。 ${\displaystyle c,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta s^{2}}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta s=0}$

検討対象のイベントが互いに極めて近い場合、次のように書くことができる。

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

異なる慣性系、たとえば座標 では、時空間隔は上記と同じ形式で記述できます。光速度の不変により、すべての慣性系における光イベントはゼロ間隔 に属します。となるその他の任意の微小イベントについては、 が証明でき、 これを積分すると が導かれます。^{[33] : 2}すべての慣性系において同じイベント間の時空間隔が不変であることは、特殊相対性理論の基本的な結果の 1 つです。 ${\displaystyle (t',x',y',z')}$${\displaystyle ds'}$${\displaystyle ds=ds'=0}$${\displaystyle ds\neq 0}$${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$${\displaystyle s=s'}$

簡潔にするために、以下の説明のほとんどを含め、デルタなしで表現された間隔表現を頻繁に目にしますが、一般に、は などを意味することを理解する必要があります。私たちが常に関心を持っているのは、2 つのイベントに属する空間または時間座標値の差であり、優先される原点がないため、単一の座標値には本質的な意味はありません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta {x}}$

上記の式は、項と項の間にマイナス記号があることを除けば、ピタゴラスの定理に似ています。時空間隔は量そのものではありません。その理由は、ユークリッド幾何学の距離とは異なり、ミンコフスキー時空では間隔が負になることがあるからです。物理学者は、負の数の平方根を扱うのではなく、それを何かの平方ではなく、それ自体が独立した記号であると見なすのが通例です。^{[3] : 217}${\displaystyle (ct)^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle s^{2},}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}}$

注:相対性理論の文献では、2 つの符号規則が使用されています。

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

そして

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

これらの符号規則は、計量記号 (+−−−)と(−+++)に関連付けられています。小さな違いは、時間座標を最初ではなく最後に置くことです。両方の規則は研究分野で広く使用されています。^[34]

以下の説明では、最初の規則を使用します。

は一般に任意の実数値をとることができる。が正の場合、時空間隔は時間的と呼ばれる。質量のある物体が通過する空間距離は、同じ時間間隔で光が移動する距離よりも常に短いため、正の間隔は常に時間的である。が負の場合、時空間隔は空間的と呼ばれる。 のとき、時空間隔はゼロに等しい。言い換えれば、光速で移動する物体の世界線上の2つのイベント間の時空間隔はゼロである。このような間隔は光的またはヌル と呼ばれる。遠くの星から私たちの目に到達する光子は、（私たちの視点から）その通過に何年も費やしているにもかかわらず、老化していない。^{[31] : 48–50}${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle x=\pm ct.}$

時空図は通常、単一の空間座標と単一の時間座標のみで描かれます。図 2-1 は、同じイベントから発生し、反対方向に進む 2 つの光子 A と B の世界線(つまり、時空内の経路) を示す時空図です。また、C は光速よりも遅い物体の世界線を示しています。垂直方向の時間座標は、水平方向の空間座標と同じ単位 (メートル) になるように拡大縮小されています。光子は光速で移動するため、その世界線の傾きは ±1 です。^{[31] : 23–25}言い換えると、光子が左または右に 1 メートル移動するには、約 3.3 ナノ秒の時間が必要です。 ${\displaystyle c}$

異なる基準フレームの観測者によって測定された時空座標が互いにどのように比較されるかを把握するには、標準構成のフレームを使用した簡略化されたセットアップで作業すると便利です。注意して作業すれば、結論の一般性を損なうことなく数学を簡略化できます。図 2-2 では、2 つのガリレオ基準フレーム(つまり、従来の 3 空間フレーム) が相対的に移動して表示されています。フレーム S は最初の観測者 O に属し、フレーム S′ (「S プライム」と発音) は 2 番目の観測者 O′ に属します。

• フレーム S のx、y、z軸は、フレーム S′ のそれぞれのプライム軸と平行になっています。
• フレーム S′ は、フレーム S で測定された一定速度vでフレーム S のx方向に移動します。
• フレームSとS′の原点は、フレームSの時刻t = 0、フレームS′の時刻t ′ = 0のときに一致する。^{[6] : 107}

図 2-3a は、図 2-2 を別の向きで描き直したものです。図 2-3b は、観測者 O の視点から見た相対論的時空図を示しています。S と S′ は標準構成であるため、それらの原点は 、フレーム S では時刻t = 0 に、フレーム S′ では時刻t ′ = 0 に一致します。ct ′軸は、フレーム S′ でx ′ = 0となるイベントを通過します。しかし、x ′ = 0 となる点は、フレーム S のx方向に速度vで移動しているため、ゼロ以外の時刻ではct軸と一致しません。したがって、 ct ′ 軸は、 ct軸に対して角度θだけ傾いており、 ^[31]で与えられる角度です^。23–31

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

x ′軸もx軸に対して傾いています。この傾きの角度を決定するには、光パルスの世界線の傾きが常に ±1 であることを思い出してください。図 2-3c は、観測者 O′ の視点から見た時空図を示しています。イベント P は、x ′ = 0、ct ′ = − aでの光パルスの放出を表します。パルスは光源から距離aにある鏡で反射され (イベント Q)、 x ′ = 0、  ct ′ =  aで光源に戻ります(イベント R)。

同じイベント P、Q、R が、図 2-3b に観測者 O のフレームでプロットされています。光路の傾きは = 1 と −1 なので、△PQR は PQ と QR が x 軸とct軸に対して 45 度の直角三角形を形成します。OP = OQ = OR なので、 x ′ とxの間の角度もθでなければなりません。^{[6] : 113–118}

静止フレームでは空間軸と時間軸が直角に交わるのに対し、移動フレームでは軸が鋭角に交わる。これらのフレームは実際には同等である。^{[31] : 23–31}この非対称性は、時空座標をデカルト平面にマッピングする際に避けられない歪みによって生じるものであり、地球のメルカトル図法で極地（グリーンランドと南極）の相対的な大きさが赤道近くの陸地に比べて大幅に誇張されているのと同じくらい奇妙であると考えられるべき である。

図 2-4 では、イベント O は時空図の原点にあり、2 本の対角線は、原点イベントに対して時空間隔がゼロであるすべてのイベントを表しています。これらの 2 本の線は、イベント O の光円錐と呼ばれるものを形成します。これは、2 番目の空間次元を追加すると (図 2-5)、2 つの直円錐がO で頂点に接しているように見えるためです。1つの円錐は未来(t>0)に伸び、もう 1 つは過去( t<0) に伸びています。

光（二重）円錐は、その頂点を基準として時空を別々の領域に分割します。未来光円錐の内部は、頂点から光速で空間距離を横切るのに必要な時間（時間距離）よりも長い時間だけ離れたすべてのイベントで構成されます。これらのイベントは、イベント O の時間的未来を構成します。同様に、時間的過去は、過去光円錐の内部イベントで構成されます。したがって、時間的間隔ではΔ ctは Δ xよりも大きく、時間的間隔は正になります。^{[3] : 220}

光円錐の外側の領域は、イベント O から、与えられた時間内に光速で通過できる距離よりも離れた空間で隔てられたイベントから構成されます。これらのイベントは、図 2-4 で「他の場所」と示されている、イベント O のいわゆる空間的領域を構成します。光円錐自体上のイベントは、O から光のような(またはゼロ分離) であると言われています。時空間隔の不変性のため、すべての観測者は、任意のイベントに同じ光円錐を割り当て、この時空の分割に同意することになります。^{[3] : 220}

光円錐は因果関係の概念において重要な役割を果たしている。光速より速くない信号が O の位置と時間から D の位置と時間へ伝わることは可能である (図 2-4)。したがって、イベント O がイベント D に因果的な影響を及ぼすことは可能である。未来の光円錐には、O によって因果的に影響を受ける可能性のあるすべてのイベントが含まれている。同様に、光速より速くない信号が A の位置と時間から O の位置と時間へ伝わることは可能である。過去の光円錐には、O に因果的な影響を及ぼす可能性のあるすべてのイベントが含まれている。対照的に、信号が光速より速く伝わることはできないと仮定すると、空間的領域 (他の場所) 内の B や C などのイベントはイベント O に影響を与えることも、そのような信号を使用するイベント O によって影響を受けることもできない。この仮定の下では、イベント O と光円錐の空間的領域内のイベントとの間の因果関係は排除される。^[35]

観測者なら誰でも、ある特定のイベントについて、そのイベントの未来光円錐内のイベントは、そのイベントの後に発生することに同意するだろう。同様に、ある特定のイベントについて、そのイベントの過去光円錐内のイベントは、そのイベントの前に発生する。時間的に分離されたイベントについて観測される前後関係は、観測者の参照フレームが何であっても、つまり観測者がどのように動いていても、変わらない。空間的に分離されたイベントの場合は状況が全く異なる。図 2-4 は、v = 0で移動する観測者の参照フレームから描かれたものである。この参照フレームから、イベント C はイベント O の後に発生し、イベント B はイベント O の前に発生することが観測される。^[36]

異なる参照フレームから見ると、これらの因果関係のないイベントの順序は逆転する可能性がある。特に、特定の参照フレームで2つのイベントが同時である場合、それらは必然的に空間的な間隔で分離されており、したがって因果関係がないことに留意する。同時性は絶対的ではなく、観察者の参照フレームに依存するという観察は、同時性の相対性と呼ばれる。^[36]

図 2-6 は、同時性の相対性の分析における時空図の使用を示しています。時空内のイベントは不変ですが、座標フレームは図 2-3 で説明したように変換されます。3 つのイベント(A、B、C)は、 v = 0で移動する観測者の基準フレームからは同時です。v = 0.3 cで移動する観測者の基準フレームからは、イベントはC、B、A の順序で発生するように見えます。 v = −0.5 cで移動する観測者の基準フレームからは、イベントはA、B、C の順序で発生するように見えます。白い線は、観測者の過去から観測者の未来へと移動している同時性の平面を表し、そこにあるイベントを強調表示しています。灰色の領域は観測者の光円錐で、不変のままです。

空間的な時空間隔は、観測者が測定するイベントが同時に起こった場合に観測者が測定するのと同じ距離を与えます。したがって、空間的な時空間隔は、適切な距離、つまり真の距離の尺度を提供します =同様に、時間的な時空間隔は、与えられた世界線に沿って動く時計の累積的な刻みによって示されるのと同じ時間の尺度を提供します。したがって、時間的な時空間隔は、適切な時間の尺度を提供します= ^{[3] : 220–221}${\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$${\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$

ユークリッド空間（空間次元のみを持つ）では、ある点から等距離にある点の集合（ユークリッド計量を使用）は円（2次元）または球（3次元）を形成します。（1+1）次元ミンコフスキー時空（時間次元と空間次元が1つずつ）では、原点から一定の時空間隔にある点（ミンコフスキー計量を使用）は、次の2つの式で示される曲線を形成します。

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

何らかの正の実定数を持つ。これらの方程式は、 x – ct時空図内の 2 つの双曲線族を表し、不変双曲線と呼ばれます。 ${\displaystyle s^{2}}$

図 2-7a では、マゼンタ色の双曲線はそれぞれ、原点から一定の空間的分離を持つすべてのイベントを結び、緑色の双曲線は等しい時間的分離を持つイベントを結びます。

x軸と交差するマゼンタ色の双曲線は時間的曲線です。つまり、これらの双曲線は時空内の（常に加速する）粒子が通過できる実際の経路を表しています。1 つの双曲線上の任意の 2 つのイベント間には因果関係が可能です。これは、すべてのセカントの傾き（必要な速度を表す）の逆数が 未満であるためです。一方、ct軸と交差する緑色の双曲線は、これらの双曲線に沿ったすべての間隔が空間的間隔であるため、空間的曲線です。すべてのセカントが より大きい速度を表すため、これらの双曲線上の任意の 2 点間には因果関係はあり得ません。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

図 2-7b は、(1+2) 次元ミンコフスキー時空 (1 つの時間的次元と 2 つの空間的次元)における状況と、それに対応する双曲面を示しています。原点から空間的間隔でずれた不変双曲面は1 枚の双曲面を生成し、原点から時間的間隔でずれた不変双曲面は 2 枚の双曲面を生成します。

原点に対してゼロ時空間隔を形成するイベントによって確立される、空間的双曲面と時間的双曲面の間の (1+2) 次元境界は、双曲面を光円錐に退化させることによって構成されます。 (1+1) 次元では、双曲面は図 2-7a に示されている 2 つの灰色の 45° 線に退化します。

図2-8は、原点から5メートル（約1.67 × 10 ⁻⁸  s）。異なる世界線は、異なる速度で動いている時計を表します。観測者に対して静止している時計の世界線は垂直で、観測者が計測した経過時間は固有時間と同じです。0.3  cで移動する時計の場合、観測者が計測した経過時間は 5.24 メートル (1.75 × 10 ⁻⁸ 秒）、一方、0.7秒で進む時計の場合 、観測者が計測した経過時間は 7.00 メートル（2.34 × 10 ⁻⁸  s）。^{[3] : 220–221}

これは時間の遅れとして知られる現象を示しています。より速く進む時計は、同じ量の固有時間を刻むのに（観測フレーム内で）より長い時間がかかり、その固有時間内にx軸に沿って時間の遅れがない場合よりも遠くまで進みます。^{[3] ：220–221}異なる慣性基準フレームにいる2人の観測者による時間の遅れの測定は相互的です。観測者Oが自身のフレーム内で観測者O′の時計がより遅く動いていると測定した場合、観測者O′は今度は観測者Oの時計がより遅く動いていると測定します。

長さの収縮は、時間の遅れと同様に、同時性の相対性の現れです。長さの測定には、ある基準フレームで同時である 2 つのイベント間の時空間隔の測定が必要です。しかし、1 つの基準フレームで同時であるイベントは、一般に、他の基準フレームでは同時ではありません。

図 2-9 は、 x軸に沿って0.5 cで移動する 1 m の棒の動きを示しています 。青い帯の端は、棒の両端の世界線を表しています。不変双曲線は、原点から 1 m の空間的間隔で離れたイベントを示しています。t ′ = 0 のときに測定された端点 O と B は、S ′ フレームでは同時イベ​​ントです。しかし、フレーム S の観測者にとって、イベント O と B は同時ではありません。長さを測定するために、フレームS の観測者は、棒の両端をその世界線に沿ってx軸に投影して測定します。棒の世界シートをx軸に投影すると、短縮された長さ OC が得られます。^{[6] : 125}

(図示なし) A を通る垂直線をx ′ 軸と交差するように引くと、観察者 O の観点から OB が短縮されているのと同様に、観察者 O′ の観点から OA も同様に短縮されていることがわかります。各観察者が相手の時計が遅く動いていると測定するのと同じように、各観察者は相手の定規が縮んでいると測定します。

相互の長さの収縮に関しては、図 2-9 は、プライム付きフレームとプライムなしフレームが双曲角(ユークリッド幾何学の通常の角度に類似)だけ相互に回転していることを示しています。 ^{[注 8]}この回転により、プライム付きのメートル棒のプライムなしのx軸への投影は短縮され、プライムなしのメートル棒のプライム付き x′ 軸への投影も同様に短縮されます。

相互の時間の遅れと長さの収縮は、初心者には本質的に矛盾した概念のように思われる傾向がある。フレーム S の観測者が、フレーム S' で静止している時計を、S' の時計よりも遅く動いていると測定し、S' の時計が S 内で速度vで動いているとすると、相対性原理によれば、フレーム S' の観測者は同様に、フレーム S で速度 − vで動いている時計を、S' の時計よりも遅く動いていると測定することになる。2 つの時計がなぜ両方が他方よりも遅く動いているのかは、「特殊相対性理論の理解の核心にかかわる」重要な疑問である。^{[3] : 198}

この明らかな矛盾は、必要な関連測定の異なる設定を正しく考慮していないことに起因しています。これらの設定により、唯一の明らかな矛盾を一貫して説明できます。これは、2 つの同一の時計の抽象的な刻み方についてではなく、1 つのフレームで、動いている時計の 2 つの刻みの時間的距離を測定する方法についてです。それぞれのフレームで動いている時計の刻み間の持続時間を相互に観察するには、異なるセットの時計が関与する必要があることがわかります。フレーム S で、動いている時計 W′ (S′ 内で静止) の刻み時間を測定するには、空間距離dで S 内の任意に固定された 2 つの点で静止している、同期された2 つの追加の時計 W ₁と W _{2 を}使用します。

2 つのイベントは、「2 つの時計が同時に 1 つの場所にある」という条件、つまり W′ が W ₁と W _{2 を}それぞれ通過するときに定義できます。両方のイベントについて、共存する時計の 2 つの読み取り値が記録されます。W ₁と W ₂の 2 つの読み取り値の差は、S 内の 2 つのイベントの時間的距離であり、それらの空間的距離はdです。W′ の 2 つの読み取り値の差は、S′ 内の 2 つのイベントの時間的距離です。S′ では、これらのイベントは時間的にのみ分離されており、S′ 内の同じ場所で発生します。これら 2 つのイベントがまたがる時空間間隔の不変性と、S 内の非ゼロの空間的分離dにより、S′ 内の時間的距離は S 内の時間的距離よりも小さくなければなりません。つまり、動いている時計 W′ の読み取り値から生じる 2 つのイベント間のより短い時間的距離は、より遅く動いている時計 W′ に属します。

逆に、フレーム S′ で、動いている時計 W (S 内で静止している) 上の 2 つのイベントの時間的距離を判断するには、S′ 内で静止している 2 つの時計が必要です。

この比較では、時計 W は速度 − vで動いています。「2 つの時計が同時に 1 つの場所にある」と定義されるイベントの 4 つの読み取り値を再度記録すると、2 つのイベントの時間的距離が類似したものになります。この 2 つのイベントは、S′ では時間的にも空間的にも離れており、S では時間的にのみ離れていますが共存しています。時空間隔を不変に保つには、S′ でのイベントの空間的分離のため、S での時間的距離は S′ よりも小さくなければなりません。つまり、時計 W は遅く動いているのが観測されます。

S と S′ のそれぞれにおける「1 つの動く時計」と「2 つの静止した時計」という 2 つの判断に必要な記録には、それぞれ 3 つの時計を含む 2 つの異なるセットが含まれます。測定には異なるセットの時計が関係しているため、1 人の観測者が動く時計を遅いと測定した場合、他の観測者が自分の時計を速いと測定するなど、測定が相互に「一貫している」という本質的な必然性はありません。^{[3] : 198–199}

図 2-10 は、ミンコフスキー図による相互時間の遅れについてのこれまでの議論を示しています。上の図は、プライムなしの直角座標軸を持つ「静止」のフレーム S と、右に傾いたプライム付きの斜軸で座標化された「v  > 0 で移動」のフレーム S′ から見た測定値を反映しています。下の図は、プライム付きの直角座標を持つ「静止」のフレーム S′ と、左に傾いたプライムなしの斜軸を持つ「− v  < 0 で移動」のフレーム S を示しています。

空間軸 ( x、x ′)に平行に引かれた各線は同時性の線を表します。このような線上のすべてのイベントは同じ時間値 ( ct、ct ′) を持ちます。同様に、時間軸 ( ct、ct′ ) に平行に引かれた各線は、等しい空間座標値 ( x、x ′) の線を表します。

両方の図で、原点O (= O ′ ) をイベントとして指定できます。この場合、それぞれの「動く時計」は、両方の比較で「最初の静止した時計」と共存します。明らかに、このイベントでは、両方の比較の両方の時計の読み取り値はゼロです。結果として、動く時計の世界線は、右に傾斜したct ′ 軸 (上の図、時計 W′) と左に傾斜したct軸 (下の写真、時計 W) です。W ₁と W′ ₁の世界線は、対応する垂直時間軸です (上の図ではct、下の写真ではct ′)。

_{上の図では、W 2}の場所はA _x > 0とされており、したがって、この時計の世界線 (図には示されていません) は、Aというラベルの付いたイベントで、移動する時計の世界線 ( ct ′ 軸) と交差します。このイベントでは、「2 つの時計が同時に 1 つの場所にある」ことになります。下の図では、W′ ₂の場所はC _{x ′} < 0とされており、したがって、この測定では、移動する時計 W は、イベントCで W′ ₂を通過します。

上の図では、イベントAのct座標A _{t ( W 2}の読み取り値) がBで示されており、 W ₁と W ₂で測定された 2 つのイベント間の経過時間がOBとして示されています。比較のために、 W′ で測定された時間間隔OAの長さをct軸のスケールに変換する必要があります。これは、 Aを通る不変双曲線 (図 2-8 も参照) によって行われ、原点Aから同じ時空間間隔にあるすべてのイベントを接続します。これにより、 ct軸上のイベントCが生成され、明らかにOC  <  OBで、「動いている」時計 W′ の方が遅く進みます。

上の図で相互の時間の遅れをすぐに示すために、イベントD はx ′ = 0 (S′ の時計 W′ の位置)でのイベントとして構築され、これは S′ のC ( OC はOAと同じ時空間隔を持つ) と同時に発生します。これは、時間間隔ODがOAよりも長いことを示し、「動いている」時計は遅く進んでいることを示しています。^{[6] : 124}

下の図では、フレーム S は静止しているフレーム S′ 内を速度 − vで動いています。時計 W の世界線はct軸 (左に傾いている) で、 W′ ₁の世界線は垂直のct ′軸、 W′ _{2の世界線はイベント}C を通る垂直軸で、ct ′座標はDです。イベントCを通る不変双曲線は、時間間隔OC をOAにスケーリングします。これはODよりも短くなります。また、B は(上の図のDと同様に) S のAと同時にx = 0 で構築されます。 結果OB  >  OC は上記に対応します。

「測定」という言葉は重要です。古典物理学では、観察者は観察対象物に影響を与えることはできませんが、物体の運動状態は観察者の物体の観察に影響を与えることができます。

特殊相対性理論の入門書の多くは、一連の「パラドックス」を提起することで、ガリレイ相対性理論と特殊相対性理論の違いを説明しています。これらのパラドックスは、実際には、光速に匹敵する速度に対する私たちの不慣れさから生じる、不適切な問題です。解決策は、特殊相対性理論の多くの問題を解決し、いわゆる直感に反する予測に慣れることです。時空を研究するための幾何学的アプローチは、現代の直感を養うための最良の方法の 1 つと考えられています。^[37]

双子のパラドックスは、一卵性双生児の一人が高速ロケットで宇宙を旅し、地球に残った双子の一人が地球に帰還すると、地球に残った双子の一人が年を取っていることに気づくという思考実験である。この結果は不可解に思える。なぜなら、双子はそれぞれもう一方が動いているのを観測しており、一見すると、それぞれがもう一方が年を取っていないと気づくはずであるからだ。双子のパラドックスは、3つ目の時計の必要性を回避することで、上記で示した相互の時間の遅れの正当化を回避している。^{[3] : 207}ただし、双子のパラドックスは特殊相対性理論の文脈で簡単に理解できるため、真のパラドックスではない。

パラドックスが存在するという印象は、特殊相対性理論が述べていることの誤解から生じている。特殊相対性理論は、すべての参照フレームが同等であるとは宣言しておらず、慣性フレームのみを宣言している。旅行中の双子のフレームは、加速している間は慣性ではない。さらに、双子の違いは観察によって検出可能である。旅行中の双子は家に帰るためにロケットを発射する必要があるが、家に留まっている双子はそうする必要がない。^{[38] [注 9]}

これらの違いにより、双子の年齢に差が生じるはずです。図 2-11 の時空図は、双子が x 軸に沿ってまっすぐ進み、すぐに戻ってくるという単純なケースを示しています。家にいる双子の立場からすると、双子のパラドックスには何の不可解な点もありません。旅行中の双子の世界線 O から C まで測定された固有時間と、C から B まで測定された固有時間の合計は、家にいる双子の O から A から B まで測定された固有時間よりも短くなります。より複雑な軌道では、旅行中の双子が経験する固有時間の合計を計算するために、曲線に沿ったそれぞれのイベント間の固有時間を積分する必要があります (つまり、経路積分)。^[38]

双子のパラドックスを旅行中の双子の視点から分析すると、複雑な問題が生じます。

ワイスの命名法では、家にいる双子をテレンス、旅行中の双子をステラと呼んでおり、この命名法は以後も使用される。^[38]

ステラは慣性系にはありません。この事実を考慮すると、双子のパラドックスを完全に解決するには一般相対性理論が必要であると誤って述べられることがあります。^[38]

純粋なSR分析は次のようになります。ステラの静止系で分析すると、彼女は旅行中ずっと動かない。方向転換のためにロケットを発射するとき、彼女は重力に似た疑似力を経験する。^[38]図2-6と2-11は同時性の線（平面）の概念を示しています。観察者のx軸（xy平面）に平行な線は、観察者フレームで同時である一連のイベントを表します。図2-11では、青い線はテレンスの世界線上のイベントを結び、ステラの視点からは彼女の世界線上のイベントと同時です。（テレンスは、今度は水平の同時性の線のセットを観察するでしょう。）ステラは、往路と復路の両方の行程を通じて、テレンスの時計が自分の時計よりも遅く動いているのを計測します。しかし、方向転換中（つまり図の太い青い線の間）に、同時性の線の角度に変化が起こり、ステラが自分と同時であると考えているテレンスの世界線での出来事が急速に飛ばされる。そのため、旅の終わりに、ステラはテレンスが自分よりも老けていることに気づく。^[38]

一般相対性理論は双子のパラドックスを分析するのに必須ではないが、一般相対性理論の等価原理を適用することで、この主題について追加の洞察が得られる。ステラは慣性系では静止していない。ステラの静止系で分析すると、彼女は旅行中ずっと動かない。彼女が惰性で進んでいるとき、彼女の静止系は慣性であり、テレンスの時計は遅く進んでいるように見える。しかし、彼女が方向転換のためにロケットを発射するとき、彼女の静止系は加速系であり、彼女はまるで重力場にいるかのように彼女を押す力を経験する。テレンスはその場の高いところにいるように見え、重力による時間の遅れのために、彼の時計は速く進んでいるように見え、最終的な結果として、二人が一緒になったときにはテレンスの方がステラよりも年を取っていることになる。^[38]重力による時間の遅れを予測する理論的議論は、一般相対性理論に限ったことではない。ニュートンの理論を含め、等価性の原理を尊重するあらゆる重力理論は、重力による時間の遅れを予測するだろう。^{[3] : 16}

この導入部では、最も説明しやすい特殊相対性理論の時空に焦点を当ててきました。ミンコフスキー時空は平坦で、重力を考慮せず、全体的に均一であり、その中で起こる出来事に対する静的な背景に過ぎません。重力の存在は時空の記述を非常に複雑にします。一般相対性理論では、時空はもはや静的な背景ではなく、それに含まれる物理システムと積極的に相互作用します。時空は物質の存在下で曲がり、波を伝播し、光を曲げ、その他多くの現象を示します。^{[3] : 221}これらの現象のいくつかは、この記事の後のセクションで説明します。

基本的な目標は、相対的に運動している観測者による測定値を比較できるようにすることです。フレーム S に、イベントの時間と空間座標を測定した観測者 O がいるとします。このイベントに 3 つの直交座標と、同期した時計の格子( x、y、z、t )で測定した時間を割り当てます (図 1-1 を参照)。別のフレーム S′ にいる 2 番目の観測者 O′ は、同じイベントを自分の座標系と同期した時計の格子( x ′、y ′、z ′、t ′ )で測定します。慣性系では、どちらの観測者も加速されておらず、簡単な方程式のセットで座標( x、y、z、t )を( x ′、y ′、z ′、t ′ )に関連付けることができます。 ２つの座標系が標準構成、つまり平行な（x、y、z）座標で整列し、t ′ = 0のときにt = 0であることを考えると、座標変換は次のようになる：^{[39] [40]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

図3-1は、ニュートンの理論では、光速度ではなく時間が普遍的であることを示しています。^{[41] : 36–37}次の思考実験を考えてみましょう。赤い矢印は、プラットフォームに対して0.4 cで動いている電車を示しています。電車の中で、乗客が電車のフレーム内で速度0.4 cの弾丸を発射します。青い矢印は、線路に立っている人が弾丸が0.8 cで移動していると測定することを示しています。これは私たちの素朴な予想と一致しています。

より一般的には、フレーム S′ がフレーム S に対して速度vで動いていると仮定すると、フレーム S′ 内で、観測者 O′ は速度u ′で動いている物体を測定します。フレーム S に対する速度u は、 x = ut、x ′ = x − vt、t = t ′であるため、 x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′と表すことができます。これにより、u ′ = x ′ / t ′となり、最終的に

${\displaystyle u'=u-v}$  または  ${\displaystyle u=u'+v,}$

これは速度の加算に関する常識的なガリレイの法則です。

相対論的時空では速度の構成は全く異なります。方程式の複雑さを少し軽減するために、物体の光に対する速度の比を表す一般的な略記法を導入します。

${\displaystyle \beta =v/c}$

図 3-2a は、 v / c = β = s / aの速度で前進している赤い電車を示しています。電車のプライムフレームから、乗客はu ′ / c = β ′ = n / mの速度で弾丸を発射します。ここで、距離は黒のx軸に平行な線ではなく、赤のx ′軸に平行な線に沿って測定されます。青い矢印で表される、プラットフォームに対する弾丸の合成速度uはいくらでしょうか。図 3-2b を参照してください。

1. プラットフォームから見ると、弾丸の合成速度はu = c ( s + r )/( a + b )で与えられます。
2. 2 つの黄色の三角形は、共通の角度αを共有する直角三角形であるため相似です。大きな黄色の三角形では、比s / a = v / c = βです。
3. 2 つの黄色の三角形の対応する辺の比は一定なので、r / a = b / s = n / m = β ′です。したがって、b = u ′ s / cかつr = u ′ a / cです。
4. bとrの式をステップ1のuの式に代入すると、アインシュタインの速度の加算公式が得られる。^{[41] : 42–48}

   ${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

上で示した速度の加算に関する相対論的公式には、いくつかの重要な特徴があります。

• u ′とvがどちらも光速に比べて非常に小さい場合、積vu ′ / c ^{2は無視できるほど小さくなり、全体的な結果は速度の加算に関するガリレイの公式（ニュートンの公式）} u  =  u ′  +  vと区別がつかなくなります。ガリレイの公式は、低速度に適用できる相対論的公式の特殊なケースです。
• u ′がcに等しく設定されている場合、式はvの初期値に関係なくu  =  cとなります。光の速度は、放射源に対する観測者の運動に関係なく、すべての観測者にとって同じです。^{[41] : 49}

時間の遅れと長さの収縮を定量的に表現するのは簡単です。図 3-3 は、前の 2 つのアニメーションから取得した個々のフレームを含む合成画像で、このセクションの目的に合わせて簡略化され、ラベルが変更されています。

方程式の複雑さを少し軽減するために、 ctにはさまざまな省略表記法があります。

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$そして一般的です。${\displaystyle w=ct}$

また、慣習的に使用されていることもよく見られます。${\displaystyle c=1.}$

図3-3aでは、線分OAとOKは等しい時空間隔を表しています。時間の遅れはOB / OKの比で表されます。不変双曲線はw = √ x ² + k ²（k  =  OK）の式を持ち、運動中の粒子の世界線を表す赤い線はw  =  x / β  =  xc / vの式を持ちます。少し代数操作を行うと、次の式が得られます。${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

平方根記号を含む式は相対性理論で非常に頻繁に登場し、その式を乗じたものはローレンツ因子と呼ばれ、ギリシャ文字のガンマで表される。^[42]${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

vがc以上の場合、 の式は物理的に意味をなさなくなり、c が自然界で可能な最大速度であることを意味します。vが 0 より大きい場合、ローレンツ係数は 1 より大きくなりますが、曲線の形状は、低速の場合、ローレンツ係数が 1 に極めて近くなるようになっています。 ${\displaystyle \gamma }$

図 3-3b では、線分OAとOK は等しい時空間隔を表しています。長さの収縮はOB / OKの比で表されます。不変双曲線の方程式はx = √ w ² + k ²で、k  =  OKです。また、運動中の棒の端点の世界線を表す青い帯の端の傾きは 1/ β  =  c / vです。イベント A の座標は ( x ,  w ) = ( γk ,  γβk ) です。A と B を通る接線の方程式はw  = ( x  −  OB )/ βなので、 γβk  = ( γk  −  OB )/ βとなり、

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

ガリレイ変換と、その結果として生じる速度の加算という常識的な法則は、飛行機、車、ボールといった通常の低速の世界ではうまく機能します。しかし、1800 年代半ばから、感度の高い科学機器によって、通常の速度の加算とはうまく合わない異常が発見され始めました。

ローレンツ変換は、特殊相対性理論において、イベントの座標をあるフレームから別のフレームに変換するために使用されます。

ローレンツ因子はローレンツ変換に現れます。

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

逆ローレンツ変換は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

v  ≪  cかつxが十分に小さい場合、 v ² / c ²項とvx / c ²項はゼロに近づき、ローレンツ変換はガリレイ変換に近づきます。

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$ ${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$等は、実際には等を意味することがほとんどです。簡潔にするためにローレンツ変換方程式はデルタなしで書かれていますが、x はΔ x を意味します。一般に、私たちは常にイベント間の 空間と時間の差に関心があります。${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$

一方の変換セットを通常のローレンツ変換、もう一方の変換セットを逆変換と呼ぶのは誤解を招く。なぜなら、フレーム間に本質的な違いはないからである。異なる著者は、一方の変換セットまたはもう一方の変換セットを「逆」セットと呼んでいる。順変換と逆変換は、SフレームがS ′に対して前進または後退することしかできないため、互いに自明に関連している。したがって、方程式を反転するには、プライム付き変数とプライムなし変数を入れ替え、vを − vに置き換えるだけでよい。^{[43] : 71–79}

例:テレンスとステラは地球から火星への宇宙レースに参加しています。テレンスはスタートラインの審判員で、ステラは参加者です。時刻t = t ′ = 0に、ステラの宇宙船は瞬時に 0.5 cの速度まで加速します 。地球から火星までの距離は 300 光秒 (約90.0 × 10 ⁶  km ）。テレンスはステラがt  = 600.00 sでフィニッシュラインの時計を通過するのを観察します。しかしステラは、フィニッシュラインを通過したときに船のクロノメーターの時刻が⁠ ⁠${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$であると観察し、フレームで測定されたスタートラインとフィニッシュラインの間の距離を 259.81 光秒 (約77.9 × 10 ⁶  km） 。1）。

1905年のアインシュタインの最初の研究以来、ローレンツ変換の導出は数十回行われており、それぞれに特定の焦点が当てられています。アインシュタインの導出は光速度の不変性に基づいていましたが、出発点として役立つ可能性のある他の物理原理もあります。結局のところ、これらの代替出発点は、ある粒子が他の粒子に及ぼす影響は瞬時に伝達されないという局所性原理の異なる表現と見なすことができます。^[44]

ここで示され、図 3-5 に示されている導出は、Bais ^{[41] : 64–66}によって提示されたものに基づいており、相対論的速度合成、時間の遅れ、長さの収縮のセクションの以前の結果を利用しています。イベント P は、黒い「静止システム」の座標 ( w、  x ) と、速度パラメータβ  =  v / cで動いている赤いフレームの座標( w ′、  x ′ )を持ちます。w ′ と x ′ を w と x の観点から決定するには(またはその逆) 、まず逆ローレンツ変換を導出する方が簡単です。

1. 横方向の長さの伸縮はあり得ません。y ' はyに等しく、z ′ はzに等しくなければなりません。そうでなければ、高速で移動する 1 m のボールが 1 m の円形の穴を通過できるかどうかは、観察者次第です。相対性理論の第一公理は、すべての慣性系は等しいと述べており、横方向の伸縮はこの法則に反します。^{[43] : 27–28}
2. 図から、w = a + b、x  =  r  +  s
3. 相似三角形を使用した以前の結果から、 s / a  =  b / r = v / c  =  βであることがわかります。
4. 時間の遅れのため、a  =  γw ′
5. 式(4)をs / a  =  βに代入するとs  =  γw ′ βとなる。
6. 長さの収縮と相似三角形により、 r  =  γx ′およびb  =  βr = βγx ′となる。
7. s、a、r、bの式をステップ2の式に代入すると、次の式が得られます。

   ${\displaystyle w=\gamma w'+\beta \gamma x'}$

   ${\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma w'}$

上記の式は、 wをct、w ′をct ′ 、βをv / cに置き換えることでわかるように、逆ローレンツ変換の t および x 方程式の代替表現です。逆変換から、 t ′とx ′を解くことで順変換の方程式を導くことができます。

ローレンツ変換は線形性と呼ばれる数学的性質を持つ。なぜなら、x ′とt ′ はxとtの線形結合として得られ、高次の累乗は含まれないからである。変換の線形性は、導出において暗黙のうちに仮定された時空の基本的性質、すなわち慣性参照系の性質は場所と時間に依存しないということを反映している。重力がなければ、時空はどこでも同じに見える。^{[41] : 67}すべての慣性観測者は、加速運動と非加速運動を構成するものについて同意するだろう。^{[43] : 72–73}観測者は誰でも、空間と時間の独自の測定値を使用できるが、それらは絶対的なものではない。別の観測者の慣習でも同様である。^{[3] : 190}

線形性の結果として、2 つのローレンツ変換を順番に適用すると、結果もローレンツ変換になります。

例:テレンスはステラが 0.500  cで自分から遠ざかっていくのを観察し、β  = 0.500のローレンツ変換を使用してステラの測定値を自分の測定値に関連付けることができます。ステラは、自分のフレームでウルスラが 0.250  cで自分から遠ざかっていくのを観察し、 β  = 0.250のローレンツ変換を使用してウルスラの測定値を自分の測定値に関連付けることができます。変換の線形性と速度の相対論的構成により、テレンスはβ  = 0.666のローレンツ変換を使用してウルスラの測定値を自分の測定値に関連付けることができます。

ドップラー効果とは、相対的に動く受信器と音源の波の周波数または波長の変化です。簡単にするために、ここでは 2 つの基本的なシナリオを検討します。(1) 音源と受信器の動きが、それらを結ぶ線に正確に沿っている場合 (縦方向ドップラー効果)、および (2) 動きが前述の線に対して直角である場合 (横方向ドップラー効果)。中間の角度に沿って動くシナリオは無視します。

古典的なドップラー解析は、音波や水面の波紋など、媒体中を伝播する波、つまり互いに近づいたり遠ざかったりする音源と受信機の間で伝達される波を扱います。このような波の解析は、音源、受信機、またはその両方が媒体に対して移動しているかどうかによって異なります。受信機が媒体に対して静止しており、音源が速度パラメータβ _sに対して速度v _sで受信機から直接遠ざかっているシナリオでは、波長が増加し、観測される周波数fは次のように表されます。

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

一方、音源が静止しており、受信機が速度パラメータβ _rに対して速度v _rで音源から直接遠ざかるシナリオでは、波長は変化しないが、受信機に対する波の伝達速度は減少し、観測される周波数fは次のように表される。

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

光は音や水の波紋とは異なり、媒体を伝わることはなく、音源が受信機から遠ざかることと受信機が音源から遠ざかることの区別はありません。図3-6は、音源が受信機から速度パラメータで離れていく様子を示す相対論的時空図です。時刻 における音源と受信機の距離は です。時間の遅れにより、緑色の光線の傾きは −1 なので、相対論的ドップラー効果は次のように表されます^{[41] : 58–59}${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \beta w}$${\displaystyle w=\gamma w'.}$${\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}$

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

発信源と受信機が、交差しない線に沿って等速慣性運動で互いに接近し、最も接近している状態にあると仮定する。古典的な解析では、受信機はドップラーシフトを検出しないと予測されるように見える。解析の微妙な点により、その予測は必ずしも正しいとは限らない。しかし、適切に定義されれば、横方向ドップラーシフトは相対論的効果であり、古典的な類似物はない。微妙な点は以下のとおりである。^{[45] : 541–543}

<!—プレーンリストの終了—>

シナリオ(a)では、最接近点はフレームに依存せず、距離と時間の変化がない瞬間(つまり、dr/dt = 0、rは受信機と発信源間の距離)を表し、したがって縦方向のドップラーシフトはありません。発信源は受信機が周波数f ′の光で照らされていると観測しますが、受信機が時間遅れの時計を持っているとも観測します。したがって、フレームSでは、受信機は周波数f′の青方偏移した光 で照らされています。

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

シナリオ(b)では、光源が移動したにもかかわらず、受信機は光源が受信機に最も近かったときの光で照らされている様子が図に示されています。光源の時計はフレームSで測定すると時間的に遅れており、この時点でdr/dtはゼロであるため、この最も近い点から放射される光源からの光は周波数とともに 赤方偏移しています。

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

シナリオ (c) と (d) は、単純な時間の遅れの議論で分析できます。 (c) では、受信機は光源からの光が 倍の青方偏移していると観測し、 (d) では光が赤方偏移していると観測します。一見複雑に見える唯一の点は、周回する物体が加速運動している点です。しかし、慣性観測者が加速する時計を見ると、時間の遅れを計算する際には時計の瞬間速度だけが重要になります (ただし、逆は成り立ちません)。^{[45] : 541–543}横方向ドップラーシフトに関するほとんどの報告では、その効果を赤方偏移と呼び、その効果をシナリオ (b) または (d) の観点から分析しています。^{[注 11]}${\displaystyle \gamma }$

古典力学では、粒子の運動状態は質量と速度によって特徴付けられます。粒子の質量と速度の積である線形運動量は、速度と同じ方向を持つベクトル量です: p  =  m v。これは保存量であり、つまり、閉じたシステムが外部の力の影響を受けない場合、その総線形運動量は変化しません。

相対論的力学では、運動量ベクトルは 4 次元に拡張されます。運動量ベクトルには時間成分が追加され、時空運動量ベクトルが時空位置ベクトル ⁠ ⁠ のように変換できるようになります。時空${\displaystyle (x,t)}$運動量の特性を調べるには、図 3-8a で静止している粒子の様子を調べることから始めます。静止系では、運動量の空間成分はゼロ、つまりp  = 0ですが、時間成分はmcに等しくなります。

このベクトルの変換された成分は、ローレンツ変換を使って移動フレームで得ることができます。また、赤軸がガンマで再スケールされているので、 ⁠ ⁠${\displaystyle (mc)^{\prime }=\gamma mc}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle p^{\prime }=-\beta \gamma mc}$分かっているので、図から直接読み取ることもできます。図3-8bは、移動フレームで現れる状況を示しています。移動フレームの速度がc に近づくにつれて、4元運動量の空間成分と時間成分が無限大になることは明らかです。^{[41] : 84–87}

この情報をすぐに使用して、 4 元運動量の表現を取得します。

光子、つまり光子は、通常光速として知られている定数であるcの速度で移動します。この記述はトートロジーではありません。なぜなら、相対性理論の多くの現代定式化は、光速一定を前提として始まっていないからです。したがって、光子は光のような世界線に沿って伝播し、適切な単位では、すべての観測者にとって等しい空間と時間の要素を持ちます。

マクスウェルの電磁気学の理論の帰結として、光はエネルギーと運動量を運び、その比率は一定であるということが言えます: ⁠ ⁠${\displaystyle E/p=c}$。整理すると、⁠ ⁠${\displaystyle E/c=p}$、光子の場合、空間成分と時間成分は等しいので、E / c は時空運動量ベクトルの時間成分と等しくなければなりません。

光子は光速で移動しますが、運動量とエネルギーは有限です。このためには、γmcの質量項がゼロでなければなりません。つまり、光子は質量のない粒子です。無限大×ゼロは定義が曖昧ですが、E / c は明確に定義されています。

この解析によれば、静止系で光子のエネルギーがEに等しい場合、運動系では⁠ ⁠${\displaystyle E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E}$に等しい。この結果は、図 3-9 を調べるか、ローレンツ変換を適用することで導き出され、前述のドップラー効果の解析と一致する。^{[41] : 88}

相対論的運動量ベクトルのさまざまな要素間の相互関係を考慮することで、アインシュタインはいくつかの重要な結論に至りました。

• 低速限界では、β = v / c がゼロに近づくにつれて、γ は1 に近づくため、相対論的運動量の空間成分⁠ ⁠は運動量の古典的な用語である${\displaystyle \beta \gamma mc=\gamma mv}$mvに近づきます。この観点から、γm はmの相対論的一般化として解釈できます。アインシュタインは、物体の相対論的質量は式⁠ ⁠${\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m}$に従って速度とともに増加すると提案しました。
• 同様に、相対論的運動量の時間成分を光子の時間成分と比較すると、⁠ ⁠${\displaystyle \gamma mc=m_{\text{rel}}c=E/c}$、アインシュタインは関係⁠ ⁠${\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}$にたどり着きました。速度がゼロの場合に簡略化すると、これがエネルギーと質量を関連付けるアインシュタインの方程式になります。

質量とエネルギーの関係を見る別の方法は、低速度でのγmc ²の級数展開を考えることです。

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...}$

2番目の項は粒子の運動エネルギーを表す単なる表現である。質量は確かにエネルギーの別の形態であると思われる。^{[41] : 90–92  [43] : 129–130, 180}

アインシュタインが1905年に導入した相対論的質量の概念m _{rel は}、世界中の粒子加速器（あるいは電子顕微鏡、^[46]旧式のカラーテレビなど、高速粒子を使用するあらゆる計測機器）で日々十分に検証されているにもかかわらず、他の理論的発展の基礎として役立った概念ではないという意味で、物理学において実りある概念であることが証明されていません。たとえば、相対論的質量は一般相対性理論では何の役割も果たしません。

このため、また教育上の懸念から、現在、ほとんどの物理学者は質量とエネルギーの関係について言及する際に別の用語を好んでいます。^[47]「相対論的質量」は非推奨の用語です。「質量」という用語自体は静止質量または不変質量を指し、相対論的運動量ベクトルの不変長に等しいです。式で表すと、

${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{\text{rest}}^{2}c^{4}}$

この式は質量のある粒子だけでなく、質量のない粒子にも適用されます。m _{rest が}ゼロの光子の場合、次の式${\displaystyle E=\pm pc}$が得られます。^{[41] : 90–92}

質量とエネルギーの密接な関係から、4元運動量（4元運動量とも呼ばれる）はエネルギー・運動量4元ベクトルとも呼ばれる。4元運動量を表す大文字のPと空間運動量を表す小文字のpを使用すると、4元運動量は次のように表記される。

${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$あるいは、

${\displaystyle P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})}$^[43]の慣例を用いると^{：129–130, 180}${\displaystyle c=1.}$

物理学において、保存則とは、孤立した物理システムの特定の測定可能な特性は、システムが時間の経過とともに進化しても変化しないことを述べています。1915年、エミー・ネーターは、各保存則の根底には自然界の基本的な対称性があることを発見しました。^[48]物理プロセスが空間のどこで発生するかを気にしないという事実（空間並進対称性）は運動量保存をもたらし、そのようなプロセスがいつ発生するかを気にしないという事実（時間並進対称性）はエネルギー保存をもたらします。このセクションでは、ニュートンの質量、運動量、エネルギー保存の見解を相対論の観点から検討します。

ニュートンの運動量保存の見解を相対論的文脈でどのように修正する必要があるかを理解するために、単一次元に限定された 2 つの物体の衝突の問題を調べます。

ニュートン力学では、この問題の 2 つの極端なケースを区別して、最小限の複雑さの数学を生み出すことができます。

（１）２つの物体は完全に弾性的な衝突で互いに跳ね返る。

（２）２つの物体はくっついて、一つの粒子として動き続ける。この２番目のケースは、完全に非弾性な衝突の場合である。

(1)と(2)のどちらの場合も、運動量、質量、全エネルギーは保存されます。ただし、非弾性衝突の場合、運動エネルギーは保存されません。初期の運動エネルギーの一定の割合が熱に変換されます。

ケース（2）では、運動量⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$ と⁠ ⁠ を持つ2つの質量が衝突し、保存された質量${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$⁠ ⁠${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$を持つ単一の粒子が生成され、元のシステムの質量中心の速度で運動します。全運動量は保存されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$

図 3-10 は、相対論的観点から 2 つの粒子の非弾性衝突を示しています。時間成分⁠ ⁠${\displaystyle E_{1}/c}$と⁠ ⁠を足し合わせると、結果ベクトルの合計${\displaystyle E_{2}/c}$E/cとなり、エネルギーが保存されることを意味します。同様に、空間成分⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$足し合わせると、結果ベクトルのp が形成されます。4 元運動量は、予想どおり、保存量です。ただし、全運動量の不変双曲線がエネルギー軸と交差する点によって与えられる融合粒子の不変質量は、衝突した個々の粒子の不変質量の合計とは等しくありません。実際、それは個々の質量の合計よりも大きいです: ⁠ ⁠${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$。^{[41] : 94–97}

このシナリオの出来事を逆順に見てみると、質量の非保存はよくあることだと分かります。不安定な素粒子が自発的に2つの軽い粒子に崩壊するとき、全エネルギーは保存されますが、質量は保存されません。質量の一部は運動エネルギーに変換されます。^{[43] : 134–138}

解析を行うフレームを自由に選択できるため、特に便利なフレームを選ぶことができます。運動量とエネルギーの問題を解析する場合、最も便利なフレームは通常、「運動量中心フレーム」（ゼロ運動量フレーム、または COM フレームとも呼ばれます）です。これは、システム全体の運動量の空間成分がゼロであるフレームです。図 3-11 は、高速粒子が 2 つの娘粒子に分裂する様子を示しています。実験室フレームでは、娘粒子は元の粒子の軌道に沿った方向に優先的に放出されます。しかし、COM フレームでは、2 つの娘粒子は反対方向に放出されますが、その質量と速度の大きさは一般に同じではありません。^[49]

相互作用する粒子のニュートン力学解析では、フレーム間の変換は簡単です。必要なのは、すべての速度にガリレイ変換を適用することだけです。⁠ ⁠${\displaystyle v'=v-u}$、運動量⁠ ⁠${\displaystyle p'=p-mu}$。相互作用する粒子系の全運動量が 1 つのフレームで保存されることが観測される場合、他のフレームでも同様に保存されることが観測されます。^{[43] : 241–245}

COM フレームにおける運動量保存は、衝突前と衝突後の両方でp  = 0という要件に相当します。ニュートン解析では、質量保存は⁠ ⁠${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$と規定します。これまで検討してきた単純化された 1 次元のシナリオでは、粒子の出射運動量を決定する前に必要な追加の制約は、エネルギー条件だけです。運動エネルギーの損失がない完全に弾性的な 1 次元の衝突の場合、COM フレームで跳ね返る粒子の出射速度は、入射速度と正確に等しく反対になります。運動エネルギーが完全に失われる完全に非弾性的な衝突の場合、跳ね返る粒子の出射速度はゼロになります。^{[43] : 241–245}

ニュートンの運動量は⁠ ⁠${\displaystyle p=mv}$として計算されるが、ローレンツ変換の下では適切に動作しない。速度の線形変換は高度に非線形な ⁠ ⁠に置き換え${\displaystyle v'=v-u}$られ 、あるフレームで運動量保存を証明する計算は他のフレームでは無効になる。アインシュタインは、運動量保存をあきらめるか、運動量の定義を変更するかのどちらかを迫られた。彼が選んだのは後者の選択肢だった。^{[41] : 104}${\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})}$

エネルギーと運動量に関する相対論的保存則は、エネルギー、運動量、質量に関する 3 つの古典的な保存則に取って代わるものである。質量はもはや独立に保存されず、相対論的エネルギー全体に組み込まれている。これにより、相対論的エネルギー保存則は非相対論的力学よりも単純な概念となる。なぜなら、全エネルギーはいかなる条件もなしに保存されるからである。運動エネルギーが熱または内部位置エネルギーに変換されると、質量の増加として現れる。^{[43] : 127}

ポアンカレの慣習主義者の見解では、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学のどちらを選択するかの重要な基準は、経済性と単純さである。現実主義者は、アインシュタインが時空が非ユークリッドであることを発見したと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインは単に非ユークリッド幾何学を使う方が便利だと考えただけだと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインの分析は時空の幾何学が本当は何であるかについて何も語っていないと主張するだろう。^[54]

そうは言っても、

1. 一般相対性理論を平坦な時空で表現することは可能でしょうか?
2. 一般相対性理論の平坦な時空解釈が、通常の曲がった時空解釈よりも便利な状況はありますか?

最初の質問に対する回答として、デザー、グリシュチュク、ローゼン、ワインバーグなどを含む多くの著者が、重力を平坦多様体内の場として定式化してきました。これらの理論は、「双計量重力」、「一般相対論への場の理論的アプローチ」などと呼ばれています。^{[55] [56] [57] [58]}キップ・ソーンはこれらの理論の一般的なレビューを提供しています。^{[59] : 397–403}

平坦時空パラダイムは、物質が重力場を作り出し、定規を円周方向から放射状に回転させると定規が縮み、時計の針の進み方が遅くなると仮定する。平坦時空パラダイムは、曲がった時空パラダイムと完全に同等であり、どちらも同じ物理現象を表す。しかし、数学的な定式化はまったく異なる。現役の物理学者は、問題の要件に応じて、曲がった時空と平坦時空を日常的に切り替えて使用している。平坦時空パラダイムは、弱い場で近似計算を行うときに便利である。したがって、平坦時空技術は重力波問題を解くときに使用され、曲がった時空技術はブラックホールの解析に使用される傾向がある。^{[59] : 397–403}

特殊相対性理論の時空対称群はポアンカレ群であり、これは 3 つのローレンツブースト、3 つの回転、および 4 つの時空変換からなる 10 次元の群です。一般相対性理論に適用される対称性 (もしあるとすれば) は何かと問うのは理にかなっています。扱いやすいケースとしては、重力場のすべての発生源から遠く離れた場所に位置する観測者から見た時空の対称性を考えることが考えられます。漸近的に平坦な時空対称性に対する素朴な期待は、特殊相対性理論の平坦な時空の対称性、つまりポアンカレ群を拡張して再現するだけでよいかもしれません。

1962年、ヘルマン・ボンディ、MG・ファン・デル・バーグ、AW・メッツナー^[60]、ライナー・K・サックス^{[61]は、伝播する}重力波による無限遠でのエネルギーの流れを調べるために、この漸近対称性の問題に取り組んだ。彼らの最初のステップは、漸近対称群の性質について先験的な仮定をせず、そのような群が存在するという仮定さえもせずに、光のような無限遠での重力場に置く物理的に意味のある境界条件をいくつか決定し、計量が漸近的に平坦であると言うことが何を意味するかを特徴づけることだった。次に、彼らが最も意味があると考える境界条件を設計した後、漸近的に平坦な重力場に適した境界条件の形を不変にする、結果として生じる漸近対称変換の性質を調査した。^{[62] : 35}

彼らが発見したのは、漸近対称変換が実際に群を形成し、この群の構造は存在する特定の重力場には依存しないということでした。これは、予想どおり、少なくとも空間無限遠では、時空の運動学を重力場の力学から切り離すことができることを意味します。1962 年の不可解な驚きは、BMS 群のサブグループである有限次元ポアンカレ群の代わりに、漸近対称群として豊富な無限次元群 (いわゆる BMS 群) が発見されたことです。ローレンツ変換が漸近対称変換であるだけでなく、ローレンツ変換ではないが漸近対称変換である追加の変換もあります。実際、彼らは超変換として知られる変換生成器の無限の追加を発見しました。これは、一般相対性理論（GR）は長距離の弱い場の場合には特殊相対性理論に還元されないという結論を意味する。 ^{[62] : 35}

物理的な理由から、時空連続体は数学的には4次元の滑らかな連結ローレンツ多様体 として定義される。これは、滑らかなローレンツ計量がシグネチャを持つことを意味する。計量は、${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (3,1)}$時空の幾何学、粒子や光線の測地線座標チャートが参照フレーム内の観測者を表すために使用される。通常、直交座標が使用される。さらに、単純化のために、測定単位は通常、光速が1に等しくなる^[64]${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\displaystyle c}$

参照フレーム（観測者）は、これらの座標チャートの1つで識別できます。このような観測者は、任意のイベントを記述できます。別の参照フレームは、に関する2番目の座標チャートで識別できます。2人の観測者（各参照フレームに1人）が同じイベントを記述しても、異なる記述が得られる場合があります。^[64]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

通常、多様体をカバーするには、多くの重なり合う座標チャートが必要です。2 つの座標チャートがあり、1 つは(観測者を表す) を含み、もう 1 つは(別の観測者を表す) を含む場合、チャートの交点は、両方の観測者が物理量を測定して結果を比較できる時空領域を表します。2 つの測定セットの関係は、この交点の非特異座標変換によって与えられます。座標チャートを、近傍で測定を実行できるローカル観測者とするアイデアは、物理的に理にかなっています。これは、実際に物理データをローカルに収集する方法だからです。^[64]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

たとえば、2 人の観測者のうち 1 人は地球上にいて、もう 1 人は木星行きの高速ロケットに乗っていて、彗星が木星に衝突するのを観測するかもしれません (これがイベント です)。一般に、彼らはこの衝突の正確な場所とタイミングについて意見が一致しません。つまり、彼らは異なる 4 組を持ちます(異なる座標系を使用しているため)。彼らの運動学的記述は異なりますが、運動量保存則や熱力学の第 1 法則などの力学 (物理) 法則は依然として有効です。実際、相対性理論では、これらの法則 (および他のすべての物理) はすべての座標系で同じ形式を取らなければならないと規定しているという意味で、これ以上のことが求められます。これにより、すべての物理量が表現される テンソルが相対性理論に導入されます。${\displaystyle p}$${\displaystyle (x,y,z,t)}$

測地線は、測地線の一点への接線ベクトルがこの性質を持つ場合、時間的、ヌル、または空間的であると言われる。時空における粒子と光線の経路は、それぞれ時間的測地線とヌル（光のような）測地線によって表される。^[64]

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• Media related to Spacetime at Wikimedia Commons
• Albert Einstein on space–time 13th edition Encyclopædia Britannica Historical: Albert Einstein's 1926 article
• Encyclopedia of Space–time and gravitation Scholarpedia Expert articles
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Space and Time: Inertial Frames" by Robert DiSalle.