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数学における抽象化とは、数学的概念の根底にある構造、パターン、特性を抽出し、それが本来関連していたかもしれない現実世界のオブジェクトへの依存を排除し、より広い応用や同等の現象の他の抽象的な記述との一致が得られるように一般化するプロセスである。[1] [2] [3]言い換えれば、抽象的であるということは、文脈と応用を排除することです。[4]現代数学の最も抽象度の高い2つの分野は、圏論とモデル理論です。
説明
数学の多くの分野は、基礎となる規則や概念が抽象的な構造として特定され定義される前に、現実世界の問題の研究から始まりました。たとえば、幾何学は現実世界の距離や面積の計算に起源を持ち、代数学は算数の問題を解く方法から始まりました。
抽象化は数学において進行中のプロセスであり、多くの数学的テーマの歴史的発展は、具体的なものから抽象的なものへの進展を示している。例えば、幾何学の抽象化の最初のステップは歴史的に古代ギリシャ人によってなされ、ユークリッドの『原論』は平面幾何学の公理に関する現存する最古の文献であるが、プロクロスはキオスのヒポクラテスによるより早い公理化について語っている。[5] 17世紀に、デカルトは解析幾何学の発展を可能にした直交座標を導入した。ロバチェフスキー、ボヤイ、リーマン、ガウスは抽象化のさらなるステップを踏み、幾何学の概念を一般化して非ユークリッド幾何学を開発した。19世紀後半には、数学者は幾何学をさらに一般化し、 n次元の幾何学、射影幾何学、アフィン幾何学、有限幾何学などの分野を発展させた。最終的にフェリックス・クラインの「エアランゲン・プログラム」は、これらすべての幾何学の根底にあるテーマを特定し、それぞれの幾何学を、与えられた対称性群の下で不変な性質の研究として定義しました。この抽象化のレベルにより、幾何学と抽象代数の関係が明らかになりました。[6]
数学において、抽象化は次のような利点をもたらします。
- 数学のさまざまな分野間の深いつながりを明らかにします。
- ある分野での既知の結果から、別の関連分野での推測が示唆される場合があります。
- ある分野の技術や方法を適用して、他の関連分野での結果を証明することができます。
- 1 つの数学オブジェクトのパターンは、同じクラス内の他の同様のオブジェクトに一般化できます。
一方、抽象化は、高度に抽象的な概念を学ぶのが難しいという点で不利になることもあります。[7]抽象化の概念を理解するには、ある程度の数学的成熟度と経験が必要になる場合があります。
バートランド・ラッセルは『科学的展望』 （1931年）の中で、「日常生活の言葉は抽象性が不十分であるため、物理学が実際に主張していることを表現するのに日常言語はまったく適していない。物理学者が言いたいことを表現できるのは数学と数学的論理だけである」と書いている。[8]
参照
参考文献
- ^ バートランド・ラッセルは『数学原理』第1巻（219ページ）で「抽象化の原理」に言及している。
- ^ ロバート・B・アッシュ『抽象数学入門』ケンブリッジ大学出版局、1998年1月1日
- ^ 新アメリカ百科事典。エドワード・トーマス・ロー、ル・ロイ・フッカー、トーマス・W・ハンドフォード編。34ページ
- ^ ドナルドソン、ニール。群論入門。p.1。
- ^ プロクルスの要約は 2015-09-23 にWayback Machineにアーカイブされています
- ^ Torretti, Roberto (2019)、「19世紀の幾何学」、Zalta, Edward N. (編)、スタンフォード哲学百科事典(2019年秋版)、スタンフォード大学形而上学研究室、 2019年10月22日閲覧
- ^ 「...生徒に抽象数学を紹介することは簡単な作業ではなく、数学が使用されるさまざまな状況を考慮した長期的な取り組みが必要です」、PL Ferrari、Abstraction in Mathematics、Phil. Trans. R. Soc. Lond. B、2003 年 7 月 29 日、第 358 巻、第 1435 号、1225-1230 ページ
- ^ 「ラッセルの引用」。MacTutor数学史アーカイブ。2002年1月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月22日閲覧。
さらに読む
Wikiquoteに抽象化 (数学)に関する引用句があります。
- ベラ・バジノック (2013)。抽象数学への招待。スプリンガー。ISBN 978-1-4614-6635-2。