線（幾何学）

幾何学において、直線（通常、線と略される）は、幅、深さ、曲率のない無限に長い物体であり、定規、ぴんと張った糸、光線などの物理的物体を理想化したものである。線は次元1の空間であり、次元 2、次元 3、またはそれ以上の次元の空間に埋め込まれることがある。日常生活において、 「線」という言葉は、2 つの点（端点）で区切られた線の一部である線分を指すこともある。

ユークリッドの『原論』では、直線を「その直線自体の点に関して均等に位置する」「幅のない長さ」と定義し、幾何学の残りの部分が確立される、証明不可能な基本的な性質としていくつかの公理を導入しました。ユークリッド直線とユークリッド幾何学は、非ユークリッド幾何学、射影幾何学、アフィン幾何学など、19 世紀末以降に導入された一般化との混同を避けるために導入された用語です。

ユークリッドの『原論』のギリシャ演繹幾何学では、一般直線（現在では曲線と呼ばれる）は「幅のない長さ」と定義され、直線（現在では線分と呼ばれる）は「その直線自体の点と一直線に並ぶ」線と定義されました。^{[1] : 291}これらの定義は読者の物理的経験に訴えるものであり、それ自体は定義されていない用語に依存しており、テキストの残りの部分では定義が明示的に参照されることはありません。現代の幾何学では、直線は通常、公理によって与えられた特性を持つ基本概念としてとらえられるか、^{[1] : 95}または線形関係に従う点の集合として定義されます。たとえば、実数が基本概念とされ、幾何学が数値座標によって解析的に確立される場合などです。

ユークリッド幾何学の公理的定式化、例えばヒルベルト（現代の数学者がユークリッドの元々の公理に、認識された論理的欠落を埋めるために付け加えたもの）では、^{[1] : 108}直線は他の直線や点と関連する特定の特性を持つと述べられている。たとえば、任意の 2 つの異なる点については、それらを含む唯一の直線が存在し、任意の 2 つの異なる直線は最大でも 1 つの点で交差する。^{[1] : 300} 2次元（つまり、ユークリッド平面）では、交差しない 2 直線は平行であると呼ばれる。より高次元では、交差しない 2 直線が平面に含まれている場合は平行であり、含まれていない場合は 斜めである。

ユークリッド平面上では、線は2つの領域の境界として表すことができます。^{[2] : 104}有限個の線の集合は、平面を凸多角形（無限の場合もあります）に分割します。この分割は線の配置として知られています。

3 次元空間では、変数x、y、zの1 次方程式によって平面が定義されるため、2 つのそのような方程式は、それらが生成する平面が平行でない限り、平面の交点となる直線を定義します。より一般的には、n次元空間では、 n 個の座標変数のn −1 個の 1 次方程式によって、適切な条件下で直線が定義されます。

より一般的なユークリッド空間R ⁿでは（他のすべてのアフィン空間でも同様）、2 つの異なる点aとb を通る直線Lはサブセットです。 直線の方向は、基準点 a ( t = 0) から 別の点b ( t = 1) へ、つまりベクトルb − a の方向です。a と bの異なる選択で同じ直線が得られることもあります。 $${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$

3 点以上が同じ直線上にある場合、それらの点は同一直線上にあるとされます。3 点が同一直線上にない場合、それらの点を含む平面は1 つだけ存在します。

アフィン座標では、n次元空間の点X = ( x ₁、x ₂、...、x _n )、Y = ( y ₁、y ₂、...、y _n )、Z = ( z ₁、z ₂、...、z _n ) は、行列の 階数 が3 未満の場合、同一直線上にあります。特に、平面 ( n = 2) 上の 3 つの点の場合、上記の行列は正方行列であり、その行列式が 0 の場合に限り、点は同一直線上にあります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{n}\end{bmatrix}}}$$

同様に、平面上の 3 つの点についても、1 組の点の間の傾きが他の任意の組の点の間の傾きと等しい場合のみ、それらの点は同一直線上にあります (この場合、残りの組の点の間の傾きは他の傾きと等しくなります)。拡張すると、平面上のk個の点は、任意の ( k –1) 組の点が同じ傾きを持つ場合のみ、同一直線上にあります。

ユークリッド幾何学では、2点aとbの間のユークリッド距離 d ( a , b )は、3点間の共線性を次のように表すために使われる。^{[3] [4]}

点a、b、cが同一直線上にあるのは、d ( x、a ) = d ( c、a ) かつd ( x、b ) = d ( c、b ) がx = cを意味する場合のみです。

ただし、この特性が当てはまらない 距離の概念 (マンハッタン距離など) もあります。

一部の合成幾何学の場合のように、線の概念が基本的な概念である幾何学では、共線性を決定する他の方法が必要になります。

ある意味では、ユークリッド幾何学におけるすべての線は、座標がなければ互いに区別できないという点で等しい。しかし、線は幾何学における他のオブジェクトに対して特別な役割を果たすことがあり、その関係に応じて種類が分けられる。たとえば、^円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）に対して、線は次のようになる。

• 接線、つまり円錐曲線に一点で接する線。
• 円錐と2点で交わり、円錐の内部を通る割線^[5]
• ユークリッド平面のどの点でも円錐曲線と交わらない外線、または
• 準線。ある点からその準線までの距離によって、その点が円錐曲線上にあるかどうかを判断することができます。
• 座標線、線形座標次元

ユークリッド幾何学における平行性を決定する文脈では、横断線は、互いに平行である場合もそうでない場合もある 2 本の線と交差する線です。

より一般的な代数曲線の場合、線は次のようになります。

• i割線、重複なしで数えられたi点で曲線と交わる、または
• 漸近線とは、曲線が接触することなく任意に近づく線である。^[6]

三角形に関しては次のようになります。

• オイラー線、
• シムソン線、そして
• 中心線。

最大2つの平行な辺を持つ凸 四辺形の場合、ニュートン線は2つの対角線の中点を結ぶ線です。^[7]

頂点が円錐曲線上にある六角形の場合、パスカルの線が存在します。また、円錐曲線が 2 本の線である特殊な場合には、パップスの線が存在します。

平行線とは、同じ平面上にあるが決して交わらない線です。交差する線は、 1 つの点を共有します。一致線は互いに一致します。つまり、どちらか一方の線上にあるすべての点は、もう一方の線上にも存在します。

垂直線は直角に交差する線である。^[8]

3 次元空間では、斜線は同じ平面上になく、したがって互いに交差しない線です。

線の概念は、幾何学では公理系における基本概念であると考えられることが多く、^{[1] : 95}つまり、他の概念によって定義されていない。^[9]座標幾何学のように線が定義された概念である状況では、他のいくつかの基本的な考え方が基本概念として扱われる。線の概念が基本概念である場合、線の特性はその線が満たさなければならない公理によって決定される。

幾何学の非公理的または単純化された公理的取り扱いにおいては、基本概念の概念は抽象的すぎて扱うことができないかもしれない。このような状況では、基本概念の説明または心的イメージを提供して、（暗黙の）公理に基づいて形式的に概念を構築する基礎を与えることが可能である。このタイプの説明は、一部の著者によって、この非公式な表現スタイルにおける定義と呼ばれることがある。これらは真の定義ではなく、ステートメントの正式な証明に使用することはできない。ユークリッドの『原論』における直線の「定義」はこのカテゴリに分類される。^{[1] ：95}特定の幾何学が検討されている場合でも（たとえば、ユークリッド幾何学）、主題が正式に扱われていない場合の直線の非公式な説明がどうあるべきかについて、著者の間で一般的に受け入れられている合意はない。

デカルト平面上の線、またはより一般的にはアフィン座標上の線は、線形方程式によって特徴付けられます。より正確には、すべての線（垂直線を含む）は、座標（x、y）が線形方程式を満たすすべての点の集合です。つまり、 a 、 b 、およびcは、 aとbが両方ともゼロにならないような固定された実数（係数と呼ばれる）です。この形式を使用すると、垂直線はb = 0 の方程式に対応します。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$

さらに、 c がゼロでない場合は すべてをcで割ることで、c = 1またはc = 0 のいずれかを想定できます。

直線の方程式の書き方にはさまざまな方法があり、代数操作によってすべて相互に変換できます。上記の形式は、標準形式と呼ばれることもあります。定数項を左側に置くと、方程式は になり 、これは方程式の一般形式 と呼ばれることもあります。ただし、この用語は広く受け入れられているわけではなく、多くの著者はこれら 2 つの形式を区別していません。 $${\displaystyle ax+by-c=0,}$$

これらのフォームは、一般的に、フォームを記述するために必要な線に関する情報 (データ) の種類によって名前が付けられます。線の重要なデータには、傾き、x 切片、線上の既知の点、y 切片などがあります。

2 つの異なる点を通る直線の方程式は、次のように表すことができます 。 x ₀ ≠ x ₁の 場合、この方程式は 次 のように書き直すことができます 。 2 次元では、非垂直な直線の方程式は、傾きと切片の形式で表されることが多いです。 ${\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$$${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$$${\displaystyle y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}}$$$${\displaystyle y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.}$$

$${\displaystyle y=mx+b}$$ どこ：

• m は線の傾きまたは勾配です。
• b は直線のy 切片です。
• x は関数y = f ( x )の独立変数です。

点とを通る直線の傾きは、 のとき、 で与えられ、この直線の方程式は と書くことができます。 ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$

なお、3 次元の線は、 とが比例しない2 つの線形方程式 の同時解として記述することもできます(関係式はを意味します)。これは、3 次元では 1 つの線形方程式が通常平面を記述し、線は 2 つの異なる交差平面に共通するものである ためです。$${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$$ $${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$$${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$${\displaystyle t=0}$

パラメトリック方程式は、特に3 次元以上の線を指定する場合にも使用されます。これは、2 次元を超える線は単一の線形方程式では記述 できないためです。

3 次元では、線は多くの場合、パラメトリック方程式によって記述されます。 ここで、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

• x、y、z はすべて、実数にわたる独立変数tの関数です。
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) は線上の任意の点です。
• a、b、c は直線の傾きに関係しており、方向ベクトル( a、b、c ) は直線に平行になります。

高次元の線分のパラメトリック方程式は、線上の 1 つの点と方向ベクトルの指定に基づいている点で似ています。

正規形（ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセに^ちなんでヘッセ正規形とも呼ばれる）は、与えられた直線の正規線分に基づいており、正規線分は、原点から直線に垂直に引かれた線分として定義される。この線分は、原点と、原点に最も近い線上の点とを結んでいる。平面上の直線の方程式の正規形は、次のように与えられる。 ここで、は正規線分の傾斜角（x軸の単位ベクトルからこの線分への方向角）、pは正規線分の（正の）長さである。正規形は、標準形からすべての係数を次のように割ることで 導出できる。$${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle ax+by=c}$$${\displaystyle {\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$

傾き-切片形式や切片形式とは異なり、この形式は任意の直線を表すことができますが、指定する必要があるのは 2 つの有限パラメータpとのみです。 p > 0の場合、 は2 πを法として一意に定義されます。 一方、直線が原点を通る場合 ( c = p = 0 )、c /| c |項を省略しておよびを計算し、 はπ を法としてのみ定義されることがわかります。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \sin \varphi }$${\displaystyle \cos \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

点 A と点 B を通る直線のベクトル方程式は(ここで λ はスカラー) で与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$

aがベクトルOA、bがベクトルOBの場合、直線の方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$

点Aから始まる光線は、λ を制限することによって記述されます。λ ≥ 0 の場合、1 つの光線が得られ、反対の光線は λ ≤ 0 から来ます。

デカルト平面では、極座標 （r、θ）はパラメトリック方程式によってデカルト座標に関連付けられます： ^[11]$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

極座標では、原点（座標(0, 0)の点）を通らない直線の方程式は、 r > 0および と表すことができます。 ここで、p は、直線に垂直で原点と直線で区切られた線分の（正の）長さであり、x軸からこの線分までの（方向付けられた）角度です。 $${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$${\displaystyle \varphi }$

この式をx軸と直線の間の角度で表すと便利かもしれません。この場合、 r > 0 で式は次のようになります。${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$$${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$${\displaystyle 0<\theta <\alpha +\pi .}$

これらの方程式は、直線方程式の正規形から、およびを設定して、正弦または余弦の角度差恒等式を適用することで導くことができます。 ${\displaystyle x=r\cos \theta ,}$${\displaystyle y=r\sin \theta ,}$

これらの方程式は、直線の点と原点を頂点とし、直線と原点を通る垂線を辺とする直角三角形に、正弦と余弦の直角三角形の定義を適用することで幾何学的に証明することもできます。

原点を通る直線には前述の形式は適用されませんが、より簡単な式で書くことができます。原点を通り、x軸と角度をなす直線上の点の極座標は、次のペアになります。 ${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

現代数学では、幾何学の多様性を考えると、直線の概念は幾何学の記述方法と密接に結びついています。たとえば、解析幾何学では、平面上の直線は、与えられた線形方程式を満たす座標を持つ点の集合として定義されることが多いですが、入射幾何学などのより抽象的な設定では、直線は、その直線上にある点の集合とは異なる独立したオブジェクトである場合があります。

幾何学が公理の集合によって記述される場合、線の概念は通常は定義されないままにされる（いわゆるプリミティブオブジェクト）。線の特性はその線を参照する公理によって決定される。このアプローチの利点の 1 つは、幾何学のユーザーに柔軟性を与えることである。たとえば、微分幾何学では、線は測地線（点間の最短経路）として解釈されるが、一部の射影幾何学では、線は 2 次元ベクトル空間（2 つの独立したベクトルのすべての線形結合）である。この柔軟性は数学を超えて拡張され、たとえば物理学者は光線の経路を線として考えることができる。

射影幾何学の多くのモデルでは、直線の表現がユークリッド幾何学で視覚化される「直線」の概念に一致することはめったにありません。楕円幾何学には、この典型的な例が見られます。^{[1] : 108}楕円幾何学の球面表現では、直線は正反対の点が特定された球の大円で表現されます。楕円幾何学の別のモデルでは、直線は原点を通るユークリッド平面で表現されます。これらの表現は視覚的には異なりますが、この幾何学の直線の適切な表現となるすべての特性 (2 つの点が一意の直線を決定するなど) を満たしています。

直線の「短さ」と「直線性」は、直線上の任意の 2 点間の距離が最小になるという特性として解釈され (三角不等式を参照)、一般化することができ、距離空間における測地線の概念につながります。

直線とその上の任意の点A が与えられたとき、 A はこの直線を 2 つの部分に分解するものと考えることができます。このような各部分は光線と呼ばれ、点A はその始点と呼ばれます。これは半直線、つまり 1 次元の半空間としても知られています。点 A は光線の要素であると考えられます。^{[b]直感的には、光線は}A を通り、 Aを始点として直線に沿って一方向にのみ無限に進む直線上の点から構成されます。ただし、この光線の概念を証明で使用するには、より正確な定義が必要です。

異なる点AとBが与えられている場合、それらは始点Aを持つ一意の放射状線を決定します。2 点は一意の線を定義するため、この放射状線はAとB の間のすべての点( AとBを含む) と、AとB を通る線上でB がAとC の間となるすべての点Cで構成されます。^[12]これは、AとBによって決まる線上でA がBとC の間とならないすべての点Cの集合として表現されることもあります。^[13] AとBによって決まる線上にあるが、始点AがBによって決まる放射状線上にない点Dは、始点Aを持つ別の放射状線を決定します。AB 放射状線に対して、AD放射状線は反対放射状線と呼ばれます。

したがって、 2 つの異なる点AとB は直線を定義し、この直線は開線分( A、  B )と 2 つの光線BCとADの互いに交わらない和集合に分解されます(点Dは図には描かれていませんが、直線AB上の点Aの左側にあります)。これらは、開始点が異なるため、反対の光線ではありません。

ユークリッド幾何学では、共通の終点を持つ2本の光線は角度を形成します。^[14]

光線の定義は、直線上の点の媒介性の概念に依存します。したがって、光線は、この概念が存在する幾何学、典型的にはユークリッド幾何学または順序体上のアフィン幾何学に対してのみ存在します。一方、光線は射影幾何学や、複素数や有限体などの順序のない体上の幾何学には存在しません。

線分は、2 つの異なる端点で囲まれた線の一部であり、端点間の線上のすべての点を含みます。線分の定義方法に応じて、2 つの端点のいずれかが線分の一部になる場合とならない場合があります。2 つ以上の線分は、平行、交差、または傾斜など、線と同じ関係を持つ場合がありますが、線とは異なり、同一平面にあり、交差しないか同一線上にある場合は、これらのいずれにも該当しない場合があります。

数直線上の点は実数に対応し、逆もまた同様である。^[15]通常、整数は直線上に等間隔に配置され、正の数は右側、負の数は左側になる。この概念を拡張して、虚数を表す虚数直線を、数直線のゼロの位置で垂直に描くこともできる。^[16] 2本の直線は複素数集合の幾何学的表現である複素平面を形成する。

• アフィン変換
• 曲線
• 2本の平行線間の距離
• 点から線までの距離
• 平面（幾何学）
• 入射角（幾何学）
• 線分
• 一般化された円
• 軌跡
• 平面（幾何学）
• ポリライン

ウィキメディア・コモンズには、線に関連するメディアがあります。

Wikisource には、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「Line 」のテキストがあります。

• 「直線（曲線）」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 結び目を切る直線の方程式