暗黙関数

数学において、陰方程式とは、次の形式の関係である。 $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ ここで、 $R$ は複数の変数（多くの場合多項式）の関数である。例えば、単位円の陰関数方程式は次のようになる。 $x^{2}+y^{2}-1=0.$

陰関数とは、関数の値とみなされる変数の1つと、引数とみなされる他の変数との関係を表す陰方程式によって定義される関数である。^[¹^]^：^204-206例えば、方程式 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 単位円の $yは$ $x$ の陰関数として定義される。 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ $-1 \leq x \leq 1$ であり、 $y$ は非負の値に制限されていると仮定します。一部の方程式は明示的な解を持ちません。

陰関数定理は、ある種の陰方程式が陰関数を定義する条件、すなわち連続的に微分可能な多変数関数をゼロに等しいとおくことによって得られる陰関数を定義する条件を提供する。

例

逆関数

一般的な陰関数の一種に逆関数があります。すべての関数が一意の逆関数を持つわけではありません。g が一意の逆関数を持つ x の関数である場合 $、$ $g$ の $逆$ 関数 ( $g -1$ と呼ばれる) は、方程式の解を与える唯一の関数です。

y=g(x)

$x$ を $y$ で表すと、この解は次のように書ける。

x=g^{-1}(y)\,.

$g -1 を$ $g$ の逆関数と定義することは暗黙の定義です。関数 $g$ によっては、 $g -1 (y) を$ 閉じた形式の式として明示的に書き出すことができます。たとえば、 $g (x) = 2 x - 1$ の場合、 $g -1 (y) = 1 / 2 (y + 1)となります。しかし、多くの場合、これは不可能であり、新しい表記法を導入することによってのみ可能となります$ (以下の積対数の例のように)。

$直感的に言えば、 g$ の逆関数は、従属変数と独立変数の役割を入れ替えることによって得られる。

例:積log は、方程式 $y$ $-$ $xe$ $x$ $= 0の$ $x$ の解を与える陰関数です。

代数関数

代数関数とは、係数が多項式である多項式方程式を満たす関数のことです。例えば、1変数 $x$ の代数関数は、方程式の $y$ の解を与えます。

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

ここで、係数 $a i (x)は$ $x$ の多項式関数です。この代数関数は、解方程式 $y = f (x)$ の右辺として記述できます。このように記述すると、 $fは$ 多価陰関数になります。

代数関数は、数学解析と代数幾何学において重要な役割を果たします。代数関数の簡単な例として、単位円の方程式の左辺が挙げられます。

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

$y$ について解くと、明示的な解が得られます。

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

$しかし、この明示的な解を指定しなくても、単位円方程式の暗黙的な解をy = f (x)$ と表すことができ、ここで $f$ は多価の暗黙関数です。

$y$ に関する二次、三次、四次の方程式については明示的な解を見つけることができますが、一般的には、例えば5 次以上の方程式については同じことが当てはまりません。

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

それにもかかわらず、多価陰関数 $f$ を含む陰解 $y = f (x)$ を参照することは依然として可能である。

注意点

方程式 $R (x, y) = 0 が$ 必ずしも一価関数のグラフを意味するわけではなく、円の方程式はその代表的な例です。別の例として、グラフに「山」を持つ $C$ が 3次多項式である $x - C (y) = 0で与えられる陰関数があります。したがって、陰関数が$ 真の（一価の）関数であるためには、グラフの一部だけを使用する必要がある場合があります。陰関数は、 $x軸の一部を拡大し、不要な関数の枝を「切り取る」ことによってのみ、真の関数として定義できる場合があります。その後、$ $y を$ 他の変数の陰関数として表す方程式を書くことができます。

定義方程式 $R (x, y) = 0 には$ 、他にも問題が生じる可能性があります。例えば、方程式 $x = 0は、$ $y$ の解を与える関数 $f (x)$ を全く意味しません。これは垂直線です。このような問題を回避するために、許容される方程式の種類や定義域にさまざまな制約が課されることがよくあります。陰関数定理は、このような問題に対処する統一的な方法を提供します。

暗黙的微分

微積分学において、陰関数微分は、明示的な式ではなく方程式によって定義される関数の導関数を求める方法です。例えば、

F(x,y)=0

定義する $y$ 関数として $x$ 少なくとも局所的には、暗黙的微分は $y$ 関数として $y(x)$ そして、方程式の両辺をに関して微分する。 $x$ この方法は連鎖律の応用である。^{[ 2 ]}

陰関数微分は、1つの変数を明示的に解くのが不便な場合、複数の分岐が生じる場合、または初等的な方法では不可能な場合に役立ちます。たとえば、円 $x^{2}+y^{2}=1$ 単一の関数のグラフとしてグローバルに表現することはできない $y=f(x)$ しかし、その上側の弧と下側の弧はそれぞれ暗黙的に微分することができる。

この方法により、接線近似の計算が可能になります。 $y(x)$ 関数のみを与えられた場合 $F$ そしてポイントは $(x_{0},y_{0})$ 近似が行われる箇所で、関数依存性に関する他の知識は不要です。 $y$ の上 $x$ が必要です。方程式または方程式系によって与えられる曲面や高次元多様体の接線近似は、同様の方法で求めることができます。

陰関数定理

$R (x, y)$ $を$ 2 つの変数の微分可能な関数とし、( $a, b) を$ $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $) = 0$ となる実数の組とする。∂ R / ∂ y ≠ 0 の場合 $、$ $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ = $0$ $は$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $の$ $十分$ $小さな$ $近傍$ で微分可能な陰関数を定義する。言い換えれば、 $a$ のある近傍で定義され微分可能な微分可能な関数 $f$ が存在し、この近傍の $x$ に対して $R$ $($ $x$ $,$ $f$ $($ $x$ $)) = 0 と$ なる。

条件 $\partial$ $R$ $/$ $\partial$ $y$ $\neq$ $0は$ $、$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ が陰関数方程式 $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0の$ 陰関数曲線の正則点であり、接線が垂直ではないことを意味します。

より分かりやすく言うと、曲線が垂直でない接線を持つ場合、陰関数が存在し、微分可能である。^{[ 3 ]}^{： §11.5}

代数幾何学において

$R$ が多変数多項式であるような、R $($ $x$ $1$ $,$ $\dots,$ $x$ $n$ $) = 0$ の形の関係を考えます。この関係を満たす変数の値の集合は、 $n$ $= 2$ の場合は陰曲線、 $n$ $= 3$ の場合は陰曲面と呼ばれます。陰方程式は代数幾何学の基礎であり、その基本的な研究対象は、左辺が多項式である複数の陰方程式の同時解です。これらの同時解の集合は、アフィン代数集合と呼ばれます。

微分方程式において

微分方程式の解は一般に陰関数で表されます。^{[ 4 ]}

経済学への応用

限界代替率

経済学では、レベルセット $R (x, y) = 0$ が 2 つの財の消費量 $x$ と $yの$ 無差別曲線である場合、暗黙の導関数 $⁠$ $dy$ $/$ $dx$ $⁠$ の絶対値は、 2 つの財の限界代替率として解釈されます。つまり、 $xの 1 単位の損失に対して無差別になるために、$ $y$ をどれだけ多く受け取る必要があるかということです。

技術的代替の限界率

同様に、水準集合 $R (L, K)$ は、労働 $L$ と物的資本 $K$ の利用量のさまざまな組み合わせを示す等量曲線である場合もあります。これらの組み合わせはそれぞれ、ある財の同じ生産量をもたらします。この場合、暗黙の導関数 $⁠$ $dK$ $/$ $dL$ $⁠$ の絶対値は、2 つの生産要素間の技術的限界代替率として解釈されます。つまり、企業が労働を 1 単位減らして同じ生産量を生産するために、どれだけ多くの資本を使用する必要があるかを示します。

最適化

経済理論では、目的関数が特定の関数形式に限定されていない場合でも、選択ベクトル $xに関して$ 効用関数や利益関数などの関数を最大化することがしばしば求められます。陰関数定理は、最適化の一次条件が、選択ベクトル $xの最適ベクトル$ $x$ $*$ の各要素に対して陰関数を定義することを保証します。利益を最大化する場合、通常、結果として得られる陰関数は労働需要関数と各種財の供給関数です。効用を最大化する場合、通常、結果として得られる陰関数は労働供給関数と各種財の需要関数です。

さらに、問題のパラメータが $x *$ (陰関数の偏微分)に与える影響は、全微分を用いて見つけた一次条件系の全微分として表現できます。

参考文献

↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7。
↑ストラング、ギルバート。ハーマン、エドウィン (2016)。「3.8 暗黙の微分」。微分積分学 1巻。オープンスタックス。ISBN 978-1-938168-02-4。
↑スチュワート、ジェームズ (1998).微積分概念と背景. ブルックス/コール出版. ISBN 0-534-34330-9。
↑カプラン、ウィルフレッド（2003）。『高等微積分』ボストン：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-79937-5。

さらに読む

Binmore, KG (1983). 「陰関数」 .微積分. ニューヨーク: Cambridge University Press. pp. 198–211 . ISBN 0-521-28952-1。
ルーディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理。ボストン：マグロウヒル。pp . 223–228。ISBN 0-07-054235-X。
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). 「陰関数とその導関数」 .経済学者のための数学. ニューヨーク: WW Norton. pp. 334–371 . ISBN 0-393-95733-0。

外部リンク

Ghostarchiveにアーカイブされていますそしてウェイバックマシン「陰関数微分、ここで何が起こっているのか？」 . 3Blue1Brown .微積分のエッセンス。2017年5月3日– YouTube経由。

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7。

[Implicit_differentiation_OpenStax-2] ストラング、ギルバート。ハーマン、エドウィン (2016)。「3.8 暗黙の微分」。微分積分学 1巻。オープンスタックス。ISBN 978-1-938168-02-4。

[Stewart1998-3] スチュワート、ジェームズ (1998).微積分概念と背景. ブルックス/コール出版. ISBN 0-534-34330-9。

[4] カプラン、ウィルフレッド（2003）。『高等微積分』ボストン：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-79937-5。

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