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数学および数理物理学において、ポテンシャル理論は調和関数の研究である。
「ポテンシャル理論」という用語は、19世紀の物理学に由来します。当時知られていた自然界の2つの基本的な力、すなわち重力と静電気力は、重力ポテンシャルと静電ポテンシャルと呼ばれる関数を用いてモデル化できることが認識されたからです。これらの関数はどちらもポアソン方程式（真空中ではラプラス方程式）を満たします。
ポテンシャル理論とポアソン方程式の理論にはかなりの重複があり、両者を明確に区別することは不可能です。違いは主題というより重点の置き方の違いであり、ポテンシャル理論は方程式の性質ではなく関数の性質に焦点を当てているという点にあります。例えば、調和関数の特異点に関する結果はポテンシャル理論に属すると言えますが、解が境界データにどのように依存するかに関する結果はポアソン方程式の理論に属すると言えます。これは厳密な区別ではなく、実際には両分野にはかなりの重複があり、一方の手法や結果が他方で利用されています。
現代のポテンシャル理論は、確率論およびマルコフ連鎖理論とも密接に関連している。連続的な場合、これは解析理論と密接に関係している。有限状態空間の場合、この関連性は、状態空間上に電気回路を導入することで示すことができる。この回路では、点間の電気抵抗は遷移確率に反比例し、密度はポテンシャルに比例する。有限の場合であっても、ポテンシャル理論におけるラプラシアンの類似物であるIKは、独自の最大値原理、一意性原理、平衡原理などを備えている。
調和関数の研究において有用な出発点であり、体系的な原理となるのは、ラプラス方程式の対称性について考察することです。これは通常の意味での対称性ではありませんが、ラプラス方程式が線形であるという点から始めることができます。これは、ポテンシャル理論における基本的な研究対象が、関数の線形空間であることを意味します。この点は、後のセクションで関数空間アプローチを検討する際に特に重要になります。
通常の意味での対称性については、まず、次元ラプラス方程式は、次元ユークリッド空間。この事実はいくつかの意味合いを持つ。まず、共形群またはその部分群（回転群や並進群など）の既約表現の下で変換する調和関数を考えることができる。このようにして、球面調和関数解やフーリエ級数など、変数分離から生じるラプラス方程式の解を体系的に得ることができる。これらの解の線形重ね合わせを行うことで、適切な位相の下で全ての調和関数の空間において稠密であることが示される、大きなクラスの調和関数を生成することができる。
第二に、共形対称性を用いることで、ケルビン変換や鏡像法といった調和関数を生成するための古典的な手法や技術を理解することができる。
第三に、等角変換を用いることで、ある領域の調和関数を別の領域の調和関数に写像することができる。このような構成の最も一般的な例は、円盤上の調和関数を半平面上の調和関数に関連付けることである。
第四に、共形対称性を用いて調和関数を共形的に平坦なリーマン多様体上の調和関数に拡張することができる。おそらく最も単純な拡張は、 R n全体（特異点の離散集合を除く）で定義された調和関数を、次元球面。より複雑な状況も起こり得ます。たとえば、多価調和関数をR nの分岐被覆上の単価関数として表現することで、リーマン面理論の高次元類似物を得ることができます。また、共形群の離散部分群の下で不変な調和関数を多重連結多様体またはオービフォールド上の関数とみなすこともできます。
共形変換群が2次元では無限次元であり、2次元を超えると有限次元であるという事実から、2次元のポテンシャル理論は他の次元のポテンシャル理論とは異なると推測できる。これは正しく、実際、任意の2次元調和関数が複素解析関数の実部であることを理解すれば、2次元ポテンシャル理論の主題は複素解析の主題と実質的に同じであることがわかる。このため、ポテンシャル理論について語る際には、3次元以上の次元で成り立つ定理に注目する。この点で驚くべき事実として、複素解析で最初に発見された多くの結果や概念（シュワルツの定理、モレラの定理、ワイエルシュトラス＝カソラティの定理、ローラン級数、特異点を除去可能、極、本質的特異点に分類することなど）は、任意の次元の調和関数に関する結果に一般化できる。複素解析のどの定理が任意の次元におけるポテンシャル理論の定理の特殊な場合であるかを考察することで、2次元における複素解析の何が特別なのか、そして何がより一般的な結果の単なる2次元版なのかを正確に把握することができる。
ポテンシャル理論における重要なトピックの一つは、調和関数の局所的な振る舞いの研究である。局所的な振る舞いに関する最も基本的な定理は、おそらくラプラス方程式の正則性定理であり、これは調和関数が解析的であることを述べている。調和関数のレベル集合の局所的な構造を記述する結果も存在する。正の調和関数の孤立した特異点の振る舞いを特徴づけるボシェの定理がある。前節で触れたように、調和関数の孤立した特異点は、除去可能な特異点、極、および本質的な特異点に分類することができる。
調和関数の研究において有効なアプローチの一つは、それらが満たす不等式を考察することである。おそらく最も基本的な不等式であり、他のほとんどの不等式はそこから導き出せるのが最大値原理である。もう一つの重要な結果は、リウヴィルの定理である。これは、 R n全体で定義される有界調和関数は、実際には定数関数のみであると述べている。これらの基本的な不等式に加えて、有界領域上の正の調和関数はほぼ定数であると述べるハーナックの不等式がある。
これらの不等式の重要な用途の 1 つは、調和関数または劣調和関数の族の収束を証明することです(ハーナックの定理を参照)。これらの収束定理は、特定の性質を持つ調和関数の存在を証明するために使用されます。[ 1 ]
ラプラス方程式は線形であるため、与えられた領域上で定義される調和関数の集合は、実際にはベクトル空間となります。適切なノルムや内積を定義することで、ヒルベルト空間やバナッハ空間を形成する調和関数の集合を示すことができます。このようにして、ハーディ空間、ブロッホ空間、ベルグマン空間、ソボレフ空間といった空間が得られます。
