不変量（数学）

数学において、不変量とは、数学的対象（または数学的対象のクラス）の特性であり、特定の種類の演算または変換が対象に適用された後も変化しない。 ^{[1] [2]}特定の対象クラスと変換の種類は、通常、用語が使用される文脈によって示される。たとえば、三角形の面積は、ユークリッド平面の等長変換に関して不変量である。「変換に対して不変」および「変換に対して不変」という語句はどちらも使用される。より一般的には、同値関係に関する不変量は、各同値クラスで一定である特性である。^[3]

不変量は幾何学、位相幾何学、代数学、離散数学など数学のさまざまな分野で使用されています。いくつかの重要な変換クラスは、不変量によって定義され、不変量によって変換は変更されません。たとえば、等角写像は角度を保存する平面の変換として定義されます。不変量の発見は、数学的対象を分類するプロセスにおける重要なステップです。^{[2] [3]}

不変性の簡単な例は、を数える能力に表れます。あらゆる種類のオブジェクトの有限集合には、集合内のオブジェクトを数える順序に関係なく、常に到達できる数が存在します。その量、つまり基数は集合に関連付けられており、数えるプロセスでは不変です。

恒等式は、変数のすべての値に対して真である方程式です。変数の値が変わっても真である 不等式もあります。

数直線上の 2 点間の距離は、両方の数に同じ量を加えても変化しません。一方、乗算では距離は不変ではないため、乗算にはこの同じ特性はありません。

角度と距離の比は、拡大縮小、回転、平行移動、反射のいずれの場合でも不変です。これらの変換により相似形が生成され、これが三角法の基礎となります。対照的に、角度と比は非均一な拡大縮小（引き伸ばしなど）では不変ではありません。三角形の内角の合計（180°）は、上記のすべての操作で不変です。別の例として、すべての円は相似です。円は互いに変換でき、円周と直径の比は不変です（ギリシャ文字 π (パイ) で表されます）。

より複雑な例をいくつか挙げます。

• 複素数の実部と絶対値は複素共役に対して不変です。
• 結び目の三色性^[4 ]
• 多項式の次数は変数の線形変化に対して不変です。
• 位相的対象の次元とホモロジー群は同相写像に対して不変である。[ 5 ^]
• 動的システムの固定点の数は、多くの数学的演算に対して不変です。
• ユークリッド距離は直交変換に対して不変です。
• ユークリッド面積は、行列式±1を持つ線型写像に対して不変です(等面積写像 § 線型変換を参照)。
• 射影変換の不変量に​​は、3点以上の共線性、 3本以上の直線の同時性、円錐曲線、および交差比などがある。^[6]
• 線型自己準同型の行列式、トレース、固有ベクトル、および固有値は、基底の変更に対して不変です。言い換えると、行列のスペクトルは基底の変更に対して不変です。
• テンソルの主な不変量は、座標系の回転によって変化しません ( 「テンソルの不変量」を参照)。
• 行列の特異値は直交変換に対して不変です。
• ルベーグ測度は変換に対して不変である。
• 確率分布の分散は実数直線の変換に対して不変です。したがって、ランダム変数の分散は定数を追加しても変化しません。
• 変換の不動点とは、変換に対して不変であるドメイン内の要素です。アプリケーションによっては、その変換に対して対称であると言われることもあります。たとえば、並進対称性を持つオブジェクトは、特定の並進に対して不変です。
• 2次元リーマン多様体のガウス曲率の積分は、リーマン計量の変化に対して不変である。これがガウス・ボネの定理である。${\textstyle \int _{M}K\,d\mu }$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g}$

MUパズル^{[7]は、不変量の決定が}不可能性の証明に役立つ論理問題の良い例です。このパズルでは、MIという単語から始めて、各ステップで次の変換規則のいずれかを使用して、それをMUという単語に変換します。

1. 文字列がIで終わる場合は、Uを追加することができます（x I → x IU）
2. Mの後の文字列は完全に重複している可能性があります（M x → M xx）
3. 連続する3つのI（III）は、1つのUに置き換えることができる（x III y → x U y）
4. 連続する2つのUは削除できる（x UU y → xy）

導出例（上付き文字は適用された規則を示す）は次の通りである。

MI → ² MII → ² MIIII → ³ MUI → ² MUIUI → ¹ MUIUIU → ² MUIUIUUIUIU → ⁴ MUIUIUIU → ...

これを踏まえると、これらの 4 つの変換規則だけを使用して MI を MU に変換できるかどうか疑問に思うかもしれません。これらの変換規則を文字列に適用するには、何時間もかかる可能性があります。ただし、すべての規則に対して不変 (つまり、どの規則によっても変更されない) で、MU に到達することは不可能であることを示すプロパティを見つける方が早いかもしれません。このパズルを論理的な観点から見ると、I をすべて取り除く唯一の方法は、文字列に 3 つの連続した I を含めることであると気付くかもしれません。これにより、次の不変条件を検討することが興味深いものになります。

文字列内の「I」の数は 3 の倍数ではありません。

各変換ルールについて次の条件が成立する場合、これは問題に対する不変条件です。ルールを適用する前に不変条件が成立していた場合、ルールを適用した後も不変条件が成立します。ルールを適用した場合の I と U の数に対する純粋な効果を見ると、これは実際にはすべてのルールに当てはまることがわかります。

上記の表は、不変条件がそれぞれの可能な変換規則に当てはまることを明確に示しています。つまり、どの規則を選択しても、どのような状態でも、規則を適用する前に I の数が 3 の倍数でなかった場合は、適用後も 3 の倍数にならないということです。

開始文字列 MI に I が 1 つあり、それが 3 の倍数ではないことを考えると、MI から MU に移行することは不可能であると結論付けることができます (I の数が 3 の倍数になることは決してないため)。

写像T : U → Uの定義域Uの部分集合 Sは、次の場合の写像の下で不変集合 である。集合SはUの冪集合内で固定されているが、Sの要素は固定されていないことに注意。(著者によっては、これらのケースを区別するために、集合ごとの不変量^[8]と点ごとの不変量^[9]という用語を使用している。) たとえば、円は、円の中心の周りの回転の下で平面の不変部分集合である。さらに、円錐面は空間の相似性の下で集合として不変である。 ${\displaystyle x\in S\implies T(x)\in S.}$

演算Tの不変集合は、 Tのもとで安定 であるとも言われる。例えば、群論で非常に重要な正規部分群は、周囲群の内部自己同型のもとで安定な部分群である。^{[10] [11] [12]}線型代数 では、線型変換T が固有ベクトルvを持つ場合、 0とv を通る直線はT のもとで不変集合であり、その場合、固有ベクトルはT のもとで安定な不変部分空間を張る。

T がスクリューの変位である場合、スクリュー軸は不変線ですが、ピッチがゼロでない場合、T には固定点がありません。

確率論とエルゴード理論では、不変集合は通常、より強い性質^{[13] [14] [15]}によって定義されます。写像が測定可能な場合、不変集合はシグマ代数、つまり不変シグマ代数を形成します。 ${\displaystyle x\in S\Leftrightarrow T(x)\in S.}$${\displaystyle T}$

不変性の概念は、数学では、群作用、表現、変形という 3 つの異なる方法で形式化されます。

まず、数学的対象 (または対象の集合) Xに作用する群 G がある場合、群の作用のもとで、または群の 要素gのもとで、どの点xが不変 (「不変」) であるかを問うことができます。

多くの場合、集合Xに作用する群があり、これにより、関連付けられた集合F ( X ) 内のどのオブジェクトが不変であるかを決定できます。たとえば、平面内で点を中心に回転すると、回転の中心となる点は不変になりますが、平面内での平行移動では、どの点も不変になりませんが、平行移動の方向に平行なすべての線は線として不変になります。正式には、平面Pの線のセットをL ( P )と定義します。すると、平面の剛体運動により線が線に変わります。剛体運動の群は線のセットに作用します。そして、どの線が作用によって変化しないかを尋ねることができます。

さらに重要なことは、 「平面上の円の半径」などの集合上の 関数を定義し、この関数が剛体運動などのグループ動作に対して不変であるかどうかを尋ねることです。

不変量の概念の双対として、共変量（軌道とも呼ばれる）があり、これは合同性の概念を形式化します。合同性は、グループ動作によって互いに移動できるオブジェクトです。たとえば、平面の剛体運動のグループでは、三角形の周囲は不変量ですが、特定の三角形と合同な三角形の集合は共変量です。

これらは次のように関連しています。不変量は共変量に対して一定です (たとえば、合同な三角形は同じ周囲を持ちます)。一方、1 つの不変量の値が一致する 2 つのオブジェクトは、合同である場合もそうでない場合もあります (たとえば、同じ周囲を持つ 2 つの三角形は、必ずしも合同である必要はありません)。分類問題では、不変量の完全なセットを見つけようとする場合があります。この場合、2 つのオブジェクトがこの不変量のセットに対して同じ値を持つ場合、それらは合同です。

たとえば、3 辺がすべて等しい三角形は、SSS 合同により剛体運動で合同であり、したがって 3 辺の長さはすべて三角形の不変量の完全なセットを形成します。三角形の 3 つの角度の測度も剛体運動で不変ですが、不同な三角形は同じ角度の測度を共有できるため、完全なセットを形成しません。ただし、剛体運動に加えてスケーリングを許可すると、AAA 類似性基準により、これが不変量の完全なセットであることが示されます。

第二に、関数は数学的対象の何らかの表現または分解の観点から定義される場合があります。たとえば、セル複合体のオイラー特性は、各次元のセルの数の交互の和として定義されます。セル複合体の構造を忘れて、基礎となる位相空間(多様体) のみに着目することもできます。異なるセル複合体は同じ基礎となる多様体を与えるため、関数が表現の選択に依存しないかどうかを尋ねることがあります。その場合、関数は本質的に定義された不変量です。これはオイラー特性の場合であり、不変量を定義および計算する一般的な方法は、それらを特定の表現に対して定義し、次にそれらが表現の選択に依存しないことを示すことです。この意味でのグループ作用の概念は存在しないことに注意してください。

最も一般的な例は次のとおりです。

• 多様体を座標チャートで表現する – 不変量は座標の変更によって変化しない必要があります。
• オイラー特性について議論したさまざまな多様体分解。
• グループの表現の不変量。

第三に、代数幾何学や微分幾何学でよくあるように、族内で変化するオブジェクトを研究している場合、その特性が摂動の下で変化しないかどうかを尋ねることがあります（たとえば、オブジェクトが族上で定数であるか、または計量の変化に対して不変であるか）。

コンピュータサイエンスにおいて、不変式とは、コンピュータプログラムの実行の特定の段階で常に真であるとされる論理的主張のことです。たとえば、ループ不変式は、ループの各反復の開始時と終了時に真となる条件です。

不変条件は、コンピュータ プログラムの正しさを推論するときに特に役立ちます。コンパイラの最適化の理論、契約による設計の方法論、プログラムの正しさを判断するための形式手法はすべて、不変条件に大きく依存しています。

プログラマーは、不変条件を明示的にするためにコード内でアサーションを使用することがよくあります。一部のオブジェクト指向 プログラミング言語には、クラス不変条件を指定するための特別な構文があります。

抽象解釈ツールは、与えられた命令型コンピュータプログラムの単純な不変量を計算できる。どのような特性が見つかるかは、使用される抽象ドメインによって異なる。典型的な特性の例としては、 のような単一の整数変数の範囲0<=x<1024、 のような複数の変数間の関係0<=i-j<2*n-1、 のような係数情報などがあるy%4==0。学術研究のプロトタイプでは、ポインタ構造の単純な特性も考慮される。^[16]

より洗練された不変条件は、通常、手動で提供する必要があります。特に、ホーア計算^[17]を使用して命令型プログラムを検証する場合、プログラム内の各ループに対してループ不変条件を手動で提供する必要があり、これがこのアプローチがほとんどのプログラムで一般的に非実用的である理由の1つです。

上記のMU パズルの例のコンテキストでは、現在、ルール 1 ～ 4 のみを使用して MI から MU への導出が不可能であることを検出できる一般的な自動ツールはありません。ただし、文字列からその「I」の数への抽象化が手動で行われ、たとえば次の C プログラムにつながると、抽象解釈ツールはICount%30 にはならないことを検出できるため、「while」ループは終了しません。

void MUPuzzle ( void ) { volatile int RandomRule ; int ICount = 1 , UCount = 0 ; while ( ICount % 3 != 0 ) // 非終了ループswitch ( RandomRule ) { case 1 : UCount += 1 ; break ; case 2 : ICount *= 2 ; UCount *= 2 ; break ; case 3 : ICount -= 3 ; UCount += 1 ; break ; case 4 : UCount -= 2 ; break ; } // 計算された不変式: ICount % 3 == 1 || ICount % 3 == 2 }  
      
          
                                  
         
                                
                      
                      
                                
                                                  

• 「アプレット: ソートアルゴリズムの視覚的不変量」は、1997 年に William Braynen によってWayback Machineに 2022-02-24 にアーカイブされました。