集合（数学）

数学において、集合とは異なる^[1]ものの集まりであり、^{[2] [3] [4]}これらのものは集合の要素またはメンバーと呼ばれ、通常は数値、記号、空間内の点、線、その他の幾何学的形状、変数、さらには他の集合など、あらゆる種類の数学的対象です。 ^[5] 集合は有限個の要素を持つことも、無限集合であることもあります。要素のない唯一の集合は空集合と呼ばれ、要素が1つしかない集合はシングルトンです。

集合は、その要素によって一意に特徴付けられます。つまり、まったく同じ要素を持つ2つの集合は等しい（同じ集合である）ということです。^{[6]この性質は}外延性と呼ばれます。特に、これは空集合が1つしかないことを意味します。

集合は現代数学において遍在する。実際、集合論、より具体的にはツェルメロ・フランケル集合論は、 20世紀前半以来、数学のあらゆる分野に厳密な基礎を提供する標準的な方法となっている。 ^[5]

数学のテキストでは、集合は一般的にA、B、Cなどのようにイタリック体の大文字^{[7] [5]}で表記されます。^{[8]集合は、その要素自体が集合である場合に特に、}コレクションまたはファミリと呼ばれることもあります。

名簿記法または列挙記法は、要素を中括弧で囲み、コンマで区切って集合を定義する: ^{[9] [10] [11] [12]}

この表記法は1908年にエルンスト・ツェルメロによって導入された。^[13]集合では、各要素がその集合に含まれているかどうかだけが重要なので、名簿表記法における要素の順序は無関係である（対照的に、集合のシーケンス、タプル、順列では項の順序が重要である）。例えば、{2, 4, 6}と{4, 6, 4, 2}は同じ集合を表す。^{[14] [8] [15]}

多くの要素を持つ集合、特に暗黙のパターンに従う集合の場合、メンバーのリストは省略記号「...」を使用して省略することができます。^{[16] [17]}たとえば、最初の1000個の正の整数の集合は、名簿記法で次のように指定できます。

無限集合とは、要素が無限に続く集合のことである。無限集合をロスター記法で記述するには、リストの末尾または両端に省略記号を置き、リストが永遠に続くことを示す。例えば、非負整数の集合は

そして整数全体の集合は

セットを定義する別の方法は、ルールを使用して要素が何であるかを決定することです。

このような定義は意味記述と呼ばれる。^{[18] [19]}

集合構築記法は、要素の条件によって決定されるより大きな集合からの選択として集合を指定します。^{[19] [20] [21]}たとえば、集合Fは次のように定義できます。

$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ は整数であり、}}0\leq n\leq 19\} です。}$$

この表記法では、縦棒「|」は「そのような」を意味し、記述は「Fは、 nが0から19までの範囲の整数であるすべての数nの集合である」と解釈できます。著者によっては、縦棒の代わりにコロン「:」を使用する人もいます。 ^[22]

哲学では、定義の種類を分類するために特定の用語が使用されます。

• 内包的定義では、ルールを使用してメンバーシップを決定します。意味的定義やセットビルダー表記法を使用した定義などがその例です。
• 外延的定義は、集合の全ての要素を列挙することによって集合を記述する。^{[19]このような定義は}列挙的定義とも呼ばれる。
• 指示的定義とは、要素の例を挙げてセットを説明する定義です。省略記号を含む名簿がその一例です。

Bが集合でx がBの要素である場合、これはx ∈ Bと省略形で書かれ、これは「 x はBに属する」または「xはBに含まれる」とも読める。^{[23] 「} y はBの要素ではない」という文はy ∉ Bと書かれ、これは「 yはBに含まれない」とも読める。^{[24] [25]}

例えば、集合A = {1, 2, 3, 4}、B = {青、白、赤}、F = { n | nは整数、0 ≤ n ≤ 19}に関して、

空集合（またはヌル集合）は、要素を持たない唯一の集合である。これは∅、、{}、^{[26] [27]} ϕ、^[28]またはϕと表記される。^[29]${\displaystyle \emptyset}$

単集合は、ちょうど1つの要素を持つ集合です。このような集合は単位集合とも呼ばれます。^{[6]このような集合は、} xを要素として{ x }と表記されます。集合{ x }と要素xは異なる意味を持ちます。Halmos ^[30]は、帽子が入っている箱は帽子そのものと同じではないという類推をしています。

集合Aのすべての要素が集合Bにも含まれる場合、A はB のサブセット、つまりB に含まれると記述され、 A ⊆ B、^[31]またはB ⊇ Aと書きます。^[32]後者の表記は、B が A を含む、 B が A を含む、またはB が A のスーパーセットである、と読むことができます。 ⊆ によって確立される集合間の関係は、包含または包含と呼ばれます。 2 つの集合がお互いを包含する場合、それらの集合は等しいです。A ⊆ BとB ⊆ AはA = Bと同等です。^[20]

AがBのサブセットであるが、A がBと等しくない場合、AはBの真サブセットと呼ばれます。これは、 A ⊊ Bと書くことができます。同様に、B ⊋ A は、 B が A の真スーパーセットであることを意味します。つまり、B はA を含み、 Aと等しくありません。

3番目の演算子⊂と⊃の使い方は著者によって異なる。ある著者はA⊂BとB⊃AをAがBの任意の部分集合（必ずしも適切な部分集合とは限らない）を意味するために使用する。 [ 33 ] [ 24 ]一方、他の著者はA⊂BとB⊃AをAがBの^適切な部分集合である場合に限って使用する。[ ^31]

例:

• すべての人間の集合は、すべての哺乳類の集合の適切な部分集合です。
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} です。
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} .

空集合はあらゆる集合の部分集合であり、^[26]あらゆる集合はそれ自身の部分集合である: ^[33]

• ∅ ⊆ A。
• A ⊆ A。

オイラー図は、集合の集合をグラフィカルに表現したものです。各集合は、その要素が内部にある、ループで囲まれた平面領域として表されます。AがBのサブセットである場合、 A を表す領域はB を表す領域内に完全に入ります。2 つの集合に共通の要素がない場合、領域は重なり合いません。

対照的に、ベン図は n 個の集合をグラフィカルに表現したもので、n個のループが平面を2 ^{n 個の}ゾーンに分割し、 n個の集合の一部（すべてまたはいずれも選択しない可能性あり）を選択する方法ごとに、選択したすべての集合に属し、他の集合には属さない要素のゾーンが存在します。たとえば、集合がA、B、およびCである場合、 AとCの内側にあり、 B の外側にある要素（そのような要素が存在しない場合でも）のゾーンが存在する必要があります。

数学者が頻繁に参照する、数学的に非常に重要な集合が存在するため、それらを識別するために特別な名前と表記規則が確立されています。

これらの重要な集合の多くは、数学のテキストでは太字（例）または黒板太字（例）の書体で表現されます。^[34]これらには以下が含まれます 。${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$または、自然数全体の集合：（多くの場合、著者は0を除外する）^[34]${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Z} }$または、すべての整数（正、負、ゼロ）の集合： ; ^[34]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Q} }$または、すべての有理数の集合（つまり、すべての真分数と仮分数の集合） 。たとえば、− ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\right\}}$7/4⁠ ∈ Qかつ5 = ⁠5/1⁠ ∈ Q ; ^[34]
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$または、すべての有理数とすべての無理数（分数として書き直すことができないような代数的数や、 πやeのような超越数を含む）を含むすべての実数の集合。^[34]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {C} }$または、すべての複素数の集合：C = { a + bi | a , b∈R } 、例えば1 + 2 i∈C。^[34]${\displaystyle \mathbb {C} }$

上記の各数値集合には、無限の数の要素があります。各集合は、その下にリストされている集合のサブセットです。

正の数または負の数の集合は、それぞれ上付きのプラス記号とマイナス記号で表すことがあります。たとえば、は正の有理数の集合を表します。 ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

集合Aから集合Bへの関数（またはマッピング）は、 Aの各「入力」要素にBの要素である「出力」を割り当てる規則です。より正式には、関数は特別な種類の関係であり、 Aの各要素をBのちょうど1つの要素に関連付けます。関数は次のように呼ばれます。

• Aの任意の2つの異なる要素をBの異なる要素に写像する場合、単射（または1対1）である。
• Bのあらゆる要素に対して、それに写像されるAの要素が少なくとも1つ存在し、
• 関数が単射かつ全射である場合、単射（または 1 対 1 対応）になります。この場合、Aの各要素はBの一意の要素とペアになり、Bの各要素はAの一意の要素とペアになるため、ペアになっていない要素はありません。

単射関数は単射、全射関数は全射、全単射関数は全単射または一対一対応と呼ばれます。

集合Sの濃度は| S |と表記され、 Sのメンバーの数です。^[35]たとえば、B = {青、白、赤}の場合、| B | = 3です。名簿表記法で繰り返されるメンバーはカウントされません。^{[36] [37]}したがって、| {青、白、赤、青、白} | = 3でもあります。

より正式には、2 つの集合の間に一対一の関係が存在する場合、それらの集合は同じ基数を共有します。

空集合の濃度は0である。^[38]

いくつかの集合の要素のリストは無限です。たとえば、自然数の集合は無限です。^{[20]実際、上のセクションで説明したすべての特別な数の集合は無限です。無限集合は}無限の濃度を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

無限の濃度には、他の濃度より大きいものがあります。集合論から得られる最も重要な結果の 1 つは、実数の集合の濃度が自然数の集合の濃度より大きいということです。^[39]の濃度以下の集合は可算集合と呼ばれます。これらは有限集合または可算無限集合( と同じ濃度の集合) のいずれかです。一部の著者は「可算」を「可算無限」の意味で使用しています。 の濃度よりも確実に大きい濃度の集合は不可算集合と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

しかし、直線の濃度（つまり、直線上の点の数）は、その直線の任意の線分、平面全体、さらには任意の有限次元 ユークリッド空間の濃度と同じであることが示されます。^[40]

連続体仮説は、1878年にゲオルク・カントールによって定式化され、自然数の濃度と直線の濃度の間に厳密に一致する濃度を持つ集合は存在しないという主張である。^[41] 1963年に、ポール・コーエンは、連続体仮説が、選択公理を持つツェルメロ-フランケル集合論からなる公理系ZFCとは独立であることを証明した。^[42]（ZFCは公理的集合論の中で最も広く研究されているバージョンである。）

集合Sの冪集合は、 Sのすべての部分集合の集合である。^[20]空集合とS自体はSの冪集合の要素である。なぜなら、これらは両方ともSの部分集合だからである。例えば、{1, 2, 3}の冪集合は{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}である。集合Sの冪集合は、一般的にP ( S )または2 ^Sと表記される。^{[20] [43] [8]}

Sにn個の要素がある場合、P ( S )には2n^個の要素があります。^[44]たとえば、{1, 2, 3}には3つの要素があり、その冪集合には上記のように 23 =8個の^{要素があります。}

Sが無限大（可算か不可算かに関わらず）であれば、P ( S ) は不可算である。さらに、べき集合は常に元の集合よりも厳密に「大きい」ので、 Sの要素をP ( S )の要素とペアにしようとすると、P ( S )のいくつかの要素がペアにならない。（ SからP ( S )への一対一は決して存在しない。）^[45]

集合 Sの分割とは、 Sの空でない部分集合の集合であり、Sのすべての要素xはこれらの部分集合の1つにのみ含まれる。つまり、部分集合は互いに素であり（分割の任意の2つの集合には共通の要素が含まれない）、分割のすべての部分集合の和集合はSである。^{[46] [47]}

全体集合 U (議論されているすべての要素を含む集合) が固定されており、A がUのサブセットであるとします。

• Aの補集合は、Aに属さないすべての要素 ( U )の集合です。これはA ^cまたはA ′と表記されます。集合作成記法では、 と表されます。補集合は、以下の相対補集合と区別するために絶対補集合と呼ばれることもあります。例: 全体集合を整数の集合とすると、偶数集合の補集合は奇数集合になります。${\displaystyle A^{\text{c}}=\{a\in U:a\notin A\}}$

任意の2つの集合AとBが与えられた場合、

• それらの和集合 A ∪ B は、 AまたはBあるいはその両方のメンバーであるすべてのものの集合です。
• それらの共通集合 A ∩ B は、 AとB の両方の要素であるすべてのものの集合です。A ∩ B = ∅の場合、AとB は互いに素であると言われます。
• 差集合 A \ B ( A − Bとも表記) は、 Aに属しBには属さないすべてのものの集合です。特にB がAのサブセットである場合は、 AにおけるBの相対補集合とも呼ばれます。B ^{c を}Bの絶対補集合(全体集合U内) とすると、A \ B = A ∩ B ^cとなります。
• それらの対称差 A Δ B は、 AまたはBに属し、両方には属さないすべてのものの集合です。 が存在します。${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$
• それらの直積 A × B は、 aがAの要素であり、bがBの要素であるようなすべての順序付きペア ( a、b )の集合です。

例:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 }。
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3 }。
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2 }。
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5 }。
• { a , b }×{1,2,3}={( a ,1),( a ,2),( a ,3),( b ,1),( b ,2),( b ,3) }。

上記の演算は多くの恒等式を満たします。たとえば、ド・モルガンの法則の 1 つは、 ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′と規定しています(つまり、AとBの和集合の外側の要素は、 A の外側 とB の外側にある要素です)。

n項直積（n回）は、 のすべてのn組の集合です。例: ${\displaystyle {A}^{n}=A\times \ldots \times A}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$、三次元ユークリッド空間の点

A × Bの基数は、AとBの基数の積です。これは、 AとBが有限である場合の基本的な事実です。一方または両方が無限である場合、基数の乗算はこれを真にするように定義されます。

任意の集合のべき集合は、対称差が環の加算、交差が環の乗算である ブール環になります。

集合は現代数学のいたるところに存在します。たとえば、群、体、環などの抽象代数の構造は、 1 つ以上の演算に対して 閉じた集合です。

素朴集合論の主な応用の 1 つは、関係の構築です。領域 Aから共領域 Bへの関係は、直積A × Bのサブセットです。たとえば、同名のゲームにおける図形の集合S = {じゃんけん}を考えると、 SからSへの関係「勝つ」は集合B = {(じゃんけん、紙)、(紙、じゃんけん)、(じゃんけん)}です。したがって、ペア( x、y )がBのメンバーである場合、 x はゲームでy に勝ちます。別の例は、すべてのペア( x、x ² )の集合Fです。ここで、xは実数です。この関係はR × Rのサブセットです。すべての正方形の集合はすべての実数の集合のサブセットだからです。Rのすべてのxに対して、 Fには 1 つのペア( x、...)だけが存在するため、これは関数と呼ばれます。関数表記では、この関係はF ( x ) = x ²と表すことができます。

包含排他原理は、2つの有限集合の和集合の要素を、その集合の大きさとそれらの共通部分に基づいて数える手法である。記号的に次のように表現できる。 $${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$$

この原理のより一般的な形は、有限集合の有限和の濃度を与えます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$$

集合の概念は19世紀末に数学に登場した。^[48]集合を意味するドイツ語Mengeは、ベルナルド・ボルツァーノの著書『無限のパラドックス』で造られた。^{[49] [50] [51]}

集合論の創始者の 1 人であるゲオルク カントールは、 『Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre』の冒頭で次の定義を与えています: ^{[52] [1]}

集合とは、私たちの知覚や思考における明確で個別の対象を全体としてまとめたものであり、これを集合の要素と呼びます。

バートランド・ラッセルは集合とクラスの区別を導入した（集合はクラスであるが、すべての集合のクラスなど、いくつかのクラスは集合ではない。ラッセルのパラドックスを参照）。^[53]

数学者が多様体、集合体、メンゲ、アンサンブル、または同等の名称で呼ぶものを扱う場合、特に関係する項の数が有限である場合、問題の対象（実際にはクラス）をその項の列挙によって定義され、場合によっては単一の項（その場合はクラス）で構成されると見なすのが一般的です。

集合の最も重要な性質は、要素（メンバーとも呼ばれる）を持つことができることです。2つの集合は同じ要素を持つ場合、それらの集合は等しいです。より正確には、集合AとB は、 Aのすべての要素がBの要素であり、Bのすべての要素がAの要素である場合に等しいです。この性質は集合の拡張性と呼ばれます。^[23]結果として、たとえば、{2, 4, 6}と{4, 6, 4, 2}は同じ集合を表します。集合とは異なり、多重集合は要素の出現回数で区別できます。たとえば、[2, 4, 6]と[4, 6, 4, 2]は異なる多重集合を表しますが、[2, 4, 6]と[6, 4, 2]は等しいです。タプルは要素の順序でも区別できます。たとえば、(2, 4, 6)と(6, 4, 2)は異なるタプルを表します。

集合という単純な概念は数学において非常に有用であることが証明されていますが、集合の構築方法に制限がない場合は パラドックスが生じます。

• ラッセルのパラドックスは、「それ自身を含まないすべての集合の集合」、つまり { x | xは集合であり、x ∉ x } は存在できないことを示しています。
• カントールのパラドックスは、「すべての集合の集合」は存在できないことを示しています。

素朴集合論では、集合は明確に定義された異なる要素の集まりであると定義されますが、明確に定義されたという用語の曖昧さから問題が生じます。

素朴集合論の最初の定式化以来、これらのパラドックスを解決するためのその後の努力の中で、集合の性質は公理によって定義されてきた。公理的集合論は、集合の概念を基本概念としてとらえる。^[54]公理の目的は、一階述語論理を用いて、集合に関する特定の数学的命題（ステートメント）の真偽を演繹するための基本的な枠組みを提供することである。しかし、ゲーデルの不完全性定理によれば、そのような特定の公理的集合論がパラドックスから自由であることを一階述語論理で証明することはできない。^[55]

• ドーベン、ジョセフ・W. (1979)。 『ゲオルク・カントール：無限の数学と哲学』ボストン：ハーバード大学出版局。ISBN 0-691-02447-2。
• ハルモス、ポール R. (1960)。素朴集合論。ニュージャージー州プリンストン: ヴァン・ノストランド。ISBN 0-387-90092-6。
• ストール、ロバートR. (1979)。集合論と論理。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications。ISBN 0-486-63829-4。
• ヴェレマン、ダニエル（2006）。 『証明方法：構造化アプローチ』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-67599-5。

• Wiktionaryのsetの辞書定義
• カントールの「Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre」（ドイツ語）