ホモロジー代数

ホモロジー代数は、一般的な代数的設定におけるホモロジーを研究する数学の分野です。これは比較的新しい学問分野であり、その起源は、主にアンリ・ポアンカレとダヴィド・ヒルベルトによる、19世紀末の組合せ論的位相幾何学（代数的位相幾何学の前身）と抽象代数学（加群とシジジーの理論）の研究にまで遡ることができます。

ホモロジー代数は、ホモロジー関数とそれが伴う複雑な代数構造の研究であり、その発展は圏論の出現と密接に絡み合っている。中心概念は連鎖複体であり、これはホモロジーおよびコホモロジーを通じて研究することができる。

ホモロジー代数は、これらの複合体に含まれる情報を抽出し、それを環、モジュール、位相空間、およびその他の「具体的な」数学的オブジェクトのホモロジー不変量の形で表現する手段を提供します。スペクトル列は、このための強力なツールです。

K理論は代数位相幾何学において大きな役割を果たしてきました。その影響は徐々に拡大し、現在では可換代数、代数幾何学、代数的数論、表現論、数理物理学、作用素代数、複素解析、偏微分方程式の理論にまで及びます。K理論は、アラン・コヌの非可換幾何学と同様に、ホモロジー代数の手法を利用する独立した分野です。

ホモロジー代数は、1800年代に位相幾何学の一分野として最も基本的な形で研究され始め、1940年代にはext関手やtor関手などのオブジェクトの研究とともに独立した科目になりました。^[1]

連鎖複体の概念はホモロジー代数の中心的な概念です。抽象連鎖複体とは、連続する任意の 2 つの写像の合成が 0 であるという性質を持つ、アーベル群と群準同型の列です。 ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots 、\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

C _nの元はn鎖と呼ばれ、準同型d _{n は}境界写像または微分と呼ばれます。鎖群 C _nには追加の構造が付与される場合があります。たとえば、固定された環R上のベクトル空間または加群である可能性があります。微分は、追加の構造が存在する場合はそれを保存する必要があります。たとえば、R加群の線型写像または準同型である必要があります。表記の便宜上、アーベル群 (より正確には、アーベル群のカテゴリAb ) に注意を限定します。バリー・ミッチェルの有名な定理は、結果が任意のアーベルカテゴリに一般化されることを意味しています。すべての鎖複体は、アーベル群のさらに 2 つのシーケンス、サイクルZ _n  = Ker d _nと境界B _n  = Im d _{n +1 を}定義します。ここで、 Ker  dと Im  dは、 dの核と像を表します。2 つの連続する境界写像の合成はゼロなので、これらのグループは次のように互いに埋め込まれます。

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

アーベル群の部分群は自動的に正規群となるため、 n次ホモロジー群 H _n ( C ) をn境界によるnサイクルの因子群として定義できる。

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

連鎖複合体は、そのすべての相同群がゼロである場合、非環式または正確なシーケンスと呼ばれます。

連鎖複体は代数学と代数的位相幾何学において数多く登場する。例えば、X が位相空間であれば、特異連鎖 C _n ( X ) は標準のn単体からXへの連続写像の形式的な線形結合である。K が単体複体であれば、単体連鎖C _n ( K ) はKのn単体の形式的な線形結合である。A  =  F / R がアーベル群Aの生成元と関係による表現であり、F が生成元によって張られる自由アーベル群、R が関係のサブグループである場合、C ₁ ( A ) =  R、C ₀ ( A ) =  F、および他のすべてのnについてC _n ( A ) = 0とすると、アーベル群の列が定義される。これらすべての場合において、C _{n を}鎖状複体にする 自然微分d _nが存在し、そのホモロジーは位相空間X、単体複体K、またはアーベル群Aの構造を反映します。位相空間の場合、特異ホモロジーの概念に到達します。これは、多様体などの空間の特性を調べる際に基本的な役割を果たします。

哲学的なレベルでは、ホモロジー代数は、代数的または幾何学的オブジェクト (位相空間、単体複体、Rモジュール) に関連付けられた特定の連鎖複体には、それらに関する貴重な代数情報が多数含まれており、ホモロジーはその最も簡単に利用できる部分にすぎないことを教えてくれます。技術的なレベルでは、ホモロジー代数は、複体を操作してこの情報を抽出するためのツールを提供します。ここに 2 つの一般的な例を示します。

• 2 つのオブジェクトXとY は、それらの間の写像f によって接続されています。ホモロジー代数は、写像fによって誘導される、 XとYに関連付けられた連鎖複合体とそのホモロジーの関係を研究します。これは、複数のオブジェクトとそれらを接続する写像の場合に一般化されます。カテゴリ理論の言語で表現すると、ホモロジー代数は、連鎖複合体のさまざまな構成とこれらの複合体のホモロジーの関数特性を研究します。
• オブジェクトX は複数の記述（たとえば、位相空間として、および単体複合体として）を許容するか、複合体は非標準的な選択を伴うXの何らかの「表現」を使用して構築されます。 Xの記述の変更がXに関連付けられた連鎖複合体に与える影響を知ることは重要です。通常、複合体とそのホモロジーは 、表現に関して関数的です。また、ホモロジー（複合体自体ではありませんが）は、選択された表現とは実際には独立しているため、Xの不変量です。${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

群論の文脈では、シーケンス

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

群と群準同型の写像が、各準同型の像が次の準同型の 核と等しいとき、その写像は完全であると呼ばれます。

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

群と準同型のシーケンスは有限または無限のいずれかになる可能性があることに注意してください。

同様の定義は、他の代数構造にも適用できます。たとえば、ベクトル空間と線型写像の完全列、または加群と加群準同型の完全列があります。より一般的には、完全列の概念は、核と余核を持つ任意のカテゴリで意味を持ちます。

最も一般的な完全列は短完全列である。これは、次の形式の完全列である。

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

ここで ƒ は単射であり、gはエピモーフィズムです。この場合、AはBの部分オブジェクトであり、対応する商はCと同型です。

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

（ここで f(A) = im( f )）。

アーベル群の短い完全列は、5 つの項を持つ完全列として記述することもできます。

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

ここで、0 は、自明群や 0 次元ベクトル空間などのゼロ オブジェクトを表します。0 の配置により、ƒ は単射となり、g はエピモーフィズムとなります (以下を参照)。

長完全数列は、自然数でインデックス付けされた完全数列です。

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）または群の圏における次の可換図式を考えます。

5 つの補題は、行が正確で、mとpが同型で、lがエピモフィズムで、q がモノモフィズムである場合、nも同型であると述べています。

アーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、可換図式を考える。

ここで、行は正確なシーケンスであり、 0 はゼロオブジェクトです。すると、 a、b、cの核と余核を関連付ける正確なシーケンスが存在します。

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

さらに、射f が単射であれば、射 ker  a → ker  b も単射であり、g' がエピモーフィズムであれば、 coker  b → coker  c も単射である。

数学において、アーベル圏とは、射と対象を追加でき、核と余核が存在して望ましい特性を持つ圏である。アーベル圏の原型的な例は、アーベル群の圏Ab である。この理論は、アレクサンダー・グロタンディークによるいくつかのコホモロジー理論を統一する試みに端を発している。アーベル圏は非常に安定した圏であり、たとえば、正則であり、スネーク補題を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成に対して閉じており、たとえば、アーベル圏の連鎖複体の圏や、小さな圏からアーベル圏への関手の圏もアーベル的である。これらの安定性特性により、アーベル圏はホモロジー代数などで不可避であり、この理論は代数幾何学、コホモロジー、純粋圏論で主要な応用がある。アーベル圏はニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられている。

より具体的には、カテゴリがアーベル的であるのは、

• ゼロオブジェクトを持ちます。
• すべての二項積と二項余積を持ち、
• すべてのカーネルとコカーネルが含まれています。
• すべての単射およびエピモーフィズムは正規です。

2 つのアーベル圏AとBの間の共変左完全関数 F  : A → Bが与えられているとします。 0 → A → B → C → 0 がAの短完全列である場合、Fを適用すると完全列 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) が得られ、この列を右に続けて長完全列を形成するにはどうすればよいかという疑問が生じる可能性があります。 厳密に言えば、この疑問は不適切です。なぜなら、与えられた完全列を右に続けるには常に無数の異なる方法があるからです。 しかし、( Aが十分に「適切」であれば) Fの右導出関数によって与えられる標準的な方法が 1 つあることがわかります。すべてのi ≥ 1に対して、関手R ⁱ F : A → Bが存在し、上記のシーケンスは次のように続きます: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ...。このことから、R 1 F = ⁰の場合のみ、Fが正確な関手であることがわかります。つまり、ある意味では、Fの右導出関手は、 Fが正確であることから 「どれだけ離れているか」を測定します。

R を環とし、Mod _{R を}R上の加群のカテゴリとする。BをMod _Rに含め、AをMod _Rに固定してT ( B ) = Hom _R ( A,B ) と設定する。これは左完全関数であり、したがって右導来関数R ⁿ T を持つ。Ext 関数は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

これは任意の単射解を取ることで計算できる。

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

およびコンピューティング

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

すると、( R ⁿ T )( B ) はこの複体のコホモロジーになります。Hom _R ( A,B ) は複体から除外されることに注意してください。

代替の定義は、関数G ( A )=Hom _R ( A,B ) を用いて与えられる。固定されたモジュールBに対して、これは反変左 完全関数であり、したがって右導来関数 R ⁿ Gも存在し、定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

これは任意の射影解像度を選択することで計算できる。

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

そして計算によって二重に進行する

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

すると、( R ⁿ G )( A )はこの複体のコホモロジーとなる。ここでもHomR(A,B)は除外される点_に注意する。

これら 2 つの構成は同型の結果を生成するため、どちらも Ext 関数の計算に使用できます。

Rが環であり、左R 加群のカテゴリを R - Mod で、右 R 加群のカテゴリを Mod - R で表すとします( Rが可換であれば、2つのカテゴリは一致します) 。 R - Mod の加群 B を固定します。 Mod - RのAに対して、 T ( A ) = A ⊗ R B と設定します。すると、 TはMod _- Rからアーベル群のカテゴリAbへの右完全関数となり( Rが可換である場合は、 Mod - RからMod - Rへの右完全関数となります)、その左導来関数L _n Tが定義されます。

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

つまり、射影的解決をとる

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

次にA項を削除し、射影分解をBでテンソル化して複素数を得る。

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

( A ⊗ _R B は現れず、最後の矢印は単なるゼロマップであることに注意してください)、この複合体の ホモロジーを取ります。

環上の加群のカテゴリなどのアーベルカテゴリを固定します。スペクトル列は、非負の整数r ₀と 3 つの列の集合から選択されます。

1. すべての整数r ≥ r ₀に対して、オブジェクトE _r （シート（紙のシートのように）、またはページや項と呼ばれることもあります）は、
2. 準同型写像d _r  : E _r → E _{r が}d _r o d _r = 0 を満たす場合、境界写像または微分写像と呼ばれる。
3. E _r+1とH ( E _r )の同型、 d _rに関するE _rのホモロジー。

二重に段階付けされたスペクトル列には追跡すべき膨大な量のデータがありますが、スペクトル列の構造をより明確にする共通の視覚化手法があります。r、p、q の3 つのインデックスがあります。各rについて、グラフ用紙のシートがあると想像してください。このシートでは、p を水平方向、q を垂直方向とします。各格子点にはオブジェクトがあります。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

n = p + q がスペクトル列の別の自然添え字になることは非常に一般的です。 n は各シートを北西から南東に向かって対角線上に走ります。ホモロジーの場合、微分は 2 次 (− r、  r  − 1) を持つため、 n が 1 減少します。コホモロジーの場合、nは 1 増加します。 rが 0 の場合、微分はオブジェクトを 1 マス下または上に移動します。これは、連鎖複体の微分に似ています。rが 1 の場合、微分はオブジェクトを 1 マス左または右に移動します。rが 2 の場合、微分はチェスのナイトの動きのようにオブジェクトを移動します。 rが大きい場合、微分は一般化されたナイトの動きのように動作します。

位相空間の連続写像は、すべてのnに対してn番目のホモロジー群間の準同型性を生じます。代数位相学のこの基本的事実は、連鎖複体の特定の特性を通じて自然に説明されます。複数の位相空間を同時に研究することは非常に一般的であるため、ホモロジー代数では複数の連鎖複体を同時に検討することになります。

2 つの鎖複体間の射は、すべてのnに対してという意味で、微分と可換なアーベル群の準同型性の族です。鎖複体の射は、すべてのnに対する準同型性からなる、それらのホモロジー群の射を誘導します。射F は、すべてのnに対してn番目のホモロジー上の同型を誘導する場合、準同型性と呼ばれます。 ${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

特異ホモロジーを含む代数と幾何学で生じる連鎖複合体の多くの構成は、次の関数特性を持ちます。2 つのオブジェクトXとYが写像fによって接続されている場合、関連付けられた連鎖複合体は射によって接続され、さらに、写像f :  X  →  Yと g :  Y  →  Zの合成は、合成と一致する射を誘導します。したがって、ホモロジー グループも関数であり、そのため代数的または位相的なオブジェクト間の射は、それらのホモロジー間の互換性のある写像を生じます。 ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

次の定義は代数学と位相幾何学における典型的な状況から生じる。3つの連鎖複体とそれらの間の2つの射からなる3つ組は、正確な3つ組、または複体の短い正確な列と呼ばれ、次のように書かれる。 ${\displaystyle L_{\bullet},M_{\bullet},N_{\bullet}}$${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

任意のnに対して、シーケンス

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

はアーベル群の短完全列である。定義により、これはf _nが単射、g _nが全射、 Im f _n  = Ker g _nであることを意味する。ホモロジー代数の最も基本的な定理の1つは、ジグザグ補題とも呼ばれ、この場合、ホモロジーに長完全列が存在することを述べている。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

ここで、 L、M、およびNのホモロジー群は互いに循環的に続き、δ _{n は}fとgによって決定される特定の準同型であり、接続準同型と呼ばれます。この定理の位相的な表現には、マイヤー–ヴィエトリス列と相対ホモロジーの長完全列が含まれます。

コホモロジー理論は、位相空間、層、群、環、リー代数、C*-代数など、さまざまな対象に対して定義されています。現代の代数幾何学の研究は、層コホモロジーなしではほとんど考えられません。

ホモロジー代数の中心となるのは、正確なシーケンスの概念です。これらは、実際の計算を実行するために使用できます。ホモロジー代数の古典的なツールは、導来関数です。最も基本的な例は、関数ExtとTorです。

多様なアプリケーションを念頭に置いて、主題全体を統一しようとするのは当然のことでした。主題が落ち着くまでには、いくつかの試みがありました。おおよその歴史は次のように述べられます。

• カルタン-アイレンバーグ: 1956 年の著書「ホモロジー代数」で、これらの著者は射影的モジュール分解と単射的モジュール分解を使用しました。
• 「東北」: 1957 年に東北数学ジャーナル第 2 シリーズに掲載されたアレクサンダー グロタンディークの有名な論文におけるアプローチ。アーベル圏の概念 (アーベル群の層を含める) を使用します。
• グロタンディークとヴェルディエの導来圏。導来圏はヴェルディエの 1967 年の論文にまで遡る。これらは、多くの現代理論で使用されている三角形の圏の例である。

これらは計算可能性から一般性へと移行します。

計算の最も優れた手段はスペクトル列です。スペクトル列は、Cartan-Eilenberg アプローチやAomori アプローチでは必須であり、たとえば、2 つの関数の合成の導来関数を計算する場合に必要です。スペクトル列は導来カテゴリ アプローチではそれほど重要ではありませんが、具体的な計算が必要な場合は常に役割を果たします。

第一コホモロジーをトルソルとして拡張する「非可換」理論の試みがなされてきた（ガロアコホモロジーにおいて重要）。

Wikiquote にホモロジー代数に関する引用があります。

• 抽象ナンセンス、ホモロジー代数と圏論の用語
• 派生語
• ホモトピー代数
• ホモロジー代数のトピックのリスト

• アンリ・カルタン、サミュエル・アイレンバーグ『ホモロジー代数』。デイビッド・A・バックスバウムによる付録付き。1956 年のオリジナルの復刻版。プリンストン数学ランドマーク。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー、1999 年。xvi+390 ページ。ISBN 0-691-04991-2 
• グロタンディーク、アレクサンダー(1957)。 「Sur quelques point d'algebre homologique、I」。東北数学雑誌。9 (2): 119–221。土井：10.2748/tmj/1178244839。
• サンダース・マクレーン『ホモロジー』。1975年版の再版。数学の古典。シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、1995年。422頁。ISBN 3-540-58662-8 
• ピーター・ヒルトン、シュタンバッハ、U.ホモロジー代数のコース。第2版。数学の大学院テキスト、4。シュプリンガー・フェアラグ、ニューヨーク、1997年。xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6 
• ゲルファンド、セルゲイ I.、ユーリ マニン、『ホモロジー代数の方法』。1988 年ロシア語版からの翻訳。第 2 版。Springer Monographs in Mathematics。Springer-Verlag、ベルリン、2003 年。xx+372 ページ。ISBN 3-540-43583-2 
• ゲルファンド、セルゲイ I.、ユーリ マニン、ホモロジー代数。著者による 1989 年のロシア語原書からの翻訳。数学科学百科事典シリーズ (代数、V、Encyclopaedia Math. Sci.、38、Springer、ベルリン、1994) からのオリジナルの英語版の再版。Springer-Verlag、ベルリン、1999 年。iv +222 ページ。ISBN 3-540-65378-3 
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.