数学と芸術

数学と芸術はさまざまな形で関連しています。数学自体は、美を動機とする芸術 として説明されてきました。数学は、音楽、ダンス、絵画、建築、彫刻、織物などの芸術に見出すことができます。ただし、この記事では、視覚芸術における数学に焦点を当てます。

数学と芸術には長い歴史的関係がある。芸術家が数学を利用しているのは、ギリシャの彫刻家 ポリュクレイトスが『法典』を著した紀元前4世紀からである。法典では、理想的な男性の裸体像の比率は1:√2に基づいていたと推測されている。古代の芸術や建築には黄金比が使われていたという俗説が根強くあるが、確実な証拠はない。イタリアルネサンス期には、ルカ・パチョーリが芸術における黄金比の使用について、レオナルド・ダ・ヴィンチの木版画を添えた影響力のある論文『神の比例について』（1509年）を著した。別のイタリア人画家ピエロ・デラ・フランチェスカは、『遠近法について』などの論文や絵画の中で、ユークリッドの遠近法に関する考えを展開した。彫刻家アルブレヒト・デューラーは、作品『メレンコリア I』で数学に何度も言及している。近代では、グラフィックアーティストのM.C.エッシャーが数学者HSMコクセターの協力を得て、モザイク模様と双曲幾何学を多用し、テオ・ファン・ドゥースブルフとピエト・モンドリアンが率いたデ・スティル運動は幾何学的形態を明示的に採用した。数学は、キルティング、編み物、クロスステッチ、かぎ針編み、刺繍、織り、トルコ絨毯やその他の絨毯作り、キリムなどの織物芸術に影響を与えてきた。イスラム美術では、ペルシャのギリやモロッコのゼリジェのタイル細工、ムガル帝国のジャリの石造りの衝立、広く普及しているムカルナスのヴォールトなど、多様な形で対称性が明らかである。

数学は、線遠近法や対称性の分析、多面体やメビウスの輪などの数学的対象などの概念的ツールを通じて、芸術に直接影響を与えてきた。マグナス・ヴェニンガーは、もともと教育用のモデルとして、色鮮やかな星型多面体を作成した。再帰や論理的パラドックスなどの数学的概念は、ルネ・マグリットの絵画やMCエッシャーの版画に見ることができる。コンピュータアートでは、マンデルブロ集合などのフラクタルがよく使用され、セルオートマトンなどの他の数学的対象が探求されることもある。物議を醸しているが、芸術家のデイヴィッド・ホックニーは、ルネサンス以降の芸術家は、シーンの正確な表現を描くためにカメラ・ルチダを使用したと主張している。建築家のフィリップ・ステッドマンも同様に、フェルメールが独特の観察力を持つ絵画で カメラ・オブスキュラを使用したと主張している。

その他の関係としては、 X線蛍光分光法による芸術作品のアルゴリズム分析、ジャワ島のさまざまな地域の伝統的なバティックには異なるフラクタル次元があるという発見、そして数学研究への刺激、特に最終的にジラール・デザルグの射影幾何学につながったフィリッポ・ブルネレスキの遠近法の理論などが挙げられる。音楽における調和というピタゴラスの考えに基づいた根強い見解では、すべてのものは数によって配置され、神は世界の幾何学者であり、したがって世界の幾何学は神聖であると考えられている。

ポリュクレイトス大王（紀元前450年頃 - 紀元前420年頃）は、アルゴス流派のギリシャ 彫刻家で、ペイディアスと同時代人であった。彼の作品や彫像は主に青銅製で、運動選手を題材としていた。哲学者で数学者のクセノクラテスによると、ポリュクレイトスは、アルゴスのヘライオンにあるヘラ像やドリュフォロスの作品により、古代ギリシャで最も重要な彫刻家の一人に数えられている。 [ ^3]彼の彫刻はペイディアスの彫刻ほど有名ではないかもしれないが、非常に賞賛されている。彼が書いた「完璧な」男性ヌードの体型比率を記録するための論文であるカノンでは、ポリュクレイトスは人体の彫刻に対する数学的なアプローチを示している。^[3]

カノン自体は失われているが、ポリュクレイトスは、それぞれの長さが前身のカノンに描かれた正方形の対角線の長さである1: √2 （約1:1.4142）となる一連の比率を使用していたと推測されている。^[4]

ポリュクレイトスの規範は、古代ギリシャ、ローマ、ルネサンスの彫刻に多大な影響を与え、多くの彫刻家がポリュクレイトの規範に従った。ポリュクレイトのオリジナル作品は現存していないが、ローマの模写は彼の理想とする物理的完璧さと数学的正確さを示している。一部の学者は、ピタゴラスの思想がポリュクレイトスの規範に影響を与えたと主張している。^[5]規範は、比率、比例、シンメトリア（ギリシャ語で「調和のとれた比率」）などのギリシャ幾何学の基本的な数学的概念を適用し、一連の連続した幾何学的進行を通じて人間の形状を記述できるシステムに変換している。^[4]

古典時代、画家たちは線遠近法で遠くの人物を小さく描くのではなく、主題の重要性に応じて物体や人物の大きさを決めました。中世には、特別な強調のために逆遠近法を使用する画家もいました。イスラムの数学者アルハゼン（イブン・アル・ハイサム）は、1021年に著書『光学の書』で光学理論を解説しましたが、それを芸術に応用することはありませんでした。^{[6]ルネサンスでは、古典ギリシャ・ローマの文化と思想が復活し、その中には}自然と芸術を理解するための数学の研究も含まれていました。中世後期とルネサンスの芸術家が数学に向かった主な動機は2つあります。第一に、画家たちは3次元のシーンを2次元のキャンバスに描く方法を考え出す必要がありました。第二に、哲学者も芸術家も、数学こそが物理世界の真の本質であり、芸術を含む宇宙全体が幾何学的な言葉で説明できると確信していました。^[7]

遠近法の基礎はジョット（1266/7年 - 1337年）によってもたらされた。ジョットは遠近法を用いて遠くの線の位置を決定する代数的手法を用いて絵を描こうとした。1415年、イタリアの建築家 フィリッポ・ブルネレスキと友人のレオン・バッティスタ・アルベルティは、フィレンツェで、ユークリッドが定式化した相似三角形を用いて遠近法を適用する幾何学的手法を実証し、遠くの物体の見かけの高さを求めた。 ^{[8] [9]}ブルネレスキ自身の遠近法の絵画は失われているが、マサッチオの聖三位一体の絵画は彼の原理が働いていることを示している。^{[6] [10] [11]}

イタリアの画家パオロ・ウッチェロ（1397年 - 1475年）は遠近法に魅了されており、サン・ロマーノの戦い（1435年頃 - 1460年）の絵画では折れた槍が遠近法の線に沿って都合よく描かれている。^{[12] [13]}

画家のピエロ・デラ・フランチェスカ（1415年頃 - 1492年）は、イタリア・ルネサンス思想のこの新たな転換を体現した人物である。彼は熟練した数学者および幾何学者で、立体幾何学と遠近法に関する著書『絵画の遠近法について』、『そろばん論』、『五正多面体について』などがある。^{[14] [15] [16]}歴史家ヴァザーリは著書『画家列伝』の中で、ピエロを「当時、いやおそらくどの時代でも最も偉大な幾何学者」と呼んでいる。^{[17]ピエロの遠近法への関心は、『}ペルージャの多翼祭壇画』 ^[18]、『サン・アゴスティーノの祭壇画』、 『キリストの鞭打ち』などの絵画に見ることができる。彼の幾何学に関する研究は、ルカ・パチョーリの『神の比例について』やレオナルド・ダ・ヴィンチなど、後の数学者や芸術家に影響を与えた。ピエロは古典数学とアルキメデスの著作を学んだ。^[19]彼は「そろばん学校」で商業算数を学んだ。彼の著作はそろばん学校の教科書のような体裁をしており、^[20]おそらくレオナルド・ピサーノ (フィボナッチ) の 1202 年の『そろばんの書』も含まれている。線遠近法はちょうど芸術界に導入され始めた頃だった。アルベルティは 1435 年の『絵画について』で「光線は観察される風景の点から目まで直線的に進み、目を頂点とする一種のピラミッドを形成する」と説明している。線遠近法で描かれた絵画は、そのピラミッドの断面である。 ^[21]

ピエロは『視点による図形の見方』で、視点によって図形の様相が変化する様子についての経験的観察を数学的証明に変換している。彼の論文はユークリッドの流れで始まり、点を「目で捉えることができる最も小さなもの」と定義している。^{[a] [7]彼は}演繹的論理を用いて読者を三次元物体の遠近法による表現へと導いている。^[22]

芸術家のデイヴィッド・ホックニーは 著書『Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters』の中で、芸術家たちは1420年代からカメラ・ルシーダを使い始め、その結果、精度と写実性が急激に変化し、この手法はアングル、ファン・エイク、カラヴァッジョといった大物芸術家たちに引き継がれたと主張している。^[23]批評家たちはホックニーが正しかったかどうかについて意見が分かれている。^{[24] [25]}同様に建築家のフィリップ・ステッドマンは、フェルメールが独特の観察力を持つ絵画を描くために、カメラ・オブスキュラという別の装置を使ったと主張して物議を醸した。 ^{[ 26]}

1509年、ルカ・パチョーリ（1447年頃-1517年）は、人間の顔を含む数学的、芸術的比率について『神による比例について』を出版した。レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452年-1519年）は、1490年代にパチョーリに師事していたときに、この本に正多面体の木版画を挿絵として添えた。レオナルドの絵は、おそらく骨格立体の最初の挿絵であろう。[ ^28]菱形八面体などのこれらは、重ね合わせることで遠近法を示すために描かれた最初のものであった。この作品では、ピエロ・デッラ・フランチェスカ、メロッツォ・ダ・フォルリ、マルコ・パルメッツァーノの作品における遠近法について論じている。^[29]レオナルドはパチョーリの『数学の大全』を研究し、そこから比率表を書き写した。^[30]レオナルドの作品は、モナ・リザと最後の晩餐で線遠近法と消失点を取り入れ、奥行き感を表現している。^[31]最後の晩餐は12:6:4:3という厳密な比率で構成されている。ラファエロのアテネの学堂も同様で、ピタゴラスとピタゴラス学派にとって神聖な理想比率の石板が描かれている。^{[32] [33]レオナルドは}ウィトルウィウス的人体図で、ローマの建築家ウィトルウィウスの考えを表現し、革新的な方法で男性像を2度描き、円と四角の両方の中心に配置した。^[34]

15世紀初頭には、画像の歪みに関心を持つ芸術家たちの絵画に曲線遠近法が取り入れられていました。ヤン・ファン・エイクの1434年の『アルノルフィーニ夫妻の肖像』には、場面内の人々が映った凸面鏡が描かれています。^{[35]一方、}パルミジャニーノの1523-1524年頃の『凸面鏡の中の自画像』には、中央にほぼ歪みのない芸術家の顔が描かれ、強く湾曲した背景と縁に芸術家の手が描かれています。^[36]

芸術では、透視図法以外の手段でも、三次元空間を説得力のある形で表現することができる。18世紀にフランスの軍事画家が要塞を描くために使用したキャバリアー透視図法を含む斜投影法は、1世紀または2世紀から18世紀まで中国の画家によって継続的に、またいたるところで使われていた。中国人はこの技法をインドから習得し、インドは古代ローマからこの技法を習得した。斜投影法は、鳥居清長（1752-1815）の浮世絵など、日本の美術にも見られる。 ^[37]

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  ルカ・パチョーリの1509年作『神の比例』の木版画。人間の顔に正三角形 が描かれている。
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  使用中のカメラ・ルシダ。サイエンティフィック・アメリカン、1879年
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  カメラ オブスキュラを使用する芸術家のイラスト。17 世紀
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  比率:レオナルドのウィトルウィウス的人体図、1490 年頃
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  ブルネレスキの遠近法理論:マザッチョのトリニータ、c. 1426 ～ 1428 年、サンタ マリア ノヴェッラ大聖堂にて
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  レオン・バッティスタ・アルベルティの 1435 年のデッラ・ピットゥーラの図、格子上に柱が遠近表示されている
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  ピエロ・デッラ・フランチェスカの『キリストの鞭打ち』における線遠近法、1455年～1460年頃
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  曲線遠近法：ヤン・ファン・エイクの『アルノルフィーニ夫妻の肖像』の凸面鏡、1434年
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  パルミジャニーノ、凸面鏡の中の自画像、c. 1523–1524
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  比率の板を持つピタゴラス。ラファエロの『アテネの学堂』、1509年
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  斜投影図：衙門の入口と庭。乾隆帝の命により徐陽が描いた蘇州に関する巻物の詳細。18世紀
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  斜め投影：将棋、囲碁、盤双六で遊ぶ女性たち。鳥居清長作、日本、1780年頃

黄金比（およそ1.618に等しい）はユークリッドに知られていた。^[38]黄金比は、エジプト、ギリシャ、その他の古代人によって芸術や建築に使用されたと、現代でも繰り返し主張されてきた。 ^{[39] [40] [41] [42]が、確実な証拠はない。 [43]}この主張は、「中庸」との混同から来ているのかもしれない。古代ギリシャ人にとって「中庸」は、比率ではなく「いずれの方向でも過剰を避ける」ことを意味していた。^[43] 19世紀以来、ピラミッド学者は、ピラミッドの設計における黄金比について、疑わしい数学的根拠に基づいて議論してきた。 ^{[b]紀元前5世紀のアテネの神殿、}パルテノン神殿は、ファサードとフロアプランに黄金比を使用していると主張されてきたが、^{[47] [48] [49]}これらの主張も測定によって反証されている。^{[43]チュニジアの}ケルアンの大モスクも同様に設計に黄金比を使用していると主張されているが、^[50]モスクの元々の部分にその比率は見当たらない。^[51]建築史家のフレデリック・マコディ・ルンドは1919年にシャルトル大聖堂（12世紀）、ラオンのノートルダム大聖堂（1157-1205） 、ノートルダム・ド・パリ（1160）は黄金比に従って設計されていると主張し、^[52]それを裏付けるために規制線を引いた。他の学者は、1509年のパチョーリの作品まで、黄金比は芸術家や建築家には知られていなかったと主張している。^[53]たとえば、ラオンのノートルダム大聖堂の正面の高さと幅の比率は8/5または1.6であり、1.618ではない。このようなフィボナッチ比率はすぐに黄金比と区別が難しくなる。^[54]パチョーリ以降、黄金比はレオナルドのモナリザなどの芸術作品でより明確に識別できるようになりました。^[55]

もう一つの比、唯一の他の形態数^[56]は、 1928年にオランダの建築家ハンス・ファン・デル・ラーンによって塑性数^[c]と名付けられました（元々はフランス語でle nombre radiantと呼ばれていました）。^{[57]その値は、} 3次方程式の解です。

${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$、

約1.325の無理数。建築家リチャード・パドヴァンによれば、これは特徴的な比率を持つ。3/4⁠と⁠1/7⁠、これは物理的な大きさを他の大きさと関連付ける際の人間の知覚の限界を規定する。ファン・デル・ラーンは1967年にオランダの聖ベネディクトゥスベルク修道院教会を設計する際にこれらの比率を使用した。 ^[57]

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  クフ王のピラミッドの底辺:斜辺(b:a)比は、1:φ(ケプラーの三角形)、3:5( 3-4-5三角形)、または1:4/πのいずれかです。
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  想定される比率:ランのノートルダム大聖堂
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  モナリザに重ねられた黄金比
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  1967 年にハンス・ファン・デル・ラーンが設計した聖ベネディクトゥスベルク修道院教会は、塑性比率の比率を採用しています。

平面対称性は、何千年もの間、カーペット、格子、織物、タイルなどの芸術作品に利用されてきました。 ^{[59] [60] [61] [62]}

多くの伝統的な絨毯は、パイル絨毯であれ平織りのキリムであれ、中央のフィールドと縁取りのボーダーに分かれています。どちらも対称性を持つことができますが、手織りの絨毯では、織り手によって取り入れられた小さなディテール、パターンの変化、色の変化によって、対称性がわずかに崩れることがよくあります。^[59]アナトリアのキリムでは、使用されているモチーフ自体が通常対称的です。全体的なレイアウトも通常存在し、ストライプ、ストライプとモチーフの列が交互になっているもの、およびほぼ六角形のモチーフが詰め込まれた配列などの配置があります。フィールドは、通常、 pmmなどの壁紙グループを使用して壁紙としてレイアウトされ、ボーダーはフリーズグループpm11、pmm2、またはpma2のフリーズとしてレイアウトされる場合があります。トルコと中央アジアのキリムには、異なるフリーズグループの3つ以上のボーダーがよくあります。織り手は、数学的な明確な知識がなくても、対称性の意図を持っていたことは間違いありません。^[59] 数学者で建築理論家のニコス・サリンガロスは、17世紀のコンヤの最高の2つのメダリオンカーペットのような「偉大なカーペット」 ^[58]の「強力な存在感」^[58]（美的効果）は、建築家クリストファー・アレキサンダーの理論に関連する数学的手法によって生み出されると示唆している。これらの手法には、反対のものを結合すること、反対の色の値、補完的な形状を使用するか鋭角の方向性のバランスをとることによって領域を幾何学的に区別すること、小規模な複雑さ（結び目レベルから上）と小規模および大規模な対称性を提供すること、異なるスケールの階層で要素を繰り返すこと（各レベルから次のレベルへの比率は約2.7）などが含まれる。サリンガロスは、「すべての成功したカーペットは、上記の10のルールのうち少なくとも9つを満たしている」と主張し、これらのルールからメトリックを作成できる可能性があると示唆している。^[58]

精巧な格子模様は、大理石に彫られ、墓や宮殿を飾るインドのジャリ細工に見られる。 ^[60]中国の格子模様は常に対称性があり、17の壁紙グループのうち14に存在し、鏡面対称、二重鏡面対称、回転対称であることが多い。中央にメダリオンがあるものや、フリーズグループの縁取りがあるものもある。^[63]ダニエル・S・ダイは多くの中国の格子模様を数学的に分析しており、四川省をこの工芸の中心地としている。^[64]

対称性は、キルティング^[61]、編み物^[65]、クロスステッチ、かぎ針編み^[66]、刺繍^{[67] [68]}、織物^[69]などの織物芸術で顕著であり、純粋に装飾的である場合もあれば、ステータスの印である場合もあります。^[70]回転対称性は、ドームなどの円形構造物に見られます。これらは、1619年に建てられたエスファハーンのシェイク・ロトフォラー・モスクのように、内側と外側に対称的なパターンで精巧に装飾されていることがあります。^{[71]ボビンや}タティングで作られたテーブルクロスやテーブルマットなどの刺繍やレースのアイテムには、数学的に研究されているさまざまな反射対称性や回転対称性があります。^[72]

イスラム美術は 、その多くの芸術形態、特にギリヒタイルで対称性を活用しています。これらは、正十角形、細長い六角形、蝶ネクタイ、菱形、正五角形の 5 つのタイル形状のセットを使用して形成されます。これらのタイルのすべての辺の長さは同じで、すべての角度は 36° (π/5ラジアン) の倍数であり、5 倍および 10 倍の対称性を提供します。タイルはストラップワークライン (ギリヒ) で装飾されており、通常、タイルの境界よりも目立ちます。2007 年、物理学者のピーター ルーとポール スタインハートは、ギリヒが準結晶ペンローズ タイル に似ていると主張しました。^[73]精巧な幾何学的なゼリジェタイルワークは、モロッコ建築の特徴的な要素です。 ^[62]ムカルナスヴォールトは 3 次元ですが、幾何学的なセルの描画を使用して 2 次元で設計されました。^[74]

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  ホタミスキリム（詳細）、中央アナトリア、19 世紀初頭
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  面取りされた六角形の格子模様を使用した明代の錦織の詳細
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  インド、ファテープル・シクリのサリム・チシュティの墓にあるジャアリの大理石の格子
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  対称性：フィレンツェのバルジェッロ模様のタペストリー作品
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  シェイク・ロトフォラー・モスクの天井、エスファハーン、1619年
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  レースの回転対称性：タティングワーク
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  ギリフタイル：ダルビ・イマーム廟のスパンドレルに描かれた大小さまざまな模様、エスファハーン、1453年
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  テセレーション:ブー・イナニア・マドラサ、フェズ、モロッコのゼリージュ・モザイク・タイル
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  シェイク・ロトフォラー・モスク（エスファハーン）のムカルナス天井の複雑な幾何学模様とタイル張り
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  ムカルナス四分の一ヴォールトの建築家による設計図。トプカプ巻物
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  ペルーのトゥパ・インカのチュニック、1450年-1540年、高位を示すアンデスの織物^[70]

プラトンの立体やその他の多面体は、西洋美術で繰り返し登場するテーマである。例えば、ヴェネツィアのサン・マルコ寺院の床にある、パオロ・ウッチェロ作とされる小さな星型十二面体を描いた大理石のモザイクに見られる。 ^[12]ルカ・パチョーリの1509年の著書『神聖な比率』の挿絵として描かれたレオナルド・ダ・ヴィンチの正多面体の図、^[12]ヤコポ・デ・バルバリが1495年に描いたパチョーリの肖像画にあるガラスの菱形八面体、 ^[12]アルブレヒト・デューラーの版画『メレンコリアI』の切頂多面体（およびその他のさまざまな数学的対象）に見られる。^[12]サルバドール・ダリの絵画『最後の晩餐』では、キリストと弟子たちが巨大な十二面体の中に描かれている。^[75]

アルブレヒト・デューラー（1471-1528）は、ルネサンス期のドイツの版画家で、線遠近法、建築幾何学、プラトン立体、正多角形といった主題を教えることを目的とした1525年の著書『測量に関する教育』で多面体文学に重要な貢献をした。デューラーはイタリア旅行中にルカ・パチョーリやピエロ・デラ・フランチェスカの作品に影響を受けたと思われる。^[76] 『測量に関する教育』における遠近法の例は未発達で不正確なところもあるが、多面体についての詳細な議論がある。デューラーは、印刷のために平らになるように広げられた多面体、多面体ネットという概念をテキストで初めて紹介した人物でもある。デューラーは、1528 年にVier Bücher von Menschlicher Proportion (人間のプロポーションに関する 4 冊の本)と呼ばれる人間のプロポーションに関する別の影響力のある本を出版しました。 [ ^{78 ]}

デューラーの有名な版画『メレンコリア I』には、切頂三角形の台形と魔方陣のそばに座り、苛立つ思索に耽る人物が描かれている。^[1]これら 2 つの物体と版画全体は、他の版画の内容よりも現代的な解釈の対象となっており、^{[1] [79] [80]}ピーター・クラウス・シュスターの 2 巻本や^[81]エルヴィン・パノフスキーのデューラーに関するモノグラフでの影響力のある議論などがある。^{[1] [82]}

サルバドール・ダリの1954年の絵画「超立方体大全」は、キリストの十字架を超立方体の3次元の網として独自に描いている。超立方体はテッセラクトとしても知られている。テッセラクトが8つの立方体に展開することは、立方体の側面が6つの正方形の十字形に展開することに類似しており、ここでは4次元の正多面体で神の視点を表現している。^{[83] [84]}この絵画では、テッセラクトの前にいるキリストの姿が描かれている。通常、キリストは十字架に釘で固定されているが、この絵画には釘が使われていない。代わりに、キリストの体の前に、8つのテッセラクト立方体の最も前面の角に4つの小さな立方体がある。数学者トーマス・バンコフは、ダリは三次元の世界を超えようとしていたと述べ、詩人で美術評論家のケリー・グロヴィエは「この絵はキリストの救済の精神性と幾何学的・物理的力の物質性との間のつながりを破壊したようだ。多くの人が科学と宗教を隔てる溝を埋めているようだ」と述べている。^[85]

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  レオナルド・ダ・ヴィンチによる菱立方八面体の最初の印刷イラスト、 1509 年に『De Divina Proportione』に掲載
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  アムステルダムのバルーク・スピノザ記念碑の一部である二十面体

インドネシアの伝統的なろうけつ染めの布地模様は、花や植物などの具象的なモチーフと、ろうけつ染めの塗布の不正確さやろうの割れによるランダムな変化など、抽象的でいくぶん混沌とした要素が組み合わされている。ろうけつ染め模様のフラクタル次元は1～2で、地域によって異なる。例えば、チルボンのろうけつ染めのフラクタル次元は1.1、中部ジャワのジョグジャカルタとスラカルタ（ソロ）のろうけつ染めのフラクタル次元は1.2～1.5、ジャワ島北岸のラセムのろうけつ染めと西ジャワのタシクマラヤのろうけつ染めのフラクタル次元は1.5～1.7である。^[86]

現代美術家ジャクソン・ポロックのドリップ・ペインティング作品も同様にフラクタル次元が特徴的である。1948年の「ナンバー14」は海岸線のような次元が1.45であるが、後期の作品はフラクタル次元が次第に高くなり、それに応じてパターンもより精巧になっている。彼の最後の作品の一つである「ブルー・ポールズ」は制作に6ヶ月かかり、フラクタル次元は1.72である。^[87]

天文学者ガリレオ・ガリレイは著書『聖者』の中で「宇宙は数学の言語で書かれ、その文字は三角形、円、その他の幾何学的図形である」と書いている。^[88]ガリレオの考えでは、自然を研究しようと努める芸術家はまず数学を完全に理解しなければならない。逆に数学者は幾何学と合理性のレンズを通して芸術を解釈し分析しようとしてきた。数学者フェリペ・クッカーは、数学、特に幾何学は「ルール主導の芸術的創造」のルールの源泉ではあるが、唯一のものではないと示唆している。^[89]結果として生じる複雑な関係の多くの要素のいくつか^[90]を以下に説明する。

数学者ジェリー・P・キングは数学を芸術と表現し、「数学の鍵は美しさと優雅さであり、退屈さと専門性ではない」と述べ、美しさは数学研究の原動力であると述べた。^[91]キングは数学者GHハーディの1940年のエッセイ「数学者の弁明」を引用している。その中でハーディは、古典時代の2つの定理、すなわちユークリッドの「素数は無限に存在する」という証明と「2の平方根が無理数である」という証明をなぜ一流だと思うかについて論じている。キングはこの最後の証明をハーディの数学的な優雅さの基準である「真剣さ、深さ、一般性、意外性、必然性、簡潔さ」（キングの強調）に照らして評価し、その証明を「審美的に心地よい」と表現している。^[92]ハンガリーの数学者ポール・エルデシュは、数学には美しさがあることに同意したが、その理由は説明できないと考えていた。「なぜ数字は美しいのか？それは、なぜベートーベンの第九交響曲が美しいのかと尋ねるようなものです。理由がわからないと、誰も説明できません。私は数字が美しいことを知っています。」 ^[93]

数学は、音楽、ダンス、^{[94] 、} 絵画、建築、彫刻など、多くの芸術に見出すことができます。これらのそれぞれは、数学と深く結びついています。^{[95]視覚芸術とのつながりの中で、数学は、}ブルック・テイラーとヨハン・ランバートによって説明された線遠近法のルールや、アルブレヒト・デューラーとガスパール・モンジュにまで遡る、現在では立体のソフトウェアモデリングに適用されている記述幾何学の方法など、芸術家にツールを提供できます。^[96]中世のルカ・パチョーリ、ルネッサンスのレオナルド・ダ・ヴィンチとアルブレヒト・デューラーなどの芸術家は、芸術作品を追求する中で数学的なアイデアを活用し、発展させてきました。^{[95] [97]遠近法の使用は、古代ギリシャの建築で初期の使用があったにもかかわらず、13世紀の}ジョットなどのイタリアの画家によって始まりました。消失点などの規則は、1413年頃にブルネレスキによって初めて定式化され、 ^[6]彼の理論はレオナルドとデューラーに影響を与えました。アイザック・ニュートンの光スペクトルに関する研究は、ゲーテの色彩論に影響を与え、次にフィリップ・オットー・ルンゲ、JMWターナー、^[98]ラファエル前派、ワシリー・カンディンスキーなどの芸術家に影響を与えました。^{[99] [100]}芸術家は、シーンの対称性を分析することを選択することもあります。 ^[101]ツールは、芸術を探求している数学者、または数学に触発された芸術家によって適用される場合があります。たとえば、HSMコクセターに影響されたMCエッシャーや、より希薄にコンピュータ支援設計によってまったく新しい方法で自分自身を表現できるようになったと主張した建築家フランク・ゲーリーなどです。^[102]

芸術家のリチャード・ライトは、構築可能な数学的対象は「現象をシミュレートするプロセス」または「コンピュータアート」の作品として見ることができると主張している。彼は数学的思考の性質について考察し、フラクタルが数学者の間で認識される1世紀前から知られていたことを指摘している。ライトは結論として、数学的対象は「芸術のような文化的遺物、客観性と主観性の緊張、それらの比喩的意味、表現システムの特徴」を理解するために用いられるあらゆる方法に従わせるのが適切であると述べている。彼は例としてマンデルブロ集合からの画像、セルオートマトンアルゴリズムによって生成された画像、およびコンピュータレンダリングされた画像を示し、チューリングテストを参照してアルゴリズム製品が芸術になり得るかどうかを論じている。 ^[103]サショ・カラジェフスキーの『数学と芸術：視覚数学入門』は同様のアプローチを採用しており、タイル張り、フラクタル、双曲幾何学など、視覚的に適切な数学のトピックを検討している。^[104]

コンピュータアートの最初の作品のいくつかは、デズモンド・ポール・ヘンリーの「ドローイング・マシン1」によって作成された。これは爆撃照準器コンピュータをベースにしたアナログマシンで、1962年に展示された。^{[105] [106]}このマシンは、複雑で抽象的、非対称で曲線的だが反復的な線画を作成することができた。^{[105] [107]}最近では、ハミド・ナデリ・イェガネが、曲線や角度のついた線を描くために連続的に変化する式を使用して、魚や鳥などの現実世界の物体を連想させる形状を作成した。^{[108] [109] [110]}ミカエル・ヴィトフェルト・クリステンセンなどのアーティストは、Structure Synthなどのソフトウェアシステム用のスクリプトを記述することで、生成的またはアルゴリズム的なアートの作品を制作している。アーティストは、選択したデータセットに数学的演算の望ましい組み合わせを適用するようシステムを効果的に指示する。^{[111] [112]}

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  バトシェバ・グロスマンによる数学彫刻、2007年
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  フラクタル彫刻: 3D Fraktal 03/H/dd by Hartmut Skerbisch、2003
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  フィボナッチワード：サミュエル・モニエによるアートワークの詳細、2009年
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  デズモンド・ポール・ヘンリーの「ドローイング・マシン 1」によって制作されたコンピュータアート画像。1962 年に展示された。
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  ハミド・ナデリ・イェガネ作「飛翔する鳥」（2016年）は、数学的な曲線の集合体で構築されています。

数学者で理論物理学者の アンリ・ポアンカレの『学問と仮説』は、パブロ・ピカソやジャン・メッツィンガーを含むキュビズムの人々に広く読まれました。^{[114] [115]}ベルンハルト・リーマンの非ユークリッド幾何学の研究に精通していたポアンカレは、ユークリッド幾何学が絶対的な客観的真実ではなく、多くの可能な幾何学構成のうちの1つにすぎないことを十分に認識していました。4次元が存在する可能性があることは、芸術家たちに古典的なルネサンスの遠近法に疑問を投げかけるきっかけとなり、非ユークリッド幾何学が有効な代替案となりました。^{[116] [117] [118]絵画を色彩と形で数学的に表現できるという考えは、}抽象芸術につながる芸術運動であるキュビズムに貢献しました。^[119]メッツィンガーは1910年にこう書いている。「[ピカソ]は自由で流動的な視点を提示し、そこからあの天才数学者モーリス・プランセが幾何学全体を導き出した」。^[120]後にメッツィンガーは回想録にこう書いている。

モーリス・プランセはよく私たちのところに来てくれました。彼は芸術家として数学を概念化し、美学者としてn次元連続体を提唱しました。彼はシュレーゲルや他の人たちが開拓した空間に関する新しい見方に芸術家たちの興味を引くのが大好きでした。彼はそれに成功しました。^[121]

数学的形態の教育用または研究用のモデルを作りたいという衝動から、対称性や意外性、あるいは心地よい形状を持つ物体が自然に生み出される。こうした物体の中には、ダダイストの マン・レイ^[122] 、マルセル・デュシャン^[123]、マックス・エルンスト^[124]、^[125]、そしてマン・レイに倣った杉本博司^[126]などの芸術家に影響を与えたものがある。

マン・レイはパリのアンリ・ポアンカレ研究所にある数学モデルのいくつかを撮影したが、その中には『数学的対象』も含まれている。彼は、これが擬球から導かれた一定の負の曲率を持つエネパー面を表していると指摘した。この数学的基礎は彼にとって重要だった。なぜなら、これによって彼は対象が「抽象的」であることを否定し、デュシャンが芸術作品にした小便器と同じくらい現実的であると主張することができたからである。マン・レイは、対象[エネパー面]の式は「私にとって何の意味も持たないが、その形自体は自然界にあるものと同じくらい多様で本物である」と認めた。彼は、 1934年の絵画『アントニーとクレオパトラ』など、シェイクスピアの戯曲を題材にしたシリーズの図像として数学モデルの写真を使用した。^[127]美術記者ジョナサン・キーツはフォーブスライフ誌に寄稿し、マン・レイは「モンパルナスのキキの写真と同じ官能的な光の中で楕円放物面と円錐の先端を撮影し」、「数学のクールな計算を巧みに再利用して欲望の位相を明らかにした」と論じている。^[128]ヘンリー・ムーア、バーバラ・ヘップワース、ナウム・ガボなどの20世紀の彫刻家は、数学モデルからインスピレーションを得た。^[129]ムーアは1938年の「 Stringed Mother and Child」について次のように書いている。「私の弦楽器の像の源は間違いなく科学博物館だった ...そこで見た数学モデルに魅了された...これらのモデルの科学的研究ではなく、鳥かごのように弦を通して見ること、そしてある形の中に別の形を見ることができることが私を興奮させた。」^[130]

芸術家のテオ・ファン・ドゥースブルフとピエト・モンドリアンはデ・スティル運動を創始し、その運動が「誰もが理解でき、どんな分野にも適応できる基本的な幾何学的形態からなる視覚的語彙を確立すること」を目指した。^{[131] [132]}彼らの作品の多くは、目に見える形で罫線の引かれた正方形や三角形で構成されており、時には円も含まれている。デ・スティルの芸術家は、絵画、家具、インテリアデザイン、建築の分野で活動した。^[131]デ・スティルの解散後、ファン・ドゥースブルフはアヴァンギャルド・ アール・コンクレート運動を創始し、1929年から1930年にかけて制作した「算術構成」、正方形の背景の対角線上に並べられた4つの黒い正方形のシリーズを「制御可能な構造、偶然の要素や個人の気まぐれのない明確な表面」でありながら「精神に欠けるものではなく、普遍性に欠けるものではなく、内部のリズムに合うものがすべて揃っているので空虚ではない」と評した。美術評論家のグラディス・ファーブルは、この絵画には、拡大する黒い四角と交互に変化する背景という2つの進行が働いていると指摘している。^[133]

モザイク細工、多面体、空間の形成、自己言及の数学は、グラフィックアーティストのMCエッシャー（1898-1972）に生涯分の木版画の素材を提供した。^{[134] [135]エッシャーは、}アルハンブラ宮殿のスケッチで、多角形や三角形、正方形、六角形などの規則的な形状で芸術を創造できることを示した。エッシャーは、平面をタイル張りする際に不規則な多角形を使用し、反射、滑走反射、平行移動を頻繁に使用して、さらなるパターンを得た。彼の作品の多くには、透視投影と3次元の間に矛盾を生じさせる幾何学的オブジェクトを使用して作られた不可能な構造が含まれているが、人間の視覚には心地よい。エッシャーの「上昇と下降」は、医学者のライオネル・ペンローズと彼の息子で数学者のロジャー・ペンローズが作成した「不可能な階段」に基づいています。^{[136] [137] [138]}

エッシャーの多くのモザイク画のいくつかは、数学者HSMコクセターとの双曲幾何学に関する会話に触発されたものである。^{[139]エッシャーは特に5つの特定の多面体に興味を持っており、それらは彼の作品に何度も登場する。}プラトンの立体（四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体）は、『秩序と混沌』と『四つの正多面体』で特に目立つ。^[140]これらの星型図形はしばしば別の図形の中に位置し、それが多面体の視野角と形状をさらに歪ませ、多面的な遠近法のアートワークを提供している。^[141]

モザイクや多面体などの数学的構造の視覚的な複雑さは、さまざまな数学的芸術作品にインスピレーションを与えてきました。スチュワート・コフィンは希少で美しい木材で多面体パズルを作り、ジョージ・W・ハートは多面体の理論に取り組んで、それに触発された物体を彫刻しています。マグナス・ウェニンガーは複雑な星型多面体の「特に美しい」モデルを制作しています。^[142]

アナモルフォーシスの歪んだ遠近法は、16世紀にハンス・ホルバインが1533年の絵画『大使たち』でひどく歪んだ頭蓋骨を描いたときから美術で研究されてきました。それ以来、エッシャーを含む多くの芸術家がアナモルフィックのトリックを活用してきました。^[143]

位相幾何学の数学は、現代でも多くの芸術家に影響を与えている。彫刻家のジョン・ロビンソン（1935–2007）は、ゴルディアスの結び目や友情の絆といった、結び目理論を磨かれたブロンズで表現した作品を制作した。^{[7]ロビンソンの他の作品は、}トーラスの位相幾何学を探求している。創世記はボロミアン環に基づいている。ボロミアン環とは、互いにつながっていない3つの円のセットであり、構造全体を分解すると壊れるというものである。^[144]彫刻家のヘラマン・ファーガソンは、複雑な曲面やその他の位相オブジェクトを制作している。^[145]彼の作品は数学的オブジェクトの視覚的表現であり、八正道は、168個の要素からなる有限群である射影特殊線型群 PSL(2,7)に基づいている。^{[146] [147]}彫刻家バトシェバ・グロスマンも同様に、数学的構造を作品のベースにしている。^{[148] [149]}芸術家のネルソン・セイヤーズは、トポスやスキームから四色定理やπの無理数まで、数学的な概念や定理を作品に取り入れています。^[150]

リベラルアーツ探究プロジェクトでは、メビウスの輪、フレクサゴン、折り紙、パノラマ写真を通じて数学と芸術の関係性を調べます。^[151]

ローレンツ多様体や双曲平面などの数学的対象は、かぎ針編みなどの繊維芸術を使用して作成されてきました。^{[d] [153]}アメリカの織工エイダ・ディーツは、 1949年にモノグラフ「手織り織物の代数式」を執筆し、多変数多項式の展開に基づいた織りパターンを定義しました。^[154]数学者のダイナ・タイミナは、 2001年にかぎ針編みで双曲平面の特徴を実証しました。^[155]これをきっかけに、マーガレットとクリスティン・ワートハイムは、形が双曲平面に基づいたウミウシなどの多くの海洋動物で構成されたサンゴ礁をかぎ針編みしました。 ^[156] 数学者のJCPミラーは、ルール90セルオートマトンを使用して、木と三角形の抽象的なパターンの両方を描いたタペストリーをデザインしました。 ^[157]「数学者」^{[158]パット・アッシュフォースとスティーブ・プラマーは、}ヘキサフレクサゴンなどの数学的対象を編み物で作ったものを授業に使っているが、メンガースポンジは編むのが面倒だったため、代わりにプラスチックのキャンバスで作った。^{[159] [160]}彼らの「mathghans」（学校のためのアフガン人）プロジェクトは、編み物をイギリスの数学と技術のカリキュラムに導入した。^{[161] [162]}

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  四次元空間からキュビスムへ:エスプリ・ジュフレの 1903 年の幾何学的次元の特徴。^{[163] [e]}
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  デ・ステイル：テオ・ファン・ドースブルグの幾何学的な作品 I (静物)、1916
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  教育学から芸術へ：マグナス・ヴェニンガーと彼の星型多面体、2009年
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  かぎ針編みのメビウスの帯のスカーフ、2007年
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  アナモルフィズム：ハンス・ホルバイン（子）による「大使たち」（1533年）。前景の頭蓋骨はひどく歪んでいる。
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  かぎ針編みの サンゴ礁：さまざまなパラメータを持つ双曲面としてモデル化された多くの動物、マーガレットとクリスティン・ヴェルトハイム著。Föhr Reef、テュービンゲン、2013年

モデリングは数学的概念を説明する唯一の方法からは程遠い。ジョットのステファネスキ三連祭壇画（1320年）は、ミゼ・アン・アビムの形で再帰を表している。三連祭壇画の中央パネルの左下には、ステファネスキ枢機卿がひざまずいて三連祭壇画を捧げ物として掲げている。^[165]ジョルジョ・デ・キリコの形而上学的絵画、例えば1917年の「大形而上学的内部」は、絵画の中に絵画を描くことで、芸術における表現レベルの問題を探求している。^[166]

芸術は論理的パラドックスの例となることがある。例えば、シュールレアリストの ルネ・マグリットの絵画は、レベル間の混乱に関する記号論的ジョークとして読むことができる。『人間の条件』（1933年）では、マグリットは（実際のキャンバスの上に）イーゼルを描き、絵画の中で「実際の」カーテンで縁取られた窓からの眺めをシームレスに支えている。同様に、エッシャーの『版画ギャラリー』（1956年）は、歪んだ都市を描いた版画で、その都市にはギャラリーがあり、そのギャラリーにも絵画が再帰的に含まれ、このように無限に続く。^[167]マグリットは、球体や直方体を使って現実を別の方法で歪め、1931年の『暗算』で、それらをさまざまな家と一緒に、まるで家の大きさの子供の積み木であるかのように描いた。 [ ^168] ガーディアン紙は、「不気味なおもちゃの町のイメージ」はモダニズムによる「居心地の良い伝統的な形式」の侵害を予言するものであると同時に、自然の中にパターンを求める人間の傾向をも利用していると指摘した。^[169]

サルバドール・ダリの最後の絵画「ツバメの尾」（1983年）は、ルネ・トムのカタストロフ理論に触発されたシリーズの一部でした。^[171]スペインの画家であり彫刻家でもあるパブロ・パラスエロ（1916年 - 2007年）は、形態の探求に焦点を当てていました。彼は、生命の幾何学、そしてすべての自然の幾何学と自らが表現したスタイルを生み出しました。パラスエロは、 Angular IやAutomnesなどの作品で、単純な幾何学的形状と詳細なパターンと色彩で構成され、幾何学的変形で自分自身を表現しました。^[7]

芸術家のエイドリアン・グレイは、石のバランスをとる技法を実践し、摩擦と重心を利用して、印象的で一見不可能と思われる構成を作り出している。^[172]

しかし、芸術家は必ずしも幾何学を文字通りに受け止めるわけではない。ダグラス・ホフスタッターは、1980年に人間の思考に関する考察『ゲーデル、エッシャー、バッハ』の中で、芸術の数学（とりわけ）を通して次のように書いている。「エッシャーの絵と非ユークリッド幾何学の違いは、後者では定義されていない用語に理解可能な解釈が見出され、理解可能な全体体系が得られるのに対し、前者では、どれだけ長く絵を見つめても、最終結果は自分の世界観と矛盾するものである」。ホフスタッターは、MCエッシャーの一見矛盾しているリトグラフ『プリント・ギャラリー』について論じている。この絵は海辺の町を描いたもので、アートギャラリーには海辺の町の絵があるようで、イメージの現実のレベルには「奇妙なループ、または絡み合った階層」がある。ホフスタッターは、芸術家自身は見えないと指摘している。彼の現実と石版との関係は矛盾ではない。^{[170]この像の中央の空洞は数学者バート・デ・スミットと}ヘンドリック・レンストラの興味も引き付け、彼らはその中に回転して縮小されたドロステ効果のコピーが含まれている可能性があると提案した。これはホフスタッターが指摘したものを超えた再帰のさらなる例となるだろう。^{[173] [174]}

芸術作品の画像をアルゴリズムで分析すると、例えば蛍光X線分光法などを使用して、芸術に関する情報を明らかにすることができます。このような技術は、芸術家が後で覆い隠した塗料の層の画像を明らかにしたり、芸術史家がひび割れたり色あせたりする前の芸術作品を視覚化したり、コピーとオリジナルを区別したり、巨匠の筆遣いを弟子の筆遣いと区別したりするのに役立ちます。^{[175] [176]}

ジャクソン・ポロックのドリップ・ペインティングのスタイル^[177]には明確なフラクタル次元がある。^{[178]ポロックの制御された}カオスに影響を与えた可能性のある芸術家の中には、^{[179]マックス・エルンストがいる。彼はキャンバスの上で穴の開いた絵の具のバケツを振り回すことで}リサジュー図形を直接描いた。 ^[180]

コンピュータ科学者のニール・ドジソンは、ブリジット・ライリーの縞模様の絵画が数学的に特徴付けられるかどうかを調査し、分離距離は「ある程度の特徴付け」が可能であり、大域エントロピーはいくつかの絵画では機能するが、ライリーのパターンは不規則であるため自己相関は機能しないと結論付けた。局所エントロピーが最も効果的であり、美術評論家のロバート・クディエルカによる説明とよく相関していた。^[181]

アメリカの数学者ジョージ・バーコフが 1933 年に提唱した「美的尺度」は、芸術作品の美的品質を測る定量的な尺度である。この尺度は、絵画が意味するところなど、作品の含意を測ろうとするものではなく、多角形図形の「秩序の要素」に限定されている。バーコフはまず、そのような 5 つの要素を (合計として) 組み合わせる。つまり、対称の垂直軸があるかどうか、光学的平衡があるかどうか、回転対称性がいくつあるか、図形が壁紙に似ているかどうか、頂点が 2 つ近すぎるなど、不十分な特徴があるかどうかである。この尺度Oは、-3 から 7 までの値を取る。2 番目の尺度Cは図形の要素を数えるもので、多角形の場合、少なくとも 1 つの辺を含む異なる直線の数である。バーコフは次に、物体の美しさの美的尺度をO/Cと定義する。これは、対象を見ることで得られる喜びと、それを理解するために必要な努力の量との間のバランスとして解釈することができます。バーコフの提案は、美を定式化しようとしたことをはじめ、さまざまな点で批判されてきましたが、彼はそれをやったと主張したことは一度もありません。^[182]

芸術は数学の発展を刺激することもある。例えば、ブルネレスキの建築と絵画における遠近法の理論は、ブルック・テイラーとヨハン・ハインリヒ・ランバートによる遠近法の描画の数学的基礎に関する研究につながり、最終的にはジラール・デザルグとジャン＝ヴィクトール・ポンスレによる射影幾何学の数学につながった。^{[184 ]}

日本の折り紙芸術は、布施知子 によって数学的に再考され、モジュール、正方形などの合同な紙片、およびそれらを多面体やタイル状に作ることが提案されました。^[185]折り紙は、1893年にT.スンダラ・ラオによって「折り紙の幾何学的演習」で幾何学的証明を示すために使用されました。^[186]折り紙の数学は、前川の定理、^[187] 川崎の定理、^[188]藤田・羽鳥の公理で探求されてきました。^[189]

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  射影幾何学への刺激：遠近法で楕円として見た円を示すアルベルティの図。デッラ・ピットゥーラ、1435-1436年
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  数学的折り紙：行動への春、ジェフ・ベイノン作、一枚の長方形の紙から作られている。^[190]

フレイザー螺旋のような錯視は、人間の視覚の限界を顕著に示しており、美術史家 エルンスト・ゴンブリッチが「不可解なトリック」と呼んだものを生み出している。螺旋を形成しているように見える白黒のロープは、実際には同心円である。20世紀半ばのオプアートまたはオプティカルアートスタイルの絵画やグラフィックでは、このような効果を利用して、ブリジット・ライリー、スピロス・ホレミス、^{[191] 、}ヴィクトル・ヴァザルリなどの芸術家の作品に見られる動きや点滅または振動するパターンの印象を作り出した。[ ^192]

古代ギリシャ以降の芸術の流れでは、神は世界の幾何学者であり、したがって世界の幾何学は神聖なものとみなされています。神が幾何学的な計画に従って宇宙を創造したという信念は、古代に起源があります。プルタルコスは、この信念をプラトンに帰し、「プラトンは神は絶えず幾何学化すると言った」と書いています（Convivialium disputationum、liber 8、2）。このイメージはそれ以来ずっと西洋の思想に影響を与えてきました。プラトンの概念は、音楽の調和に関するピタゴラスの考えから派生したもので、音符はリラの弦の長さに応じて完璧な比率で配置されていました。実際、ピタゴラス派は、すべてのものが数によって配置されていると考えていました。同様に、プラトンの思想では、正多面体またはプラトンの立体が自然界や芸術に見られる比率を決定します。^{[193] [194]} 13世紀のヴィンドボネンシス写本にある装飾画には、神がコンパスで宇宙を描く様子が描かれている。これは旧約聖書の一節、「神が天を定めたとき、わたしはそこにいた。神が深淵の面にコンパスを置いたとき」（箴言8:27）を指しているのかもしれない。^[195] 1596年、数学者ヨハネス・ケプラーは、宇宙を入れ子になったプラトン立体の集合としてモデル化し、惑星の軌道の相対的な大きさを決定した。^[195] ウィリアム・ブレイクの『老いたる日』（ブレイクの理性と法の体現であるユリゼンを描いたもの）と、裸で背中を丸めてコンパスで絵を描く物理学者アイザック・ニュートンの絵画では、コンパスの象徴性を利用して、従来の理性と唯物論が偏狭であると批判している。^{[196] [197]} サルバドール・ダリの1954年の作品「磔刑（超立方体大全）」は、十字架を超立方体として描いており、通常の3次元ではなく4次元で神の視点を表現している。^[84]ダリの「最後の晩餐」 （1955年）では、キリストと弟子たちが巨大な十二面体の中に描かれている。^[198]

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  幾何学者の神様。コーデックス ヴィンドボネンシス、c。 1220
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  パントクラトールを軸にした創造。聖ルイの聖書、1220～1240年頃
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  ヨハネス・ケプラーの太陽系における惑星の間隔のプラトン立体モデル、『宇宙の神秘』( 1596年)
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  ウィリアム・ブレイクの『太古の昔』、1794年
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  ウィリアム・ブレイクの『ニュートン』、1800年頃

• 数学と建築
• 音楽と数学